Modellazione e Analisi di Sistemi Meccanici

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1 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici Davide Giglio Maa in movimento Si conideri il itema rappreentato in figura. Il itema conite in una maa che può correre orizzontalmente. La maa non è in alcun modo vincolata e può quindi correre in entrambe le direzioni. Sulla bae di coniderazioni fiiche è poibile mettere il itema in equazioni di tato e tudiarne quindi il comportamento al variare delle grandezze in gioco (maa, forza imprea, attrito del terreno, poizione e velocità iniziali, ecc.) v(t) h v(t) u(t) p(t) Per mettere in equazioni di tato un itema meccanico biogna fruttare la legge di Newton F = ma dove F è la forza riultante applicata ulla maa (ovvero la omma vettoriale di tutte le forze applicate), m è la maa (che viene uppota puntiforme in modo da applicare ecluivamente la legge di Newton) e a è la ua accelerazione. Nella figura precedente, oltre alla poizione p(t) e la velocità v(t) della maa, ono indicate tutte le forze in gioco: u(t) è una forza eterna applicata per fare muovere la maa (valori poitivi di u(t) indicano una forza vero detra mentre valori negativi indicano una forza vero initra); h v(t) è la forza di attrito che i oppone al moto (tale forza è proporzionale alla velocità ed ha egno contrario alla velocità). In generale, nei itemi meccanici, lo tato del itema è rappreentato dalla poizione e dalla velocità di tutte le mae preenti all interno del itema. L ingreo è cotituito dalle forze e dai momenti applicati dall eterno. L ucita è infine rappreentata dalla poizione e/o dalla velocità di una o più mae del itema. Tornando alla legge di Newton, nel notro cao i ha: u(t) h v(t) = m a(t) = m v(t) Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

2 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici Ricordando che la velocità è la derivata nel tempo della poizione, i hanno le eguenti equazioni differenziali che vanno a cotituire le due equazioni di tato del itema: ṗ(t) = v(t) v(t) = m [ u(t) h v(t) ] = h m v(t) + m u(t) Coniderando come ucita la poizione della maa, i ottiene: [ ] [ ] ẋ(t) = h x(t) + u(t) m m y(t) = [ ] x(t) Queto itema rappreenta una clae di itemi dinamici lineari tempo-invarianti (LTI) e non un itema LTI. Studiando le proprietà trutturali (tabilità, controllabilità, oervabilità, i ottengono informazioni u tutta la clae. In genere i fornicono riultati al variare dei parametri del itema (nel notro cao, m e h). Lo pecifico itema i ottiene invece otituendo ai parametri i valori pecifici. Si abbia ad eempio: m =.5 Kg h = 3 Kg Il itema riultante è: [ ẋ(t) = 6 y(t) = [ ] x(t) ] [ x(t) + ] u(t) Valutiamo il comportamento del itema attravero Matlab / Simulink. Nelle due figure eguenti ono illutrati la ripota all impulo e la ripota al gradino del itema..35 Impule Repone.7 Step Repone Come è poibile vedere, la maa, inizialmente ferma (e non diveramente pecificato, il itema ha condizioni iniziali nulle), inizia a muoveri ottopota ad una forza in ingreo impuliva, ma, a caua dell attrito, tende via via a rallentare e a fermari in una poizione divera da quella di partenza (in verità il itema non i ferma mai ma tende all infinito a quella poizione). Se Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

3 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici 3 invece viene applicata al itema una forza cotante nel tempo (gradino), la maa arà empre in movimento e i allontanerà empre più dalla ua poizione di partenza (con velocità cotante). Applicando forze eterne che tendono a vanire nel tempo (i peni ad eempio ad una forza il cui andamento nel tempo è aimilabile ad un eponenziale negativa) i otterrà comunque l arreto del veicolo, empre a caua dell attrito, dopo un certo periodo di tempo (i potrà verificare queto apetto con Simulink). Attravero Matlab è poibile valutare la ripota libera del itema in preenza di condizioni iniziali non nulle. Si conideri, ad eempio, il cao in cui la maa, all inizio, i tia già muovendo ad una velocità di m e i trovi ditante un metro dalla poizione di origine. La ripota libera è: 3 Repone to Initial Condition Come i può vedere, la maa parte da metro e tende, per effetto dell attrito e della mancanza di forze eterne, a fermari dopo circa.7 metri. Le pretazioni del itema (ad eempio, il tempo di arreto della maa ottopota ad una forza impuliva) cambiano enibilmente al variare dei parametri. Un coefficiente di attrito h più elevato farà i che l arreto della maa avvenga in tempi più brevi. Allo teo tempo, una maa maggiore renderà il tempo di frenata più lungo, ma contemporaneamente, ervirà una forza maggiore per fare muovere la maa tea. Si conideri ad eempio un coefficiente di attrito h = Kg. I eguenti grafici illutrano la ripota all impulo e la ripota al gradino del itema. Si può vedere come la maa freni più rapidamente e come i muova più lentamente..35 Impule Repone.7 Step Repone Attravero Simulink è poibile analizzare il comportamento del itema ancora più dettagliatamente. La rappreentazione del itema in Simulink può eere fatta in diveri modi. La maniera Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

4 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici 4 più emplice è quella di utilizzare il blocco LTI Sytem del Control Sytem Toolbox (i veda la figura eguente). Ingreo (A,B,C,D) Segnale di Ingreo Maa in Movimento Ucita All interno del blocco LTI Sytem vi è la rappreentazione in termini di equazioni di tato del itema (definito quindi attravero le matrici A, B, C e D). Nel itema rappreentato è tata mea come ingreo un onda quadra con periodo econdi e rapporto / pari al 5%. La caratteritica di un egnale di queto tipo (illutrato nella figura ottotante a initra) è di valere nel 5% del periodo e nel retante 5%. Con un egnale di ingreo di queto tipo il itema i comporta come illutrato nella figura ottotante a detra: in corripondenza dei valori di ingreo pari a la maa i pota quai linearmente (fa fatica all inizio del periodo a caua dell attrito) mentre rallenta fino a fermari in corripondenza dei valori di ingreo pari a. E importante oervare come la preenza della forza di attrito renda l andamento privo di pigoli..5 Ingreo.8 Ucita Un altro modo di rappreentare il itema attravero Simulink è quello di modellare eplicitamente le variabili di tato. Il itema di eguito rappreentato modella il itema in queto modo. t t -t e^(-t) x' x = x' x e u - Integrator of x Integrator of x Ucita 6 In queto modello Simulink ono preenti (e opportunamente indicate) le variabili di tato. Gli unici blocchi che rappreentano un itema dinamico ono degli integratori che conentono di ottenere Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

5 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici 5 le variabili di tato x e x a partire da ẋ e ẋ ripettivamente. Seguendo i fili del itema è poibile ricotruire le variabili di tato: è immediato verificare che ẋ è dato dalla differenza tra l ingreo moltiplicato per e la variabile x moltiplicata per 6, mentre ẋ è uguale a x. Nell eempio rappreentato nella figura della pagina precedente, l ingreo è un eponenziale negativa, più preciamente e t. Con tale ingreo (illutrato nella figura ottotante a initra), la ripota forzata del itema è uguale al egnale illutrato nella figura eguente a detra. E poibile oervare come la maa inizialmente i poti ma, all eauriri della forza in ingreo, tende a fermari a caua della forza oppota di attrito. Ingreo.6 Ucita Il modello Simulink appena vito conente la getione dello tato iniziale del itema. E poibile infatti aociare uno tato iniziale ai due blocchi integratori che equivale a definire i valori x ( ) e x ( ). In queto modo è poibile tudiare il comportamento del itema oggetto a forze di ingreo non nulle e/o condizioni iniziali non nulle, ovvero tudiare la riultante delle ripote libera e forzata. x' x = x' x Integrator of x Integrator of x Ucita 6 A titolo di eempio i conideri il itema qui opra rappreentato. In tale itema è tato poto a lo tato iniziale del blocco Integrator of x e a lo tato iniziale del blocco Integrator of x, cioè i è uppoto che, nello tato iniziale, il blocco i trovi a metro dall origine e i tia muovendo ad una velocità di m. Inoltre, all ingreo del itema è applicato un egnale come quello illutrato nella figura della pagina eguente (in alto a initra). Il egnale di ingreo è un gradino negativo (con ampiezza -) valido nell intervallo da a 9 (nei retanti itanti di tempo l ingreo è nullo). In pratica, i applica al itema, per un periodo di tempo limitato, una forza oppota al moto preente nello tato iniziale. La ripota compleiva del itema (ripota libera + ripota forzata) è illutrata nella figura della pagina eguente (in alto a detra). Queta ripota è giutificabile con emplici coniderazioni fiiche. Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

6 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici 6.5 Ingreo.5 Ucita All inizio del periodo di tempo, nonotante la forza contraria in ingreo, la maa i pota vero detra (da metro arriva quai a metri e mezzo) a caua della velocità che preenta nello tato iniziale. Dopo un certo periodo di tempo però la forza in ingreo caua il cambiamento di direzione della maa che inizia a tornare indietro vero initra. Da queto momento la maa i pota linearmente empre vero initra fino a quando l ingreo non diventa di nuovo nullo. A queto punto, eauritoi l ingreo, la maa tende a fermari (a circa 35 centimetri a initra dell origine) a caua della forza di attrito. Sitema Maa-Molla Si conideri il itema rappreentato in figura. Il itema conite in una maa che può correre orizzontalmente. La maa è attaccata a initra ad una molla che, a ua volta, è collegata ad un punto fermo del itema (i conideri tale punto come poizione di origine). Spotandoi vero detra la maa etende la molla, mentre potandoi vero initra la contrae. Come nel cao precedente, è poibile fruttare la legge di Newton per mettere in equazioni di tato il itema. k p(t) v(t) h v(t) u(t) p(t) La molla attaccata alla maa provoca, ulla maa tea, una forza che tende a richiamare la maa vero l etremità oppota della molla (quella attaccata al punto fermo). La molla è caratterizzata da un coefficiente di elaticità k e i uppone che la ua maa ia tracurabile. Le forze applicate alla maa (i veda la figura precedente) ono quindi: la forza eterna u(t); la forza di attrito h v(t); Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

7 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici 7 la forza elatica della molla k p(t) (tale forza è proporzionale, con egno contrario, all etenione della molla ovvero alla ditanza tra la maa, uppota puntiforme, e il punto fermo). Dalla legge di Newton, in queto cao, i ha: u(t) h v(t) k p(t) = m a(t) = m v(t) Coniderando come variabili di tato la poizione e la velocità della maa e ragionando come nel cao precedente, i ottengono le due eguenti equazioni differenziali che cotituicono le equazioni di tato del itema: ṗ(t) = v(t) v(t) = m [ u(t) h v(t) k p(t) ] = k m p(t) h m v(t) + m u(t) Coniderando empre come ucita la poizione della maa, i ottiene: [ ] [ ] ẋ(t) = k m h x(t) + u(t) m m y(t) = [ ] x(t) Anche in queto cao è tata determinata una clae di itemi LTI. Come eempio di itanza di itema, i coniderino i eguenti valori: m = Kg h = 3 Kg k = 8 Kg Il itema riultante è: [ ẋ(t) = 4.5 y(t) = [ ] x(t) ] [ x(t) +.5 ] u(t) Valutiamo il comportamento del itema attravero Matlab / Simulink. Nelle due figure eguenti ono illutrate la ripota all impulo e la ripota al gradino del itema.. Impule Repone.8 Step Repone Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

8 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici 8 Un impulo in ingreo provoca lo potamento immediato della maa vero detra (la variabile di tato x (t) = p(t), che corriponde all ucita, aumenta il proprio valore). La maa continua a muoveri fino a che la forza elatica contraria della molla (aiutata dalla forza di attrito) provoca l arreto della maa e il richiamo della maa vero la poizione di ripoo della molla (corripondente a p(t) = ). Come i può vedere dalla figura nella pagina precedente (a initra), la maa torna indietro comprimendo la molla (anche oltre la poizione p = ovvero la molla, uppota priva di maa, i inizia ad etendere vero initra provocando quindi una forza di richiamo vero detra). Queto è un chiaro comportamento ocillatorio intorno al punto di equilibrio della molla (poizione p = ), caratteritico di queto tipo di itemi. La ripota al gradino i comporta in maniera molto imile. In queto cao però è preente continuamente una forza che pinge la maa vero detra. La maa i poizionerà quindi in una poizione (divera dalla poizione di equilibrio della molla) in cui tale forza eterna in ingreo controbilancia la forza di richiamo della molla. Nell eempio riportato nella figura nella pagina precedente (a detra) la poizione di equilibrio i atteta intorno ai centimetri. Impule Repone Step Repone Le pretazioni di queto itema ono fortemente dipendenti dalle caratteritiche fiiche della molla, che vengono riaunte nel coefficiente di elaticità k. Più alto è queto coefficiente, più forte arà il richiamo della molla vero il punto di equilibrio (e, di coneguenza, i farà più fatica a potare la maa). Nelle due figure precedenti è illutrato il confronto tra la ituazione originaria (dove k = 8 Kg ) e il cao in cui k = Kg. Come i può vedere, la maa raggiunge il punto di equilibrio più velocemente (eendo più forte il richiamo della molla) e i pota in modo più limitato. Impule Repone.4 Step Repone Un altro cao intereante da analizzare è quello in cui i uppone tracurabile la forza di attrito Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

9 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici 9 (h = Kg ). La maa, ottopota ad una forza in ingreo, inizia ad ocillare ma, non trovando reitenza al proprio movimento, le ampiezze delle ocillazioni rimangono cotanti (la maa non i ferma mai). Queta ituazione è illutrata nelle due figure in bao della pagina precedente (la figura a detra è la ripota all impulo mentre quella a initra è la ripota al gradino). Come i può vedere, la maa ottopota ad una forza impuliva inizia ad ocillare intorno alla poizione di ripoo della molla; invece, quando è ottopota ad una forza cotante, la maa ocilla intorno ad una poizione tale che la forza eterna cotante bilancia la forza di richiamo della molla. Una rappreentazione del itema in Simulink è quella nella figura eguente (i è nuovamente utilizzato il blocco LTI Sytem del Control Sytem Toolbox). Le equazioni di tato coniderate ono quelle originarie. La imulazione è tata effettuata mettendo in ingreo un egnale che decrece nel tempo fino ad annullari (e t, i veda la figura in bao a initra). Ingreo - e u e^(-t) (A,B,C,D) t Sitema Maa-Molla Ucita L ucita del itema è illutrata nella figura eguente (a detra). La maa, oggetta alla forza eterna in ingreo, inizia a muoveri vero detra. All aumentare del tempo, la forza in ingreo diminuice (molto velocemente) e nel contempo, all aumentare della ditanza tra l origine e la poizione attuale della molla, la forza di richiamo della molla aumenta. Di coneguenza, la maa inizierà preto a tornare indietro e ad ocillare intorno alla poizione (in quanto ormai il contributo della forza in ingreo i è eaurito). Ingreo.6 Ucita Ocillatore Meccanico Si conideri l ocillatore meccanico rappreentato nella figura della pagina ucceiva. Un ocillatore meccanico è cotituito da una maa attaccata verticalmente ad un upporto fio attravero una molla. Si uppone che la maa poa muoveri ecluivamente in verticale (movimenti ocillatori orizzontali non ono coniderati). Scendendo, la maa etende la molla, mentre rialendo vero l alto, la contrae. Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

10 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici k p(t) p(t) mg La principale forza che agice ulla maa è la forza peo mg e ad ea i omma il contributo della forza elatica della molla k p(t) (i veda la parte detra della precedente figura). E immediato quindi determinare la eguente relazione: mg k p(t) = m v(t) da cui ricavare, in modo analogo a quanto vito per i due precedenti itemi, le equazioni di tato del itema: [ ] [ ] ẋ(t) = k m x(t) + (t) g y(t) = [ ] x(t) E bene notare come in queta rappreentazione dell ocillatore meccanico non ia preente in maniera eplicita un ingreo (infatti (t) non è un generico ingreo ma un gradino di ampiezza unitaria). Queto è coerente con il itema fiico che, come è tato preentato, non prevede forze eterne manipolabili (cioè per le quali poo modificare a piacimento intenità, vero e direzione) ma olo la forza peo, che ha una forma ben precia e, ovviamente, non modificabile. Nel cao i volee coniderare un ulteriore forza eterna manipolabile, ea i andrebbe ad aggiungere all equazione di tato (i avrebbe cioè una matrice B che moltiplica l ingreo eterno). Tornando al notro itema, i coniderino i eguenti valori: m = Kg k = 5 Kg che, inieme all accelerazione di gravità g = 9.8 m, fanno riultare il eguente itema: [ ] [ ] ẋ(t) = x(t) + (t) y(t) = [ ] x(t) Valutiamo il comportamento del itema attravero Matlab / Simulink. Nella figura nella pagina eguente è illutrata la ripota del itema. Sia la maa inizlamente ferma e in una poizione in cui la molla è in ripoo, cioè non è attiva alcuna forza di richiamo dovuta all etenione della molla (ia tale poizione x = ). Laciata libera di Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

11 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici cadere, la maa inizia a cendere a caua della forza peo (i ha quindi un aumento dell ampiezza della variabile di tato x (t)). La molla i etende empre più fino a raggiungere un punto in cui la forza elatica di richiamo ovrata la forza peo e fa quindi rialire la maa. Tornando indietro la maa raggiungerà di nuovo la poizione di partenza (la preenza della forza peo fa ì che la molla non i poa comprimere ovvero etendere u valori negativi di x ) e da queto punto in poi inizia a ocillare in queto modo (da qui il nome di queto itema fiico). 5 Step Repone Il movimento dell ocillatore meccanico è fortemente dipendente dalla maa m (oltre che dal coefficiente elatico k). Nelle due figure eguenti è illutrata (e confrontata con il itema originario) la ripota del itema quando m = Kg (figura a initra) e quando m = Kg (figura a detra). Come i può vedere, in preenza di una maa molto leggera i hanno numeroe ocillazioni di ampiezza limitata: la maa leggera infatti ubice poco la forza peo e quindi cende poco. Invece, con una maa molto peante, la pinta dalla forza peo è notevole: di coneguenza la maa cende molto in bao e intaura quindi ocillazioni lente ma di ampiezza notevole. Step Repone Step Repone In itemi di queto tipo è poibile coniderare come forza reitente l attrito dell aria (nei due itemi illutrati in precedenza queto attrito non è tato preo in coniderazione in quanto tracurabile ripetto all attrito dovuto allo potamento della maa u una uperficie piana) che, come tutte le tipologie di attrito, è una forza proporzionale alla velocità e vero oppoto (ia h la cotante di proporzionalità). Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

12 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici Coniderando l attrito dell aria, il itema diventa: [ ] [ ] ẋ(t) = x(t) + (t) g k m h m y(t) = [ ] x(t) e, aumendo h = Kg [ ẋ(t) =, i ha:.5. y(t) = [ ] x(t) ] [ x(t) ] (t) Avendo inerito l attrito dell aria, la ripota del itema è cambiata, come i può vedere nella figura eguente (a initra). L ocillazione della maa viene frenata dall attrito dell aria. In pratica, ogni volta che la maa torna indietro, torna indietro un po meno. Queto comportamento fa ì che la maa non ocilla più all infinito intorno ad un certo punto, come accadeva prima, ma tende a fermari proprio in corripondenza di tale punto. Step Repone Step Repone La riduzione in ampiezza delle ocillazioni è tanto più forte quanto più è alto il coefficiente di attrito h. Nella figura precedente (a detra) la ituazione originaria è confrontata con il cao in cui i aume h = Kg. La dicea della maa è fortemente frenata e quindi dopo poche ocillazioni la maa raggiunge il punto di equilibriio. Si oervi come tale punto di equilibrio in cui i ferma la maa non dipende dal coefficiente di attrito (ma la velocità con cui i raggiunge tale punto i). 4 Sitema Maa-Molla compleo Si conideri il itema rappreentato in figura. Il itema conite di due mae che poono correre orizzontalmente. Le mae poono correre in entrambe le direzioni. Le mae ono tra loro attaccate attravero una molla. A econda del movimento di ciacuna maa, la molla i può etendere oppure contrarre. Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

13 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici 3 Per ottenere le equazioni di tato del itema biogna applicare la legge di Newton ad entrambe le mae. Il itema compleivo riulterà quindi caratterizzato da quattro variabili di tato: poizione e velocità della prima maa e poizione e velocità della econda maa. L obiettivo del itema è tudiare il comportamento nel tempo della poizione di entrambe le mae, al variare della forza applicata alla maa più a detra. v (t) k [ p (t) p (t) ] v (t) k [ p (t) p (t) ] h v (t) h v (t) u(t) p (t) p (t) Nella figura precedente ono illutrate le forze che agicono u ciacuna maa (ogni maa è uppota puntiforme). Sulla prima maa agicono la forza elatica della molla e la forza di attrito; la forza di attrito è come empre contraria al moto, mentre la forza elatica in queto cao favorice il moto (la molla tira la maa nella tea direzione dello potamento). Sulla econda maa è preente, oltre alla forza elatica (queta volta contraria al moto) e alla forza di attrito, una forza eterna manipolabile che rappreenta l ingreo del itema. Si noti come la forza elatica dovuta alla molla ia proporzionale alla differenza tra le poizioni delle due molle. La ditanza p (t) p (t) rappreenta infatti l etenione della molla che caratterizza la forza elatica. Le forze di attrito ono, come empre, proporzionali (con egno invero) alla velocità delle mae. Il coefficiente di attrito è uppoto uguale per entrambe le mae (queto non è coì ovvio in quanto, anche e la bae u cui corrono le mae è la tea, le ruote poono eere differenti e quindi provocare diveri attriti; i peni, ad eempio, a ruote di gomma e ruote di acciaio: le prime ubiranno un attrito molto maggiore ripetto alle econde). La legge di Newton applicata alla prima maa fornice k [ p (t) p (t) ] h v (t) = m v (t) v (t) = [ ] k p (t) h v (t) + k p (t) m mentre la legge di Newton applicata alla econda maa fornice u(t) k [ p (t) p (t) ] h v (t) = m v (t) v (t) = ] [k p (t) k p (t) h v (t) + u(t) m Ricordando che ṗ (t) = v (t) ṗ (t) = v (t) e che l ucita deve prendere in coniderazione ia la poizione della prima maa che quella della econda, i ottiene il eguente itema LTI Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

14 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici 4 ẋ(t) = y(t) = k m h k m m k m k m h m [ ] x(t) x(t) + m (t) Si coniderino i eguenti valori: m = Kg m = 6 Kg h =.5 Kg k = Kg Il itema riultante è ẋ(t) = y(t) = [ ] x(t) x(t) +.65 (t) Prima di valutare il comportamento del itema attravero Matlab / Simulink, i oervi che per potere applicare la legge di Newton è tato ipotizzato che le mae iano puntiformi e che la molla abbia una maa tracurabile. Quete aunzioni rendono poibili ituazioni difficili da immaginare dal punto di vita pratico: ad eempio, con condizioni iniziali nulle e enza l applicazione di alcuna forza eterna, le due mae i trovano ovrappote in poizione e la molla ha una etenione nulla. Modelli matematici che tengano conto della dimenione fiica delle mae e della maa della molla ono ovviamente poibili ma etremamente complicati. Tornando al notro itema, i conideri la figura eguente che illutra la ripota all impulo (a initra) e la ripota al gradino (a detra) del itema (in ciacun grafico, la parte uperiore è relativa all ucita y (t) = x (t) = p (t) mentre la parte inferiore è relativa all ucita y (t) = x 3 (t) = p (t)). Impule Repone Step Repone From: U() 3 From: U() 5.5 To: Y() To: Y() To: Y() To: Y() Entrambe le mae partono da una ituazione di ripoo e i trovano inizialmente nell origine. Applicando una forza impuliva alla econda maa, ea inizierà a muoveri rapidamente. Contemporaneamente, la molla inizia ad etenderi e, oltre a fare reitenza ul movimento della econda maa, Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

15 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici 5 inizierà a tirare la prima maa che parte quindi più lentamente (la derivata di y nell origine è nulla). Dopo un certo periodo di tranitorio (in cui entrambe le mae i muovono vero detra) i intaura un movimento ocillatorio nel quale, alternativamente, una maa i muove vero detra e l altra maa i muove vero initra e nel quale la molla i etende e i contrae alternativamente. Quete ocillazioni diminuicono di intenità con il paare del tempo e dopo un certo itante le due mae i fermano in una nuova poizione di ripoo (la tea per entrambe le mae). Nella figura eguente (a initra) è illutrato in dettaglio il periodo di tranitorio del itema. Nella ripota al gradino invece, la forza cotante che agice ulla econda maa provoca lo potamento continuo delle due mae. Come in precedenza, la prima maa per iniziare a potari deve apettare l intaurari della forza elatica (che inizia ad eere ignificativa dopo che la maa a detra i è potata di un po ). Dopo queto momento di tranitorio (illutrato nella figura ottotante, a detra) le due mae i ovrappongono (i ricordi il commento fatto precedentemente) annullando di fatto la forza elatica, e i potano vero detra alla tea velocità (rimangono quindi ovrappote). Impule Repone Step Repone From: U() From: U().5 8 To: Y() To: Y() To: Y() To: Y() Nella figura eguente è illutrata una ripota libera del itema. In tale eempio, i uppone che le mae iano inizialmente ferme ma la econda maa i trova ditante metro (vero detra) ripetto alla prima (che i trova nell origine)..5 Repone to Initial Condition.5 To: Y() To: Y() La ditanza iniziale tra le due molle è caua di una forza elatica che tira vero detra la prima maa e vero initra la econda. A queto punto i intaura un movimento ocillatorio come Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

16 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici 6 quello decritto in precedenza in cui le due mae i allontanano e i riavvicinano alternativamente (cambiandoi anche la poizione relativa). Gli ultimi due eempi ono relativi al cao in cui i ha un coefficiente elatico della molla baiimo (k =. Kg ) e al cao in cui l attrito è ineitente (h = Kg ). Le relative ripote all impulo ono raffigurate nelle eguenti figure. Nella figura a initra è illutrato il cao di coefficiente elatico baiimo: come i può vedere non i intaura alcun movimento ocillatorio e inoltre il tempo di convergenza al valore di equilibrio è elevatiimo (circa econdi ripetto ai circa 8 di prima). Nella figura a detra è invece illutrato il cao di aenza di attrito: queta volta il fenomeno ocillatorio eite (anche e meno viibile) ma l apetto importante è che la mancanza di attrito fa i che le due mae, una volta iniziate a muoveri, non i fermano più. Impule Repone Impule Repone From: U() From: U().8.5 To: Y().6.4 To: Y() To: Y() To: Y() Pendolo emplice θ l m mg in θ θ mg coθ mg Si conideri il itema rappreentato in figura. Tale itema è il coiddetto pendolo emplice ovvero una truttura meccanica compota da una maa attaccata all etremità di un ata (di maa tracurabile) imperniata nell altra etremità ad un upporto fio. La maa è libera di ocillare attorno alla poizione verticale dell ata. Attravero la legge di Newton è poibile determinare le equazioni di tato di queto itema e tudiarne quindi formalmente il comportamento. Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

17 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici 7 Nella parte detra della figura ono indicate, le grandezze che caratterizzano il itema e le forze in gioco. In particolare: mg è la forza peo applicata alla maa m; θ(t) è l angolo ripetto alla verticale formato dall ata di lunghezza l all itante di tempo t; mg in θ(t) è la componente tangenziale della forza peo (è la componente della forza che fa muovere vero initra e vero detra la maa); mg coθ(t) è la componente radiale della forza peo. Si conideri inoltre la preenza della forza di attrito dell aria (proporzionale alla velocità con cui i muove la maa ma con egno contrario). La poizione della maa ull arco di circonferenza è data da (t) = l θ(t) e quindi la velocità e l accelerazione ono ṡ(t) = l θ(t) (t) = l θ(t) La legge di Newton fornice e, ponendo m g in θ(t) h l θ(t) = m l θ(t) x (t) = θ(t) x (t) = θ(t) i ottengono le eguenti equazioni di tato { ẋ (t) = x (t) ẋ (t) = g l in x (t) h m x (t) Il itema è evidentemente non lineare a caua della preenza del eno di una delle due variabili di tato. Non è quindi poibile tudiare il comportamento del itema attravero le funzioni predefinite di Matlab (valide olo per i itemi LTI) come abbiamo fatto in precedenza. Si può tuttavia implementare il pendolo emplice attravero Simulink e tudiare quindi il uo comportamento effettuando delle imulazioni. x' x = x' x Integrator of x Integrator of x l Scope in h/m g/l Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

18 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici 8 Il modello Simulink propoto modella eplicitamente le due equazioni i tato. La non-lienarità è modellata con un blocco matematico che effettua il eno del egnale in ingreo (x (t)). Come già oervato per l ocillatore meccanico, in queto tipo di itema non è preente un ingreo eterno. Il pendolo i muove per effetto della forza peo. Eitendo olo la componente libera della ripota (la componente forzata è nulla a caua della mancanza di ingrei eterni), aumono un ruolo fondamentale le condizioni iniziali del itema (poizione e velocità ull arco di circonferenza). Il pendolo arà infatti in grado di muoveri olo e almeno una delle due condizioni iniziali è non nulla. Se il pendolo è verticale (quindi poizione iniziale nulla) e fermo (quindi velocità iniziale nulla) non i potrà aolutamente muovere. La forza peo non riece a far muovere la maa in quanto la ua componente tangenziale è nulla (in queto cao i potrebbe penare ad una forza eterna, ad eempio un impulo, che intauri il movimento). Se invece il pendolo, allo tato iniziale, i trova in un qualiai punto dell arco di circonferenza e/o è già in movimento, allora inizierà ad ocillare. Nella figura eguente (a initra) è viualizzata l ucita del itema (ovvero la poizione della maa ull arco di circonferenza) avendo uppoto m = Kg, l = 4 m, h = Kg e, come valori iniziali delle variabili di tato, x ( ) = rad e x ( ) = rad. Come i può vedere, il pendolo ocilla intorno alla verticale ma l ocillazione i riduce con il paare del tempo a caua della forza di attrito dell aria. Con la preenza di tale forza, il pendolo è detinato a fermari. 4 Ucita 4 Ucita Nella figura precedente (a detra) è di nuovo viualizzata la poizione del pendolo; queta volta però i è ipotizzato di avere una maa dimezzata (m = 5 Kg). Come i può vedere, le ocillazioni hanno la tea frequenza ma l ampiezza delle tee i riduce molto più velocemente. Quindi con una maa più leggera il pendolo tende a fermari prima. Un altro parametro molto importante nello tudio del comportamento del pendolo emplice è il coefficiente di attrito. Il coefficiente di attrito, inieme alla maa, determina quanto velocemente i fermerà il pendolo. In alcuni cai l attrito dell aria può eere tracurato e quindi il rapporto h m diventa nullo. In queto cao il pendolo ocillerà enza fermari e le ue ocillazioni avranno ampiezza cotante. La figura eguente illutra l ucita del itema otto l ipotei di attrito dell aria tracurabile. Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

19 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici 9 5 Ucita Nei modelli Simulink impotati come quello appena vito (cioè in cui iano diponibili eplicitamente i valori delle variabili di tato) è poibile tudiare il comportamento, al variare del tempo, delle variabili di tato u un grafico bidimenionale (in generale, in itemi n-dimenionali, potro definire tanti grafici quante ono le coppie di variabili di tato). Nel notro itema bidimenionale definiremo un grafico con la variabile x ull acia e x ull ordinata. Per poter utilizzare i dati del modello Simulink dentro Matlab (tramite il quale è tato creato il grafico bidimenionale) i è utilizzato il modello di eguito riportato in cui ono tati ineriti due nuove blocchi To Workpace. x x x' x = x' x Integrator of x Integrator of x l Scope in h/m g/l Nelle due figure ucceive ono viualizzati due verioni del grafico bidimenionale che mette in relazione x e x. Il grafico a detra è relativo al itema originario dove era preente la forza di attrito dell aria. Il grafico parte dalla coordinata (x =, x = ). La pirale che i ottiene è claica di un itema che converge a un punto di equilibrio (itema aintoticamente tabile): nel notro cao infatti, come abbiamo già dicuo in precedenza, il pendolo inizia ad ocillare ma tenderà a fermari otto la pinta (contraria) della forza di attrito. Il punto in cui il pendolo i ferma è la verticale. Il punto di equilibrio citato precedentemente è infatti (x =, x = ). Il grafico a initra è invece relativo alla ituazione in aenza di attrito. Il grafico che i ottiene è compoto da cerchi della tea dimenione. Queto comportamento è claico di un itema emplicemente tabile in cui non i converge ad un valore finito ma comunque il itema rimane limitato entro certi valori. Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi

20 Modellazione e Analii di Sitemi Meccanici x x x x Davide Giglio Laboratorio di Analii dei Sitemi