La molla con attrito

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1 La molla con attito L equazione di patenza è mx + x + kx 0 () con condizioni iniziali x(0) l ed x (0) 0, ipettivamente lunghezza iniziale e velocità iniziale. Tafomando otteniamo l equazione: m[ X() x(0) x (0)] + [X() x(0)] + kx() 0 () Sotituendo le condizioni iniziali in quet ultima i ottiene: Raccogliendo l incognita: Iolandola a pimo membo: m[ X() l 0] + [X() l)] + kx() 0 (3) X()[m + + k] ml + l (4) ml+l X() l m ++k + m + m + k m (5) Evidenziamo adeo le oluzioni del denominatoe, cioè i poli della funzione:, m ± ( m ) 4 k m (6) Poniamo adeo a b m + ( m ) 4 k m m ( m ) 4 k m (7) (8) Queti due valoi iultano gli oppoti delle due oluzioni negative,, otituite nella (5) i ha:

2 X() l + m (+a)(+b) (9) Ditinguiamo inizialmente i cai in cui a b ed a b. Nel pimo cao la (9) aume la foma: Il valoe di a è pai a X() l + m (+a) (0) a () dicendente dalla uguaglianza delle oluzioni in cao di delta pai a 0. Conultando la tabella delle tafomate: L [ +γ (+a) ] [ + (γ a)t]e at () Quet ultima ci pota alla pima oluzione concetata con l ipotei di oluzioni coincidenti: x(t) l [ + ( m ) t] e at l [ + t] e at (3) Nel cao di oluzioni ditinte ma eali (delta poitivo), la tabella delle tafomate fonice: L +γ [ (+a)(+b) ] (γ b)e bt (γ a)e at a b (4) Facciamo qualche emplificazione pima di otituie γ a m + ( m ) 4 k m ( m ) k m γ b m ( m ) 4 k m + ( m ) k m a b ( ) k m (5) (6) (7) La oluzione finale in queto cao aume la foma x(t) l (γ b)e bt (γ a)e at a b (8) Se peò il delta è negativo, pu mantenendo valide le fomule dalla (4) alla (8), non poono eee laciate come appena vito peché la peenza di un temine compleo non è accettato dall analii tempoale. Modifichiamo petanto le ultime te che aumono la eguente foma:

3 γ a j k ( m ) jω (8) γ b + j k ( m ) + jω (9) a b j k m ( ) jω (0) Sotituendo tali valoi nella (8) x(t) l ( + jω) e ( +jω)t ( jω le ( t + jω) e jωt ( jω le t jω) e ( jω)t jω) ejωt (e jωt e jωt ) + jω(e jωt + e jωt ) jω le t [ inωt + coωt] () ωm In vitù della elazione i può dipoe il tutto con: Ainα + B coα A + B co (α actan A B ) () x(t) l ( ωm ) + e t co (ωt actan ) (3) ωm Se i vuole evitae di utilizzae la (), i può mettee la () otto la eguente foma: Eendo le x(t) le t e jωt ( + jω) ejωt ( jω) jω t e jωt ( ωm ) + e jφ e jωt ( ωm ) + e jφ j le t ( ωm ) + en(ωt φ) (4) φ actan ωm (5) 3

4 bata cambiae eno in coeno (co en( +90 )) e ibaltae l agomento dell acotangente (actg(x) 90 - atg(/x) pe dimotae l uguaglianza della (3) e (5). Ciò detto, pe veificae i due valoi limiti tempoali, notiamo che Ma quindi x(0) l ( ωm ) + co ( actan ) (6) ωm co(actan (α)) +α (7) x(0) l ( ωm ) + Veifica il valoe iniziale, mente pe quello finale: +( ωm ) l (8) x( ) 0 (9) in quanto l eponenziale dececente foza la funzione a zeo, cioè molla a ipoo. Quanto fatto pe via analitica può eee imulato tamite oftwae matematico. Pe iolvee occoe pocedee in queto modo: poizionae a pimo membo la funzione deivata di odine maimo, al econdo membo tutto il eto, come nella eguente: x x k x (30) m m Il metodo pe appeentae queta funzione con l algeba a blocchi è quella di poizionae nella catena dietta tutte le incognite. Pe paae dalla deivata econda alla pima bata mettee un integatoe, pe paae da quella pima all incognita, un alto integatoe. Infine tamite due blocchi moltiplicatoi i ottiene, pe omma, la deivata econda. In alti temini: Integato Integato Nell eempio ipotato il valoe iniziale del pimo integatoe è ; lo cope fonice la eguente imulazione: 4

5 Utilizziamo le fomule che ci fonice la teoia pe valutae le te ipote, quella apeiodica, apeiodica limite e peiodica. Le te condizioni ono agguppate dalla eguente condizione, coipondente ad un delta poitivo, nullo o negativo: ( ) >< k m (3) Utilizziamo le condizioni iniziali velocità nulla e poizione iniziale pai ad l. Coì pocedendo tattiamo i te cai uccitati: ) delta poitivo (oluzioni eali e ditinte) /m 3 k/m 0.5 ; la (3) è veificata con il egno > : Integato Integato Condizione iniziale del econdo integatoe pai a 0 (lunghezza iniziale della molla) 5

6 ) delta nullo (oluzioni eali e coincidenti); /m e k/m ; la (3) è veificata con il egno : Integato Integato - - 6

7 ) delta negativo (oluzioni complee e coniugate); /m e k/m 6 ; ; la (3) è veificata con il egno < : Integato Integato