Principali Definizioni e Teoremi di Geometria

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1 incipali Definizioni e Teoemi di Geometia oncetti pimitivi Un concetto pimitivo è un temine che non viene definito, come: - unto - Retta - iano - Spazio - Insieme - Elemento - ppatenenza - Movimento igido ostulati Un postulato è un affemazione iguadante gli enti geometici e le elazioni ta essi, che viene accettata come vea, senza bisogno di essee dimostata, come: - Una etta contiene infiniti punti, un piano contiene infinite ette, lo spazio contiene infiniti piani. - e due punti distinti passa una e una sola etta. - e te punti non allineati passa uno e un solo piano. - Se due punti di una etta appatengono ad un piano, alloa tutti i punti di quella etta appatengono a quel piano. - Ta i punti di una etta si può stabilie una elazione di odine totale (ossia, dati due punti e di una etta: o e coincidono, o pecede, o pecede ). - Ta due punti di una etta è compeso almeno un tezo punto. Teoemi Un teoema è un affemazione (detta enunciato) iguadante gli enti geometici e le elazioni ta essi, che viene giustificata attaveso agionamenti logici, spesso a patie da postulati, alti teoemi o temini già definiti. Spesso un teoema si pesenta nella foma «se è veo, alloa è veo»: si dice ipotesi del teoema, si dice tesi del teoema. Il pocesso deduttivo che pota ad affemae la veità dell enunciato si dice dimostazione del teoema. ondizione sufficiente e condizione necessaia Quando un pedicato implica un pedicato, si scive: oppue e si dice che è una condizione sufficiente pe, mente è una condizione necessaia pe. Il simbolo si legge: «se... alloa...». oimplicazione Quando un pedicato implica un pedicato, e anche implica, si scive: e si dice che è una condizione necessaia e sufficiente pe (e vicevesa, è una condizione necessaia e sufficiente pe ). Il simbolo si legge: «...se e solo se...». Teoema senza nome Ta due punti di una etta sono compesi infiniti punti. Teoema senza nome e un punto passano infinite ette (l insieme di tutte queste ette viene detto fascio di ette).

2 Semietta (definizione) Si dice semietta la figua fomata da un punto di una etta (detto oigine) e da una delle due pati in cui la etta viene divisa da tale punto. O Segmento (definizione) Si dice segmento la figua fomata da due punti di una etta (detti estemi) e da tutti i punti della etta compesi ta essi. Segmenti consecutivi (definizione) Due segmenti si dicono consecutivi quando hanno un estemo e nessun alto punto in comune. Segmenti adiacenti (definizione) Due segmenti si dicono adiacenti quando sono consecutivi e giacciono sulla stessa etta. unto medio di un segmento (definizione) Si dice punto medio di un segmento il punto, inteno al segmento, che lo divide in due segmenti conguenti. M ngolo (definizione) Si dice angolo ciascuna delle due pati di piano individuate da due semiette (dette lati) aventi la stessa oigine (detta vetice), semiette incluse. ngoli consecutivi (definizione) Due angoli si dicono consecutivi quando hanno il vetice, un lato e nessun alto punto in comune. ngoli adiacenti (definizione) Due angoli si dicono adiacenti quando sono consecutivi e i lati non in comune appatengono alla stessa etta. isettice di un angolo (definizione) Si dice bisettice di un angolo la semietta che ha pe oigine il vetice dell angolo, intena all angolo, che lo divide in due angoli conguenti. 1 2 ngoli opposti al vetice (definizione) Due angoli si dicono opposti al vetice quando i lati dell uno sono i polungamenti dei lati dell alto. ngolo nullo, etto, piatto e gio (definizione) Si dice angolo piatto (e si indica con π) un angolo i cui lati sono uno il polungamento dell alto. π Si dicono angolo gio e angolo nullo (e si indicano con 2π con 0) gli angoli i cui lati sono coincidenti. 2π 0 Si dice angolo etto (e si indica con π/2) la metà di un angolo piatto. π 2

3 ngolo acuto e angolo ottuso (definizione) Si dice acuto un angolo minoe di un angolo etto. Si dice ottuso un angolo maggioe di un angolo etto ma minoe di un angolo piatto. ngoli complementai, supplementai ed esplementai (definizione) Si dicono complementai due angoli la cui somma è un angolo etto. Si dicono supplementai due angoli la cui somma è un angolo piatto. Si dicono esplementai due angoli la cui somma è un angolo gio. complementai supplementai esplementai ottuso acuto onguenza (definizione) Due figue si dicono conguenti se è possibile sovappole mediante un movimento igido. ostulato sulle popietà della conguenza La elazione di conguenza gode delle seguenti popietà. opietà iflessiva. Ogni figua è conguente a se stessa. F 1 F 1 opietà simmetica. Se una figua F 1 è conguente ad una figua F 2, alloa la figua F 2 è conguente alla figua F 1. F 1 F 2 F 2 F 1 opietà tansitiva. Se una figua F 1 è conguente ad una figua F 2, e la figua F 2 è conguente ad una figua F 3, alloa F 1 è conguente a F 3. F 1 F 2 e F 2 F 3 F 1 F 3 ostulato della somma (e diffeenza) di segmenti conguenti Sommando (o sottaendo) segmenti ispettivamente conguenti, si ottengono segmenti a loo volta conguenti. ' '' ' '' ' '' D' D'' ' '' ' ' S S '' '' D' D'' ostulato della metà (o doppio) di segmenti conguenti Le metà (o i doppi) di due segmenti conguenti sono segmenti a loo volta conguenti. ' '' M' S S M'' ' '' ostulato della somma (e diffeenza) di angoli conguenti Sommando (o sottaendo) angoli ispettivamente conguenti, si ottengono angoli a loo volta conguenti. ' ' ' ' '' '' '' '' ostulato della metà (o doppio) di angoli conguenti Le metà (o i doppi) di due angoli conguenti sono angoli a loo volta conguenti. ' ''

4 Teoema degli angoli complementai (o supplementai) Se due angoli sono complementai (o supplementai) di uno stesso angolo o di angoli conguenti, alloa sono conguenti. ' + π 2 '' + π 2 Teoema degli angoli opposti al vetice Se due angoli sono complementai (o supplementai) di uno stesso angolo o di angoli conguenti, alloa sono conguenti. '' ' e opp. al vet. Rette pependicolai (definizione) Due ette si dicono pependicolai se, intesecandosi, fomano quatto angoli etti. Teoema dell esistenza e unicità della pependicolae Dati una etta e un punto (appatenente alla etta, o esteno ad essa), esiste un unica etta pependicolae ad e passante pe. oiezione otogonale e distanza di un punto da una etta (definizione) Dati una etta e un punto, il punto H di intesezione ta e la etta pependicolae ad e passante pe si dice poiezione otogonale di su (o piede della pependicolae), mente il segmento H si dice distanza di da. H sse di un segmento (definizione) Si dice asse di un segmento la etta che è pependicolae al segmento e passa pe il suo punto medio. Simmetia ispetto ad un punto (definizione) Si dice che due punti ed sono simmetici ispetto ad un punto O (detto cento di simmetia) se O è il punto medio del segmento. O ' Due figue F ed F sono simmetiche ispetto ad un punto O se ogni punto di una è il simmetico dei punti dell alta ispetto ad O. O Simmetia ispetto ad una etta (definizione) Si dice che due punti ed sono simmetici ispetto ad una etta (detta asse di simmetia) se è l asse del segmento. Due figue F ed F sono simmetiche ispetto ad una etta se ogni punto di una è il simmetico dei punti dell alta ispetto ad. '

5 oligono (definizione) Si dice poligono la figua fomata da una poligonale piana chiusa non intecciata, e dalla pate di piano da essa delimitata. E D oligoni convessi e concavi (definizione) Un poligono si dice convesso se non contiene alcun polungamento dei suoi lati, si dice concavo altimenti. convesso concavo oda, diagonale, angoli inteni ed esteni di un poligono (definizione) Sia dato un poligono convesso. Si dice coda un segmento che ha gli estemi su due lati distinti del poligono. Si dice diagonale un segmento che ha gli estemi su due vetici non consecutivi del poligono. Si dice angolo inteno ogni angolo individuato da una coppia di lati consecutivi. Si dice angolo esteno ciascuno dei due angoli adiacenti ad un angolo inteno. E D 1 Q 2 Q è una coda E è una diagonale è un angolo inteno 1 e 2 sono angoli esteni Tiangolo (definizione) Si dice tiangolo un poligono con te lati. Tiangolo equilateo, isoscele e scaleno (definizione) Un tiangolo si dice equilateo se ha te lati conguenti. Un tiangolo si dice isoscele se ha due lati conguenti. Un tiangolo si dice scaleno se nessun lato è conguente ad un alto. equilateo isoscele scaleno v Tiangolo acutangolo, ettangolo e ottusangolo (definizione) Un tiangolo si dice acutangolo se ha te angoli acuti. Un tiangolo si dice ettangolo se ha un angolo etto. Un tiangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso. acutangolo ettangolo ottusangolo Mediana di un tiangolo (definizione) In un tiangolo, si dice mediana elativa al lato il segmento che ha pe estemi il punto medio di e il vetice opposto a quel lato. isettice di un tiangolo (definizione) In un tiangolo, si dice bisettice elativa al vetice il segmento che divide a metà l angolo di vetice e congiunge con il lato opposto. ltezza di un tiangolo (definizione) In un tiangolo, si dice altezza elativa al lato il segmento pependicolae al lato che congiunge il vetice con, o con il suo polungamento.

6 imo citeio di conguenza dei tiangoli Se due tiangoli hanno odinatamente conguenti due lati e l angolo ta essi compeso, alloa sono conguenti. Secondo citeio di conguenza dei tiangoli Se due tiangoli hanno odinatamente conguenti un lato e i due angoli ad esso adiacenti, alloa sono conguenti. Tezo citeio di conguenza dei tiangoli Se due tiangoli hanno odinatamente conguenti i te lati, alloa sono conguenti. Teoema del tiangolo isoscele Un tiangolo è isoscele se e solo se i suoi due angoli alla base sono conguenti. ( ) ( ) Teoema del tiangolo equilateo Un tiangolo è isoscele se e solo se i suoi due angoli alla base sono conguenti. ( ) γ γ ( ) γ imo teoema dell angolo esteno di un tiangolo In un tiangolo ogni angolo esteno è maggioe di ciascuno degli angoli inteni non adiacenti ad esso. imo coollaio In un tiangolo la somma di due angoli è minoe di un angolo piatto. Secondo coollaio In un tiangolo non vi può essee più di un angolo etto o ottuso. 1 γ Secondo citeio di conguenza dei tiangoli (genealizzato) Se due tiangoli hanno odinatamente conguenti un lato e i due angoli (qualunque), alloa sono conguenti. Teoema del lato e dell angolo maggioe In un tiangolo, al lato maggioe è opposto l angolo maggioe, e vicevesa. Disuguaglianza tiangolae In un tiangolo, ciascun lato è minoe della somma degli alti due. In un tiangolo, ciascun lato è maggioe della diffeenza degli alti due. < + < + < + > - > - > -