Equazioni e disequazioni irrazionali

Transcript

1 Equazioni e disequazioni iazionali 8 81 Equazioni iazionali con un solo adicale Definizione 81 Un equazione si dice iazionale quando l incognita compae sotto il segno di adice Analizziamo le seguenti equazioni: 3 x = x 2 x + 2 e 2x = x 2 x Notiamo che l equazione 3 x = x 2 x + 2 è di secondo gado, intea con un coefficiente iazionale (sotto il segno di adice), ma non è un equazione iazionale peché l incognita non compae sotto la adice Nell equazione 2x = x 2 x, invece, il monomio 2x (contenente l incognita) compae sotto il segno di adice, petanto essa è un equazione iazionale Poblema 81 Deteminae l aea di un tiangolo ettangolo ABC, etto in A, avente peimeto di 24cm e i cateti che diffeiscono di 2cm Dati: 2p = 24; AB AC = 2 Obiettivo: Aea C A x 2 + x B Soluzione Aea = AB AC 2 ; dobbiamo quindi deteminae i cateti Poniamo AC = x con x > 0 quindi AB = 2 + x e sfuttiamo l infomazione elativa al peimeto pe deteminae l equazione isolvente AB + AC + BC = 24 Applicando il teoema di Pitagoa si icava BC = x 2 + (2 + x) 2 = 2x 2 + 4x + 4 e dunque otteniamo l equazione isolvente 2x x 2 + 4x + 4 = 24 in cui l incognita compae sotto il segno di adice Vedemo nel seguito come isolvee un equazione di questo tipo 811 Equazioni iazionali con la adice di indice pai Ricodiamo che l espessione iazionale E = n f(x) con n pai maggioe di 1 ha significato pe tutti i valoi di x che endono non negativo il adicando, petanto l insieme soluzione di un equazione iazionale in cui compaiono uno o più adicali di indice pai saà un sottoinsieme del dominio o insieme di definizione del adicale (condizione di ealtà del adicale) Pe esempio, nell equazione 2x = x 2 x si ha che il dominio D del adicale è dato da x 0, cioè D = R + {0} Petanto l insieme delle soluzioni è un sottoinsieme di tale dominio, cioè I S D Nessun numeo negativo potà essee soluzione dell equazione, altimenti il adicale non saebbe un numeo eale Inolte, poiché l espessione iazionale n f(x) nel suo 225

2 226 Capitolo 8 Equazioni e disequazioni iazionali I D è positiva o nulla (pe definizione), l equazione 2x = x 2 x potà veificasi solo se il secondo membo saà non negativo (condizione di concodanza del segno) Quando abbiamo un equazione nella quale l incognita compae sotto una adice di indice n pai possiamo elevae alla potenza n entambi i membi dell equazione eliminando la adice Tuttavia, l equazione ottenuta non sempe è equivalente a quella data, ossia non sempe ha le stesse soluzioni dell equazione data (in genee ne ha di più) Esempio 82 Risolvee la seguente equazione iazionale x + 2 = x Elevando al quadato si ha x + 2 = x 2 da cui x 2 x 2 = 0 Risolvendo questa equazione di secondo gado otteniamo le soluzioni x 1 = 1 e x 2 = 2 Tuttavia, sostituendo questi valoi di x nell equazione iazionale di patenza si ha: pe x = = 1 1 = 1 che è falsa, petanto x = 1 non può essee soluzione; pe x = = 2 4 = 2 che è vea, petanto x = 2 è l unica soluzione Quindi l insieme soluzione dell equazione data è I S = {2} Conclusione Pe isolvee un equazione iazionale con indice pai possiamo alloa elevae alla potenza pai della adice i due membi dell equazione, isolvee l equazione che si ottiene e veificae se le soluzioni tovate sono accettabili Possiamo peò pocedee in un alto modo: l insieme soluzione dell equazione iazionale n f(x) = g(x) con n pai non nullo saà un sottoinsieme dell insieme in cui sono contempoaneamente vee le condizioni { f(x) 0 g(x) 0 Esempio 83 Risolvee le seguenti equazioni iazionali con adice di indice pai x + 2 = x La soluzione si ottiene isolvendo x x 0 x + 2 = x 2 { x 0 x + 2 = x 2 Le soluzioni dell equazione x 2 x 2 = 0 sono x 1 = 1 x 2 = 2, ma l unica accettabile è x = 2 (pe la condizione x 0) 5 2x = x 1 Elevo ambo i membi al quadato, ottengo 5 2x = x 2 2x + 1 x 2 = 4 x 1,2 = ±2, sostituisco x = 2 ottengo 5 2 ( 2) = = 3 falso, quindi x = 2 non è accettabile; sostituisco x = +2 ottengo = = 1 veo, quindi x = +2 è l unica soluzione dell equazione data

3 Sezione 81 Equazioni iazionali con un solo adicale 227 Aivo allo stesso isultato ponendo le condizioni { { 5 2x 0 x 5 2 x 1 x 1 che indica l intevallo 1 x 2 5 La soluzione x = 2 non è accettabile in quando non è compesa ta 1 e 2 5, mente la soluzione x = +2 è invece accettabile 2x = x 2 x Deteminiamo l insieme in cui cecae le soluzioni dell equazione { 2x 0 x 2 x 0 { 2x 0 x(x 1) 0 con soluzione x = 0 x 1 Rendiamo azionale l equazione elevando ambo i membi al quadato: ( 2x ) 2 = ( x 2 x) 2 2x = x 4 2x 3 + x 2 Risolviamo l equazione ottenuta: x 4 2x 3 + x 2 2x = 0 x ( ) x (x 2) = 0 x = 0 x = 2 Confontiamo le soluzioni ottenute con le condizioni x = 0 x 1 Poiché entambe le soluzioni veificano queste condizioni si ha che I S = {0, 2} 812 Equazioni iazionali con la adice di indice dispai L espessione iazionale E = n f(x) con n dispai è definita pe tutti i valoi eali pe cui è definito il adicando, quindi l equazione iazionale n f(x) = g(x) è equivalente a quella che si ottiene elevando ad n entambi i membi dell equazione: f(x) = g n (x) Esempio 84 Risolvee le seguenti equazioni iazionali con adice di indice dispai 3 x 2 = 1 2 Elevando al cubo si ha x 2 = 1 8 x = x = x 2 + 3x + 1 = x Elevando al cubo si ha 3x 2 + 3x + 1 = x 3 (x 1) 3 = 0 x 1 = 0 x = 1 3 x 2x+3 = 2 5x 4 Il dominio del adicando è l insieme D = { x R x 2} 3 Pe isolvee l equazione x elevo pimo e secondo membo al cubo, ottenendo l equazione 2x+3 = ( ) 2 5x 3, 4 la cui isoluzione ichiede la isoluzione di un equazione di quato gado che non svolgiamo 3 1 x = 4x+x2 3 x Le condizioni di esistenza sono: x 0 x 3 Elevando al cubo si ottiene l equazione isolvente che non svolgeemo Esecizi poposti: 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89

4 228 Capitolo 8 Equazioni e disequazioni iazionali 82 Equazioni con più adicali Non potendo stabilie una foma canonica, pocedeemo mediante esempi al fine di acquisie un metodo isolutivo a seconda dei casi che si possono pesentae Esempio 85 Risolvee la seguente equazione iazionale 2 x 1 = x Osseviamo subito che i due membi, nell insieme in cui entambi hanno significato, sono positivi Deteminiamo quindi l insieme in cui cecae le soluzioni: { 2 1 x 0 x 0 Risolvendo le due disequazioni otteniamo { x < 0 x 1 2 x 0 x 1 2 Oa eleviamo al quadato entambi i membi dell equazione e otteniamo 2 x 1 = x, da cui si ha x 1 = x 2 = 1 che è accettabile in quanto maggioe di 2 1 Esempio 86 Risolvee la seguente equazione iazionale x x 2 + 6x = 0 Sepaiamo i due adicali x + 3 = 3 2x 2 + 6x Affinché i due membi dell equazione siano positivi dobbiamo poe la condizione di positività anche al adicando del adicale cubico: { x x 2 + 6x 0 x = 3 x 0 Pe isolvee l equazione occoe avee adici con lo stesso indice Il minimo comune indice è 6, peciò si ha 6 (x + 3) 3 = 6 (2x 2 + 6x ) 2 Ed elevando alla sesta potenza si ottiene (x + 3) 3 = ( 2 ( 2 2x 2 + 6x) (x + 3) 3 2x 2 + 6x) = 0 (x + 3) 3 [2x(x + 3)] 2 = 0 Raccogliendo a fattoe comune si ha: (x + 3) 2 (x + 3 4x 2) = 0 Pe la legge di annullamento del podotto abbiamo (x + 3) 2 = 0 x + 3 = 0 x = 3 e 4x 2 + x + 3 = 0 x 1 = 3 4 x 2 = 1 Le soluzioni che veificano le condizioni x = 3 x 0 sono x 1 = 3 e x 2 = 1 Esempio 87 Risolvee la seguente equazione iazionale x + x 3 + 2x 1 = 0 Sepaiamo i due adicali x = x 3 + 2x 1; osseviamo che i due membi nell insieme in cui sono definiti sono di segno opposto e dunque l uguaglianza saà vea solo nel caso in cui entambi si annullino Il pimo membo si annulla solo pe x = 0 che non annulla il secondo membo, petanto l equazione non ha soluzioni

5 Sezione 83 Disequazioni iazionali 229 Esempio 88 Risolvee la seguente equazione iazionale x 2 + 3x + 2x + 2 = 0 Potiamo la adice con il segno meno a secondo membo, in modo da avee due adici positive: 2x + 2 = x 2 + 3x Poniamo le condizione sull accettabilità della soluzione: { 2x x 2 + 3x 0 { x 1 x 3 x 0 Eleviamo al quadato i due membi dell equazione x 0 2x + 2 = x 2 + 3x x 2 + x 2 = 0 Le soluzioni sono x 1 = 2 e x 2 = 1 Di queste solo x = 1 soddisfa le condizioni di accettabilità Esempio 89 Risolvee la seguente equazione iazionale x + 7 x 1 = 2 In questo esempio ci sono alti temini olte i due adicali Spostiamo dopo l uguale il adicale negativo in modo che sia a desta sia a sinista i temini siano positivi: x + 7 = x Poniamo le condizioni sull accettabilità delle soluzioni: { x x 1 0 { x 7 x 1 x 1 Elevando l equazione al quadato si ha: x + 7 = x 1 + x 1 4 x 1 = 4 x 1 = 1 Eleviamo nuovamente al quadato x 1 = 1 ottenendo x 1 = 1 x = 2, che è accettabile Esempio 810 Risolvee la seguente equazione iazionale x x = x Pe pima cosa poto al secondo membo il adicale che ha il segno negativo, in modo che diventi positivo x = 1 4x + x In questo caso isulta poblematico isolvee il sistema con tutte le condizioni di accettabilità, peché bisogneebbe isolvee anche la disequazione iazionale 1 4x + x 0 Ci limiteemo alloa a isolvee l equazione e poi veificane le soluzioni Elevo al quadato ambo i membi dell equazione: x = 1 4x + x 2 + 2x 1 4x Semplificando si ha x(2 1 4x) = 0 Una soluzione è x = 0, la seconda soluzione si ottiene da 2 1 4x = 0 2 = 1 4x Elevando al quadato si ha 4 = 1 4x x = 3 4 Veifichiamo oa le soluzioni Pe x = 0 si ha (0) = 1 4 (0) = 1 soluzione accettabile Pe x = 3 4 si ha ( 3 4 ) = 1 4 ( 3 4) = 5 4 e anche questa è una soluzione accettabile Esecizi poposti: 810, 811, 812, 813, 814, 815, 816, 817, Disequazioni iazionali Concludiamo con un cenno alle disequazioni iazionali, nelle quali l incognita compae sotto adice Esaminiamo il caso in cui l incognita è sotto adice quadata e in cui la disequazione pesenta una sola adice Qualunque sia la disequazione di patenza, ci si può sempe icondue ai seguenti due casi

6 230 Capitolo 8 Equazioni e disequazioni iazionali Pimo caso: disequazioni nella foma: f(x) > g(x) Questa disequazione si può icondue allo studio di una coppia di sistemi di disequazioni Infatti distinguiamo due casi a seconda del segno di g(x) Se g(x) < 0 la disequazione è sicuamente veificata, in quanto al pimo membo c è una quantità sicuamente positiva in quanto adice quadata, sotto condizione di esistenza del adicando f(x) 0 Petanto, il pimo sistema è: { g(x) < 0 f(x) 0 Se g(x) 0, dopo ave posto la condizione di esistenza del adicale f(x) 0 si possono elevae al quadato i due membi dell equazione, in quanto entambi positivi Si ottiene il sistema g(x) 0 f(x) 0 f(x) > [g(x)] 2 La seconda disequazione del sistema si può eliminae in quanto la pima e la teza disequazione implicano automaticamente che f(x) > 0 In definitiva: f(x) > g(x) { g(x) < 0 f(x) 0 { g(x) 0 f(x) > [g(x)] 2 Esempio 811 Risolvee la seguente disequazione iazionale 25 x 2 > x 5 La disequazione è equivalente al sistema { { x 5 < 0 25 x 2 > (x 5) 2 Il pimo sistema { x 5 < 0 x < 5 5 x 5 è veificato pe 5 x < 5 Il secondo sistema { { 25 x 2 > (x 5) 2 2x 2 10x < 0 { x 5 0 < x < 5 non è mai veificato

7 Sezione 83 Disequazioni iazionali 231 x 5 < I S 1 x 2 x 0 2x 2 10x < 0 I S 2 I S 1 I S L insieme soluzione della disequazione è quindi 5 x < 5 Secondo caso: disequazioni nella foma: f(x) < g(x) Questa disequazione si può icondue allo studio di un solo sistema di disequazioni, in quanto la condizione g(x) 0 non dà soluzioni poiché la adice del pimo membo dovebbe essee minoe di un numeo negativo, cosa non possibile visto che le adici quadate danno sempe valoi positivi Rimane alloa da esaminae la condizione g(x) > 0; in questo caso si può elevae al quadato pimo e secondo membo ma esta sempe da aggiungee la condizione di esistenza del adicale, cioè f(x) 0 In definitiva: f(x) < g(x) f(x) 0 g(x) > 0 f(x) < [g(x)] 2 Esempio 812 Risolvee la seguente disequazione iazionale 25 x 2 x 5 La disequazione pesenta il segno di minoe, petanto è equivalente a un sistema di te disequazioni: 25 x 2 x 5 25 x 2 (x 5) 2 Sviluppando il sistema si ha: 25 x 2 (x 5) 2 2x 2 10x 0 5 x 5 x 5 0 x 5

8 232 Capitolo 8 Equazioni e disequazioni iazionali 2x 2 10x I S 1 I S 2 I S 3 La disequazione è veificata solo pe x = 5 Esempio 813 Risolvee la seguente disequazione iazionale x + 3 < 3x + 1 La disequazione è equivalente al sistema: x x x + 3 < 3x + 1 La pima disequazione indica le condizioni di esistenza del pimo adicale, la seconda indica le condizione di esistenza del secondo adicale e dato che i due membi della disequazione sono positivi, la teza disequazione è quella data, nei quali entambi i membi sono stati elevati al quadato Eseguendo i vai passaggi si ha: x x x + 3 < 3x + 1 x 3 x 1 3 x > 1 x x x > I S 1 I S 2 I S 3 La disequazione è veificata pe x > 1 Esecizi poposti: 819, 820, 821, 822, 823, 824, 825, 826