Lezione 45 - Il principio dei lavori virtuali nell'analisi delle travi

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1 ezione 45 - Il pncipio dei lavo virtuali nellanalii delle travi ü [A.a : ultima reviione aple 1] Si pecializza il pncipio dei lavo virtuali al cao dei itemi monodimenionali piani, utilizzando i ultati delle teoe tecniche di Eulero-Bernoulli e di imohenko. A tal fine, i conide una truttura S, cotituita da un aemblaggio di travi, per ciacuna delle quali i poano tenere valide le ipotei a bae delle uddette teoe, e i immagini che tale truttura ia oggetta a cachi di vaa natura: e ad eempio poibile immaginare che eitano cachi ditbuiti q() con legge geneca, coppie ditbuite m() con legge geneca, un inieme di 1 forze concentrate i, un inieme di coppie concentrate i. Infine, la truttura e vincolata al uolo con vincoli conducibili ad un inieme di 3 reazioni vincola R i e di 4 coppie reattive. Si corda che linieme di quete forze e reazioni deve eere taticamente ammiibile, oia in equilibo con un inieme di tenioni ij, che a loro volta generano un inieme di momenti, forzi normali e tagli Si conide poi un inieme di potamenti u i, geometcamente ammiibili, agenti ulla tea truttura S, e iano, e le c..i. corpondenti a queto tato di potamenti. Il lavoro virtuale eterno corpondente a queto inieme di forze ed a queto inieme di potamenti i cve quindi: e = q H u q H d+ m H φ m H d i u i + i φ mi + R i η i + dove i ono introdotte le eguenti notazioni: u q H rappreenta la componente di potamento del punto dellae in corpondenza del caco q(), miurata nella direzione del caco, f m H e la rotazione della ezione relativa ai tratti in cui ono applicate le coppie ditbuite m(), u i e la componente dello potamento in corpondenza del punto di applicazione della i-ma forza, miurata nella direzione di detta forza, f mi e la rotazione della ezione in corpondenza della i-ma coppia concentrata. Infine, h i e leventuale cedimento del punto di applicazione della i-ma reazione vincolare, nella ua direzione, e q e leventuale rotazione anelatica della ezione cui e applicata la i-ma coppia reattiva. I pmi quattro termini della (1) traducono quindi laliquota: θ (1) B 1 p i u i d () mentre gli ultimi due termini traducono la: B σ ij n j f i d (3) e forze di maa ono invece aenti.

2 436 ezione 45 - Il pncipio dei lavo virtuali nellanalii delle travi.nb Il lavoro virtuale interno i cvera invece come: i = Iσ 33 e 33 + σ 3 e 3 dv B Per epmere i in termini di c..i., i poono utilizzare le relazioni che legano le tenioni normali e tangenziali allo forzo normale, al momento flettente ed al taglio. Per lo tato tenionale ij i avra: (4) σ 33 = A + I x (5) σ 3 = A dove A = ka e larea efficace a taglio, mentre la ditbuzione di deformazioni geometcamente ammiibili potra cve come: (6) e 33 = EA + EI x (7) e 3 = (8) GA dove le due ditbuzioni di c..i. I,, ) ed (,,) non ono in alcun modo collegate tra loro. Utilizzando le (5-8), il lavoro virtuale interno diviene: i = EA d+ EI d+ GA d ed infine, il pncipio dei lavo virtuali i traduce nelluguaglianza: (9) EA d+ EI d+ d = q H u q H d+ GA m H φ m H d+ i u i + i φ mi + R i η i + θ (1) valida per qualunque ditbuzione I,, ) di carattetiche della ollecitazione interna, che ia in equilibo con le forze applicate, e per qualiai ditbuzione (,,) che ia devante da potamenti geometcamente ammiibili al pncipio dei lavo virtuali i poono trarre, econdo la falaga di quanto fatto per il olido tdimenionale, il pncipio degli potamenti virtuali, per cui: δ EA d+ δ EI d+ δ GA d = 1 q H δu q H d+ m H δφ m H d+ i δu i + i δφ mi (11) valida per la ditbuzione effettiva di c..i. (,,), e per una qualiai ditbuzione di potamenti virtuali Hdu, df) che i annulli in corpondenza dei vincoli, e che gene le c..i. (d, d,d). Infine, il pncipio delle forze virtuali i cve:

3 ezione 45 - Il pncipio dei lavo virtuali nellanalii delle travi.nb 437 δ EA d+ δ EI d+ δ GA d = 3 4 δr i η i + δ θ (1) ed e valido per la ditbuzione effettiva degli potamenti Hu, f) e per una qualiai ditbuzione di c..i. (d,d,d) che ia in equilibo con forze nulle. Ovviamente, dr i e δ ono deducibili a partire dalle corpondenti c..i. Il pncipio dei lavo virtuali per il calcolo degli potamenti u trutture iotatiche Si conide una truttura iotatica S, e i voglia calcolare la componente di potamento di un uo punto P econdo la retta oentata r. A tal fine i puo utilizzare il p.l.v. nel eguente modo: 1. i tudia la truttura S oggetta ad una forza fittizia, e di valore unitao, agente in P in direzione della retta r, e i calcolano le reazioni vincola IR i, ) e le carattetiche della ollecitazione interna (,,). Si aume queta ditbuzione di c..i. come inieme taticamente ammiibile (itema 1). i tudia la truttura S oggetta alle forze effettive, e i calcolano le reazioni vincola HR i, ) e le carattetiche della ollecitazione interna (,,). I corpondenti campi di potamenti u() e rotazioni f() ono aunti quali potamenti geometcamente ammiibili. (itema ) 3. i cve il p.l.v. aumendo come itema taticamente ammiibile le c..i. (,,) e le reazioni vincola IR i, ), icuramente in equilibo in preenza della forza fittizia, e come itema di potamenti geometcamente ammiibili gli potamenti effettivi, che generano le c..i. (,,). Si ha: EA d+ dove u r e il chieto potamento. EI d+ GA d = 1 u r R i η i + θ (13) ota 1 - Se occorre calcolare la rotazione di una ezione, la truttura andra fittiziamente cacata da una coppia concentrata di valore unitao, in corpondenza della ezione in eame ota - In preenza di cedimenti elatici, carattezzati da una relazione lineare tra potamenti e reazioni: Ri = c R i φ = c φi il p.l.v. i cvera : (14) EA d+ EI d u r + R i Hη i c R i + GA d = Hθ c φi (15) in quanto le reazioni del pmo itema IR i, ) compiranno lavoro anche per gli potamenti (14) del itema (). ota 3 - Se il campo di potamenti geometcamente ammiibile del itema () comprende anche ditbuzioni l(), m() e q() di ditooni, il p.l.v. i cvera:

4 438 ezione 45 - Il pncipio dei lavo virtuali nellanalii delle travi.nb EA λ d+ EI µ d+ GA θ d = u r + R i Hη i c R i + Hθ c φi dove il egno meno e dovuto al fatto che c..i. poitive compiono lavoro negativo in preenza di ditooni poitive. ota 4 - I tre termini che compaiono a pmo membro della (13) rappreentano i contbuti aiale, fleionale e tagliante del lavoro interno, pettivamente. Speo, e poibile tracurare un termine petto agli alt: ad eempio, nelle travi nelle i potra certamente evitare di calcolare laliquota tagliante. Un eempio per il calcolo di uno potamento u truttura iotatica Si conide la trave di igura 1, e i voglia calcolare la rotazione della ezione in corpondenza dellappoggio. igura 1 - Un eempio per il calcolo di uno potamento u una truttura iotatica Per utilizzare il pncipio dei lavo virtuali, i ceglie come itema taticamente ammiibile (itema 1) la trave cacata da una coppia fittizia in corpondenza dellappoggio in : = 1 igura - Il itema 1, taticamente ammiibile, u cui calcolare il momento Si ceglie come itema geometcamente ammiibile (itema ) il itema reale, cacato dalla forza :

5 ezione 45 - Il pncipio dei lavo virtuali nellanalii delle travi.nb 439 igura 3 - Il itema, geometcamente ammiibile, u cui calcolare il momento Il pncipio dei lavo virtuali fornice, in ipotei di trave omogenea a ezione cotante, e limitandoi al olo contbuto fleionale: 1 EI 3 dx 3 = 1 φ Occorre quindi calcolare il momento ullo chema 1, ed il momento ullo chema. (17) Sullo chema 1, cacato da una coppia, il momento i preenta come ununica retta, con valore unitao a detra, e con un punto di nullo ulla cerniera: = 1 igura 4 - Il momento ul itema 1 Sullo chema, invece, il diagramma vaa linearmente da A a C, per poi proeguire con unaltra inclinazione, annullandoi in. igura 5 - Il momento, calcolato ul itema Analiticamente, i ottiene :

6 44 ezione 45 - Il pncipio dei lavo virtuali nellanalii delle travi.nb in AC, e : Hx 3 = x 3 (18) x 3 Hx 3 = (19) + in C, avendo aunto due itemi di femento, con ogine in A e C, pettivamente. Analogamente, i ottiene: Hx 3 = x 3 () in AC, e : Hx 3 = x 3 (1) Sara quindi neceao uddividere il calcolo dell integrale in due aliquote : φ = 1 EI x EI x 3 = 1 EI B 1 x x 3 x 3 x 3+ x 3 x 3 = 3 EI ota 5 - edurre i diagrammi dei momenti delle igure 4 e 5, aieme alla loro ditbuzione analitica () ota 6 - Confermare il ultato () applicando il metodo della linea elatica, oppure il metodo dei corolla di ohr, oppure ancora il metodo di Saviotti Il p.l.v. per la cttura delle equazioni di congruenza u trutture ipertatiche Una econda intereante utilizzazione del pncipio dei lavo virtuali i ottiene nellapplicazione del metodo delle forze, con la relativa cttura delle equazioni di congruenza. Sia S una truttura i volte ipertatica, i identifichi una opportuna truttura iotatica equivalente (S.I.E.), in modo da poter cvere imbolicamente: S = S H + X j S Hj j=1 i (3) dove S H e la truttura iotatica precelta, oggetta ai cachi applicati, ed S H j e la truttura iotatica oggetta ad un caco unitao in corpondenza della j-ma incognita ipertatica X j. Si auma ora come itema taticamente ammiibile la truttura S H j, e come itema geometcamente ammiibile la truttura reale S. Se i aume, per emplicita, che i vincoli iano perfetti e che non iano preenti ditooni, il p.l.v. i cve: Hj EI d = j = 1,... i tenendo conto del olo effetto fleionale. Per il pncipio di ovrappoizione degli effetti ara poi: (4)

7 ezione 45 - Il pncipio dei lavo virtuali nellanalii delle travi.nb 441 = H + X 1 H X i Hi e quindi la (4) diviene : (5) H Hj S EI d + X H1 Hj 1 S EI d+...+ X Hi Hj i S EI d = j = 1,... i Sono quete le i equazioni di congruenza, che permettono il calcolo delle i incognite ipertatiche X j. (6) Un eempio Si conide la trave doppiamente incatrata di igura 6, per cui i =. q A B igura 6 - Una truttura S doppiamente ipertatica Si ceglie come truttura iotatica equivalente la trave a menola incatrata a initra e libera a detra, oggetta al caco q, alla forza incognita X 1 a detra, ed alla coppia incognita X a detra. Si puo cvere, formalmente, S = S H + X 1 S H1 + X S H, nel eno che - utlizzando il pncipio di ovrappoizione degli effetti - tutto cio che deve eere calcolato ul itema iotatico equivalente puo eere calcolato ui tre chemi S H, S H1 ed S H. Ad eempio, il diagramma del momento ullo chema di igura 6 puo calcola come = H + X 1 H1 + X H. I valo delle due incognite ipertatiche devono eere tali da ptinare i vincoli in B, e quindi proibire abbaamenti e rotazioni: u B = φ B = (7) Si adotti ora come itema taticamente ammiibile il itema S H1 di igura 8, e come itema geometcamente ammiibile il itema S, o meglio, il uo itema iotatico equivalente. Il pncipio dei lavo virtuali i cve: H1 x 3 = (8) Adottando invece come itema taticamente ammiibile il itema S H di igura 9, e come itema geometcamente ammiibile il itema S, o meglio, il uo itema iotatico equivalente, il pncipio dei lavo virtuali i cve: H x 3 = (9) Ora, per il pncipio di ovrappoizione degli effetti, i potra cvere = H + X 1 H1 + X H, e

8 44 ezione 45 - Il pncipio dei lavo virtuali nellanalii delle travi.nb Ora, per il pncipio di ovrappoizione degli effetti, i potra cvere = H + X 1 H + X H, e quindi i ottengono due equazioni nelle due incognite X 1 ed X : H1 H x 3 + X 1 H1 H1 x 3 + X H1 H x 3 = H H x 3 + X 1 H H1 x 3 + X H H x 3 = S H (3) q A igura 7 - Il itema S H, iotatico e oggetto al caco uniformemente ditbuito Il momento H, da calcolare ullo chema di igura 7, e ditbuito con legge parabolica, ed analiticamente puo cve: H Hx 3 = q (31) x 3 + q x 3 q Il momento H1 i deve calcolare ullo chema di igura 8, ed e epmibile come legge lineare: S H1 X 1 =1 A igura 8 - Il itema S H1, iotatico e oggetto allincognita ipertatica X 1, pota unitaa H1 Hx 3 = x 3 Infine, H e da calcolare ullo chema di igura 9, ed e pa ad 1: (3) S H X =1 A igura 9 - Il itema S H, iotatico e oggetto allincognita ipertatica X, pota unitaa H Hx 3 = 1 e (3) i cvono allora : (33)

9 ezione 45 - Il pncipio dei lavo virtuali nellanalii delle travi.nb 443 Hx 3 q x 3 + q x 3 q x 3 + X 1 Hx 3 x 3 + X Hx 3 x 3 = q x 3 + q x 3 q oia, calcolando gli integrali: x 3 + X 1 Hx 3 x 3 + X x 3 = 3 3 X 1 X X = q 4 8 (35) X 1 con oluzione: X 1 + X = q 3 6 (36) X 1 = q X = q 1 (37) igure