Appunti ed esercitazioni di Microonde 2

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1 Appunti ed eercitazioni di Microonde Studio di una linea priva di perdite in regime impulivo di impedenza caratteritica =5Ω, chiua u di un carico R erie avente R==5Ω, =mh, =nf. Si aume come velocità di fae in linea quella del vuoto e il generatore di impuli adattato alla linea, cioè con impedenza interna pari alla impedenza caratteritica della linea, e l impulo prodotto ha durata T*=n mentre la prima rifleione i rileva dopo un tempo T=µ. R GI a) Studio qualitativo Per valutare gli andamenti della tenione ul carico e ul generatore biogna come prima coa oervare che all itante iniziale l induttore è carico e quindi rappreenta un circuito aperto ed eendo poto in erie ad altri bipoli, il bipolo riultante i comporta come un aperto preentando un coefficiente di rifleione pari a. onda incidente e quella riflea ono quindi uguali (empre all itante iniziale). Inoltre, dato che il generatore di impuli è adattato alla linea, non darà luogo a neuna rifleione e la tenione incidente arà pari a /. ita la preenza di elementi reattivi di divera natura è preumibile un comportamento di tipo ocillatorio di una qualche grandezza elettrica. Gli andamenti qualitativi ono tati tracciati in due divere ituazioni: una in regime di ocillazioni morzate e una in regime di forte morzamento. Nel primo cao i contributi dei due elementi reattivi i ono uppoti confrontabili, mentre nel econdo cao la componente induttiva è fortemente dominante ripetto a quella capacitiva. b) Studio analitico equazione che decrive la tenione ai capi del bipolo R erie è: ( ) i t, v( t,) = Ri( t,) + i( t,) + Derivando tale epreione i ottiene: ( t,) i( t,) v = R + i ( t,) i + ( t,) () () a tenione v(t,) ul carico puòeere critta come omma dell onda di tenione incidente e di un onda di tenione riflea dal bipolo. Tenendo preente la condizione di adattamento del generatore alla linea i puòcrivere: v ( t,) + ( t,) i( t,) ( t,) = = = ( t,) (3)

2 + R ( t,) = ( t,) + ( t,) + ( t,) () Data la particolare forma dell impulo prodotto dal generatore è verificata la relazione eguente: + ( t,) = ( t,) dψ = (5) equazione del bipolo diventa allora, dopo aver eeguito le otituzioni e alcuni paaggi algebrici: d ψ R dψ ψ t ( ) = (6) Tale epreione rappreenta una equazione differenziale lineare a coefficienti cotanti di econdo ordine omogenea la cui oluzione generale è del tipo: ψ t t ( t ) = A e + A e (7) equazione caratteritica e le ue oluzioni ono le eguenti: R R + = + R + = = (9) () (8) A queto punto è neceario ditinguere 3 cai alienti, dicriminati dal egno dell epreione argomento della radice quadrata. Infatti abbiamo: a) b) c) > = < forte morzamento morzamento critico ocillazioni morzate ω = Queto ignifica che a econda dei valori aunti dalle componenti R avremo un impulo ul carico che aumerà forme d onda divere in ragione al cao in cui ci troveremo. Nella fattipecie, con i valori numerici celti iamo nel cao di ocillazioni morzate.

3 Per poter determinare le epreioni delle cotanti A e A biogna imporre le condizioni iniziali che devono eere due, in quanto le cotanti da determinare ono in numeri di due. Tali condizioni iniziali poono eere impotate tenendo preente che all itante iniziale t= l induttore i comporta come un circuito aperto ed eendo poto in erie ad altri bipoli caratterizza il bipolo erie compleivo come un circuito aperto, preentando un coefficiente di rifleione pari a. Inoltre all itante iniziale l induttore i preume carico e quindi la corrente circolante nella erie in t= deve eere nulla. Queto i riflette nel fatto che la tenione preente ull induttore all itante t= deve eere pari a. Quindi le condizioni iniziali ono: (,) (,) + di = = () oniderando ora che la tenione + è pari a / i ricavano le relazioni tra le cotanti: = di = (,) (,) = ψ (,) d = A + A = () ( t,) = [ A + A ] = () A = A Riolvendo il itema i ottengono i valori delle cotanti cercate: A = = = A ( ) + (3) epreione finale generale della tenione ψ(t)= /- - (t,) è dunque: ( ) R + R + R+ t = +, exp exp Da quet ultima relazione i poono eplicitare la tenione riflea e la tenione globale preente ai capi del bipolo di carico: ( t,) = ψ + v( t,) = + = + ψ = ψ Per quanto riguarda la tenione preente al generatore è ufficiente adottare una otituzione della variabile temporale, ovvero porre t =t-t. Da notare che nel cao di ocillazioni morzate, quete hanno una pulazione pari alla ω, ed uno peudoperiodo pari a π/ω.

4 Particolareggiando il cao delle ocillazioni morzate i puòcrivere: R + α = ψ = α + αt = exp( αt) [ exp( α + jω ) exp( α jω )] = e en( ω t) ω jω ω = = α jω Quet ultima epreione mette in evidenza il termine ocillatorio morzato preente nella tenione ψ(t), la quale permette di tracciare l andamento analitico della tenione ul carico:( =5) ω x - c) Deduzione di alcuni parametri oervando i diagrammi temporali della tenione Diponendo dei tracciati relativi all andamento della tenione preente al generatore i poono trarre alcune indicazioni riguardo la tipologia del carico poto all altra etremità della linea. Dalla miura del tempo di arrivo della rifleione ul carico (T) e note le caratteritiche della linea è deducibile la ditanza a cui è poto il carico: T = µ = Tc = 5m Eendo la tenione riflea nell itante T di egno poitivo e pari al valore /, i puòupporre che il carico i comporti come un aperto, ovvero vi ia almeno un elemento induttivo in erie ad altri bipoli. a compara di ocillazioni comporta la preenza di elementi ia capacitivi che induttivi e che vi iano degli cambi di energia elettromagnetica tra i bipoli cotituenti il carico. Non è in ogni cao poibile dedurre le conneioni e il numero di elementi cotituenti il carico.

5 Regime ocillatorio Smorzato (t,) arico Prima rifleione / T T+T* - / Seconda rifleione (t,-) Generatore / / T* T - / Regime fortemente morzato (t,) arico Prima rifleione / T T+T* - / Seconda rifleione (t,-) Generatore / / T* T T+T* - /