1 = (parabola unitaria) si determini l errore di regolazione a regime:

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1 A - Tet d ingreo alla Prova Scritta di Controlli Automatici A del Ottobre 00 ( + ) ( ) + ) Dato un itema dinamico Σ con funzione di traferimento T() crivere i modi di Σ : ( + ) + 9 t { modi di Σ } {, tt,, e in( t+ ϕ) } ( + )( + 0) ) Dato un itema dinamico Σ con funzione di traferimento T() tabilire: 4 ( + ) ( + ) + ٱfalox ٱ Σ è aintoticamente tabile: vero ٱx Σ è emplicemente tabile vero ٱfalo ٱx falo ٱ Σ è intabile: vero ٱ falo ٱx Σ è a fae minima: vero ٱx falo ٱ Σ è tabile ingreo-limitato ucita limitata: vero ) Un itema dinamico Σ ha il polinomio caratteritico tabilire: ٱ falo ٱx Σ è aintoticamente tabile vero ٱ falo ٱx Σ è tabile ingreo-limitato ucita limitata: vero Σ è a fae minima: vero falo non è poibile tabilirlo x 4) Ad un itema dinamico in quiete con funzione di traferimento ut () () t Determinare le cotanti A B (gradino unitario). L ucita corripondente ha la truttura 8 viene applicato l ingreo ( + )( + 4) yt t 4t A Be + + e per t 0. 5( + ) 5) Un itema in retroazione unitaria ha guadagno di anello L (). Applicando il egnale di riferimento rt () t() t et et rt yt tlim + 5 (parabola unitaria) i determini l errore di regolazione a regime: 6) Un itema retroazionato è aintoticamente tabile. Il diagramma polare del guadagno di anello aociato ha quattro interezioni con l ae reale negativo in. Determinare il margine di ampiezza M A 0, 4 0 7) Determinare il egnale f () t nota la ua traformata di Laplace F () : f () t t ) Data un itema con funzione di traferimento determinare il uo grado di tabilità ed il ( + 6) ( + ) + 5 tempo di aetamento in ripota ad un gradino dell ingreo: GS Ta 9) Dato un itema rappreentato dall eq. differenziale D + 4D + D+ 5 y u dove u() t è l ingreo e yt () è l ucita tabilire: 0 Se ut C yt C vero x falo 0 Se ut C yt C vero x falo 5 Se ut C yt C vero falo x 6 Se ut C yt C vero x falo 0) Dato il luogo delle radici di equazione caratteritica + K 0 con K poitivo determinare il + 0 centro della tella degli aintoti: σ a 5 ; è poibile aegnare un valore di K per il quale il grado di tabilità corripondente è maggiore di 6 rad/ : vero falo x non è poibile tabilirlo

2 B - Tet d ingreo alla Prova Scritta di Controlli Automatici A del Ottobre 00 ( + ) ( ) + 5 ) Dato un itema dinamico Σ con funzione di traferimento T() 4 ( + ) ( ) + 4 t t t t t { modi di Σ } { e, te, t e, t e, e in( t+ ϕ) } crivere i modi di Σ : ( )( + ) ) Dato un itema dinamico Σ con funzione di traferimento T() tabilire: 4 ( + 7) + 5 ٱx falo ٱ Σ è aintoticamente tabile: vero ٱx falo ٱ Σ è emplicemente tabile vero ٱ falo ٱx Σ è intabile: vero ٱx falo ٱ Σ è a fae minima: vero ٱx falo ٱ Σ è tabile ingreo-limitato ucita limitata: vero ) Un itema dinamico Σ ha il polinomio caratteritico 7+ 6 tabilire: ٱx falo ٱ Σ è aintoticamente tabile vero ٱx falo ٱ Σ è tabile ingreo-limitato ucita limitata: vero Σ è a fae minima: vero falo non è poibile tabilirlo x 4) Ad un itema dinamico in quiete con funzione di traferimento viene applicato l ingreo ( + )( + 6) t 6t ut () () t (gradino). L ucita corripondente ha la truttura yt A+ Be + e per t 0. Determinare le cotanti A B 6 5) Un itema in retroazione unitaria ha guadagno di anello L (). Applicando il egnale di riferimento rt () t () t (rampa unitaria) i determini l errore di regolazione a regime: lim et ( et rt yt ) t + 6 6) Un itema retroazionato è aintoticamente tabile. Il diagramma polare del guadagno di anello aociato ha quattro interezioni con l ae reale negativo in 0, Determinare il margine di ampiezza M A 7) Determinare la eguente antitraformata di Laplace L in( t) + 6 8) Data un itema con funzione di traferimento ( + ) ( + ) + 4 tempo di aetamento in ripota ad un gradino dell ingreo: G T [] S determinare il uo grado di tabilità ed il a 9) Dato un itema rappreentato dall eq. differenziale tabilire: 0 Se ut C yt C vero x falo Se D + 5D + D+ y u dove u() t è l ingreo e yt () è l ucita 0 ut C yt C vero x falo 6 Se ut C yt C vero falo x Se 0) Dato il luogo delle radici di equazione caratteritica + K 0 con K poitivo determinare il + 8 centro della tella degli aintoti: a 4 K tabilità corripondente è maggiore di 5 rad/ : vero falo x non è poibile tabilirlo 6 ut C yt C vero x falo σ ; è poibile aegnare un valore di per il quale il grado di

3 Soluzione Parte A Scegliamo τ 0.5 per cancellare il polo piu vicino all origine, otteniamo k(+ 0.5 ) k L () PC () () ( + 0)( + ) ( α) ( + 0)( α) dalla pecifica abbiamo che lim 0 + L 0 da cui i ricava che k 80. Per determinare α chiediamo che il diagramma di Nyquit pai per il punto j, che corriponde ad imporre da cui i ricava il itema e i ottiene 0,04 Il controllore e quindi Parte A 80 un margine di fae pari a 60º, otteniamo quindi j, ( + 0)( ) ω (0α + ) ω 90 αω 0 α, cartando la oluzione eterna all intervallo (0,). (+ 0.5 ) C 80. ( ) α j Il guadagno di anello e dato da L () k + + ( + 5)( + )( ; ) per imporre il grado di tabilita deiderato facciamo il cambio di variabile w + e uiamo il metodo della tabella di Routh per imporre la tabilita nella variabile w. L equazione caratteritica riulta ww ( + 4)( w ) + kw ( + ) 0 da cui w + w + w( 8 + k) + k 0; imponendo mediante la tabella di Routh che tutte le radici iano a parte reale negativa otteniamo la condizione k 6.

4 Univerità di Parma Facoltà di Ingegneria Prova Scritta di Controlli Automatici A del Ottobre 00 Soluzione PARTE B ) Sia L( ) ( ω) L j ( + ) ( + 0) 50 : ω 50( + ω ) ( 00 + ω ) / ( ω) L j arg L( jω ) π arctg0.ω+ arctgω L jω : Studio del diagramma polare di 50( jω + ) ( jω) ( jω+ 0) + Comportamento per ω 0 : Il diagramma polare parte da un punto all infinito lim L jω ω 0+ + ω 0 ( ω) lim arg L j π Comportamento per ω : Il diagramma termina nell origine tangente a uno degli ai coordinati, eendo lim L jω 0 ω lim arg L j ω ( ω) π Calcolo dell interezione del diagramma polare con l ae reale negativo: ( p ) arg L jω π π arctg0.ω+ arctgω π π arctg0.ω+ arctgω + tg 0.ω 0 ( arctgω) ω ω + 0 ω 0 ω 5/ 4.8 rad / ec p

5 ( ω p ) ( ω p ) L j L j 8 8 Il diagramma polare del guadagno di anello riulta pertanto: 8 ) Il diagramma polare completo è: 8

6 Si può concludere che per il criterio di Nyquit il itema retroazionato è aintoticamente tabile, infatti il numero totale di giri del diagramma polare completo attorno al punto critico - è nullo. Soluzione PARTE B Vedani le dipene Parte 6, pp. 8-44

7 Univerità di Parma Facoltà di Ingegneria Prova Scritta di Controlli Automatici A del ottobre 00 PARTE C C) Si tracci il luogo delle radici della eguente equazione caratteritica: ( 4) ( 4) + + K 5 per K [ 0, + ) e per K (,0], determinandone in particolare aintoti e radici doppie. Soluzione: Si oervi innanzitutto che i ha la eguente configurazione di poli e zeri: o uno zero per 0 con molteplicità o uno zero per 4 con molteplicità o uno polo per 4 con molteplicità 5 Eendo n m il luogo (ia diretto che invero) preenta tre aintoti. Tali aintoti formano una tella di raggi con centro nel punto dell ae reale di acia σ a (( ) ( 4)) 8 [ ) LUOGO DIRETTO ( K 0, + ): Tenendo conto delle eguenti oervazioni o un punto dell ae reale fa parte del luogo delle radici e i lacia alla ua detra un numero totale dipari di zeri e di poli. o il luogo delle radici ha 5 rami. o gli aintoti formano con l ae reale gli angoli π 5 θ a,0 ; θa, π ; θa, π o le radici doppie ono individuate dalle oluzioni della eguente equazione cioè e riultano eere ; 0.74 i nota ubito che la econda oluzione non appartiene al luogo diretto delle radici, per cui i può concludere che l unica radice doppia i ha nel punto di acia. i può dedurre che il luogo delle radici (per K > 0 ) ha l andamento riportato in figura.

8 0 0 0 LUOGO INVERSO ( ( ] Figura. Luogo diretto K,0 ): Tenendo conto delle eguenti oervazioni o un punto dell ae reale fa parte del luogo delle radici e i lacia alla ua detra un numero totale pari di zeri e di poli. o il luogo delle radici ha 5 rami. o gli aintoti formano con l ae reale gli angoli 4 θ a,0 0 ; θa, π ; θa, π o le radici doppie ono individuate dalle oluzioni della eguente equazione cioè e riultano eere ; 0.74 i nota ubito che la prima oluzione non appartiene al luogo diretto delle radici, per cui i può concludere che l unica radice doppia i ha nel punto di acia. i può dedurre che il luogo delle radici (per K < 0 ) ha l andamento riportato in figura.

9 0 0 0 Figura. Luogo invero Soluzione PARTE C Si vedano le dipene Parte 6, pp. 5-7 e -.