Equazioni e disequazioni con moduli
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- Veronica Natale
- 5 anni fa
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1 Equazioni e disequazioni con moduli 7 7 Valoe assoluto Ripendiamo la definizione già vista in Algeba di valoe assoluto Il valoe assoluto o modulo di un numeo a, indicato con a, è lo stesso numeo a se esso è maggioe o uguale a zeo, o il suo opposto, cioè a, se è minoe di zeo In sintesi sciviamo: a = a se a 0 a se a < 0 Pe esempio +7 = 7, = ( ) =, 0 = 0, =, = In maniea analoga definiamo il valoe assoluto di un espessione algebica Il valoe assoluto o modulo dell espessione algebica E = x x, indicato con x x, è una funzione definita pe casi, cioè definita da espessioni divese su sottoinsiemi divesi del dominio, f(x) = x x = x x se x x 0 ( x x ) se x x < 0 Risolvendo la disequazione x x 0 si esplicitano i due sottoinsiemi in cui sono definite le due espessioni algebiche, cioè f(x) = x x = x x se x 0 x x + x se 0 < x < In geneale, la funzione valoe assoluto o modulo di un espessione algebica viene definita come: f(x) se f(x) 0 f(x) = f(x) se f(x) < 0 La funzione f(x) è detta agomento del valoe assoluto Esempio 7 Pe la funzione f(x) = + x tovae le espessioni algebiche che descivono i due casi Pe definizione si ha: f(x) = + x se + x 0 x + x = x se + x < 0 x < 09
2 0 Capitolo 7 Equazioni e disequazioni con moduli Esempio 7 Data la funzione f(x) = x 4 + x + x descivela pe casi, eliminando i valoi assoluti Dobbiamo studiae i segni dei due binomi in valoe assoluto x 4 0 x x e x + 0 x La situazione è appesentata con maggioe chiaezza nel gafico seguente Segno di x 4 x Nell intevallo x l agomento del pimo valoe assoluto è positivo o uguale a 0 pe x = e quello del secondo è negativo; nell intevallo < x < tutti e due gli agomenti del valoe assoluto sono negativi; nell intevallo x l agomento del pimo valoe assoluto è negativo o uguale a 0 pe x =, quello del secondo è positivo o uguale a 0 pe x = ; nell intevallo x > entambi gli agomenti sono positivi In sintesi (x 4) (x + ) se x (x 4) (x + ) x se < x < f(x) = (x 4) + (x + ) x se x (x 4) + (x + ) x se x > Esecizi poposti: 7, 7, 7 7 Equazioni in una incognita in valoe assoluto 7 Equazioni nelle quali l incognita è pesente solo all inteno del modulo Equazioni con valoe assoluto del tipo f(x) = k con k 0 Esempio 7 Risolvee la seguente equazione x 7 = Pe la definizione di valoe assoluto si ha che x 7 = x 7 se x 7 0 x + 7 se x 7 < 0, petanto l equazione diventa x 7 = ovveo il tutto equivale all unione dei due sistemi x 7 = se x 7 0 x + 7 = se x 7 < 0 x 7 0 x 7 = x 7 < 0 x + 7 =
3 Sezione 7 Equazioni in una incognita in valoe assoluto Moltiplicando pe ambo i membi dell equazione del secondo sistema otteniamo: x 7 0 x 7 = x 7 < 0 x 7 = Si vede abbastanza facilmente che sia nel pimo che nel secondo sistema le due disequazioni sono sempe veificate Infatti, nel pimo sistema l equazione x 7 = veifica automaticamente la disequazione x 7 0 in quanto è ichiesto che x 7 sia uguale a, petanto è necessaiamente positivo Stesso agionamento vale pe il secondo sistema In alte paole, pe isolvee la disequazione data è sufficiente isolvee le due equazioni x 7 = e x 7 = unendone le soluzioni Quindi x 7 = x = 0 x = 0 x = 0 e x 7 = x = 4 x = x 4 = L insieme delle soluzioni è quindi: 0, 0,, + } Pocedua isolutiva Pe isolvee un equazione del tipo f(x) = k con k 0 è sufficiente isolvee la doppia equazione f(x) = ±k Esempio 74 Risolvee la seguente equazione x x = L equazione x x = si isolve unendo le soluzioni delle equazioni x x = e x x = cioè: x x = x x = 0 x = 5 x = + 5 x x = x x + = 0 < 0 I S = e L insieme soluzione dell equazione data è quindi 5 I S =, + } 5 Equazioni con valoe assoluto del tipo f(x) = k con k < 0 Se k < 0 l equazione è impossibile In questo caso f(x) = k è una contaddizione, in quanto un valoe assoluto di una espessione è sempe un valoe positivo Esempio 75 Risolvee la seguente equazione x 7 = Impostiamo la iceca delle soluzioni con il metodo geneale pesentato nell esempio 7 L equazione coisponde alla soluzione dell unione dei due sistemi seguenti x 7 0 x 7 = x 7 < 0 x 7 = Entambi i sistemi non hanno soluzioni eali L equazione è impossibile Esecizi poposti: 7, 74, 75, 76, 77
4 Capitolo 7 Equazioni e disequazioni con moduli 7 Equazioni nelle quali l incognita si tova anche fuoi dal modulo Esempio 76 Risolvee la seguente equazione + x = 7x + 4 L equazione pesenta un valoe assoluto al pimo membo Tenendo conto che + x se + x 0 x + x = x se + x < 0 x <, l equazione si tasfoma nell unione dei due sistemi x + x = 7x + 4 x < x = 7x + 4 Risolvendo si ha x 4x = 5 x = 5 4 x < 0x = x = 0 La soluzione 5 4 non è accettabile in quanto non è maggioe di Petanto imane la soluzione x = 0 (che è minoe di ) Esempio 77 Risolvee la seguente equazione x + 5 = x Esplicitiamo i due casi dell agomento x + 5 se x x 5 x + 5 = x 5 se x + 5 < 0 x > 5 L equazione si tasfoma quindi nell unione dei due sistemi: x 5 x + 5 = x x > 5 x 5 = x Risolviamo ciascun sistema x 5 x = 8 x = 8 x > 5 x = ognuno dei quali isulta impossibile, cioè I S = e I S = Quindi l insieme soluzione dell equazione data è I S = I S I S = = : l equazione è impossibile
5 Sezione 7 Equazioni con più espessioni in valoe assoluto Esempio 78 Risolvee la seguente equazione x = x + L equazione si tasfoma nell unione dei due sistemi x 0 x = x + x < 0 x + = x + x x = x < x = Quindi le soluzioni sono x = e x = Esecizi poposti: 78, 79, 70, 7, 7, 7, 74, 75, 76 7 Equazioni con più espessioni in valoe assoluto Esempio 79 Risolvee la seguente equazione x x + x = 4 L equazione pesenta due espessioni in valoe assoluto; ciascuna espessione saà sviluppata in due modi divesi dipendenti dal segno assunto dai ispettivi agomenti Si pesenteanno alloa quatto casi e l insieme soluzione dell equazione saà ottenuto dall unione delle soluzioni dei singoli casi Pe semplificae il pocedimento studiamo il segno di ciascun agomento e poi confontiamo i segni con uno schema gafico: Si pesentano te casi: Segno di x x + + Caso I: x < (x ) ( x) + x = 4 ; Caso II: x < (x ) + ( x) + x = 4 ; Caso III: x (x ) + ( x) + x = 4 In ogni sistema la pima condizione è la disequazione che vincola il segno degli agomenti e la seconda è l equazione che isulta in base al segno definito Risolviamo Caso I: x < (x ) ( x) + x = 4 Il sistema è impossibile in quanto non è minoe di Caso II: x < x = I S = x < (x ) + ( x) + x = 4 x < x = 0 I S = [ Il sistema è impossibile in quanto 0 non appatiene all intevallo, )
6 4 Capitolo 7 Equazioni e disequazioni con moduli Caso III: x x (x ) + ( x) + x = 4 x = 6 La soluzione in questo caso è accettabile Conclusione: I S = I S I S I S = 6} I S = 6} Esempio 70 Risolvee la seguente equazione x 4 x = x Confontiamo il segno di ciascun agomento sevendoci dello schema: Segno di x 4 x In questo esempio dobbiamo esaminae 4 casi che si esplicitano nei sistemi: Caso I: x < x 4 x = x + x = 6 x = + 6 I S = Caso II: x < x + 4 x = x + x = x = I S = Caso III: x < x + 4 x = x x = 5 x = I S = } Caso IV: x x 4 x = x x = 7 x = + 7 I S 4 = + } 7 Conclusione: I S = I S I S I S I S 4 =, + } 7 Pocedua 7 Risoluzione di un equazione con valoi assoluti: a ) l incognita è pesente solo nell agomento del modulo L equazione è del tipo f(x) = k e si isolve studiando f(x) = ±k Se k < 0 l equazione è impossibile; b ) l incognita si tova anche al di fuoi del modulo Si analizza il segno dell agomento del modulo e si isolvono i due sistemi dove la pima condizione è la disequazione che vincola il segno dell agomento e la seconda è l equazione che isulta in base al segno definito L insieme soluzione dell equazione è dato dall unione degli insiemi soluzione dei due sistemi; c ) è pesente più di un modulo che ha l incognita nel popio agomento Si studia il segno di ogni agomento e dallo schema che ne segue si costuiscono e quindi si isolvono i sistemi in cui la pima condizione è la disequazione che vincola il segno degli agomenti e la seconda è l equazione in base al segno definito Anche in questo caso l insieme soluzione dell equazione è dato dall unione degli insiemi soluzione dei vai sistemi Esecizi poposti: 77, 78, 79, 70, 7, 7, 7, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 70
7 Sezione 74 Disequazioni con valoe assoluto 5 74 Disequazioni con valoe assoluto Le disequazioni con i moduli si isolvono in modo analogo alle equazioni con moduli 74 Disequazioni in cui l incognita si tova solo nel modulo Disequazioni con valoe assoluto nella foma f(x) < k con k > 0 La disequazione si isolve studiando l unione dei due sistemi f(x) 0 f(x) < k f(x) < 0 f(x) > k che hanno soluzioni 0 f(x) < k k < f(x) < 0 cioè: k < f(x) < k o anche f(x) < k f(x) > k Esempio 7 Risolvee la seguente disequazione x < La disequazione diventa < x < oppue x < x > x < 4 x > La pima disequazione x < 4 è veificata pe < x < La seconda è sempe veificata peché il quadato x è sempe maggioe di un numeo negativo L insieme soluzione della disequazione assegnata è quindi < x < Disequazioni con valoe assoluto nella foma f(x) > k con k > 0 La disequazione si isolve studiando l unione dei due sistemi f(x) 0 f(x) > k f(x) < 0 f(x) < k che hanno soluzioni f(x) < k f(x) > k Esempio 7 Risolvee la seguente equazione x 4 > 4 L equazione diventa x 4 < 4 x 4 > 4 Spostando 4 al secondo membo otteniamo x < 0 x > 8 La pima disequazione x < 0 non ha soluzioni in quanto il quadato x non può essee minoe di 0 La seconda ha pe soluzioni x < x >
8 6 Capitolo 7 Equazioni e disequazioni con moduli 74 Disequazioni in cui l incognita si tova anche fuoi dal modulo Esempio 7 Risolvee la seguente disequazione x x < x + x Studiamo il segno dell agomento del modulo x x 0 x(x ) 0 x 0 x La disequazione assegnata si sdoppia nell unione di due sistemi: x 0 x x x < x + x Semplificando le disequazioni si ha: x 0 x x + 4x > 0 0 < x < x + x < x + x 0 < x < x + x > 0 Quindi appesentiamo gli insiemi soluzione dei due sistemi in uno schema, così possiamo tovae agevolmente l insieme soluzione della disequazione data x x 0 x + 4x > I S x x < 0 0 x + x > 0 I S 5 I S I S L insieme soluzione della disequazione data è x < 5 x > 74 Disequazioni con più valoi assoluti Esempio 74 Risolvee la seguente disequazione x + x Studiamo il segno di ciascun agomento e poi confontiamo i segni con uno schema gafico: Segno di x + x
9 Sezione 74 Disequazioni con valoe assoluto 7 Si pesentano te casi, quindi te sistemi: x < x < (x ) x x + ( x ) Risolviamo il pimo sistema: x < x + x 0 x < x 0 In questo caso non si hanno soluzioni: I S = Risolviamo il secondo sistema: x < x < x + x 0 x x 0 In questo caso le soluzioni sono: 0 x < x 0 Risolviamo il tezo sistema: x x x 0 x x x x + x In questo caso le soluzioni sono: x Adesso appesentiamo gli insiemi soluzione dei te sistemi in uno schema, così possiamo tovae l insieme soluzione della disequazione data x < x + x 0 0 I S < x x + x 0 0 I S x x x 0 I S I S I S I S 0 Unendo tutte le soluzioni si ha: x = 0 x Esecizi poposti: 7, 7, 7, 74, 75, 76, 77
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