Lezioni di Matematica

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1 Vesione compatta Volume 1 con il Quadeno di allenamento alle pove INVLSI Volume 2 Mateiali pe l insegnante Guida didattica con V-Rom Guida alla cetificazione delle competenze (INVLSI, OSE-PIS) È il sistema apeto di podotti e sevizi pe l attività didattica, che pate dal libo di testo e ne amplifica le potenzialità fomative gazie alla tecnologia digitale. IGILIRO Il mateiale online del libo misto secondo le disposizioni di legge Quest opea, secondo le disposizioni di legge, ha foma mista catacea e digitale, è pazialmente disponibile in intenet e imaà immutata, nella sua pate catacea, pe il peiodo di tempo indicato dalle nomative. Pe la duata di vita dell edizione saanno peiodicamente esi disponibili mateiali di aggionamento. Lezioni di Matematica Le pati dell opea disponibili online sono: Laboatoio di infomatica (GeoGeba, abi, eive, Excel) Pe accedee ai mateiali, collegasi al sito etext La vesione online LIMOOK Il libo sfogliabile scaicabile da intenet e inteattivo con mateiali multimediali pe fae lezione con la LIM o con P e videopoiettoe Quest opea è acquistabile anche nella vesione online, sul sito La vesione sfogliabile del libo, aicchita con ulteioi stumenti pe la lezione. Tutte le infomazioni sulle estensioni digitali del libo su: La piattafoma Peason pe l insegnamento e l appendimento della matematica con le nuove tecnologie Questo volume, spovvisto del talloncino a fonte (o oppotunamente punzonato o altimenti contassegnato) è da consideasi copia di SGGIO-MPIONE GRTUITO fuoi campo I.V.. (.P.R , n. 633, at. 2, comma 3, lett. d). Vendita e alti atti di disposizione vietati: at. 17, c. 2 e 4, L.633/ ,50 paavia 5 39 E. assina M. ondonno Lezioni di Matematica Geometia Lezioni di Matematica Geometia E. SSIN - M. ONONNO Peason igital System E. SSIN - M. ONONNO lgeba 1 con il Quadeno di allenamento alle pove INVLSI lgeba Geometia Geometia Lezioni di Matematica OMPETENZE E PROVE INVLSI paavia _ov.indd 1 07/06/

2 E. SSIN - M. ONONNO Lezioni di Matematica Geometia paavia

3 Responsabile editoiale: Valeia appa oodinamento tecnico-gafico: Michele Pomponio Segeteia di edazione: Vilma aveo Impaginazione e ealizzazione elettonica dei disegni: EsseGi, Toino Pogetto gafico: Sunise, Toino Gafica di copetina: Robeta Levi, Milano Immagine di copetina: Thomas Nothent/Photodisc/GettyImages Tutte le immagini del volume fanno pate dell chivio Iconogafico Peason Italia. Tutti i diitti isevati 2011, Peason Italia, Milano-Toino Pe i passi antologici, pe le citazioni, pe le ipoduzioni gafiche, catogafiche e fotogafiche, appatenenti alla popietà di tezi, inseiti in quest'opea, l'editoe è a disposizione degli aventi diitto non potuti epeie, nonché pe eventuali non volute omissioni e/o eoi di attibuzione nei ifeimenti. Fotocopie pe uso pesonale del lettoe possono essee effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dieto pagamento alla SIE del compenso pevisto dall'at. 68, commi 4 e 5, della legge 633 del 22/04/1941 e dagli accodi attuativi stipulati dalla SIE con le associazioni di categoia inteessate. Le ipoduzioni ad uso diffeente da quello pesonale potanno avvenie, pe un numeo di pagine non supeioe al 15% del pesente volume, solo a seguito di specifica autoizzazione ilasciata dall'ssociazione Italiana pe i iitti di Ripoduzione delle Opee dell'ingegno: IRO oso di Pota Romana, Milano segeteia@aido.og Stampato pe conto della casa editice pesso: S.I.P.E., Toino (To), Italia Pima edizione: 2011 Ristampa nno

4 INIE Unità 1 I pimi elementi della Geometia azionale 1. La Geometia azionale e il metodo deduttivo Il punto, la etta, il piano La etta e i suoi postulati Semiette e segmenti Il piano e i suoi postulati... 7 Lavoiamo insieme La conguenza delle figue piane Lavoiamo insieme 13 La teoia in sintesi Esecizi Scheda di utovalutazione Unità 2 Segmenti e angoli 1. I segmenti Postulati dei segmenti onfonto fa segmenti Somma e diffeenza di segmenti Multipli e sottomultipli di un segmento Lavoiamo insieme Gli angoli Postulati degli angoli onfonto fa angoli Somma e diffeenza di angoli Multipli e sottomultipli di un angolo Lavoiamo insieme 36 La teoia in sintesi Esecizi Scheda di utovalutazione Unità 3 I tiangoli 1. I poligoni I tiangoli Lavoiamo insieme La conguenza dei tiangoli Pimo e secondo citeio di conguenza Popietà dei tiangoli isosceli Tezo citeio di conguenza dei tiangoli Il teoema dell angolo esteno Le elazioni fa i lati e gli angoli di un tiangolo Lavoiamo insieme 64 La teoia in sintesi Esecizi Scheda di utovalutazione Unità 4 Rette pependicolai e ette paallele 1. Le ette pependicolai Lavoiamo insieme Le ette paallele Postulato delle paallele. Geometie non euclidee Gli angoli alteni, coispondenti e coniugati Il citeio di paallelismo delle ette Lavoiamo insieme 88 III

5 INIE 5. Popietà degli angoli dei tiangoli e dei poligoni I citei di conguenza dei tiangoli ettangoli Lavoiamo insieme 92 La teoia in sintesi Esecizi Scheda di utovalutazione Unità 5 I quadilatei 1. I quadilatei I paallelogammi Lavoiamo insieme Il ettangolo, il ombo e il quadato Lavoiamo insieme I tapezi Lavoiamo insieme La coispondenza di Talete La teoia in sintesi Esecizi Scheda di utovalutazione Unità 6 La ciconfeenza e il cechio 1. I luoghi geometici La ciconfeenza e il cechio Popietà delle ciconfeenze Popietà delle code Popietà degli achi e degli angoli al cento Lavoiamo insieme Le posizioni di una etta ispetto a una ciconfeenza Le posizioni ecipoche di due ciconfeenze Gli angoli alla ciconfeenza Le tangenti a una ciconfeenza da un punto esteno I poligoni inscitti e cicoscitti I tiangoli inscitti e cicoscitti. Punti notevoli dei tiangoli Lavoiamo insieme I poligoni egolai La teoia in sintesi Esecizi Scheda di utovalutazione Unità 7 Le tasfomazioni isometiche 1. Le tasfomazioni geometiche Le isometie La simmetia centale La simmetia assiale Lavoiamo insieme La taslazione La otazione Lavoiamo insieme 198 La teoia in sintesi Esecizi Scheda di utovalutazione Unità 8 L equivalenza delle supefici piane 1. Le supefici equivalenti Postulati dell equivalenza Le supefici equiscomponibili I poligoni equivalenti Lavoiamo insieme I teoemi di Euclide e di Pitagoa La teoia in sintesi Esecizi Scheda di utovalutazione Unità 9 La misua delle gandezze geometiche. Le aee dei poligoni 1. Le classi di gandezze geometiche IV

6 INIE 2. Gandezze commensuabili e incommensuabili La misua di una gandezza Le gandezze popozionali Gandezze diettamente popozionali Gandezze invesamente popozionali Il teoema di Talete Le aee dei poligoni Lavoiamo insieme Intepetazione algebica dei teoemi di Pitagoa e di Euclide Lavoiamo insieme La lunghezza della ciconfeenza L aea del cechio Lavoiamo insieme 262 La teoia in sintesi Esecizi Scheda di utovalutazione Unità 10 Le omotetie e la similitudine 1. Le omotetie Rappoto di omotetia Popietà delle omotetie Lavoiamo insieme La similitudine La similitudine nei poligoni La similitudine nei tiangoli itei di similitudine dei tiangoli Popietà dei tiangoli simili Lavoiamo insieme La similitudine e i teoemi di Euclide Le popietà dei poligoni simili La similitudine e la ciconfeenza La teoia in sintesi Esecizi Scheda di utovalutazione Unità 11 Rette e piani nello spazio 1. Lo spazio e le figue solide Le ette e i piani nello spazio La pependicolaità fa due ette e fa una etta e un piano Pependicolaità fa due ette Pependicolaità fa una etta e un piano Le ette e i piani paalleli Paallelismo fa due ette Paallelismo fa una etta e un piano Paallelismo fa due piani I diedi e la pependicolaità fa due piani Poiezioni e distanze nello spazio. ngolo di una etta con un piano La teoia in sintesi Esecizi Scheda di utovalutazione Unità 12 I poliedi e i solidi di otazione 1. I poliedi I pismi Paallelepipedo Le piamidi I poliedi egolai I solidi di otazione ilindo ono Sfea Il calcolo delle aee delle supefici dei solidi I volumi dei solidi Il calcolo dei volumi La teoia in sintesi Esecizi Scheda di utovalutazione Soluzioni V

7 PRESENTZIONE La ifoma della Scuola secondaia di secondo gado ha eso necessaia una evisione del pogetto L Oa della Matematica. Senza snatuae le caatteistiche di base dell intea opea (teoia essenziale e ampio isalto alla pate esecitativa), sono stati adeguati i contenuti alle indicazioni nazionali, è stata ulteiomente ampliata la pate didattica con un attenzione paticolae al tema delle competenze del cittadino e delle cetificazioni INVLSI e OSE-PIS. i seguito pesentiamo le pati salienti del pogetto. Il volume è aticolato in Unità, ciascuna delle quali è costituita da una pate teoica, in cui sono dichiaate le conoscenze e le abilità, e dagli esecizi. Pe quanto possibile, tutti i paagafi incominciano in testa pagina, pe scandie meglio le lezioni. Nel colonnino sono pesenti stumenti di studio: Ricoda: ichiamano concetti già intodotti, utili alla compensione del nuovo agomento tattato; ttenzione: sono le classiche segnalazioni di eoi tipici che si possono compiee in quel paticolae contesto; Sai che...: ipotano bevi notizie stoiche o cuiosità. Gli Esecizi sono suddivisi pe paagafi, poposti con gadualità e sempe accompagnati da un esecizio svolto. Le divese tipologie sono identificate da etichette affiancate al numeo (Rispondi, Veo/falso, ompleta, Scegli, Mate intono a noi,...). L asteisco accanto ad alcuni esecizi identifica la maggioe difficoltà. In vede sono identificati invece gli esecizi simili a quelli poposti sino a oggi nelle pove INVLSI. l temine di uno o più paagafi sono poposte le schede opeative Lavoiamo insieme, che contengono pimi esecizi, guidati e da svolgee autonomamente. l fondo della scheda è ipotato il imando di pagina alla coispondente sezione di esecizi. La pate di esecizi si ape con una Sintesi degli agomenti teoici, utile pe il ipasso. La scheda Matematica e società, pesente al temine di quasi tutte le unità, ha l intento di fa capie che la matematica è una scienza che pevade ogni campo della vita di tutti i gioni, che può essee divetente e che natualmente vaca, con un pò di inglese, i confini nazionali. La scheda di utovalutazione pemette allo studente di veificasi attaveso il punteggio assegnato a ciascun esecizio. Le schede di Recupeo, al temine dell unità, offono la possibilità di ipendee autonomamente, attaveso le esecitazioni, concetti teoici non compesi o semplicemente non assimilati. L attività di laboatoio infomatico è poposta on line e si compone di una icca selezione di schede elative ai softwae GeoGeba, eive, abi, Excel. Si ingaziano anticipatamente tutti coloo che, con suggeimenti e ossevazioni, intendeanno contibuie al miglioamento dell opea pe le futue edizioni e sopattutto buon lavoo a tutti gli insegnanti e gli studenti che utilizzeanno questo oso. Gli utoi VI

8 unità 1 I pimi elementi della Geometia azionale OMPETENZE onoscenze onoscee il significato di concetto pimitivo, postulato e teoema. onoscee i postulati della etta e del piano. onoscee il concetto di figua geometica e di conguenza. SI HE... 1 Euclide è uno dei più impotanti matematici di sempe. È autoe della più impotante opea di geometia dell atichità, gli Elementi. La Geometia azionale e il metodo deduttivo Nel pecedente pecoso scolastico hai studiato la Geometia usando il metodo intuitivo, con il quale le popietà delle figue geometiche (segmenti, ette, tiangoli, cechi ) si deteminano sopattutto a patie dall ossevazione dietta e dalle misuazioni. Nella scuola supeioe la Geometia viene ipoposta con un diveso metodo di studio, in cui ogni popietà delle figue si deduce da alte popietà già note, mediante il agionamento. Questo nuovo metodo di studio è detto metodo deduttivo e la Geometia che ne deiva pende il nome di Geometia azionale. La Geometia azionale tovò la sua pima sistemazione già nel III secolo a.., nell opea del matematico geco Euclide ed è pe questo che anco oggi la geometia che si studia nelle noste scuole si definisce Geometia euclidea. Lo sviluppo della Geometia azionale con il metodo deduttivo si ealizza sostanzialmente in te passaggi successivi. 1 Si stabilisce che alcuni enti geometici sono da consideasi enti pimitivi, nel senso che non devono essee definiti: sono il punto, la etta e il piano. Tutti gli alti enti geometici che vengono successivamente intodotti e diventano oggetto di studio sono invece descitti con una pecisa definizione che ne specifica le caatteistiche. 2 Si enunciano le popietà fondamentali degli enti pimitivi, che pendono il nome di postulati. I postulati sono popietà intuitive che si accettano anche se non possono essee dimostate: essi foniscono una definizione indietta degli enti pimitivi, in quanto indicano, olte alle loo popietà, anche le elazioni che intecoono fa essi. 3 Si deducono con il agionamento, cioè si dimostano, tutte le popietà degli enti geometici che si studiano: esse pendono il nome di teoemi. Tutti i teoemi devono essee dimostati, utilizzando solo i postulati e alti teoemi eventualmente dimostati in pecedenza. 1

9 I pimi elementi della Geometia azionale - unità 1 ome si dimostano i teoemi Un teoema è espesso da un enunciato, che spesso è una poposizione ipotetica stuttuata nella foma «se alloa», in cui è facile iconoscee l ipotesi, che è il dato di patenza, e la tesi, che è la popietà da dimostae. d esempio, nell enunciato del teoema: «se un tiangolo è isoscele, alloa gli angoli alla base sono conguenti» l ipotesi è: dato un tiangolo isoscele; la tesi è: gli angoli alla base sono conguenti. Se l enunciato è espesso in foma divesa, occoe icondulo alla foma ipotetica o comunque stabilie qual è l ipotesi e qual è la tesi. d esempio il teoema: «le diagonali di un ettangolo sono conguenti» icondotto in foma ipotetica diventa: «se un quadilateo è un ettangolo, alloa le sue diagonali sono conguenti» e in esso sono evidenti l ipotesi (il quadilateo è un ettangolo) e la tesi (le diagonali sono conguenti). Individuate l ipotesi e la tesi, è necessaio disegnae la figua del teoema, cioè appesentae in un disegno, in modo chiao e peciso, la situazione pospettata dal teoema e gli enti geometici inteessati: infatti spesso solo un attenta ossevazione della figua consente una ponta valutazione di popietà e di elazioni, suggeendo quindi il pecoso da seguie. Nel disegnae la figua occoe evitae di appesentae casi paticolai, se non sono ichiesti dall enunciato, peché potebbeo fuoviae il agionamento successivo; ad esempio, se nel teoema si pala di un quadilateo, potebbe essee fuoviante disegnae un quadato, che è un quadilateo paticolae, con i lati conguenti, peché il disegno potebbe suggeie consideazioni sbagliate, valide pe un quadato, ma non pe un quadilateo qualsiasi. isegnata la figua, si passa alla stesua della dimostazione, che consiste in una seie di successive e giustificate deduzioni che, patendo dai dati ceti foniti dall ipotesi, devono condue alla tesi, utilizzando i postulati, le definizioni e tutte le popietà già note, cioè i teoemi già dimostati. Un tipo paticolae di dimostazione di un teoema è la dimostazione pe assudo, che si sviluppa in questo modo: 1) si nega la tesi; 2) sulla base della falsità della tesi, si fomulano delle consideazioni e delle deduzioni, pevenendo a conclusioni palesemente assude, peché in contasto con l ipotesi o con qualche postulato o teoema già dimostato; 3) si conclude quindi che la tesi non può essee falsa e peciò isulta vea. Un esempio di dimostazione pe assudo è quella del secondo citeio di conguenza dei tiangoli che vedemo più avanti. Teoema inveso ato un teoema, se si scambia l ipotesi con la tesi, si ottiene il teoema inveso. Se un teoema è veo, non è detto che sia veo anche il teoema inveso, che deve peciò essee dimostato. Se si dimostano sia un teoema sia il suo inveso, i loo enunciati si possono unificae in un solo enunciato che, come vedemo al momento oppotuno, si espime con una foma paticolae, detta condizione necessaia e sufficiente. 2

10 unità 1 - I pimi elementi della Geometia azionale 2 Il punto, la etta, il piano Nella Geometia euclidea il punto, la etta e il piano sono consideati enti pimitivi e quindi costituiscono gli enti geometici fondamentali. Il punto, la etta e il piano, come pealto tutti gli enti geometici che studieemo, sono enti astatti, ceati dalla mente umana, ben divesi dagli oggetti che vediamo nella ealtà che ci ciconda; non hanno peso, né coloe, né lucentezza, né odoe: sono solo dei modelli che appesentano pe astazione gli oggetti del mondo fisico. Il punto geometico è pivo di estensione e può essee consideato l astazione, ad esempio, della taccia lasciata su un foglio dalla punta di una matita o di un ganellino di sabbia. La etta geometica è illimitata e piva di spessoe e può essee consideata l astazione, ad esempio, di una coda lunga e tesa. Il piano geometico è illimitato in lunghezza e laghezza e non ha spessoe: può essee consideato l astazione della supeficie di un tavolo, di uno stagno o di un foglio di cata. I punti si indicano con le lettee maiuscole dell alfabeto:,, P, Q, R, Le ette si indicano con le lettee minuscole dell alfabeto: a, b,, s, t, I piani si indicano con alcune lettee dell alfabeto geco, di solito: α (alfa) β (beta) γ (gamma) e si appesentano con ettangoli o paallelogammi. P α a Linee e figue geometiche Se un punto si muove in modo continuo nello spazio, l insieme delle posizioni successive che esso occupa si dice linea geometica. Esistono linee apete e linee chiuse, limitate e illimitate. La etta si può consideae un caso paticolae di linea apeta illimitata. Q 3

11 I pimi elementi della Geometia azionale - unità 1 linea apeta linea chiusa linea illimitata etta Si dice figua geometica ogni insieme non vuoto di punti. Sono quindi figue geometiche le ette, i segmenti, gli angoli, i tiangoli, le piamidi; anche il punto è una figua geometica. L insieme di tutti i punti costituisce lo spazio. Lo spazio contiene tutte le figue geometiche; se una figua appatiene tutta a un solo piano si dice figua piana, altimenti si dice figua solida. figue piane figue solide 4

12 unità 1 - I pimi elementi della Geometia azionale 3 La etta e i suoi postulati Molte popietà intuitive della etta, nella Geometia azionale, vengono assunte come postulati, cioè consideate vee senza dove essee dimostate. Fa i postulati che iguadano la etta sono paticolamente impotanti i postulati di appatenenza e il postulato di odinamento. Postulati di appatenenza della etta Se disegniamo una etta, su di essa possiamo segnae quanti punti vogliamo; se fa due di questi punti tendiamo due fili sottili, essi si sovappongono l uno all alto. Se disegniamo una etta su un piano, su di esso possiamo segnae alti punti che non appatengono alla etta. Queste popietà intuitive delle ette si assumono come postulati e pendono il nome di postulati di appatenenza della etta. Postulati di appatenenza della etta Ogni etta è costituita da infiniti punti (fig. a). Pe ogni coppia di punti distinti passa una e una sola etta (fig. b). ata una etta su un piano, esiste almeno un punto del piano che non le appatiene (fig. c). a) b) c) I punti che appatengono alla stessa etta si dicono allineati. Postulato di odinamento della etta Una delle popietà delle ette è che ciascuna di esse può essee pecosa in soli due vesi, opposti fa loo; ad esempio il punto della etta può muovesi su solo nei due vesi indicati dalle fecce: Ogni etta può quindi essee oientata, cioè su di essa si può stabilie qual è il veso di pecoenza, indicandolo con una feccia. 5

13 I pimi elementi della Geometia azionale - unità 1 Se consideiamo, ad esempio, una etta oientata veso desta e fissiamo su di essa i te punti, e : possiamo affemae che: pecede segue è compeso fa e Fissato il veso di pecoenza, i punti della etta isultano quindi odinati ispetto al veso scelto. Questa popietà dei punti di una etta viene assunta come postulato e pende il nome di postulato di odinamento della etta. Postulato di odinamento della etta In ogni etta si possono stabilie due odinamenti, detti vesi, opposti ta loo. lti postulati della etta onsideiamo alte due popietà intuitive della etta. Ogni etta è illimitata nei due vesi, cioè non esiste un punto di inizio né un punto finale. Ogni etta è un insieme di punti denso, nel senso che i punti che la costituiscono sono fitti, cioè si susseguono in modo continuo, senza inteuzioni. nche queste popietà vengono assunte come postulati. Postulati ato un punto di una etta, esiste sempe un punto della etta che lo pecede e un punto della etta che lo segue. ati due punti distinti di una etta, esiste sempe un punto della etta compeso fa essi. Sulla base di tutti i postulati pecedenti si può quindi affemae che la etta è un insieme di punti odinato, illimitato e denso. 3.1 Semiette e segmenti opo ave stabilito con i postulati quali sono le popietà delle ette, si possono definie due nuovi enti geometici: la semietta e il segmento. ata una etta oientata e un suo punto qualunque O si dice semietta di oigine O l insieme costituito dal punto O e da tutti i punti di che pecedono oppue seguono O. semietta O semietta 6

14 unità 1 - I pimi elementi della Geometia azionale Le due semiette individuate sulla etta sono fa loo opposte: la semietta costituita da O e dai punti che lo seguono si dice semietta positiva, mente l alta si dice semietta negativa. ata una etta oientata e due suoi punti distinti e si dice segmento di estemi e l insieme costituito dai punti e e dai punti di compesi fa e. segmento Il segmento di estemi e si indica con. TTENZIONE Un geneico segmento di estemi e si indica con, mente il segmento oientato di estemi e si indica con. Tenuto conto del postulato che dice che, dati due punti di una etta, esiste sempe un punto della etta stessa compeso fa essi, si può affemae che un segmento è un insieme infinito di punti. Infatti, dato un segmento, fa e esiste sempe un punto, fa e esiste sempe un punto e così via, pe cui i punti del segmento isultano infiniti. Un segmento, come una etta, può essee pecoso in due vesi opposti; stabilito qual è il veso di pecoenza, il segmento si dice oientato. segmento segmento 4 Il piano e i suoi postulati Molte popietà intuitive del piano in Geometia azionale sono assunte come postulati, cioè sono consideate vee senza dimostazione. nalogamente al caso della etta, distinguiamo i postulati di appatenenza e il postulato di patizione del piano. Postulati di appatenenza del piano Su un piano qualsiasi, ad esempio su una lavagna, possiamo segnae quanti punti vogliamo e tacciae quante ette vogliamo. Se appoggiamo un catoncino sulla punta di una matita o di due matite, possiamo fagli assumee infinite posizioni; se lo appoggiamo invece sulle punte di te matite non allineate il catoncino si dispone in una sola posizione, stabile e fissa. Se tacciamo una etta su un piano, ad esempio su un foglio di cata, tutti i punti della etta giacciono sul foglio; se fissiamo un punto P sul foglio, possiamo tacciae infinite ette che passano pe P. Queste popietà intuitive che iguadano i piani, nella Geometia azionale si assumono come postulati e pendono il nome di postulati di appatenenza del piano. 7

15 I pimi elementi della Geometia azionale - unità 1 Postulati di appatenenza del piano Ogni piano è costituito da infiniti punti e infinite ette (fig. a). Pe te punti non allineati passa uno e un solo piano (fig. b). Se una etta ha due punti su un piano alloa giace inteamente sul piano (fig. c). Pe un punto di un piano passano infinite ette (fig. d). a) b) c) d) L insieme di tutte le ette di un piano che passano pe lo stesso punto P si dice fascio di ette di cento P. I punti e le ette che appatengono allo stesso piano si dicono complanai. Tenuto conto del postulato che dice che pe due punti distinti di un piano passa una sola etta, è evidente che due ette complanai possono avee un solo punto in comune, peché se ne avesseo due isulteebbeo coincidenti. ue ette complanai possono peciò tovasi, l una ispetto all alta, in una delle seguenti posizioni: avee più di un punto in comune: in tal caso si dicono coincidenti; avee un solo punto in comune: in tal caso si dicono incidenti in quel punto; non avee alcun punto in comune: in tal caso si dicono paallele. P ette coincidenti ette incidenti in P ette paallele Pe indicae che due ette ed s sono paallele si scive s. Usando il linguaggio simbolico degli insiemi, le posizioni ecipoche di due ette complanai a e b si possono indicae così: a b = a = b a b = P a b = se sono coincidenti se sono incidenti nel punto P se sono paallele 8

16 unità 1 - I pimi elementi della Geometia azionale Postulato di patizione del piano Se tacciamo una etta su un piano, ad esempio su un foglio di cata, esso esta diviso in due egioni; se congiungiamo con un segmento due punti che si tovano in egioni divese, necessaiamente il segmento deve attavesae la etta, peché essa è illimitata e sepaa le due egioni in modo completo. Questa popietà intuitiva del piano viene assunta come postulato e pende il nome di postulato di patizione del piano. Postulati di patizione del piano Ogni etta divide il piano a cui appatiene in due egioni, che si dicono semipiani di oigine. Se e sono due punti distinti del piano a non appatenenti a, consideato il segmento, si possono veificae due casi: se e appatengono allo stesso semipiano, il segmento non inteseca la etta (fig. a); se e non appatengono allo stesso semipiano, il segmento inteseca la etta in un punto (fig. b). P α α a) b) I due semipiani di oigine si dicono opposti uno all alto; pe indicali si usano le lettee minuscole dell alfabeto geco. 9

17 Lavoiamo insieme Esecizi guidati 1 Sulla etta oientata è disegnata in osso una semietta positiva di oigine O; disegna una semietta negativa di oigine sulla etta oientata s. O s 2 Sulla etta oientata è disegnato in osso un segmento ; disegna in blu un segmento PQ e un segmento RS. 3 Sul piano α sono segnati quatto punti distinti,, e e la etta passante pe e pe ; taccia la etta s passante pe e pe e la etta t passante pe e pe. ome sono fa loo le ette, s e t? ed s sono incidenti e t sono... s e t sono... α 4 Indica quali fa le seguenti ette sono incidenti e quali sono paallele. ed s sono paallele e t sono... t a s e t sono... s e a sono... s e a sono... t e a sono... 5 Sul piano α è disegnata la etta passante pe il punto P: disegna un fascio di ette di cento P. α 10 alla pagina 16 alti esecizi >>>

18 unità 1 - I pimi elementi della Geometia azionale 5 La conguenza delle figue piane Le ette, le semiette, i segmenti, gli angoli e tutte le figue piane sono insiemi di punti; poiché due insiemi sono uguali quando sono costituiti dagli stessi elementi, due figue piane si possono definie uguali solo se sono costituite dagli stessi punti. ue figue uguali quindi occupano la stessa posizione sul piano e coincidono. iò significa che due figue che sul piano occupano posizioni divese non possono in alcun caso essee definite uguali. onsideiamo alloa due figue F 1 ed F 2 che occupano posizioni divese; se si sposta una figua, con un movimento che non la defoma, in modo da sovappola all alta, può capitae che esse coincidano pefettamente: in tal caso le due figue si dicono conguenti. RIOR Se F 1 è conguente a F 2 si scive F 1 F 2. F 1 F 2 Il movimento che non defoma una figua quando si sposta sul piano si dice movimento igido e viene consideato un concetto pimitivo. ue figue si dicono conguenti se coincidono sovapponendole con un movimento igido. TTENZIONE Figue uguali significa coincidenti. Figue conguenti significa sovapponibili. Pe indicae che due figue F 1 ed F 2 sono conguenti si scive F 1 F 2. Poiché tutte le ette coincidono se vengono sovapposte con un movimento igido, così come anche tutte le semiette, tutti i piani e i semipiani, si può concludee che: tutte le ette sono fa loo conguenti; tutte le semiette sono fa loo conguenti; tutti i piani sono fa loo conguenti; tutti i semipiani sono fa loo conguenti. La conguenza fa due figue piane è una coispondenza biunivoca fa i loo punti, peché a ciascun punto di F 1 fa coispondee uno e un solo punto di F 2 e vicevesa. 11

19 I pimi elementi della Geometia azionale - unità 1 Uguaglianza e conguenza È oppotuno ibadie ancoa la diffeenza fa il concetto di uguaglianza e il concetto di conguenza. a) Se due figue geometiche sono costituite dagli stessi punti e quindi occupano la stessa posizione, cioè coincidono, alloa si dice che le due figue sono uguali. d esempio, un lato del tiangolo H è uguale a un lato del tiangolo K, peché in entambi i tiangoli si tatta dello stesso segmento. H K b) Se due figue geometiche distinte sono esattamente sovapponibili con un movimento igido, si dicono conguenti. d esempio, il lato del tiangolo è conguente al lato PQ del tiangolo PQR peché sono segmenti distinti, ma pefettamente sovapponibili. P R Q TTENZIONE Il simbolo indica la conguenza ed è diveso dal simbolo che indica l uguaglianza. Popietà della conguenza La elazione di conguenza fa due figue piane gode delle seguenti popietà: è iflessiva, peché ogni figua è conguente a se stessa; è simmetica, peché se F 1 F 2 anche F 2 F 1 ; è tansitiva, peché se F 1 F 2 ed F 2 F 3, anche F 1 F 3. Pe questo motivo si dice che è una elazione di equivalenza. 12

20 Lavoiamo insieme Esecizi guidati 1 Stabilisci quali ta le seguenti figue sono conguenti, congiungendole con una linea, come nell esempio. a) b) c) d) e) f) g) h) 2 Le figue F ed F' sono conguenti: indica su F' i punti coispondenti di,,,, E, F, come nell esempio. E F' F F E' 3 Le due figue geometiche sono ta loo conguenti: evidenzia alcuni punti coispondenti, come nell esempio. ' alla pagina 22 alti esecizi >>> 13

21 La teoia in sintesi 1. La Geometia azionale e il metodo deduttivo Geometia azionale Enti pimitivi e postulati Teoema imostazione pe assudo La Geometia azionale utilizza il metodo deduttivo, con il quale ogni popietà delle figue geometiche si deduce da alte popietà già note, mediante il agionamento. Patendo da alcuni enti pimitivi che vengono accettati come noti, e dalle loo popietà intuitive dette postulati, anch esse accettate come vee, si intoducono tutti gli alti enti geometici mediante definizione e si dimostano le loo popietà, dette teoemi. Ogni teoema è costituito da una ipotesi (dati di patenza, supposti vei), una tesi (ciò che si vuole dimostae) e una dimostazione che è una seie di deduzioni logiche che, patendo dall ipotesi, consente di aivae alla tesi. Le dimostazioni pe assudo sono quelle in cui si nega la tesi e come conseguenza si peviene a conclusioni assude, pe cui la tesi è da consideae vea. 2. Il punto, la etta, il piano Enti pimitivi Linea geometica Gli enti pimitivi sono il punto, la etta e il piano. Se un punto si muove su un piano l insieme delle posizioni successive che esso occupa si dice linea. linea apeta linea chiusa Figua geometica Si dice figua geometica ogni insieme non vuoto di punti; se i punti della figua appatengono tutti allo stesso piano la figua geometica si dice piana. 3. La etta e i suoi postulati Postulati di appatenenza della etta Postulato di odinamento della etta Retta oientata lti postulati Essi affemano che: ogni etta è costituita da infiniti punti; pe due punti distinti passa una e una sola etta; data una etta su un piano, esiste almeno un punto del piano che non appatiene alla etta. In ogni etta si possono stabilie due odinamenti, detti vesi, che sono fa loo opposti. Se si stabilisce un veso di pecoenza, una etta si dice oientata: Essi affemano che: dato un punto di una etta, esiste sempe un punto che lo pecede e un punto che lo segue; dati due punti distinti di una etta, esiste sempe un punto compeso fa essi. In base ai postulati, la etta isulta un insieme di punti odinato, illimitato e denso. 14

22 La teoia in sintesi Semietta ata una etta oientata e un suo punto O, si dice semietta di oigine O l insieme costituito da O e da tutti i punti di che seguono oppue pecedono O: semietta negativa O semietta positiva Segmento ata una etta oientata e due suoi punti distinti e, si dice segmento di estemi e l insieme costituito da e e da tutti i punti di compesi fa e : segmento Segmento oientato nche un segmento può essee oientato, se su di esso si stabilisce un veso di pecoenza. 4. Il piano e i suoi postulati Postulati di appatenenza del piano Postulato di patizione del piano Essi affemano che: ogni piano è costituito da infiniti punti e infinite ette; pe te punti di un piano passa uno e un solo piano; se una etta ha due punti su un piano, alloa giace sul piano; pe ogni punto di un piano passano infinite ette. Ogni etta divide il piano cui appatiene in due semipiani di oigine. Se e sono due punti distinti del piano non appatenenti a, il segmento può intesecae in un punto oppue non intesecae, a seconda della posizione di e ispetto a. 5. La conguenza delle figue piane Figue uguali Figue conguenti ue figue geometiche si dicono uguali se sono fomate dagli stessi punti e quindi occupano la stessa posizione. ue figue geometiche che sono esattamente sovapponibili con un movimento igido si dicono conguenti. 15

23 Esecizi 1. La Geometia azionale e il metodo deduttivo (teoia pag. 1) RISPONI Su quale metodo di studio si basa la Geometia azionale? In che cosa consiste tale metodo? RISPONI Quali sono gli enti geometici pimitivi? VERO/FLSO Un postulato è una popietà pimitiva che si accetta solo dopo avela dimostata. V F RISPONI a quali pati è composto un teoema? Illusta i passaggi che si devono seguie pe dimostae la validità di un teoema. 5 6 VERO/FLSO Esistono due tipi di dimostazione dei teoemi: la dimostazione dietta e la dimostazione pe assudo. V F SEGLI Indica quali fa i seguenti concetti matematici sono consideati pimitivi: a) etta e) insieme b) punto f ) figua geometica c) piano g) numeo natuale d) teoema Individua nei seguenti teoemi l ipotesi e la tesi: 7 Le diagonali di un quadato sono pependicolai. 8 I multipli di 2 sono numei pai. 9 Se un cittadino ha votato, alloa ha compiuto 18 anni. 10 Tutti i cittadini fancesi sono cittadini euopei. 11 ue cechi che hanno la stessa ciconfeenza hanno lo stesso aggio. 12 Un tiangolo con i te lati di uguale lunghezza ha i te angoli di uguale ampiezza. 13 Se una lampadina è accesa alloa è attavesata da coente. 2. Il punto, la etta, il piano (teoia pag. 3) ESEMPLIFI ome possono essee visualizzati nella ealtà un punto, un piano e una etta? RISPONI he cos è una linea geometica? RISPONI he cos è una figua geometica? ISTINGUI he diffeenza c è ta una figua piana e una figua solida? 18 SEGLI Indica quale delle seguenti figue appesenta una etta: a) d) b) e) c) 16

24 unità 1 - I pimi elementi della Geometia azionale 19 Indica che cosa appesenta nella figua ciascuna lettea: 25 OMPLET Indica se le seguenti linee geometiche sono apete o chiuse: c a α b isegna una etta e segna: te punti,, appatenenti a in modo che stia ta e ; quatto punti, E, F, G appatenenti a in modo che F stia ta e G e sia dalla pate opposta di E ispetto a G; dei punti in modo che la etta esti divisa in te pati. isegna una etta e segna: due punti che appatengono a ; due punti che stanno da pati opposte ispetto a ; due punti che stanno dalla stessa pate ispetto a. isegna una etta e segna: un punto che appatiene a e un punto che non le appatiene; un punto che non appatiene a e una etta che passa pe e inconta in un punto P la etta ; un punto che non appatiene a e una etta che passa pe e non inconta la etta ; una etta s che inconta in un punto T la etta e una etta t che non inconta la etta. isegna un piano α e segna: quatto punti,,, appatenenti ad α; due ette ed s appatenenti ad α, la pima passante pe e la seconda pe nessuno dei quatto punti; una etta t passante pe ma non appatenente ad α. lassifica le seguenti figue geometiche in limitate (L) e illimitate (I): a) segmento non nullo d) etta b) semipiano e) punto c) tiangolo f) semietta isegna due linee apete che si intesecano in due punti. isegna due linee chiuse che si intesecano in due punti. Individua gli insiemi di punti che costituiscono le seguenti figue geometiche: a) c) OMPLET Stabilisci se le seguenti figue geometiche sono piane o solide: d) b) 17

25 I pimi elementi della Geometia azionale - unità 1 3. La etta e i suoi postulati (teoia pag. 5) VERO/FLSO Una etta è un insieme infinito di punti. RISPONI Quanti punti occoono pe individuae una etta? V F RISPONI a quanti elementi è composto l insieme delle ette passanti pe due punti? VERO/FLSO ata una etta su un piano esiste almeno un punto del piano che non le appatiene. V F RISPONI Quanti vesi si possono individuae su una etta? RISPONI Quando una etta si dice oientata? RISPONI he cosa significa affemae che una etta è illimitata? VERO/FLSO Una etta è un insieme di punti odinato, limitato e denso. V F 38 OMPLET Stabilisci l odine dei punti,,,, E pesi sulla etta oientata inseendo negli appositi spazi la paola pecede o segue. 42 SEGLI on ifeimento alla etta oientata e ai punti segnati su di essa, individua ta le sequenze di punti poposte quelle coette: E F E E E... E a),, d),, g) F,, E b) F,, E e) F,, h),, c), F, f ), F, E RISPONI uante sono le ette distinte che congiungono a due a due te punti non allineati? 39 OMPLET Stabilisci l odine dei punti,,,, E pesi sulla etta oientata inseendo negli appositi spazi la paola pecede o segue. 44 on ifeimento ai punti,,, sul piano α: E E... E E RISPONI I punti,,, sono così disposti su una etta oientata: pecede, pecede e sta fa e, segue. Qual è la successione dei punti? isegna su una etta oientata te punti,, in modo che peceda e segua α stabilisci qual è il numeo delle ette che passano: a) pe c) pe, pe e pe b) pe e pe d)pe, pe e pe RISPONI ati quatto punti,,, di una etta oientata, in quanti e quali modi si possono odinae? RGION Segna su una etta oientata i punti,,, in modo che peceda e segua. he cosa succede a questi punti se si invete l oientamento della etta? 18

26 unità 1 - I pimi elementi della Geometia azionale 47 ate le ette, s, t sul piano α, stabilisci a quali figue geometiche coispondono le seguenti opeazioni: a) s b) ( t) c) [(t s) (t )] d) ( s) (s t) s t α Semiette e segmenti (teoia pag. 6) 48 RISPONI he cos è una semietta? Quante semiette individua un punto P su una etta? 59 RISPONI Quante e quali figue geometiche individuano due punti e su una etta? RISPONI Quante semiette è possibile individuae su una etta? VERO/FLSO ue semiette che hanno l oigine e un punto in comune coincidono. V F VERO/FLSO ue semiette si dicono opposte se hanno l oigine in comune. V F 60 Stabilisci quante e quali semiette distinte si possono individuae su una etta oientata avendo fissato su di essa: a) un punto ; b) due punti distinti e ; c) te punti distinti, e. d) dieci punti distinti RISPONI he cos è un segmento? RISPONI Quanti sono i punti che appatengono a un segmento? RISPONI he cos è un segmento oientato? VERO/FLSO Se gli estemi di un segmento appatengono a un segmento, alloa è incluso in. V F VERO/FLSO ue segmenti contenuti in una etta possono avee un solo punto in comune. isegna una etta e segna su di essa due punti e : coloa in osso il segmento e in blu le semiette di oigine e. isegna due semiette di oigine e intesecale con una etta : indica i segmenti così ottenuti. V F RISPONI Te ette si incontano in un punto P. Quante semiette si deteminano? RGION Stabilisci quanti e quali segmenti distinti non nulli si possono individuae su una etta oientata avendo fissato su di essa: a) un punto ; b) due punti distinti e ; c) te punti distinti, e. ata una etta fissa su di essa i punti,, in modo che l intesezione dei segmenti e sia il segmento. RGION Stabilisci quante semiette e quanti segmenti si possono individuae su una etta oientata avendo fissato su di essa te punti distinti, e. Genealizza al caso di n punti. 19

27 I pimi elementi della Geometia azionale - unità 1 65 ata una etta e fissati i punti,,, indica il isultato delle seguenti opeazioni: a) c) b) d) 66 Segna su una etta quatto punti,,, in modo tale che isultino soddisfatte tutte le seguenti condizioni: 4. Il piano e i suoi postulati (teoia pag. 7) 67 RISPONI Quanti punti e quante ette appatengono a un piano? 80 RISPONI onsidea in un piano la seguente linea chiusa: RISPONI Quante ette appatenenti allo stesso piano passano pe un punto? Essendo le ette sottoinsiemi del piano, che cosa appesenta il loo punto comune? RISPONI ome si chiamano le ette appatenenti a un piano passanti pe un solo punto? RISPONI Te punti distinti individuano un piano? 81 In quante egioni è diviso il piano? isegna una etta e poi taccia una etta s paallela a, una etta t incidente e una etta u coincidente con RISPONI Quanti piani passano pe una etta e pe un punto che non appatiene alla etta? RISPONI he cos è un fascio popio di ette? 82 Indica quali fa le seguenti ette sono incidenti e quali sono paallele. 73 RISPONI ome vengono chiamate due ette appatenenti allo stesso piano? 74 RISPONI he cos è un semipiano? VERO/FLSO L intesezione di due semipiani opposti di oigine è un insieme vuoto. V F isegna un piano α e segna te punti,, su di esso: taccia la etta passante pe e pe e la etta s passante pe e pe. isegna su un piano α un punto P e il fascio di ette passanti pe P. RISPONI Se ed s sono due ette appatenenti a un piano α, che cosa significano le scittue: s {P} ed s? RISPONI ata una etta e te punti,,, se isulta,,, quale sottoinsieme individuano i punti,,? 83 a b Indica quali fa le seguenti ette sono incidenti e quali sono paallele. c d 20

28 unità 1 - I pimi elementi della Geometia azionale 84 ata la seguente figua: s G α F E indica: a) tutti i semipiani individuati dalle ette ed s; b) tutti i punti, ta quelli indicati, appatenenti al semipiano (cioè al semipiano individuato dalla etta e dal punto ); c) tutti i punti, ta quelli indicati, appatenenti al semipiano s; d) tutti i punti, ta quelli indicati, appatenenti ai semipiani s ed ; e) tutti i punti, ta quelli indicati, appatenenti ai semipiani ed s RGION Stabilisci quanti semipiani distinti si possono individuae su un piano α, avendo segnato su di esso: a) una etta; b) due ette incidenti; c) te ette distinte di un fascio popio. ue semipiani di oigine comune sono sottoinsiemi dello stesso piano α. etemina gli insiemi unione e intesezione dei due semipiani. OMPLET onsideate due ette incidenti ed s e i quatto semipiani: α e α' di oigine, β e β' di oigine s, tutti inclusi nel piano π da esse individuato, detemina i seguenti insiemi: α α'... β β'... α β... α' β'... α β... α' β'... (α β) (α β)... α α' π β' β s 21

29 I pimi elementi della Geometia azionale - unità 1 5. La conguenza delle figue piane (teoia pag. 11) 88 RISPONI Quando due figue si dicono uguali e quando si dicono conguenti? 89 RISPONI Peché la conguenza fa due figue piane è una elazione di equivalenza? 90 VERO/FLSO ue semiette qualsiasi sono conguenti. V F 91 VERO/FLSO Una etta è conguente a una semietta. V F 92 VERO/FLSO Tutti i piani sono fa loo conguenti. 93 SEGLI Stabilisci quali ta le seguenti figue sono conguenti. 95 Le figue piane F ed F sono conguenti: indica su F i punti coispondenti di,,,. F F 96 SEGLI Indica quali delle seguenti coppie di figue sono conguenti: 94 Le figue piane F ed F sono conguenti: indica su F i punti coispondenti di V, Z, T, W, Y. V a) b) F W Y Z T F 97 c) d) Una figua F è conguente a una figua F. Una figua G è conguente a una figua G. on un esempio dimosta che la figua F G non è necessaiamente conguente alla figua F G. 22

30 Scheda di utovalutazione Se non hai aggiunto la sufficienza (6/10), ivedi la teoia Totale punti.../10 Test 1 Nella Geometia euclidea gli enti pimitivi sono: il punto e la etta. il punto, la etta e il piano. la etta e il piano. il punto e il segmento. punti 1 2 Un punto P su una etta oientata individua: una semietta. due segmenti. due semiette opposte. una semietta e un segmento. punti 1 3 ue punti P e Q su una etta oientata individuano: un segmento. due segmenti. un segmento e una semietta. un segmento e due semiette. punti 1 4 Se a e b sono due ette complanai, quale scittua significa che non hanno punti in comune? a b a b a a b b a b P punti 1 5 Quanti piani passano pe te punti non allineati? Uno ue Nessuno Infiniti punti 1 6 Quante ette passano pe due punti distinti di un piano? Una ue Te Infinite punti 1 7 Osseva i punti,, sulla etta oientata: quale affemazione non è coetta? pecede segue segue pecede punti 1 8 Quale affemazione non è vea? Tutte le ette sono conguenti. Tutte le figue sono conguenti. Tutti i piani sono conguenti. Tutti i semipiani sono conguenti. 9 Osseva la linea della figua: punti 1 si tatta di: una linea apeta illimitata. una linea apeta limitata. una linea etta. una linea chiusa. punti 1 10 In un teoema la tesi indica: i dati di patenza. il agionamento da fae. la popietà da dimostae. le popietà da utilizzae. punti 1 23