Controllore Processo. Le principali componenti del sistema sono: il rivelatore di errore, il controllore che ha il compito di trasformare il segnale

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1 CONTROLLORI DI TIO ID rincipi di funzionamento Il termine controllo definice l azione volta per portare e mantenere ad un valore prefiato un parametro fiico di un impianto o di un proceo (ad eempio, la temperatura di un forno, il livello di un fluido in un erbatoio, la poizione del braccio di un robot, la velocità di rotazione di un motore, ecc.). Indicando con r(t) il valore che i vuole far aumere alla variabile controllata e con y(t) il valore effettivamente aunto da tale grandezza, poiamo introdurre una funzione d errore definita come: e(t) r(t) y(t). Lo copo dell azione di controllo è quello di applicare la migliore celta poibile della funzione u(t) (detta variabile di controllo) che i) renda il itema aintoticamente tabile, ii) minimizzi il valor medio di e (t) oppure di e(t) e iii), riduca al livello minore poibile il tempo di ripota e le fluttuazioni intorno al valore aintotico in concomitanza di tranitori di r(t). aando alla traformata di Laplace, poiamo chematizzare il problema nel eguente modo: Controllore roceo R () E () U () Y () Σ G C () () G S Fig. : chema a blocchi emplificato di un itema contenete il controllo attivo di un proceo. er emplicità, non ono motrate le orgenti di rumore interne e le perturbazioni eterne che i ommano ai egnali indicati in figura. Le principali componenti del itema ono: il rivelatore di errore E R Y, il controllore che ha il compito di traformare il egnale d errore in un egnale U () che agice ul proceo ottopoto a controllo, un enore poto all interno del proceo che miura la grandezza fiica da controllare fornendo il egnale Y (). Supponiamo che ia il controllore ia il proceo poano eere chematizzati come itemi lineari e tazionari ppunti per l inegnamento di Laboratorio di Elettronica, coro di laurea pecialitica in Fiica, Univerità di Trento. Lo copo di quete note non è quello di affrontare con itematicità il vato argomento legato alla teoria del controllo. Qui ci limiteremo ad affrontare il tema legato ai coiddetti controllori ID (proporzionale, integrale, differenziale) che trovano vato impiego in laboratorio per la tabilizzazione di vari parametri fiici. Ultima reviione: 8 gennaio 3 pag. di

2 caratterizzati da una funzione di traferimento che varrà, ripettivamente, G C () e G (). Va detto che lo chema motrato in Fig. è emplificato perché non motra le orgenti di rumore interne al itema e le altre perturbazioni eterne che i ommano ai vari egnali. Una caratteritica eenziale di un buon controllore è quella di poedere una elevata robutezza ripetto alle fluttuazioni del itema, mantenendo la grandezza controllata al valore deiderato anche in preenza di eventuali piccole variazioni della funzione di traferimento che caratterizza il proceo. Utilizzando la ben nota relazione dei itemi reazionati, criviamo la funzione di traferimento del itema ad anello chiuo: Y T R( ) GC( ) G( ) + G G C Il problema generale del controllo i riduce quindi a determinare, per una certa funzione di traferimento del proceo (), la migliore funzione di traferimento del controllore G C () che ottimizza la T (). Uno chema ampiamente utilizzato è quello ID, acronimo che indica l utilizzo combinato di tre funzioni di controllo di tipo roporzionale, Integrale e Differenziale. Lo chema generale di un controllore di tipo ID è il eguente: G E () U () TI Σ TD Fig. : chema a blocchi di un controllore di tipo ID (vedere il teto per i dettagli) In pratica l ucita di un controllore ID è cotituita dalla omma di tre termini: U + + TD E( ) T I dove, TI e TD ono tre cotanti poitive. Ultima reviione: 8 gennaio 3 pag. di

3 Il primo termine,, è detto coefficiente proporzionale. onendo TD e TI l equazione precedente i riduce a: U E( ) e, in tal cao, i parla di controllore proporzionale o di tipo. Il contributo dovuto a è appunto proporzionale all errore e diminuice man mano che l errore i avvicina a zero. titolo d eempio, conideriamo il comportamento di un proceo caratterizzato da una funzione di traferimento contenente un polo ingolo (con cotante tempo τ) quando ia getito tramite un controllore di tipo proporzionale. Sia: Ricaviamo: G C G + τ T + τ + + τ τ + + τ Conideriamo il comportamento del itema quando, al tempo t, viene applicata in entrata una funzione gradino di ampiezza unitaria: il egnale d ucita vale: R e la funzione d errore vale: Y τ + + τ E R Y R E G G E C + τ + τ + Utilizzando il teorema dei reidui i ricava: y + ( t) exp t + τ Oerviamo che al crecere di il guadagno in continua del itema i avvicina all unità e la cotante tempo viene ridotta. In altre parole, aumentando, il valore aintotico dell ucita arà empre più vicino al valore richieto ( per il notro egnale d entrata corripondente ad un / eprime, in %, la coiddetta banda proporzionale. Ultima reviione: 8 gennaio 3 pag. 3 di

4 gradino di ampiezza unitaria) e i oerva una contemporanea riduzione del tempo neceario per arrivare a tale livello aintotico. Notiamo tuttavia che l ucita non arriverà mai eattamente al valore richieto, a meno di non far tendere all infinito. Il valore aintotico dell errore viene detto offet. L offet può eere calcolato facilmente utilizzando il teorema del valore finale della traformata di Laplace: lim t x( t) lim X. pplicando tale teorema alla epreione della funzione d errore i ottiene: lim t e( t) lim E + da cui verifichiamo che l offet i riduce a zero olo quando il coefficiente proporzionale tende ad infinito. Conideriamo ora un altro eempio. Supponiamo che il proceo ia caratterizzato da una funzione di traferimento del econdo ordine: G ω + ζ ω + ω dove ω e ζ ono due cotanti poitive. Con un procedimento analogo a quello viluppato per il polo del primo ordine i ricava: Y T R( ) + ζ ω ω + ω ( + ) Quando i applica un gradino R / in entrata, i ottiene la eguente epreione per la traformata di Laplace dell errore: E + ζ ω + ω + ζ ω + ω ( + ) da cui i ricava l errore aintotico: lim t e( t) + nalogamente a quanto vito per un proceo con un polo del primo ordine, anche in queto cao i oerva la preenza di un offet che diminuice all aumentare di. Tuttavia, analizzando l epreione della funzione di traferimento del itema ad anello chiuo, notiamo che la / frequenza caratteritica di ocillazione vale ω ω ( + ed il fattore f ) di morzamento è pari a ζ ω/ωf. Queto ignifica che, all aumentare di, il tranitorio che egue rapide variazioni di r(t) è caratterizzato da ocillazioni di frequenza empre più elevata e meno morzate. Queta ituazione è illutrata in Fig.. Ultima reviione: 8 gennaio 3 pag. 4 di

5 Riaumendo, utilizzando un controllore ecluivamente proporzionale () i produce una differenza (offet) tra il valore richieto e quello effettivamente ottenuto. Tale differenza può eere ridotta aumentando il guadagno del controllore. Tuttavia, e il proceo da controllare poiede coppie di poli c.c., l aumento del coefficiente proporzionale è accompagnato da un corripondente aumento delle ocillazioni generate a eguito di rapidi tranitori..5. y(t) Tempo () Fig. 3: Ripota ad un gradino di ampiezza unitaria, applicato al tempo t, ad un proceo caratterizzato da una coppia di poli c.c. (, ω Hz, ζ ) getito tramite un controllore di tipo proporzionale (). Il calcolo è effettuato per diveri valori di. Si noti che per i riduce l effetto dell offet, ma la ripota al tranitorio è caratterizzata da forti ocillazioni. er porre rimedio a queto problema è neceario aggiungere al termine proporzionale un termine aggiuntivo che elimini a priori la preenza dell offet. In un controllore ID tale funzione è volta dal termine inveramente proporzionale a TI, detto anche contributo integrale. 3 È evidente che in preenza di un offet cotante il contributo integrale è detinato a crecere indefinitamente nel tempo e queto ci permette di attivare una efficace azione correttiva. La cotante TI è detta tempo di reet. L effetto dell integrazione è tanto più importante, quanto più TI è piccolo. Conideriamo ora un eempio: il controllo di un proceo caratterizzato da un polo ingolo per mezzo di un controllore D, ovvero una combinazione di due termini, uno proporzionale ed uno integrale. 3 Ricordiamo che la traformata di Laplace dell integrale di una funzione i ottiene, fatta una opportuna celta delle condizioni iniziali, dividendo per la traformata della funzione. Ultima reviione: 8 gennaio 3 pag. 5 di

6 Supponiamo di inviare in entrata un gradino di ampiezza unitaria. otremo crivere: GC + G R TI + τ da cui i ricava: T + TI ( + τ) ( + T ) I E T I TI ( + τ) ( + τ + ) + L errore aintotico vale: lim e( t) lim E( ) t Notiamo che facendo tendere TI all infinito, ovvero eliminando il termine integrale, le epreioni precedenti i riducono a quelle trovate precedentemente per l analogo eempio viluppato coniderando un controllore ecluivamente proporzionale. L effetto della celta di TI è motrato in Fig. 4. Si nota che l offet preente quando i opera olo con il controllore proporzionale (TI ) parice attivando il termine integrale. Riducendo TI il itema riponde più velocemente al tranitorio, ma i oervano anche delle forti ocillazioni..5 T I. T I Y(t)..5 T I. T I (olo proporzionale, ) Tempo () Fig. 4: ripota ad un gradino di ampiezza unitaria (linea tratteggiata) di un proceo caratterizzato da un polo ingolo (con cotante tempo τ e guadagno in continua ), getito tramite un controllore I, calcolata per quattro diveri valori del tempo di reet TI. Il valore di è poto empre uguale ad. Ultima reviione: 8 gennaio 3 pag. 6 di

7 aiamo ora al terzo termine di un controllore ID, quello derivativo. 4 Il contributo derivativo al controllo tiene conto delle rapide variazioni dell errore e cerca, in qualche modo, di anticipare la futura azione correttiva tenendo conto delle variazioni dell errore nei tempi più recenti. In pratica queto i concretizza in una riduzione delle ocillazioni. er capire meglio l effetto indotto dal contributo derivativo tudiamo il comportamento di un controllore D, ovvero un controllore in cui iano preenti ia il contributo proporzionale che quello derivativo. C ( T ) G + dove TD è detta cotante tempo di derivazione. Supponiamo che il proceo da controllare poegga due poli c.c. e criviamo: D G ω + ζ ω + ω Conideriamo, come già vito negli eempi precedenti, il cao in cui i applichi in entrata una funzione gradino di ampiezza unitaria. L ucita del itema diventa: Y + ( + T ) D ( ζ ω + ω T ) + ω ( + ) ω D Si nota che la preenza del termine derivativo introduce uno zero ed aumenta il coefficiente di nel polinomio di II grado poto al denominatore. mbedue queti effetti producono una riduzione delle ocillazioni che i verificano in occaione dei tranitori contribuendo a tabilizzare il itema. L offet è lo teo che i ha con il olo controllo proporzionale, ma come abbiamo vito precedentemente, queto effetto può eere eliminato utilizzando un opportuno contributo integrale. Un eempio di andamento tipico è motrato in Fig. 5. Riaumendo, il contributo derivativo permette di ridurre le ocillazioni purie del itema, evitando che queto ocilli intorno al valore aintotico. D altro canto, in preenza di un forte rumore eterno, il contributo derivativo tende ad amplificare l effetto del rumore producendo una intabilità addizionale del itema. In concluione, il problema del progetto di un controllore ID i riduce alla celta dei valori più opportuni per i parametri, TI e TD. Tale celta non è banale perché richiede la conocenza dettagliata delle proprietà del proceo che i vuole controllare. Eitono vari metodi per effettuare la celta (tuning) dei coefficienti più opportuni. Nei proimi paragrafi vedremo brevemente due metodi emi-empirici che trovano grande utilizzo pratico. 4 Ricordiamo che la traformata di Laplace della derivata di una funzione i ottiene, data una opportune celta delle condizioni iniziali, moltiplicando per la traformata di Laplace della funzione. Ultima reviione: 8 gennaio 3 pag. 7 di

8 .5 T D. Y(t).5 T D Tempo () Fig. 5: ripota ad un gradino di ampiezza unitaria di un proceo contenente due poli c.c. (tei parametri uati in Fig. 3, ), controllato tramite il metodo D. Quando la cotante tempo di derivazione è nulla la ripota è ovviamente la tea di Fig. 3 (controllo proporzionale). Vicevera, l aggiunta del termine derivativo elimina le ocillazioni, pur non avendo alcun effetto ull offet che è lo teo del cao proporzionale. Metodo di Cohen e Coon Queto metodo 5 è baato ull idea di decrivere il proceo da ottoporre a controllo con un modello del tipo: G ( τ) exp + T Eenzialmente il modello comprende un guadagno in continua pari ad, un ritardo τ ed una cotante tempo T. Queti parametri poono eere timati perimentalmente applicando in entrata al proceo (conneo dalla catena di controllo) un egnale a gradino di ampiezza unitaria e miurando la ripota temporale del proceo. I parametri che caratterizzano la funzione di traferimento del proceo vengono determinati da un fit dei dati perimentali ottenuto approimando il tranitorio miurato in ucita dal proceo con la retta tangente nel punto di fleo. La procedura è illutrata in Fig. 6. Una volta noti, τ e T è poibile calcolare i valori che ottimizzano la rea del controllore, trovando il miglior compromeo tra 5 er un approfondimento di queto metodo nelle applicazioni legate al controllo di temperatura i veda, ad eempio, Ultima reviione: 8 gennaio 3 pag. 8 di

9 tabilità e velocità di ripota. Le relazioni che fornicono i valori dei parametri del controllore in funzione dei dati ottenuti perimentalmente ono riportate in Tabella..5. y(t).5 T. τ 3 Tempo () Fig. 6: metodo per la determinazione perimentale dei parametri che decrivono un proceo econdo il modello adottato nell ambito del metodo di Cohen e Coon. l proceo, operando ad anello aperto, viene mandato in entrata un egnale a gradino di ampiezza unitaria. I dati perimentali (curva roa continua) ono approimati nella zona del fleo con la linea tangente (curva nera tratteggiata). L intercetta di tale curva con l ae di tempi fornice la tima del ritardo τ, mentre la cotante tempo T viene fornita dal tempo di alita della curva. Il guadagno in continua è uguale al valore aintotico (ricordiamo che il egnale di ingreo ha ampiezza unitaria). /TI TD I D ID + R/3.9 + R /.5 + R / R /4 R R R R 3 + 3R τ 9 + R τ 6 R + 3R τ τ 3 + 6R 3 + 8R 4 + R Tabella : celta dei parametri di un controllore a econda del tipo di configurazione adottata e dei parametri perimentali che caratterizzano il itema da controllare (vedi Fig. 6). La quantità R è uguale a τ/ T. Il metodo appena decritto funziona olo per itemi tabili ad anello aperto, i quali iano ragionevolmente decritti dal modello emplificato Ultima reviione: 8 gennaio 3 pag. 9 di

10 preentato in Fig. 6. er itemi più complicati, inclui quelli che non ono tabili ad anello aperto, i deve ricorrere ad altri metodi. Un metodo alternativo utilizzato frequentemente è quello di Ziegler e Nicholl. Metodo di Ziegler e Nicholl L idea che ta alla bae di queto metodo può eere piegata qualitativamente ricordando i riultati preentati nel capitolo dedicato alla tabilità dei itemi reazionati. In molti eempi abbiamo vito che il itema reazionato è tabile ad anello chiuo olo e il guadagno in continua ad anello aperto è mantenuto ad un livello ufficientemente piccolo. umentando il guadagno in continua il itema diventa intabile. Ricordiamo che tra la zona di tabilità (poli della funzione di traferimento ad anello chiuo con componente reale negativa) e la zona di intabilità (poli con componente reale poitiva) eite un limite (poli con componente reale nulla) in cui il itema non diverge, ma ocilla con ampiezza di ocillazione cotante. Quindi, e aumentando il guadagno in continua i arriva ad una ituazione di ocillazione tabile, poiamo aumere che un valore di guadagno in continua nettamente inferiore a tale limite poa corripondere ad una condizione di lavoro ragionevole. La procedura da eguire per l ottimizzazione del controllore è la eguente:. nnullare, o quantomeno ridurre al minimo livello poibile, le azioni di integrazione e derivata facendo lavorare il controllore in modo puramente proporzionale.. Operando ad anello chiuo, aumentare progreivamente (e prudentemente) il valore di fino a che i oerva che l ucita y(t) ocilla in modo permanente (limite di tabilità). Indichiamo con il valore limite di. Indichiamo con T il periodo di ocillazione miurato quando. Se il itema non entra mai in ocillazione, il metodo non è applicabile. 3. econda della configurazione del controllore, applicare i parametri riportati in Tabella. I ID TI.5 T.5 T TD.5 T Tabella : celta dei parametri a econda della configurazione del controllore econdo il metodo di Ziegler e Nichol. er concludere, ricordiamo alcuni limiti pratici dei metodi di tuning dei controllori appena decritti. Noi abbiamo empre aunto che i procei da controllare iano lineari e tazionari. urtroppo tali approimazioni non ono empre valide. In particolare, uno degli errori più comuni è quello di ottimizzare i parametri del controllore quando il proceo da controllare i Ultima reviione: 8 gennaio 3 pag. di

11 trova in condizioni molto divere da quelle operative 6. In tal cao eventuali non-linearità poono giocare un ruolo importante e l ottimizzazione iniziale può perdere di ignificato, pecialmente nel cao in cui ia tato adottato il metodo di Cohen e Coon. In altri cai le ocillazioni che devono eere innecate per tarare il controllore econdo il metodo di Ziegler e Nichol poono provocare danni al proceo teo. Quindi, nella pratica, biogna operare con prudenza ricordando che i metodi emi-empirici appena decritti fornicono una ottimizzazione olo parziale del controllore. Il riultato finale dipende trettamente dal comportamento dinamico del proceo otto controllo. er applicazioni critiche, i può ricorrere ad una ottimizzazione perimentale dei parametri, utilizzando come punto di partenza quelli ottenuti con metodi emi-empirici oppure è neceario ricorrere a metodi di progetto più ofiticati. 6 Si peni, ad eempio, al controllo della temperatura di un forno ottimizzato con il metodo di Cohen e Coon quando il forno i trova ad una temperatura proima all ambiente. Se la temperatura operativa del forno viene regolata a qualche centinaio di gradi, difficilmente i potrà aumere che l ipotei di linearità ia pienamente oddifatta. Il tuning del controllore fatto a temperatura proima all ambiente potrebbe eere inadeguato. Ultima reviione: 8 gennaio 3 pag. di