SEGNALI E SISTEMI 31 agosto 2017

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1 SEGNALI E SISTEMI 31 agoto 2017 Eercizio 1. [ punti] Si conideri il modello ingreo/ucita LTI e cauale decritto dalla eguente equazione differenziale: dove a è un parametro reale. d 2 v(t) 2 +(1 a) dv(t) av(t) = du(t), i) Si tudi la tabilità aintotica e la tabilità BIBO del itema, al variare di a R; ii) i determini, al variare di a R, l epreione dell evoluzione libera del itema a partire dalle generiche condizioni iniziali; iii) i determini, al variare di a R, la ripota impuliva del itema; iv) i determini, al variare di a R, la ripota forzata del itema al egnale in ingreo u(t) = e t δ 1 (t). Eercizio 2. [5+2 punti] Si conideri il egnale periodico di periodo T che in ( T/2,T/2) vale { 4 u(t) = T t, 0 t < T 4, T 1, 4 t T 2. Determinare i coefficienti dello viluppo in erie eponenziale di Fourier del egnale u(t); l ucita del filtro con ripota in frequenza H(f) = Π 0 < W < 1/T, al egnale di ingreo u(t). ( ) f, 2W 1

2 SEGNALI E SISTEMI 31 agoto 2017 Teoria 1. [2+3 punti] Per un itema decritto da una equazione differenziale lineare a coefficienti cotanti, inizialmente a ripoo, fornire le definizioni di aintotica tabilità e BIBO tabilità e motrare on un eempio che un itema può eere BIBO tabile enza eere aintoticamente tabile. Teoria 2. [5 punti] Enunciare e dimotrare il teorema del campionamento di tipo ample & hold motrando l utilità del ovracampionamento per la ricotruzione del egnale analogico. 2

3 SOLUZIONI Eercizio 1. i) [3 punti] L equazione caratteritica del itema è 0 = 2 +(1 a) a. L equazione caratteritica coinvolge un polinomio di grado 2 e pertanto poiamo determinare per quali valori di a ea ammette olo radici a parte reale minore di 0 ricorrendo alla regola dei egni di Carteio, ovvero valutando per quali valori di a il polinomio ha tutti i coefficienti di ugual egno. È immediato renderi conto del fatto che i coefficienti del polinomio ono tutti poitivi e e olo e a < 0. Non è poibile che iano tutti negativi dal momento che il coefficiente del termine di econdo grado è 1. Riaumendo, il itema è aintoticamente tabile e e olo e a (,0). Per quanto concerne la tabilità BIBO, certamente per tutti i valori del parametro a per cui c è tabilità aintotica c è pure tabilità BIBO. Si tratta di vedere, allora, e eitono valori del parametro a in corripondenza ai quali abbiamo tabilità BIBO enza avere la tabilità aintotica. La funzione di traferimento (f) del itema è H() = 2 +(1 a) a. Poiché l unico zero del polinomio al numeratore è collocato in 0, la ituazione or ora decritta i può verificare e e olo e per qualche valore del parametro a il polinomio al denominatore ha uno zero in 0 e l altro zero è reale negativo. Oerviamo che il polinomio al denominatore i annulla in 0 e e olo e 0 = 2 +(1 a) a =0 = a ovvero per a = 0. Per tale valore di a la f diventa H() = 2 + = Pertanto il itema è BIBO tabile per a = 0. In definitiva, il itema è BIBO tabile e e olo e a (,0]. ii) [3 punti] Le oluzioni dell equazione caratteritica ono 1 e a e ono ditinte per a 1. Quindi l epreione dell evoluzione libera è data da per a 1 e per a = 1. Per a = 1, tenendo conto del fatto che v l (t) = c 1 e t +c 2 e at, t R +, v l (t) = c 1 e t +c 2 te t, t R +, v 0 v(0 ) = v l (0) = c 1, v 0 = c 1 +c 2, t=0 dv(t) t=0 = dv l(t) è immediato verificare che c 1 = v 0 e c 2 = v 0 + v 0. 3

4 Analogamente, per a 1, avremo v 0 v(0 ) = v l (0) = c 1 +c 2, v 0 dv(t) = dv l(t) = c 1 +ac 2, t=0 t=0 da cui egue che c 2 = v 0 + v 0 1+a e c 1 = av 0 v 0 1+a. iii) [3 punti] La f del itema è data da H() = che i decompone in fratti emplici come per a = 1 e (+1)( a) H() = A +1 + B (+1) 2 H() = A +1 + B a per a 1. Di coneguenza, l epreione della ripota impuliva è data da per a = 1 e h(t) = [ Ae t +Bte t] δ 1 (t) h(t) = [ Ae t +Be at] δ 1 (t) per a 1. Inoltre, i coefficienti A e B ono immediatamente calcolabili, per a = 1, dall equazione A(+1)+B = da cui egue A = 1 e B = 1. Per quanto attiene invece al cao a 1 abbiamo e A = lim 1 (+1)H() = 1 a+1 B = lim a ( a)h() = a a+1. iv) [4 punti] La traformata di Laplace di u(t) è data da U() = 1 1. Quindi la traformata di Laplace della corripondente evoluzione forzata è data da V f () = H()U() = (+1)( a) 1 1. Lo viluppo in fratti emplici di V f () neceita di coniderare i eguenti cai a = 1: la traformata di Laplace della ripota forzata è data da V f () = (+1) 2 ( 1) = A +1 + B (+1) 2 + C 1 4

5 a cui corriponde una epreione nel dominio del tempo Inoltre, i coefficienti ono dati da A+C = 0 ovvero A = C = 1 4. v f (t) = [ Ae t +Bte t +Ce t] δ 1 (t). B = lim 1 (+1)2 V f () = 1 2, C = lim 1 ( 1)V f () = 1 4, a = 1: la traformata di Laplace della ripota forzata è data da V f () = (+1)( 1) 2 = A +1 + B 1 + C ( 1) 2 a cui corriponde una epreione nel dominio del tempo Inoltre, i coefficienti ono dati da A+B = 0 ovvero B = A = 1 4. v f (t) = [ Ae t +Be t +Cte t] δ 1 (t). C = lim 1 ( 1) 2 V f () = 1 2, A = lim 1 (+1)V f() = 1 4, a ±1: la traformata di Laplace della ripota forzata è data da V f () = (+1)( a)( 1) = A +1 + B a + C 1 a cui corriponde una epreione nel dominio del tempo Inoltre, i coefficienti ono dati da e v f (t) = [ Ae t +Be at +Ce t] δ 1 (t). A = lim (+1)V 1 f() = 1 2(a+1), a B = lim( a)v f () = a (a+1)(a 1) 1 C = lim( 1)V f () = 1 2(1 a). Eercizio 2. i) [5 punti] Un generatore per il egnale in quetione può eere critto come ( ) ( ) t t u g (t) = Π Λ T T/4 a cui corriponde la traformata di Fourier U g (f) = Tinc(fT) T 4 inc2 ( f T 4 ). 5

6 Quindi i coefficienti dello viluppo in erie eponenziale di Fourier del egnale periodico aegnato ono dati da u k = inc(k) 1 ( ) k 4 inc2, k Z 4 ovvero u k = δ(k) 1 4 inc2 ( k 4 ), k Z. In particolare, u 0 = 3/4. ii) [2 punti] L ucita del filtro paabao ideale con frequenza di taglio W, 0 < W < 1/T, all ingreo aegnato è data da v(t) = 3 4, t R. Teoria 1. [2+3punti] Si veda il libro di teto, capitolo2, paragrafo2.2.4, per le definizioni. Un eempio di itema BIBO tabile, ma non aintoticamente tabile, è il eguente d 2 v(t) 2 v(t) = du(t) u(t). Infatti, le oluzioni della equazione caratteritica ono ±1; tuttavia, la f del itema è ed il itema è, quindi, BIBO tabile. 2 1 = 0 H() = = 1 +1 Teoria 2. [5 punti] Si veda il libro di teto, capitolo 5, paragrafo