8 Metodi per la valutazione approssimata (delle risposte in frequenza) delle funzioni di trasferimento in ciclo chiuso

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1 8 Metodi per la valutazione approimata (delle ripote in frequenza delle funzioni di traferimento in ciclo chiuo Introduzione Sono metodi che fanno uo dei diagrammi di Bode al fine di avere una valutazione approimata delle funzioni di traferiment o in ciclo chiuo, e quindi delle più importanti funzioni di traferimento yd ( j ( j ali valutazioni, benché approimate, i rivelano etremamente utili ia nell analii, ma oprattutto per la intei dei itemi di controllo, in quanto fornicono linee guida per la intei dei regolatori.

2 8. Sintei dei regolatori Conideriamo Conideriamo: RG Per generalità H la conidero generica, con poli/zeri molto lontani ull ae delle frequenze. Per convenienza di applicazione del metodo, criviamo: H Moltiplico e divido per H e allora introduco H ; queto erve perché l applicazione del metodo è coì facilitata e conidero la funzione di traferimento di anello chiuo che hanno a numeratore e a denominatore gli tei termini. In relazione al paaggio va coniderato che non dovrebbe creare preoccupazione la preenza di cancellazione tra H e /H: D N H H D R D G N D R H N G N N H R N G N H D R D G N D R H N G D N H R N G N H cancellazione eatta introdotta ad arte e lecita Detto ciò ci occuperemo di viluppare il metodo in relazione a, deducendone il uo diagramma di Bode. Se interea bata aggiungere (omma perché logaritmico il diagramma di /H; iccome poi H è cotante, bata alzare/abbaare. yt y r. Se poi H allora

3 Conideriamo la ripota in frequenza (j; uddividiamo allora l intero ae delle pulazioni in zone divere nelle quali i verifica: a ( j >> b ( j << c ( j I egni >> ignificano >: >> <<. allora. ( j Quindi avremo: Quindi non vi è mai contiguità tra a e b. Zone di approimazione A eguito della uddiviio ne fatta avremo che: a >> b << Per quanto riguarda la zona c rinviamo a dopo. Approimazione della fae cumulativa Oerviamo: per quanto riguarda le approimazioni tra gli argomenti deve eere chiaro che ono approimazioni riguardanti gli angoli minimi atti a rappreentare le orientazioni dei numeri complei. ali approimazioni NON riguardano le fai cumulative che abbiamo empre coniderato per Bode e Nyquit. 3

4 Se i vogliono coniderare le fai cumula tive è facile vedere che le approimazioni tra a e b vanno coì ricritte: a >> φ ( kπ b << φ ( φ ( lπ Quindi la φ la individuo a meno di multipli di π. Concluioni parziali i ho un metodo certo per approimare nelle zone di tipo (a e ti tipo (b ii abbiamo ancora il problema aperto di tabilire come approimare (c nelle zone di tipo iii problema di raccordare coerentemente le fai cumulative (ciacuna tabilità modπ nell ambito della equenza di zone. Queti problemi verranno riolti nel proieguo della trattazione. Eempio In corripondenza del taglio ho eguaglianza dei moduli e trovo. 4

5 In ho le approimazioni poibili con i riultati avuti e le fai cumulative ono a meno di π e queto riguarda ia le continue che le approimazioni. Il cao rappreentato preenta una ola t dall alto vero il bao, il che è tipico: in queta ituazione: a BF (zona di baa frequenza b AF (zona di alta frequenza c MF (zona di media frequenza Affinamento approimazioni in BF Soffermiamoci ulla approimazione in modulo: conideriamo la BF, quali ono gli zeri di nella zona BF? Gli zeri ono gli zeri della catena diretta più i poli della catena invera collocati in BF. Nel cao di : catena invera ; allora gli zeri di ono gli zeri di in BF. Allora concludiamo che deve avere in BF uno zero in corripondenza di τ. Del reto però e guardo l approimazione fatta tale zero non i evidenzia e allora come riolve queto apparente paradoo? Neceariamente in proimità dello zero collocato in deve eeri poizionato un polo in cloed loop approimativamente τ uguale a τ, e queto accade l approimazione vale ia in modulo che in argomento. Quindi e conidero anche la BF: 5

6 Non appiamo ancora dicriminare tra ( e (. Saper dicriminare tra ei può eere utile e foe neceario affinare l approimazione fatta in BF. Per poter dicriminare è ufficiente fare riferimento anche in modo qualitativo al luogo delle radici corripondente : riportiamo ul piano compleo poli e zeri della funzione di traferimento di anello (ricordare la differenza tra le cale: logaritmica con Bode, lineare con il luogo. Diegniamo i poli/zeri di anello aperto: Il luogo lo diegno penando alle cale: x ovrappoti x -5 lontaniimo Allora in relazione al problema di dicriminare tra il cao ( e ( bata guardare il luogo delle radici in BF: il polo in ciclo chiuo è quello che proviene da initra e quindi ottengo polo in ciclo chiuo che è in modulo più grande e allora iamo nel cao (: 6

7 Affinamento dell approimazione in AF Riconideriamo la zona in AF: l approimazione ci dice che i poli della otanzialmente coincidono con quelli di ciclo aperto di AF della. La verità è che nella AF la coincidenza dei poli è olo approimativa e in realtà: Allora il polo in cloed loop i è potato da 5 Sembra lontano perché lo è! Infatti Bode è logaritmico. Ditanze logaritmiche uguali danno potamenti molto diveri ripetto a cale lineari. La parola vicino va intea u cala logaritmica. Approimazione in MF Per capire coa accade in MF viene in aiuto il luogo delle radici: la parte di luogo dovuta a poli e zeri in BF e AF otanzialmente non influenza il luogo delle radici di MF; o meglio il luogo delle radici di MF è approimabile con il luogo che i avrebbe qualora tutti i poli di BF foero concentrati nell origine ( e tutti i poli di AF foero traferiti all infinito (. 7

8 Allora concludiamo altreì che i retanti poli e zeri ono quelli collocati in MF, cioè quelli collocati nella corona circolare. Allora per calcolare approimativamente i poli di MF bata approimare la nella zona di MF con una approimante : (nel eguito: R G H che differice da per il fatto di avere: - poli e zeri di BF nell origine - poli e zeri di AF all infinito Quando R G H è trovata, allora l andamento approimato della relativa alla MF può y r eere trovato banalmente: y r coniderata nella zona di MF; in particolare i poli in cloed loop in MF li poo trovare riolvendo l equazione caratteritica: R GH Il vantaggio che e ne ha (qui è di grado ta nel fatto che R G H è di truttura molto più emplice della originaria. Nel notro eempio: di ordine 4, R G H di ordine (un polo nell origine e un altro. Sitemi a fae minima Nei cai, particolari, ma etremamente comuni, di itemi a fae minima (come l eempio, appiamo che per avere tabilità in cloed loop, al taglio deve empre avvenire una 8

9 tranizione di tipo /-, -/- o piena. E queto corriponde a econd ordine. Numero di poli in ciclo chiuo in MF R G H al più di In ogni cao, anche enza effettuare i prolungamenti, il numero di poli cloed loop preenti in MF è può eere calcolato: dove p numero poli cloed loop in MF MF α MF z MF p α differenza tra le pendenze dei diagrammi di modulo approimanti in MF ucita dalla zona MF e in ingreo alla zona di MF (eempio: entro ed ece MF Importante! Devo coniderare i diagrammi approimanti z numero di zeri in MF, che coincidono con gli zeri di. MF Procedura per l individuazione della Per individuare R G H eguo i pai: R G H approimante Eprimo nella forma di Bode. Nel notro cao: K ( ( ( ( ( Si individuano nella i termini corripondenti all divere zone di BF, MF, AF: BF ( τ ; ( ; ( MF 4 AF 5 3 Si raccolgono dai oli termini di BF tutte le τ (per poli reali minori di zero, tutte le -τ (per poli reali maggiori di zero e tutte le (coppie di poli coniugati. Quindi nel notro cao: kτ τ τ 4 Si effettuano le eguenti otituzioni: 3 3 ( / τ ( / τ ( / τ ( (

10 Quindi: a Si otituice ad ogni termine del prim ordine di BF e ad ogni termine del econd ordine di BF b Si otituice ad ogni termine di AF c Si laciano inalterati i termini di MF A valle dell eecuzione di queto pao ottengo A queto punto faccio i miei conti: I poli in open loop li trovo con: Allora ottengo numeri. kτ τ τ 3 R G H cercata. y r R GH ( in MF e i poli in cloed loop in MF. Da completare con calcoli e A valle di tutto ciò il luogo delle radici mi è ervito olo per avere indicazioni. I diagrammi di Bode ono in queto conteto più importanti. abella riauntiva BF AF MF zeri zeri zeri zeri R GH poli zeri poli zeri ( in eno logaritmico Queta regola è nota come regola comanda il più bao. Nell eempio ottengo due poli complei nella MF. Diagramma approimato delle fai Paiamo ora a vedere come i raccordano le fai: 4

11 Non reta che raccordare le fai. Raccordare le fai ignifica coniderare le approimazioni dei vari campi, coniderare in equenza ta li campi da initra a detra e quando i paa da un campo all altro raccordare la fae modπ con quela della zona precedente. Partiamo da BF e riportiamo la fae cumulativa approimazione: BF la fae è circa zero e la riporto fino a MF In MF conideriamo la funzione approimante: MF y r Andiamo a vedere l argomento di queta e lo poto in modo che i raccordi con la zona precedente. Nell eempio: in MF è a fae minima con poli a Re< e neuno zero e il uo guadagno vale allora inizia con fae zero ed ece con 8 : allora mi raccorda naturalmente con la zona precedente. In AF abbiamo che r y AF è ancora a fae minima: il uo argomento parte da 8 e va a 7 (perché -3 e allora i raccorda naturalmente. Per il itema a fae minima e K> il problema delle fai non c è; qualora i abbia a che fare con itema a fae minima e K> non vi è mai il biogno di pori il problema delle fai cumulative enza fare alcuna compenazione modπ. Quindi poo ragionare ul olo modulo.

12 Queta è la coneguenza del fatto che e il itema a fae minima e K> allora tutte le approimazioni ono a fae minima e K>, ragion per cui le fai i raccordano naturalmente. Queto no accade e non è a fae minima (poli, zeri Re> o K<. Si coniglia di procedere a tracciare prima nelle varie zone i diagrammi a gradinate" anziché quelli continui, e poi procedendo a raccordare tali diagrammi, e olo dopo a fare un raccordo continuo (a matita nel diagramma di prima. Eempio: itema a fae non minima Conideriamo un altro eempio per itemi con non a fae minima. Supponiamo di avere: non è a fae minima, uppongo K> Re(p > Re(p 4 > Re(p5< Da rifare con pezzate. Individuiamo le zone BF, MF, AF e applichiamo il comanda chi ta otto. Per i moduli faccio BF e AF con eventuali affinamenti. Per la fae conidero prima a matita BF e AF modπ a gradinata, dovrò poi equilibrare la fae AF. Poiamo tradurre la ituazione ul luogo delle radic i, anche e poi non arà necearia: i parte da zona in MF:

13 La zona di MF è comprea nella corona circolare di raggi e. Vale il olito dicoro: l aggregato di poli in BF i comportano come un olo polo nell origine e quello in AF è come e foe all. La parte di BF ci erve olo per affinare l approimazione in ciclo chiuo dei moduli. Per la MF il comportamento è quello del luogo delle radici nella corona. Procediamo a calcolare la R G H approimante, cioè prolungo a initra e a detra il comportamento di in MF. Nel notro cao: applichiamo la procedura: e τ Kτ τ K( ( 3 ( ( ( ( 3 ( K AF ( 3 ( τ ono in BF e otituico ai termini di BF. Notiamo che K è ne gativo. 4 3

14 Può eere intereante capire come R G H i interpreta nei diagrammi di Nyquit: prendiamo piano compleo e plottiamo ed evidenziamo il comportamento in MF: diegniamo cerchi.// che caratterizzano la MF: Per BF il t utto i volge all eterno del cerchio di raggio La notra R G H è coì: faccio finta che Nyquit globale ia quello di MF eteo in tutte le frequenze: Se guardiamo queto ha polo nell origine, ma guadagno negativo e quindi parte con fae 7 : il uo percoro di Nyquit arà: 4

15 aggiramento che manda a 7 A queto punto: abbiamo la R G H r K K ( K( 3 ( K( 3 y ( a denominatore c è un polinomio caratteritico di econd ordine da cui ricavo i poli. Allora ottengo modulo e fae (eventualmente da raccordare. Nettiamo l approimazione in forma di Bode: K( 3 ( 3 y r τ3 τ4 τ3 τ 4 K K K K K < K Se metto i numeri e otituico ottengo un polinomio caratteritico enza variazioni e quindi c è tabilità (Re<. Notiamo che in MF la funzione di traferimento ha guadagno, due poli con Re< e uno zero che doveva eerci. Ora vediamo in MF la R G H : 4 3 Il luogo delle radici corripondente arà: 5

16 Abbiamo concluo: ha zero negativo in τ 3 ha poli con Re< ha guadagno. Allora ottengo le approimazioni: In MF non devo hiftare la fae perché parte già da. Per raccordo della fae di AF devo abbaarlo di π. Di fatto noi lavoreremo olo in MF. 6

17 Alcune coniderazioni finali circa l applicazione del metodo Oervazione : qualora facendo l approimazione capitae di avere La zona di MF capita u polo/zero conviene allargarla a patto di non aumentare ecceivamente la compleità. Ad eempio e abbiamo: 7

18 8 Oervazione : vi poono eere dei cai in cui può apparire dubbio il modo di prolunga- re il comportamento in MF: ad eempio: Quando ci ono ituazioni con poli complei a bao morzamento è bene includere la zona in MF. Allora per MF avremo la ituazione prolungata: Nonotante vi ia attraveramento. e troveremo che non cambia molto, infatti: ξ K GH R Allora: K ξ ( ξ K Allora ( ( K K ξ Allora retroazionando i poli di prima con K ottengo in cloed loop:

19 K cioè ξ ξ ( K K ξ ξ K allora K è piccolo e quindi e ξ ξ. Allora per la ituazione di prima la MF riulta non modificata e la conidero AF non modificata : Vale ono e il picco parte otto.. Non vale e: Approimazione per altre funzioni di traferimento Le tecniche di approimazione le poo uare per calcolare anche altre funzioni di traferimento. Ad eempio Se voglio valutare funzione di traferimento tra riferimento ed errore miurato e r 9

20 >> er << Reta per le fai il problema del raccordo: er (eguaglianza in modulo e argomento Allora in >> devo ribaltare. Per la MF i procede prolungando la : Qualora er foe già tato calcolato allora i poli MF già calcolati ono gli tei (nel cao in quetione ho due poli. Analogamente e avei voluto funzione di traferimento tra diturbo e ucita y: ora però: yd G d er quindi queto lo ho già calcolato e allora ommo logaritmicamente la G d. Coì anche per: con omma logaritmica. H yd '

21 Comportamenti tipici in MF per itemi a fae minima e guadagni d anello K> Per itemi a fae minima, vedremo nel capitolo ulla intei, è conveniente in MF, in proimità del taglio (poto ia unico e dall alto vero il bao, riconduri a uno dei tre cai tipici. Quete corripondono a ituazioni tabili. Vediamo coa uccede in dettaglio: (a Facendo i conti: y r t allora ho un olo polo reale coincidente con la t e che i ottiene in coincidenza di: K t

22 (b Conideriamo coa uccede al variare del taglio: t : pulazione di taglio approimata t : pulazione di taglio reale Se iamo in queta condizione: ξ y r termine di econd ordine enza zeri, perché in MF non ci ono zeri. Quanto valgono e ξ? ξ K τ Kτ K della prolungata è proporzionale al guadagno. ξ all aumentare di K (abbaa taglio diventa più piccolo. ξ per K t 4τ 4 τ (perché iamo in zona di taglio a

23 allora e K iamo ulla parte u ae reale del luogo delle radici. Allora e immaginiamo di variare il guadagno: 4τ All aumentare del guadagno il margine di fae è empre più piccolo. Abbiamo ora meo in relazione la e ξ del cloed loop con il guadagno K applicato. E utile mettere in relazione e ξ anziché con K con il margine di fae: inγ ξ ( coγ ( t co γ Relazioni eatte che ora approimo. t pulazione di taglio vero. Allora i nota ξ per γ 75 (margine di fae vero 3

24 Se andiamo a plottare: Poiamo notare che il rapporto t varia con il margine di fae crecente da a finché i poli ono complei coniugati (ξ<; allora è empre maggiore di t. Al diminuire di γ le due tendono a coincidere. In pratica qualora γ<6 i può accettare come approimazione indicata per la intei: γ ξ t γ ( rad γ < 6 t valutata u diagrammi a pezzate. La conocenza delle approimazioni ono indicativi per fiare l ordine di grandezza della frequenza di taglio e del margine di fae. 4

25 Paiamo a coniderare il terzo cao: (c Luogo delle radici approimato MF: Avremo: dove ξ y r K τ ξ K K è K della prolungata. 5

26 4 ξ K τ t 4 τ uccede l eatto oppoto di prima: all aumentare di K aumenta γ. In corripondenza di t 4/ τ avremo γ75. Anche qui poo mettere in relazione e ξ con γ. Si ottiene: otteniamo: inγ ξ coγ co γ t ( ( in queto cao <t però tende a coincidere al decrecere del margine di fae (comunque e t non ono lontane ul logaritmo. Anche in queto cao poo avere indicazione pratica ull ordine di grandezza di e ξ: γ ξ γ γ ( rad formule utili per individuare taglio e morzamento. t 6 Quindi i capice come all aumentare di K, cioè allo cendere dell ae unitario avremo: 6

27 Sia nel cao (b che nel cao (c e vado a tagliare in modo che t τ in queto cao Notiamo che in queta ituazione γ vero arà: ξ.5 γ 55 6 Quindi maggiore di 45, dove margine di fae di 45 è quello voluto coniderando le approimazioni a pezzate, queto perché c è approimazione di t. 7