Modellazione e Analisi di Sistemi Idraulici

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1 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici Davide Giglio La ingola vaca Si conideri il itema rappreentato in figura. Il itema conite in una vaca contenente acqua. La vaca è alimentata da un rubinetto eterno che fornice acqua. L acqua defluice dalla vaca attravero un econdo rubinetto poto in fondo alla vaca. Sulla bae di coniderazioni fiiche è poibile mettere il itema in equazioni di tato e tudiarne quindi il comportamento al variare delle grandezze in gioco. P in (t) V (t) h(t) P out (t) Il itema è caratterizzato da tre grandezze: la portata di ingreo P in (t), il volume dell acqua V (t) all interno della vaca e la portata di ucita P out (t) (i veda la figura precedente). Sia inoltre h(t) l altezza dell acqua all interno della vaca al tempo t. Per mettere in equazioni di tato un itema idraulico biogna innanzitutto coniderare come variabile di tato il volume d acqua preente all interno della vaca e poi fruttare la legge di bilanciamento dei flui, cioè il volume all interno della vaca è pari al volume inizialmente preente all interno della vaca più il volume d acqua che entra nella vaca meno il volume d acqua che ece dalla vaca : V (t) = V + V in (t) V out (t) Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

2 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici Tale relazione può eere formulata anche nel eguente modo: la variazione del volume all interno della vaca è pari alla differenza tra la omma delle portate in ingreo e la omma delle portate in ucita, ovvero: d dt V (t) = P in(t) P out (t) Queta econda formulazione frutta la relazione P(t) = d dt V (t) ovvero la portata corriponde alla derivata nel tempo del volume. Come già detto, la variabile di tato è rappreentata dal volume d acqua all interno della vaca (i noti che tale variabile compare con la derivata nel tempo all interno delle equazioni fiiche). Sia quindi x(t) = V (t). La portata di ingreo è una variabile indipendente (cioè non dipende dal valore delle altre variabili del itema) e può quindi eere coniderata come ingreo del itema. Sia quindi u(t) = P in (t). Per quanto riguarda l acqua che defluice dalla vaca, i può ipotizzare che la portata di ucita dovuta al rubinetto poto in fondo alla vaca ia proporzionale, econdo un coefficiente k, al volume d acqua preente nel erbatoio (queto per modellare l incidenza della preione ulla portata di ucita). Infine, per quanto riguarda l ucita del itema, i può penare di volere tenere otto controllo l altezza dell acqua nella vaca. Sia quindi y(t) = h(t). Si ha quindi: d dt x(t) = P in(t) P out (t) = u(t) k V (t) = u(t) k x(t) y(t) = h(t) = A V (t) = A x(t) eendo A l area della ezione della vaca (ipotizzando che la vaca abbia ezione cotante). Il itema è rappreentato dalle eguenti equazioni di tato: { ẋ(t) = k x(t) + u(t) y(t) = A x(t) Quete equazioni di tato decrivono il comportamento della clae dei itemi LTI che rappreentano una vaca ingola. Ai fini dello tudio del comportamento del itema attravero Matlab e Simulink, i coniderino i eguenti valori: k =. ec e A = m. Il itema riultante è: { ẋ(t) =. x(t) + u(t) y(t) =. x(t) Nella figura eguente è illutrata la ripota al gradino del itema, ovvero l altezza dell acqua nella vaca al variare del tempo quando il rubinetto eterno viene aperto di una quantità fia (e quindi fornice una quantità d acqua cotante). Come i può vedere dalla figura, la vaca, inizialmente vuota (non avendo infatti pecificato delle condizioni iniziali, i uppone che il volume iniziale dell acqua nella vaca ia ), inizia a riempiri a caua del fluo d acqua che entra nella vaca. Eendo la quantità d acqua che defluice dalla vaca vero l eterno proporzionale al volume d acqua preente nella vaca, inizialmente ucirà pochiima acqua, ma all aumentare del volume queta quantità andrà via via aumentando. i ha quindi una frenata nell aumento del volume (e quindi dell altezza dell acqua nella vaca) come tetimoniato dalla figura eguente. L altezza Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

3 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici dell acqua tenderà quindi ad un valore cotante (nella figura è.) che rappreenta il livello per il quale i ha un defluo di acqua uguale alla quantità d acqua che viene fornita in ingreo alla vaca. In generale, tale altezza corriponde al valore h = P k A dove P è l ampiezza del gradino in ingreo, ovvero la portata d acqua fornita dal rubinetto eterno Come i vede dal valore h appena calcolato, il livello dell acqua nella vaca dopo un certo periodo di tempo (tranitorio) dipende ia dal parametro k che dall ampiezza P (oltre che dalla ezione A che però i aume cotante). Nelle due figure eguenti è riportata, a initra, l ucita del itema con k = (invece che k =.) e, a detra, l ucita del itema con P =, 8 (invece che P = ). Nel primo cao, l altezza della vaca converge ad un valore più bao: infatti eendo aumentato k defluirà dalla vaca un quantitativo maggiore di acqua facendo cendere di fatto il punto di equilibrio; inoltre, il itema tenderà molto più velocemente a tale livello di equilibrio. Nel econdo cao, l altezza converge ad un valore più alto in quanto i fa entrare più acqua dal rubinetto eterno Le ripote vite fino a queto momento ono tutte ripote forzate, cioè dovute ecluivamente all ingreo eterno. Negli eempi precedenti i è empre uppoto che inizialmente non vi ia acqua nella vaca. E intereante però analizzare il comportamento del itema in preenza di condizioni iniziali non nulle e ingreo aente (ripota libera ). In pratica, aunto che la vaca contenga inizialmente un certo volume d acqua, i vuole tudiare l andamento del livello dell acqua nella vaca tenendo chiuo il rubinetto eterno. Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

4 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici L evoluzione rappreentata nella figura eguente motra chiaramente quello che ci i apettava. La vaca tende a vuotari in quanto il rubinetto poto in fondo alla vaca rimane empre aperto (non poo decidere di chiuderlo). Eendo il defluire dell acqua proporzionale al volume, inizialmente i avrà uno vuotamento molto veloce ma via via che il volume cende i avrà una portata di ucita empre più baa. Tecnicamente il volume dell acqua non diventerà mai nullo ma tenderà a per t +. E ovvio che, dal punto di vita pratico, da un certo itante di tempo in poi i potrà coniderare vuota la vaca Per valutare l andamento del livello dell acqua nella vaca con portate di ingreo particolari, conideriamo il eguente modello Simulink. u(t) x'(t) x(t) /A y(t) k Nella figura eguente a initra è illutrato un gradino con durata limitata nel tempo. Queto egnale di ingreo corriponde ad aprire il rubinetto per un certo intervallo di tempo (durante il quale l apertura è cotante) ma poi il rubinetto viene chiuo (nell eempio propoto, in corripondenza di t = ). A detra è illutrata la relativa ucita Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

5 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici La vaca, inizialmente vuota, inizia a riempiri, con un andamento uguale a quello vito in precedenza per la ripota al gradino. La pendenza della curva diminuice con il paare del tempo in quanto il livello dell acqua i avvicina al punto di bilanciamento tra fluo in ingreo e fluo in ucita. La chiuura del rubinetto fa però ì che, da t =, la vaca tenda a vuotari, con un andamento uguale a quello vito in precedenza per la ripota libera. L andamento appena vito può eere generalizzato coniderando in ingreo un onda quadra con ampiezza comprea tra e e periodo pari a (i veda la figura eguente, a initra). In pratica, ipotizziamo che in ingreo ci ia una portata di acqua che ece da un rubinetto che viene itematicamente aperto e chiuo, ad intervalli regolari. L ucita del itema è illutrata nella figura a detra. Come i può vedere, la vaca i riempie e i vuota alternativamente (ovviamente i riempie negli intervalli in cui è aperto il rubinetto e i vuota in quelli in cui è chiuo) aumendo il caratteritico andamento a dente di ega già vito nei circuiti RC (il comportamento della ingola vaca è molto imile a quello del circuito RC) L ultimo cao preentato è relativo ad un ingreo inuoidale. A differenza di altri itemi fiici, in queto cao non ha eno utilizzare in ingreo un egnale che preveda valori negativi (nei itemi meccanici avevo eno per modellare forze con egno oppoto e nelle reti elettriche per modellare correnti dirette nel vero oppoto) in quanto è logico aumere che in ingreo o i fornice acqua o non i fornice, ma non i poa togliere (non almeno attravero un rubinetto) Si conideri quindi il egnale di ingreo illutrato nella figura precedente a initra. Tale egnale è. ( + in t); in pratica, una inuoide tralata vero l alto e modulata in ampiezza. In queto cao è come avere un rubinetto la cui apertura viene aumentata poi diminuita fino a chiudere il Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

6 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici rubinetto, poi di nuovo aumentata e coì via. L ucita del itema è raffigurata nella figura a detra. Dopo un breve periodo di tranitorio, la vaca inizia a riempiri e a vuotari attorno ad un valore medio che, dato l ingreo coniderato, vale ĥ = k A ovvero.. L ampiezza delle inuoidi in ucita a regime e lo faamento ripetto al egnale in ingreo poono eere calcolate applicando il teorema della ripota in frequenza per quanto riguarda la componente inuoidale del egnale in ingreo (. int). Rete di erbatoi S S S S Si conideri il itema rappreentato in figura cotituito da quattro erbatoi lineari (per erbatoio lineare i intende un erbatoio caratterizzato da una portata di ucita proporzionale al volume d acqua preente nel erbatoio). I erbatoi ono di due tipi: S e S hanno una portata di ucita caratterizzata da un fattore proporzionale k, S e S invece hanno una portata di ucita caratterizzata da un fattore proporzionale h. L acqua in ingreo viene equamente ditribuita tra i erbatoi S e S. L acqua ece dal itema attravero un raccoglitore che viene alimentato dalle ucite dei erbatoi S e S. Nella figura della pagina eguente ono indicate tutte le grandezze in gioco. Sia P in (t) la portata d acqua in ingreo al itema e iano Pi in (t), i =,...,, le portate in ingreo ai ingoli erbatoi. Analogamente, Pi out (t), i =,...,, ono le ingole portate di ucita e P out (t) rappreenta la portata d acqua in ucita dal itema. Infine, V i (t) e h i (t), i =,...,, rappreentano ripettivamente il volume e l altezza dell acqua del erbatoio S i (i uppone che tutti i erbatoi abbiano ezione cotante pari ad A). Per mettere in equazioni di tato conideriamo le equazioni di bilanciamento dei flui relativamente ai quattro erbatoi: d dt V (t) = P in (t) P out (t) = P in (t) k V (t) d dt V (t) = P in (t) P out (t) = P in (t) h V (t) Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

7 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici 7 P in (t) P in (t) in P (t) h (t) V (t) V (t) h (t) P out in (t) (t) P (t) P out (t) P in h (t) V (t) V (t) h (t) P out (t) P out (t) P out (t) d dt V (t) = P in out (t) P (t) = P in (t) h V (t) d dt V (t) = P in (t) P out (t) = P in (t) k V (t) Dal momento che P in out (t) = P (t) = k V (t) e P in out (t) = P (t) = h V (t) i ottengono le eguenti equazioni di tato: V (t) = k V (t) + P in (t) V (t) = h V (t) + P in (t) V (t) = k V (t) h V (t) V (t) = h V (t) k V (t) Ponendo P in (t) = u(t), V (t) = x (t), V (t) = x (t), V (t) = x (t), V (t) = x (t) e ipotizzando di volere valutare in ucita l altezza dei erbatoi S e S (cioè h (t) e h (t)) e il volume di acqua compleivamente in ucita al itema (cioè hv (t)+kv (t)), i ottiene la eguente clae di itemi LTI: ẋ(t) = y(t) = k h k h x(t) + h k A A x(t) h k.. u(t) Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

8 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici 8 Valutiamo il comportamento del itema attravero Matlab / Simulink. Si coniderino i eguenti valori: k = ec, h = ec e A =. m. Il itema riultante è:. ẋ(t) = x(t) +. u(t) y(t) = x(t) Le ripote al gradino di queto itema ono imili al cao della ingola vaca vito precedentemente. Si upponga di imporre in ingreo una portata d acqua cotante pari a m. Nelle due figure eguenti ono illutrate le ucite y (t) (a initra) e y (t) (a detra) ovvero le altezze del livello dell acqua nei erbatoi S e S. Anche in queto cao il livello dell acqua tende ad un valore cotante. Tale valore riulta eere più alto per il erbatoio S in quanto i è aunto k < h; di coneguenza, dal erbatoio S defluirà più acqua ripetto a S. Inoltre, empre per il fatto che k < h la velocità con cui l ucita y (t) tende al valore cotante è più lenta della velocità di y (t) Aumentando la differenza tra k e h i ottengono due livelli d acqua cotanti ancora più ditanti. I grafici delle due figure eguenti, empre relativi a y (t) e y (t), ono tati ottenuti con k =. ec e h = ec (le curve tratteggiate corripondono alle curve ottenute con i valori k e h originari) Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

9 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici 9 Per quanto riguarda la terza ucita, relativa alla quantità compleiva di acqua che ece dalla rete di erbatoi, i oervi attravero la eguente figura (a initra) come, anche in queto cao, il valore dell ucita tenda ad un valore cotante. Tuttavia, in queto cao la dinamica con cui i raggiunge queto valore cotante è divera ripetto alle altre due ucite: la derivata nell origine è adeo nulla che ignifica una lenta erogazione d acqua dal rubinetto di ucita per i primi itanti di tempo di funzionamento del itema Se i utilizzano i valori k =. ec e h = ec i ottiene la figura a detra. Si oervi come il livello ai cui tende l ucita ia più alto. Queto ignifica che la minore acqua che defluice dal erbatoio S (a caua del parametro k più bao) è compenata da un maggior volume d acqua che defluice dal erbatoio S (a caua del parametro h più alto). Le altezze dell acqua nei erbatoi cambiano anche in preenza di una uddiviione differente dell acqua in ingreo tra i erbatoi S e S. Nella configurazione finora coniderata i è ipotizzato che il fluo d acqua in ingreo i dividee equamente tra i due erbatoi. Si ipotizzi invece adeo che il erbatoio S riceva in ingreo i due terzi dell acqua in ingreo. Laciano invariati i parametri k e h, la ituazione che i ottiene è quella illutrata nelle tre figure eguenti. Come ci i apetta, a regime, il erbatoio S (figura ucceiva a initra) avrà un livello più alto ripetto a prima (entra più acqua nel erbatoio) mentre il livello di S (figura ucceiva a detra) diminuice. Si oervi inoltre come la velocità con cui le ucite tendono al proprio valore cotante non ia cambiata non avendo modificato i parametri k e h La figura eguente illutra la terza ucita. Come i può vedere, con queta ditribuzione iniziale dell acqua, il volume d acqua che defluice dal itema è aumentato. Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

10 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici Il modello Simulink preentato di eguito mette in rialto le quattro variabili di tato e i relativi blocchi integratori che conentono di ottenere il valore di una variabile dalla ua derivata. Nel modello ono inoltre evidenti l ingreo eterno e le tre ucite.. x'(t) x(t) /A y(t) u(t) k. x'(t) x(t) /A y(t) h k x'(t) x(t) h h y(t) h x'(t) x(t) k k Come eempio di comportamento del itema rappreentato con il modello Simulink, i conideri nuovamente l ingreo. ( + in t) già illutrato a pagina (in bao a initra). Il itema, ottopoto ad un ingreo inuoidale, inizia ad ocillare. Anche le tre ucite (i vedano le tre figure eguenti) motrano un comportamento ocillatorio. Come gi evidenziato nel cao della vaca ingola, i tre egnali di ucita ocillano intorno ad un valore cotante che può eere facilmente determinato per via analitica; inoltre, l ampiezza delle inuoidi in ucita a regime e lo faamento Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

11 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici ripetto al egnale in ingreo poono eere calcolate applicando il teorema della ripota in frequenza Modello immiario-emiario Nella figura eguente è illutrato un itema compoto da un lago che viene alimentato da un unico immiario con portata P imm (t). L acqua ece dal lago attravero un unico emiario la cui portata P emi (t) è proporzionale al volume d acqua V lago (t) preente nel lago (con coefficiente di proporzionalità k). Si upponga inoltre che il lago i anche alimentato (per via otterranea) da una falda acquifera e che la corripondente portata P falda (t) ia proporzionale al volume d acqua V falda (t) preente nella falda (con coefficiente di proporzionalità h). Si upponga infine che la falda non ia alimentata dall eterno, il che è verificato, almeno approimativamente, durante tutti i periodi di iccità. P imm (t) P falda (t) V lago (t) P emi (t) V falda (t) Come in precedenza, attravero la legge di bilanciamento dei flui, è poibile crivere le equazioni che decrivono il comportamento dinamico del itema. Per quanto riguarda il lago i ha: d dt V lago(t) = P imm (t) P emi (t) + P falda (t) = P imm (t) k V lago (t) + h V falda (t) mentre per quanto riguarda la falda i ha: d dt V falda(t) = P falda (t) = h V falda (t) Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

12 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici Ponendo P imm (t) = u(t), coniderando come variabili di tato i volumi d acqua preenti nel lago e nella falda, ovvero V lago (t) = x (t) e V falda (t) = x (t), e ipotizzando che l ucita ia caratterizzata dal volume d acqua nel lago e nella falda (eparatamente), i hanno le eguenti equazioni di tato: ẋ (t) = u(t) k x (t) + h x (t) ẋ (t) = h x (t) che in forma matriciale aumono la forma di clae di itemi LTI: [ ] [ ] k h ẋ(t) = x(t) + u(t) h [ ] y(t) = x(t) Per valutare il comportamento del itema attravero Matlab e Simulink, i coniderino i eguenti valori: k = ec e h =. ec. Il itema riultante è: [ ] [ ]. ẋ(t) = x(t) + u(t). [ ] y(t) = x(t) Nella figura eguente è illutrata la ripota al gradino ovvero il volume del lago (a initra) e il volume della falda (a initra) al variare del tempo quando in ingreo (al lago) i ha un volume d acqua cotante Come i può vedere dai grafici il volume del lago aumenta fino ad un certo livello mentre il volume della falda è cotantemente nullo. Queto comportamento anomalo è facilmente piegabile oervando che nella ripota al gradino i è tenuto conto (come nei cai precedenti) ecluivamente della componente forzata dell ucita, ovvero il contributo dovuto all ingreo. E come e i foe uppoto che, inizialmente, il volume del lago e quello della falda foero nulli (condizioni iniziali nulle). Di coneguenza, la falda, non eendo alimentata, non varia il proprio volume iniziale. Inoltre, in queto cao, l aumento del volume del lago è dovuto ecluivamente al contributo dato dall immiario. Analiticamente i ha: y f (t) = k y f (t) = ( e k t ) Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

13 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici Per analizzare meglio il comportamento del itema, ipotizziamo che nello tato iniziale il lago abbia un volume d acqua pari a m e la falda un volume pari a m. L ucita compleiva del itema, comprendente ia il contributo dovuto alle condizioni iniziali che quello dovuto all ingreo (portata cotante pari a m ), è, in generale: y (t) = [ x ( ) y (t) = x ( ) e h t h k h x ( ) ] e k t + h k h x ( ) e h t + ( e k t ) k Quindi, con le condizioni iniziali vite e i parametri k e h precedentemente aegnati i hanno le eguenti ucite. A initra vi è l andamento nel tempo del volume del lago e a detra l andamento nel tempo del volume della falda Si oervi come le due funzioni partano effettivamente dal valore delle condizioni iniziali (ripettivamente e ). Inoltre, è evidente anche da queti grafici che la falda, non eendo alimentata dall eterno, è detinata a prociugari (la relativa curva tende infatti a ). Anche il lago diminuice di volume in quanto il contributo dato dall immiario non è ufficiente a mantenere il volume d acqua inizialmente preente nel lago. La velocità con cui i vuota la falda è dovuta al parametro h. Nell eempio propoto la falda i vuota con una certa lentezza. Si conideri invece il cao illutrato di eguito relativo a h =. Da tali figure i può vedere come con queto valore la falda i vuoti molto più rapidamente e anche il volume del lago tende ad un valore cotante più velocemente Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

14 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici Per valutare il comportamento del itema ottopoto ad ingrei particolari, i conideri il eguente modello Simulink, in cui ono eplicitate le due variabili di tato. Come i può vedere, l ingreo agice olamente ulla prima variabile di tato ovvero olamente ul volume dell acqua nel lago. u(t) x'(t) x(t) y(t) -k h x'(t) x(t) y(t) -h Si voglia tudiare il comportamento del itema ipotizzando che in ingreo vi ia una diga che impedice il paaggio dell acqua in determinati intervalli temporali. Si upponga inoltre che nei periodi di tempo in cui la diga è aperta, l acqua entra nel lago con portata cotante. Queta ituazione può eere modellata mettendo in ingreo un onda rettangolare comprea tra e un certo valore. Si conideri il egnale di eguito illutrato. Eo è un egnale periodico (con periodo pari a ) che vale m nell 8% del periodo e nel retante %. SI avranno quindi, alternativamente, intervalli di tempo caratterizzati da una portata di ingreo cotante e intervalli di tempo caratterizzati da ingreo aente. La ripota del itema è illutrata nelle due figure eguenti (le condizioni iniziali ono quelle di prima: e ). Il comportamento del volume della falda (figura a detra) è lo teo vito precedentemente, in quanto tale parte del itema non è influenzata dall ingreo e quindi dalla particolare forma d onda adottata. Il volume del lago (figura a initra) invece, dopo un breve periodo di tranitorio, è caratterizzato da periodi di vuotamento quai completo (quando la diga Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

15 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici è chiua) a caua del defluo di acqua nell emiario che è comunque empre preente, e da periodi di aumento del volume dovuti all apertura della diga. Come i può vedere, nei periodi di apertura il volume del lago tende ad un valore cotante che rappreenta il punto in cui il contributo di acqua in ingreo viene bilanciato dal defluo di acqua dovuto all emiario. Un altro cao intereante da analizzare è quello in cui i ipotizza che la portata di acqua in ingreo dovuta all immiario ia funzione delle piogge che cadono ul territorio. In pratica, i vuole modellare una ituazione in cui vi ono periodi di iccità in cui l immiario è in ecca e quindi non fornice acqua al lago e periodi in cui le piogge alimentano l immiario e quindi il lago. Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

16 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici Utilizziamo quindi un egnale periodico inuoidale, come quello rappreentato nella figura al centro della pagina precedente. Il egnale è in (. t). E tato celto queto egnale innanzitutto per avere valori in ingreo empre poitivi e poi per rappreentare forti picchi che modellano brevi ma intene piogge. Il riultato è un volume del lago che, dopo un certo periodo di tranitorio (il volume parte empre da m ), inizia ad ocillare con un andamento inuoidale (figura della pagina precedente in bao a initra). E bene oervare che l ampiezza delle ocillazioni i è ridotta a caua dell acqua che defluice dal lago. Il volume della falda ha empre il olito comportamento (figura della pagina precedente in bao a detra). Il cao appena illutrato può eere modificato per rappreentare la ituazione in cui le piogge, oltre ad alimentare l immiario del lago, alimentano anche la falda otterranea. In queta ituazione anche la parte di itema relativa alla falda (econda variabile di tato) è influenzata dall ingreo. E quindi neceario utilizzare il eguente modello di Simulink, in cui è evidente la dipendenza di entrambe le variabili di tato dall ingreo..9 x'(t) x(t) y(t) -k u(t) h. x'(t) x(t) y(t) -h Nel modello appena vito i è ipotizzato che il % delle piogge vada ad alimentare la falda otterranea. L immiario, quindi, avrà a dipoizione il retante 9%. Il egnale in ingreo è lo teo egnale inuoidale vito in precedenza. Nelle eguenti figure è illutrata, a initra, la parte che incide ul volume del lago e, a detra, la parte che alimenta la falda. Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

17 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici 7 Il comportamento del volume del lago è uguale al cao precedente, a parte una leggera attenuazione dovuta al fatto che la portata d acqua fornita dall immiario ha un % in meno che filtra nella falda. E invece ovviamente divero il comportamento del volume della falda. In precedenza la falda era detinata a vuotari mentre adeo viene alimentata, in certi intervalli di tempo, dalla pioggia che filtra nel terreno. Il comportamento che i ottiene è quello illutrato nella eguente figura a detra. L ultima modifica che facciamo ul itema è ipotizzare la preenza di una diga in ucita. In pratica, il defluo di acqua dal lago non è più proporzionale al volume del lago teo (come finora uppoto) ma dipende da un fattore eterno. Nel modello Simulink da utilizzare vi arà quindi un econdo ingreo che agice ecluivamente ulla prima variabile di tato (i veda il modello Simulink eguente). Inoltre, non vi è più la dipendenza di ẋ (t) da x (t). DIGA.9 x'(t) x(t) y(t) u(t) h. x'(t) x(t) y(t) -h Si ipotizzi che la portata di acqua in ingreo ia empre la tea (egnale inuoidale) e che tale portata i ditribuica tra lago e falda con lo teo rapporto di prima (9% e %). L ingreo utilizzato per modellare la diga in ucita al lago è un onda rettangolare periodica che vale m nel % del periodo e m nel retante %. In pratica i modella il fatto che in alcuni periodo la diga è aperta e lacia quindi defluire molta acqua (in maniera cotante, a differenza di prima dove la portata di ucita era proporzionale al volume del lago) mentre in altri periodi la diga è parzialmente chiua e quindi fa paare poca acqua. Biogna fare in modo che i periodi in cui la Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

18 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici 8 diga è parzialmente chiua corripondono ai periodi di iccità in modo da minimizzare il richio di vuotamento completo del lago. Si oervi infine come il egnale propoto per modellare il comportamento della diga ia olo uno dei moltiimi che i poono adottare. Nelle due figure eguenti è illutrato il comportamento delle ucite del itema (volume del lago a initra e volume della falda a detra). Il comportamento della falda è quello vito nel precedente cao. Per quanto riguarda invece il volume del lago, oerviamo come tale volume rimanga più lontano dallo a caua della preenza di periodi in cui vi è un bao defluo di acqua Nelle ultime due figure della pagina è illutrata empre l ucita relativa al volume del lago. Nella figura a initra è tato coniderato un orizzonte temporale di unità di tempo, mentre nella Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

19 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici 9 figura a detra vi è il dettaglio del comportamento dell ucita nell intervallo di tempo compreo tra e. Quete figure mettono in rialto la compleità del egnale ottenuto da contributi particolari quali il egnale inuoidale elevato alla quarta e l onda rettangolare che modella la diga in ucita. In ogni cao, i può oervare (anche adottando orizzonti temporali più lunghi) come il volume del lago rimanga empre compreo tra un livello minimo di circa m e un livello maimo di circa 8 m. Vache comunicanti V V V Si conideri il itema rappreentato in figura cotituito da tre vache lineari comunicanti. La vaca V è comunicante con la vaca V e la vaca V è comunicante con la vaca V. La vaca V è alimentata da un rubinetto eterno che fornice acqua con portata P in (t). Nelle tre vache non è preente alcun rubinetto per fare ucire l acqua vero l eterno. Nella figura eguente ono illutrate le variabili che caratterizzano il itema. V (t), V (t) e V (t) ono i volumi delle tre vache e h (t), h (t) e h (t) ono le altezze dell acqua nelle tre vache. La portata P (t) rappreenta la quantità d acqua che i pota, nell unità di tempo, dalla vaca V alla vaca V (o vicevera, e il valore di tale portata è negativo). Analogamente, P (t) rappreenta la quantità d acqua cambiata tra V e V. P in (t) h (t) V (t) V (t) V (t) h (t) h (t) P (t) P (t) La portata P (t) è proporzionale alla differenza tra i volumi nelle vache V e V. Infatti, l acqua tenderà a potari dalla vaca più piena a quella più vuota, equalizzando di fatto le altezze dell acqua (upponendo le vache cilindriche, ovvero a ezione cotante, e di eguale ezione). Queta portata può eere negativa: il egno poitivo ignifica lo potamento di acqua da V a V mentre il egno negativo ignifica lo potamento di acqua da V a V. Ragionando analogamente per quanto riguarda la portata P (t), i ha quindi: P (t) = k [ V (t) V (t) ] P (t) = h [ V (t) V (t) ] Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

20 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici dove k e h ono due coefficienti di proporzionalità che dipendono otanzialmente dalla truttura fiica dei condotti che mettono in comunicazione V V e V V. Dalla legge di conervazione dei flui i ottiene: d dt V (t) = P in (t) P (t) = P in (t) k [ V (t) V (t) ] d dt V (t) = P (t) P (t) = k [ V (t) V (t) ] h [ V (t) V (t) ] d dt V (t) = P (t) = h [ V (t) V (t) ] Ponendo P in (t) = u(t), V (t) = x (t), V (t) = x (t), V (t) = x (t) i ottiene: ẋ (t) = k x (t) + k x + u(t) ẋ (t) = k x (t) (k + h) x + h x ẋ (t) = h x (t) h x Coniderando come ucita le altezze delle tre vache (a tale propoito ia A la ezione cotante di tutte e tre le vache) i ottiene la eguente clae di itemi LTI: ẋ(t) = k k k (k + h) h x(t) + u(t) h h A y(t) = A x(t) A Per tudiare il comportamento del itema con Matlab e Simulink i coniderino i eguenti valori: k = ec, h = ec e A = m. Il itema riultante è: ẋ(t) = x(t) + u(t) y(t) =.. x(t) Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

21 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici Si ipotizzi di aprire, all itante di tempo iniziale, il rubinetto di una quantità fia in modo da fornire una portata cotante di acqua alla rete di vache. Dal punto di vita del itema LTI che rappreenta le vache comunicanti, queto è equivalente a porre in ingreo un gradino. Nella figura della pagina precedente è rappreentato l ingreo utilizzato (gradino ad ampiezza unitaria). Con una portata d acqua cotante e ininterrotta le tre vache ono detinate a riempiri. In particolare, non mettendo alcun vincolo ulla capacità d acqua di ogni vaca, le altezze dell acqua nelle tre vache (che rappreentano le tre ucite del itema) aumenteranno cotantemente (eendo cotante la portata d acqua in ingreo) al crecere della variabile tempo. Le tre figure eguenti illutrano le tre ucite Mettendo le tre ucite ullo teo piano carteiano (i veda la figura ucceiva) è poibile notare come la velocità con cui aumenta il livello dell acqua nei tre erbatoi ia la tea (tranne in un breve periodo di tranitorio all inizio). La differenza tra i tre livelli rimane quindi cotante con il paare del tempo e tale differenza è dovuta quindi ecluivamente ai primiimi itanti di tempo durante i quali cui l acqua che entra dal rubinetto inizia a riempire più velocemente la vaca V e più lentamente la vaca V e ancora più lentamente la vaca V. Queto è piegabile con il fatto che la vaca V per iniziare a riempiri deve apettare che i inizi a riempire la vaca V che a ua volta deve apettare V Queto fatto può eere dimotrato analiticamente determinando le tre ucite del itema in ripota ad un ingreo pari ad un gradino unitario. Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

22 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici La matrice di traferimento del itema è: + (k + h) + kh R ( + (k + h) + kh ) M() = k( + h) R ( + (k + h) + kh ) kh R ( + (k + h) + kh ) ovvero, nel particolare itema coniderato: + + ( + + ) + M() = ( + + ) ( + + ) Le tre ucite, in corripondenza dell ingreo U() = ono: Y () = ( + + ) = Y () = ( + + ) = Y () = ( + + ) = ovvero, nel tempo: ( ) y (t) = + t e ( )t e ( + )t (t) ( ) y (t) = + t + 7 e ( )t e ( + )t (t) ( ) y (t) = + t + e ( )t + + e ( + )t (t) Dal momento che il contributo dei egnali eponenziali vanice nel tempo, il comportamento a regime delle tre ucite è dato da: y r (t) = t + y r (t) = t y r (t) = t E immediato vedere che le tre rette hanno la tea pendenza ma ono ditanziate tra loro (y r (t) e y r (t) di e yr (t) e yr (t) di ). Come econdo eempio di comportamento delle vache comunicanti, i conideri il cao in cui i ha in ingreo un gradino limitato, come quello illutrato nella figura ucceiva (il egnale raffigurato vale tra e e nei retanti periodi di tempo). Queto equivale ad aprire, all itante di tempo m iniziale, il rubinetto in modo da fornire una portata cotante pari a unità di tempo, ma dopo unità di tempo interrompere il fluo d acqua in ingreo chiudendo il rubinetto. Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

23 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici 8 8 Il comportamento delle tre vache (in termini di altezza dell acqua) è rappreentato nelle tre figure eguenti. Fino all itante di tempo, i livelli delle tre vache aumentano più o meno linearmente con un andamento imile a quello vito per la ripota al gradino. All itante di tempo, quando i interrompe il fluo d acqua in ingreo, l acqua che i trova compleivamente nelle tre vache comunicanti inizia a ditribuiri equamente tra le tre vache (equamente in quanto le tre vache hanno la tea ezione, altrimenti proporzionalmente ulla bae delle ezioni delle vache) Come è evidente nella figura precedente che riaume in un unico piano carteiano le tre ucite, tutti e tre i livelli convergono allo teo valore. E anche evidente come, una volta interrotto il fluo d acqua in ingreo, iano le vache V e V a ricevere acqua dalla vaca V. Queto comportamento di equalizzazione è evidente anche (e oprattutto) nella ripota libera del itema. Si ipotizzi che le tre vache contengano inizialmente dell acqua e, in particolare, iano Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

24 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici V ( ) = m, V ( ) = m e V ( ) = m. Senza introdurre ulteriore acqua nel itema, ci i apetta che i m preenti compleivamente nel itema i ditribuicano equamente nelle tre vache, ovvero che paato un certo periodo di tempo tutte le vache abbiano m d acqua al proprio interno. Le figure di eguito riportante, che illutrano le tre ucite al variare del tempo, confermano ciò Dall analii delle tre ucite attravero un unico piano carteiano i può oervare come tutti e tre i livelli dell acqua nelle vache convergano al valore m (che, eendo la ezione di ogni vaca uguale a m, corripondono ad un volume di m ). Si può oervare anche come la vaca V, che i trova già al livello corretto, inizialmente aumenti il proprio volume in quanto i trova vicino ad una vaca con un alto volume (V tende quindi a fornire acqua a V ); tuttavia dopo che la vaca V ha cambiato acqua con la vaca V, anche il livello della vaca V tornerà normale. 8 8 L analii del comportamento del itema in preenza di ingrei particolari o di particolari logiche di funzionamento delle vache è poibile attravero l implementazione in Simulink delle vache comunicanti. Il modello adottato è quello illutrato nella pagina eguente. In tale modello ono eplicitate le variabili di tato (volumi dell acqua all interno delle tre vache), l ingreo e le tre ucite (livelli dell acqua nelle tre vache). Si ipotizzi di mettere in ingreo al itema un onda rettangolare come quella illutrata nella pagina m eguente in bao. La caratteritica di tale egnale è di valere cotantemente unità di tempo per m una unità di tempo, poi per tre unità di tempo, poi di nuovo unità di tempo per un altra unità di tempo e coì via. Il egnale in quetione è quindi un egnale periodico con periodo unità di tempo e rapporto : tra periodo in cui il egnale è non nullo e periodo in cui il egnale è nullo. E come e i aprie ad intermittenza il rubinetto in modo da fare ucire una quantità cotante di acqua per una unità di tempo u. Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

25 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici u(t) x'(t) x(t) /A y(t) k k x'(t) x(t) /A y(t) k k h h x'(t) x(t) /A y(t) h h Il riultato dell applicazione di un tale ingreo è un comportamento del itema tale che le vache i riempiono in maniera differente durante l unità di tempo in cui il erbatoio è aperto (in particolare, i riempirà di più la vaca V, poi V e meno di tutte V ) e i equalizzano durante le tre ucceive unità di tempo in cui il erbatoio è chiuo (ovvero, l ingreo è nullo). Queto comportamento è illutrato nelle tre figure della pagina eguente e nella ucceiva figura che illutra le tre ucite u un unico piano carteiano. Si noti come il comportamento particolare del livello della vaca V ia dovuto al fatto che eendo quella che i riempie più di tutte le vache arà anche quella che cala di volume per permettere il ribilanciamento dei livelli delle tre vache. Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

26 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici Per verificare ulteriormente il comportamento del itema in aenza di ingreo (ripota libera) i ipotizzi che la econda vaca abbia una ezione pari alla metà di quella delle altre due vache. In queto cao il itema diventa: ẋ(t) = x(t) + u(t) y(t) =. x(t). Le figure eguenti illutrano i livelli delle tre vache. In queto cao le ucite non convergono allo teo valore: in particolare, la econda ucita (che corriponde al livello della econda vaca) converge ad un valore che è il doppio del valore a cui convergono la prima e la terza ucita (i veda anche la figura nella pagina ucceiva in alto che illutra le tre ucite ullo teo piano carteiano). Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

27 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici 7 Queto riultato è coerente con il itema appena preentato: avendo la econda vaca una ezione pari alla metà di quella delle altre due vache, l equalizzazione dei livelli farà i che il livello della econda vaca ia il doppio ripetto quello delle altre due vache. Il itema illutrato può eere modificato in modo da pilotare dall eterno l acqua che i pota tra le vache. Per fare ciò è neceario utilizzare delle valvole che permettono di regolare il fluo e di fatto aegnare dei valori v (t) e v (t) alle portate in ingreo alle vache V e V (i veda la figura eguente). Valori poitivi di v (t) e v (t) indicano uno potamento d acqua da V a V e da V a V. Valori negativi di v (t) e v (t) indicano uno potamento d acqua da V a V e da V a V. P in (t) h (t) V (t) V (t) V (t) h (t) h (t) v (t) v (t) v (t) e v (t) ono a tutti gli effetti ingrei eterni del itema. Le equazioni di bilanciamento dei flui diventano quindi: d dt V (t) = P in (t) v (t) d dt V (t) = v (t) v (t) d dt V (t) = v (t) e le equazioni di tato diventano: ẋ(t) = x(t) + A y(t) = A x(t) A z(t) Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

28 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici 8 eendo z(t) il vettore degli ingrei: z(t) = P in (t) v (t) v (t) La differenza principale di queta clae di itemi LTI è che il paaggio dell acqua tra le vache (in particolare tra V e V e tra V e V ) non ia più automatico ulla bae dei volumi preenti nelle tre vache ma ia dovuto ad una regola impota dall eterno attravero la definizione di due nuovi egnali di ingreo. In queto modo è poibile imporre quando fare paare acqua da V a V (e vicevera) e da V a V (e vicevera). Una delle coneguenze di queta modifica è la compara dei parametri k e h che eprimevano il peo, ripetto ai volumi, nel paaggio d acqua tra le vache. Il modello Simulink i emplifica enormemente, come illutrato di eguito. I due nuovi ingrei v (t) e v (t) ono ben evidenti nel modello. Pin(t) x'(t) x(t) /A y(t) v(t) x'(t) x(t) /A y(t) v(t) x'(t) x(t) /A y(t) Analogamente a quanto vito in precedenza, i conideri la ripota al gradino (o, meglio, ai gradini). m In pratica i aume che il rubinetto eterno fornice una portata cotante di unità di tempo di acqua, m che la valvola tra V e V ia aperta in modo da far paare unità di tempo di acqua nella direzione m da V a V, e che anche la valvola tra V e V ia aperta in modo da far paare unità di tempo di acqua nella direzione da V a V. Il riultato è epreo dai tre grafici eguenti che illutrano i livelli dei tre erbatoi Come i può vedere (e come ci i apettava) tutta l acqua finice alla vaca V che quindi aumenta di volume in maniera lineare. Infatti, il metro cubo d acqua in ingreo alla prima vaca viene Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

29 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici 9 tutto traferito alla econda e, a ua volta, viene traferito all ultima vaca. Nelle prime due vache non rimane quindi nulla. m Si ipotizzi invece adeo che la portata d acqua fornita dal rubinetto ia unità di tempo, che la m prima valvola pompi. unità di tempo da V m a V, e che la econda valvola traferica unità di tempo da V a V (i vedano le tre figure eguenti che illutrano i tre ingrei utilizzati) Quello che ci i apetta in queto cao è che, non traferendo tutta l acqua che entra in una vaca nella ucceiva vaca, il volume delle tre vache aumenterà al crecere del tempo. Queta è proprio la ituazione illutrata nelle tre eguenti figure che rappreentano le tre ucite del itema (livelli delle tre vache) L analii comparativa dell andamento dei tre livelli ci motra come la pendenza della retta che rappreenta la econda ucita ia più alta della pendenza delle altre due rette. Queto è giutificato dal fatto che dei.m d acqua che entrano nella econda vaca (dalla prima) ogni unità di tempo, Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

30 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici olo m viene traferito alla terza vaca. I retanti. contribuicono ad aumentare il volume della econda vaca e ne innalzano quindi il livello. La prima vaca ha invece a dipoizione, ogni unità di tempo, olo. m (.) d acqua per innalzare il proprio livello e quindi la retta che decrive l aumento del livello avrà una pendenza minore di quella della econda vaca. La pendenza più baa è comunque quella della retta relativa alla terza vaca che aumenta il proprio volume di m d acqua ogni unità di tempo. Le figure ucceive (le prime tre illutrano i tre ingrei, le econde tre le tre ucite e l ultima figura motra le tre ucite u un unico piano carteiano) illutrano il comportamento del itema oggetto ad ingrei cotanti ma in cui, queta volta, la econda valvola traferice acqua dalla vaca V alla vaca V (quindi, da detra vero initra). Per rendere ignificativo l eempio ono tate coniderate le condizioni iniziali vite in precedenza). Il comportamento delle tre ucite è facilmente giutificabile. In particolare i noti che tutta l acqua preente all inizio nel terzo erbatoio è detinata a migrare vero il econdo, a caua del particolare funzionamento della econda valvola Come ultimo eempio i conideri il cao in cui il itema viene alimentato da una portata cotante pari a m unità di tempo, la prima valvola traferice acqua alternativamente da V a V e da V a V Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

31 Modellazione e Analii di Sitemi Idraulici m eguendo un andamento inuoidale con ampiezza unità di tempo e la econda valvola traferice acqua alternativamente da V a V e da V a V eguendo l andamento di un onda quadra comprea m tra e + unità di tempo. I tre egnali in ingreo ono rappreentati nelle tre eguenti figure Le ucite del itema ono di eguito rappreentate. Il livello dell acqua nella prima vaca aumenta con il paare tempo. Tale vaca riceve infatti almeno m ogni unità di tempo (quando ne traferice alla econda vaca) ma mediamente ne riceve con punte di 8 quando ne riceve dalla econda vaca. Si ha quindi un comportamento ocillatorio intorno ad una retta (figura a initra). Il livello dell acqua nella econda vaca varia in modo molto dicontinuo a caua del fatto che tale ucita è funzione del comportamento ocillatorio dovuto alla prima valvola e del comportamento ad onda quadra della econda valvola. Il riultato è un egnale come quello illutrato nella figura al centro. Anche il livello dell acqua nella terza vaca ha un comportamento particolare ma, in queto cao, l andamento è formato da tanti egmenti che, alternativamente, hanno pendenza e +, come illutrato nella figura a detra. Queto è dovuto al fatto che tale ucita è funzione olamente dell onda quadra che ocilla proprio tra e Le ultime tre figure illutrano le tee ucite u un orizzonte temporale maggiore che conente di oervare il particolare andamento della econda e della terza ucita Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi