Lezione 2. Campionamento e Aliasing. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 1

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1 Lezione 2. Campionamento e Aliaing F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 1

2 Schema della lezione 1. Introduzione 2. Il campionatore ideale 3. Traformata di un egnale campionato 4. Teorema del campionamento 5. Aliaing 6. Filtraggio anti-aliaing F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 2

3 1. Introduzione Il campionamento di un egnale miurato è alla bae della poibilità di implementare un itema di controllo in retroazione. Tale operazione è indipenabile e i vuole implementare un algoritmo di controllo u un proceore o un microcontrollore, che opera u valori numerici binari. E noto che l operazione di campionamento comporta in generale una perdita di informazione, dovuta alla traformazione del egnale miurato (a tempo continuo) in un inieme di valori numerici binari decritti con un numero finito di bit. L analii della relazione tra il egnale a tempo continuo e la ua controparte ottenuta per campionamento arà effettuata nel dominio delle frequenze. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 3

4 2. Il campionatore ideale e(t) A/D e*(k) e(t) e*(k) e*(2) e*(4) e*(3) e*(5) e*(k)=e(kt) e*(0) e*(1) e*(6) e*(7) e*(8) 0 T1 2T 3T 4T 5T 6T6 7T 8T8 t k e*(k) è un numero reale per ogni k T è il periodo (o tempo) di campionamento F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 4

5 ota E evidente che l operazione di campionamento comporta una perdita di informazione, poichè i pretende di concentrare l informazione contenuta in una porzione di una funzione reale di variabile reale in un numero finito di numeri reali. Si parla di campionatore ideale, perchè i uppone che i campioni iano numeri reali. In realtà, ono numeri rappreentati in codice binario con un numero finito di bit. Ciò comporta una ulteriore perdita di informazione rappreentata dal coiddetto errore (o rumore) di quantizzazione. 1 Frequenza di campionamento f = T 2π Pulazione di campionamento ω = 2πf = T F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 5

6 3. Traformata di un egnale campionato Si conideri un egnale a tempo continuo f t. Per campionamento ideale con periodo T i ottiene il corripondente egnale campionato f * k = f kt Per comprendere che relazione c è tra queti due egnali è bene analizzare la relazione tra le loro traformate di Fourier: ( jω) ( ) F ( jθ t F * e ) ( ) ( ) = F[ f ( )] = F * [ f * ( k) ] Cfr. Richiami di analii armonica F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 6

7 Teorema F* Si conideri un egnale a tempo continuo f tempo di campionamento T. Sia Sia f ( t) f * ( k) Allora riulta e lo i campioni con una funzione continua negli itanti di campionamento. il egnale a tempo dicreto ottenuto per campionamento. F * ( ωt e ) = F ( jω) j 1 T ( t) dove F ( jω) = F( j( ω + hω )) h= con ω = 2π T ota F( jω) è la traformata di Fourier di f ( t) jθ F * e è la traformata di Fourier di f * ( k) ( ) F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 7

8 Dimotrazione Per definizione di traformata di Fourier i ha Quindi, iccome ( k) f ( kt ) * f = F * ( jωt e ) = f ( kt ) k = i ha e jkωt F * approfondimento ( jωt ) * e = f ( k) k = e jkωt Ricordando che ( x ) 0 g( x) imp( x x ) = dx g 0 jkωt i può crivere: ( ) jωt f kt e f ( t) e imp( t kt ) Quindi: F * = dt ( jωt ) jωt e = f ( t) e imp( t kt ) k = jωt = f k = F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 8 dt ( t) e imp( t kt ) dt =

9 k = k = La funzione ( t) = ( t kt ) nota la erie di Fourier: Si ha quindi: F * c imp è il treno di impuli, di cui è c 1 ( ) t = T = h e jhω t ( jωt ) jωt jhω t j( ω hω ) e = f ( t) e e dt = f ( t) e 1 T h= 1 T h= j( ω hω ) t Si oervi che f ( t) e dt è la traformata di Fourier di f ( t) valutata in ( ) ω hω, ovvero F j( ω hω ) approfondimento t dt F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 9

10 Si ha quindi infine: * 1 1 F ( ) ( jωt ) j( ω hω ) t e = f ( t) e dt = F j( ω hω ) T h= 1 = F T = h 1 T T h= ( j( ω + hω )) F ( jω) approfondimento = ota F ( jω) è: immetrica periodica di periodo ω [ ] Quindi è ufficiente conocerla in 0,ω, ω dove ω = è la pulazione di yquit. 2 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 10

11 Queto teorema fornice la relazione tra le traformate di Fourier dei egnali di ingreo e di ucita di un campionatore ideale periodico. In particolare, tale legame è definito dall andamento di F ( jω) e quello di F ( jω) ull intervallo [ 0, jω ] dell ae immaginario. E poibile dare una viualizzazione grafica di tale legame che conente di comprendere in profondità il fenomeno dell aliaing. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 11

12 F ( ) ( ) Relazione tra jω e F jω. F ( ) ( ) ( ( )) Qual è il legame tra jω e F jω = F j ω + hω? h= Si facciano le eguenti due ipotei che conentono di dare una intereante interpretazione grafica del loro legame: ( ) ( ) F jω è reale (in generale è complea); F jω è a banda limitata (con banda 0, ω ). F ( jω) [ ] max ω max F. Previdi - Controlli Automatici - Lez ω

13 Il generico termine di F i ottiene da F tralandola della quantità hω con h intero relativo. F( j( ω + hω )) h = 2 h =1 h = 0 h = 1 h = 2 2ω 3ω ω ω Il valore di F i ottiene ommando i contributi di tutti gli addendi per ogni ω. F ( jω) ω ω 3ω 2ω ω 2ω 3ω ω ω ω ω 3ω 2ω F. Previdi - Controlli Automatici - Lez ω

14 Come i nota, la funzione F che i ottiene è divera dalla F nell intervallo [ ω, ω ]. Ciò è dovuto al fatto che F( jω) è non nulla per ω ω. ( ) In queto cao le armoniche non nulle di F jω per ω ω contribuicono allo pettro di F ( jω) per ω ω : è il fenomeno del frequency folding, che è all origine dell aliaing. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 14

15 F ( j( ω + hω )) h = 0 ω ω ω ω ω ( ) jω F ω ω ω ω ω F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 15

16 ( ) Per evitare che ciò accada è ufficiente che F jω ia nulla per ω ω. F( j( ω + hω )) h =1 h = 0 h = 1 ω ω ω F ( jω) h =1 h = 0 h = 1 ω ω ω ω E quindi fondamentale cegliere accuratamente il valore di ω, in modo da ripettare tale condizione. ω F. Previdi - Controlli Automatici - Lez ω ω

17 4. Teorema del campionamento Teorema ( ) Sia f t un egnale a banda limitata con pulazione maima. Utilizzando un periodo di campionamento T tale che i ha che: F ( jω) F = 0, * ( ) ( jωt jω = TF e ) ω max < ω ω max jωt Pertanto, la conocenza di F e nell intervallo 0,ω conente di determinare univocamente F ( jω), cioè il egnale f ( t) può eere ricotruito eattamente a partire dai uoi campioni f * k = f kt ( ), 0 ω ω ω > ω * ( ) [ ] ( ) F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 17

18 Formula di Shannon Come è poibile calcolare t nota che ia f * k? Dal momento che F ( jω) TF = 0 * f ( ) ( ) ( jωt e ) per è poibile calcolare l antitraformata: ω altrove ω ω f ( t) 1 2π 1 2π +ω jωt jωt ( jω) e dω = F( jω) e dω = = F T 2π +ω ω 1 2ω +ω ( jωt ) jωt jωkt jωt e e dω = f * k e e dω = = * F = ω ω k = ( ) +ω 1 jωkt jωt f * ( k) e e dω = f * ( k) k = 2ω ω k = 2 1 ω +ω ω e jω ( t kt ) dω F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 18

19 Calcolando l ultimo integrale i ottiene la nota formula di Shannon f ( t) + = ( ) in ω ( ω t kπ) f * k k = t k π f ( ) ( ) Si noti che t dipende da tutta f * k (la formula non è cauale e quindi non può eere uata in linea ). Il problema della converione D/A è un altra faccenda... F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 19

20 5. Aliaing Se non foero valide le ipotei del teorema del campionamento, il problema dell eatta ricotruzione di un egnale a tempo continuo a partire dalla conocenza dei uoi campioni arebbe un problema mal poto, in quanto eiterebbero infinite ricotruzioni ammiibili per il egnale a tempo continuo. Quando i verificano tali condizioni i ha il fenomeno dell aliaing. Per evitare queto fenomeno è ufficiente che il egnale da campionare oddifi le ipotei del teorema del campionamento. Altrimenti, per effetto del frequency folding, i troverebbero componenti armoniche in baa frequenza dovute ad aliaing di componenti armoniche a frequenza uperiore alla frequenza di yquit. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 20

21 Il campionamento introduce nel egnale campionato nuove frequenze dovute ad interferenza tra la pulazione del egnale e la pulazione di campionamento. ω ampled = nω ± ω n intero Pulazione di campionamento Pulazione del egnale.b. Per i itemi a egnali campionati non vale più il teorema della ripota in frequenza!! F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 21

22 Eempio Si conideri il egnale f ( t) = in( 2π 0. 2 t) Lo i campioni con periodo di campionamento T =1 f =1Hz f = 0.5 Hz > 0.2 Hz 2 x ω ampled = nω ± ω = Spettro di potenza = 0 ω ± ω = ±ω frequenza [Hz] F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 22

23 Campionando con periodo di campionamento f = 0.15 Hz < 0.2 Hz T = 10 3 f = 0.3 Hz 14 x Aliaed di f=0.2 Hz a 0.1 Hz Spettro di potenza ω ampled = nω ± ω = = 1 ω ± ω = ω ± ω 4 2 f f = = 0.1 Hz frequenza [Hz] F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 23

24 ota Si oervi però che il teorema del campionamento pone una condizione olo ufficiente. Per e. un egnale cotante a tratti è perfettamente ricotruibile a partire dai uoi campioni ma O è a banda limitata. on olo: è poibile dimotrare che l unica funzione Fourier-traformabile a banda limitata è la funzione nulla. (!) Il concetto di banda limitata è quindi un idealizzazione di ituazioni molto frequenti in cui lo pettro di un egnale poa riteneri tracurabile oltre un certo limite. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 24

25 6. Filtraggio anti-aliaing Se il egnale di ingreo preenta non tracurabili componenti in alta frequenza, ovvero a pulazioni ω > ω, ma la parte dell informazione ad eo aociata è eenzialmente legata alle componenti in baa frequenza ω < ω, i può alvaguardare l informazione utile aociata all ingreo anteponendo un filtro analogico paabao con pulazioni di taglio pari a. ω.b. Biognerà tenere conto della dinamica del filtro antialiaing nel progetto del controllore! F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 25

26 elle applicazioni di controllo peo ono utilizzati filtri di Beel che hanno faamento lineare in banda. I parametri di celta fondamentali ono: Attenuazione alla pulazione di yquit Pulazione di taglio del filtro L ordine del filtro ω AA Un filtro di Beel può eere approimato mediante un ritardo T d (fino a poco oltre la ua frequenza di taglio). Magnitude (db) Phae (deg) G( jω ) = β Bode Diagram ω AA ritardo Frequency (rad/ec) Beel 4 th F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 26

27 Eempio La dinamica del veicolo (nella banda 0-30 Hz circa) viene tudiata baandoi u miure accelerometriche. Le vibrazioni del motore introducono rumore di intenità elevata e devono eere filtrate. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 27

28 Armoniche vibrazione motore 4000 rpm) f =1 khz F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 28

29 Aliaing accelerometri 1 ALIAS riconocimento baa frequenza (errato) B: il deciore aume un valore di -5 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 29

30 Aliaing accelerometri 2 Oltre un certo numero di giri, la frequenza delle armoniche del motore upera la frequenza di yquit (500 Hz) e il diturbo viene riportato in baa frequenza (otto i 30Hz), ovrappoto alle dinamiche di interee. I diturbi ono funzione del regime di rotazione del motore ALIAS F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 30

31 Filtraggio anti-aliaing accelerometri Per riolvere i problemi di alia i è provveduto ad intallare un filtro attivo analogico del II ordine, realizzato con una ingola cella di Sallen-Key. f p = 160 Hz Q = ½ (poli reali) Gain = 1 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 31

32 Accelerometri enza aliaing I diturbi ul deciore ono tati ridotti di un fattore 20. I diturbi ono indipendenti dal regime di rotazione. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 32

33 Ritardo dovuto al filtraggio anti-aliaing Il filtro progettato introduce, ovviamente, uno faamento ui egnali di accelerazione. Tale ritardo è tato quantificato a fronte di un evento impulivo (paaggio u rallentatore tradale). ritardo: 3m F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 2 33