Le Misure. 2 ottobre 2007

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1 Le Miure ottobre 007 In tutte le oluzioni i farà ricoro alla notazione cientifica dei numeri, baata ul ignificato del itema decimale e poizionale. (piegare il ignificato) 1 Lunghezza Una navetta paziale orbita intorno alla Terra a un altitudine di 300 km. Quanto vale queta ditanza (a) in miglia e (b) in millimetri? Cao (a): Si utilizza il fattore di converione metro-miglio, 1miglio 1,609km, per cui i ha 300km 300km 1,609 Km miglio 186,45miglia Cao (b): Attravero la ben nota equivalenza, 1km 10 6 mm, i ottiene, nella notazione cientifica 300km mm mm 1.0. Il micrometro (10 6 m 1µm) è peo chiamato micron. (a) Quanti micron fanno 1.0km? (b) Quale frazione di un centimetro è uguale a 1µm? (c) Quanti micron ci ono in 1.0yd? Cao (a): Eendo 1m 10 6 µm e 1km 10 3 m, i avrà che 1.0km µm Cao (b): Eendo 1m 10 6 µm e 1cm 10 m, i avrà 1µm 10 4 cm Cao (c): Eendo 1yd m e 1m 10 6 µm, i avrà 1yd µm La Terra è aimilabile ad una fera di raggio m. (a) Qual è la ua circonferenza in chilometri? (b) Qual è l area della ua uperficie in chilometri quadrati? (c) Qual è il uo volume in chilometri cubi? Cao (a): La circonferenza è uguale a πr m; ma, come vito, 1km 10 3 m, per cui la circonferenza miurerà cr f m 10 3 km m 4004km. Cao (b): L area della uperficie di una fera vale A 4πr 4π ( km ) km Cao (c): Il volume di una fera è V 4 3 πr3 4 3 π ( km ) km Una unità di miura uata per i terreni agricoli è l ettaro, definito come 10 4 m. Una miniera di carbone a cielo aperto conuma ogni anno 75 ettari di terra, per una profondità di 6m. Qual è il volume di terra corripondente in kilometri cubi? Soluzione: Il volume di un olido retto con due bai parallele è empre dato dal prodotto dell area della bae per la ua altezza. Ciò conente di penare ad una uperficie di bae di forma qualunque. L area di bae è pari a 75ettari m. Segue che V A b h m 6m m 3 ; ma 1km m 3, pertanto V km 3. 1

2 1.0.5 L Antartide è di forma emicircolare, con raggio di 000 km. Lo peore medio dello trato di ghiaccio che lo ricopre è di 3000m. Quanti centimetri cubi di ghiaccio contiene l Antartide? (Si tracuri la curvatura della Terra). Soluzione: Non dovendo coniderare la curvatura della Terra, poiamo upporre la forma del olido come quella motrata in figura. Il volume di ogni olido a due bai parallele è dato dal prodotto della ua area di bae per l altezza. Pertanto, apendo che 000km 10 8 cm e 3000m cm,: V A b h πr h π ( 10 8 cm ) cm cm Una tipica zolletta di zucchero è un cubo con lo pigolo di 1cm. Quale arebbe la lunghezza dello pigolo di una catola cubica che poa contenere una «mole» di zucchero, ovvero un numero di zollette pari al numero di Avogadro? (1mole unit elementari). Soluzione: Se la catola contiene zollette di zucchero, il volume di tutte le zollette arà cm 3. Supponiamo che tale catola ia di forma cubica, apendo che il volume del cubo è V l 3, dove l è lo pigolo, i ha: l cm cm 844km Le unità di miura atronomiche ono molto più grandi di quelle di uo comune. 1UA km e rappreenta la ditanza media Terra-Sole. La ditanza alla quale 1UA ottende un arco la cui miura angolare è eattamente un econdo di grado è detta parec (pc). Un anno luce (a.l.) è la ditanza che la luce, viaggiando nel vuoto a una velocità di circa km/, coprirebbe in un anno terretre. (a) Eprimi la ditanza dalla Terra al Sole in parec e anni-luce. (b) Eprimi 1 pc e 1a.l. in kilometri. Cao (a): Come i vede nella figura, non in cala, il triangolo è iocele, con un angolo al vertice di un econdo di grado. In un triangolo iocele l altezza relativa alla bae è anche mediana e biettrice. Il triangolo AHC è rettangolo, e dalla trigoniometria appiamo che ditanzaterra ole AB AH AC in0,5 1 pc in0, pc. 1a.l km ( ) ec km; quindi 1UA km a.l. Cao (b): Sappiamo che un anno è formato da 365,5 giorni; un giorno da 4h e 1h Pertanto, eendo la ditanza percora uguale alla velocità per il tempo impiegato, i ha 1a.l km ( ) ec km 1 pc AH in km in km Durante un eclii totale di ole, l immagine del Sole è quai eattamente coperta da quella della Luna. Ammettendo che la ditanza del Sole ia circa 400 volte quella della Luna, (a) trovare il rapporto tra i loro diametri. (b) Qual è il rapporto tra i loro volumi?

3 Cao (a): Oervando la figura, i può cotruire la proporzione, baandoi ulla imilitudine dei triangoli: φ ole : φ luna d T S : d T L ; da ciò i ottiene, apendo che la d T S 400 d T L, φ ole φ luna 400 Cao (b): Coniderando i corpi celeti come ferici, il rapporto tra i loro volumi arà V ole V luna (400) Il chilogrammo campione ha la forma di un cilindro circolare retto con l altezza uguale al diametro. Dimotrare che, per un cilindro circolare di un determinato volume, queta uguaglianza garantice la minima area uperficiale, rendendo coì minimi gli effetti di deterioramento uperficiale. Soluzione: Per un cilindro circolare, e indichiamo con AB r, il uo volume arà V πr h. La ua uperficie totale arà S tot πr h + πr πr (h + r). Ora ricavando h dal volume h V πr e otituendolo nella uperficie, i ha ( ) ( ) S πr V +πr 3 V +πr 3 πr r. Per trovare la condizione di minima uperficie, calcoliamo la derivata prima della uperficie ripetto al raggio e uguagliamola a zero (aumiamo il volume come cotante aegnata). S 6πr3 V πr 3 r 0 la frazione i annulla e i annulla il uo numeratore; ne egue che 4πr 3 V, cioè V πr 3. Tale condizione i realizza per il cilindro circolare retto con AB BC, cioè con h r; infatti in tale cao il volume arà V πr 3 r πr 3 Tempo.0.10 Eprimere la velocità della luce ( m/) in millimetri al picoecondo. Soluzione: Sappiamo che 1m 10 3 mm e che p; i ottiene quindi c m 103 mm m 10 1 p 0.3mm/p.0.11 Fermi oervò una volta che la durata normale di una lezione (50 minuti) è molto vicina a 1 microecolo (µecolo). Quanto dura un microecolo in minuti, e qual è in percentuale l approimazione dell approimazione di Fermi? Soluzione: 1µ 10 6 per cui 1µecolo anni 10 4 anni 10 4 ( anno) min 5.56minuti. L approimazione introdotta è quindi %.0.1 In un anno vi ono 365, 5 giorni. A quanti econdi equivalgono. Soluzione: 365, ec.0.13 Un certo orologio a pendolo (con un quadrante di 1 ore) anticipa 1 giorno min. Dopo aver regolato l orologio al momento attuale, quanto tempo biogna attendere affinché indichi di nuovo l ora giuta? Soluzione: Il quadrante egna olo 1 ore, cioè mezza giornata. Il numero dei minuti ul quadrante aranno: 1 giorno min 70 min. Saranno neceari pertanto 70 giorni. 3

4 .0.14 Qual è l età dell Univero ( ec) in giorni? Soluzione: Bata dividere l età dell univero per il numero dei econdi di un giorno giorni.0.15 (a) Un unità di tempo uata talvolta in fiica microcopica è lo hake. 1hake 10 8 ec. Ci ono più hake in un econdo che econdi in un anno? (b) L uomo eite da circa 10 6 anni, mentre l Univero ha un età di circa anni. Se i tabilice che l età dell univero è «1giorno», da quanti «econdi» eite l umanità? Cao (a): In un econdo ci ono 10 8 hake. In un anno, (cfr. eercizio 13E) vi ono ec. Quindi 10 8 > Cao (b): Se t univero 1giorno, poiamo impotare la proporzione 10 6 : x : 1, da cui i ricava t uomo 10 4 giorni ec.0.16 Le velocità maime in km/h di diveri animali ono all incirca le eguenti: (a) lumaca, 5 10 ; (b) ragno, ; (c) uomo, 40, e (d) ghepardo, 110. Convertire queti dati in metri al econdo. Soluzioni: Il fattore di traformazione da km h m 3.6 1, in quanto 1km 1000m e 1h Si ha quindi v lu m/; v ra m/; v u m/; v gh m/ Un unità atronomica (UA) è la ditanza media della Terra dal Sole, pari a circa km. La velocità della luce è di circa m/. Eprimere la velocità della luce in unità atronomiche al minuto. Soluzione: Il valore cercato è ottenibile con le opportune «equivalenze». La velocità è il rapporto tra lo pazio percoro e l intervallo di tempo impiegato. Pertanto: v luce c km 60 min UA km Fino al 1883 ogni città o paee degli USA aveva il proprio tempo locale. Oggi i viitatori potano l orologio oltanto quando il tempo atronomico locale cambia di 1 h. Per quanti gradi di longitudine, in media, i dovrà viaggiare prima di dover nuovamente potare di 1 h le lancette dell orologio? Soluzione: Una rotazione completa della terra i compie in 4h. La longitudine è l angolo tra il punto in cui il meridiano di Greenwich e quello in cui il cerchio maimo paante per la località incontrano l equatore in direzione et o ovet. Quindi, eendo l angolo otteo dall equatore uguale a 360, i ha n gradi Su due pite differenti, i vincitori di due gare ulla ditanza di un miglio hanno fatto regitrare t 1 3 min 58,05 il primo e t 3 m 58,0 l altro. Qual è, epreo in piedi, il maimo errore nella miura delle pite che conenta ancora di affermare che il corridore che ha realizzato il tempo minore è tato effettivamente più veloce? Soluzione: 1miglio 580 piedi. t t 1 0, piedi 3.3 piedi. t t , Si avrà pertanto Maa Una molecola di acqua (H O) contiene due atomi di idrogeno e uno di oigeno. Un atomo di idrogeno ha maa 1.0u, uno di oigeno 16u, all incirca. (a) Qual è la maa in kilogrammi di una molecola di acqua? (b) Quante molecole di acqua i trovano negli oceani di tutto il mondo, che hanno una maa totale timata di kg? Cao (a): Sappiamo che 1u 1, Kg; inoltre la maa dell acqua è 18u, per cui m H O 18u 1, Kg u Kg 4

5 Cao (b): Sapendo la maa totale dell acqua e quella di una molecola è poibile trovare il numero di molecole n mol 1, Kg 4,68, Kg Una perona a dieta può perdere fino a.3 kg alla ettimana. Eprimere la perdita di maa in milligrammi al econdo. Soluzione: Sapendo che 1kg 10 6 mg e che 1ettimana , i ha mg mg (a) Ammettendo che la denità (maa/volume) dell acqua ia eattamente di 1g/cm 3, eprimere la denità dell acqua in kilogrammi al metro cubo. (b) Supponiamo che occorrano 10 h per vuotare un recipiente di 5700m 3 di acqua. Qual è la «portata maica», in kilogrammi di acqua caricata al econdo? Cao (a): La denità è una grandezza che decrive la ditribuzione media della maa nel volume di un corpo. Poiché 1kg 1000g e 1m cm 3, i ha d H O 106 g 103 kg 1000kg/m 3 1m 3 1m 3 Cao (b): Per riolvere queto queito erve ricordare che un volume di 1litro H O ha una maa di 1kg e che 1m 3 H O 1000litri. Pertanto la maa di 5700m 3 è di 5, Kg e la portata arà: kg kg/ La denità del ferro è 7.87g/cm 3, e la maa di un atomo di ferro è kg. Se gli atomi ono ferici e ben impaccati (a) qual è il volume di un atomo di ferro?, e (b) qual è la ditanza fra i centri di atomi adiacenti? m 3 ; il volume di 4π, otituendo i valori delle grandezze i ha r π Cao (a): La denità è il rapporto tra la maa e il volume; i ha V M d kg 7870kg/m 3 una fera è V 4πr3 3, da cui i ricava che r 3 3V m; i ricava che la ditanza minima tra i due centri è uguale al diametro dell atomo pari a d c1 c m. 5