Campi scalari e vettoriali (1)

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1 ampi scalai e vettoiali (1) 3 e ad ogni punto P = (x, y, z) di una egione di spazio Ω R è associato uno ed uno solo scalae φ diemo che un campo scalae è stato definito in Ω. In alti temini: φ 3 : P R φ(p) R (o ) Indicheemo il campo scalae con la notazione φ (x, y, z, t), oppue φ (P, t). Qualoa φ non dipenda dal tempo, e cioè φ = φ(x, y, z) = φ(p), il campo scalae si dià stazionaio hiameemo supeficie di livello il luogo di tutti i punti nei quali φ assume il medesimo valoe φ 0. In fomule: φ(x,y,z) e il campo scalae soddisfa oppotune condizioni di egolaità (deivabile almeno 2 volte e gadiente di φ non nullo in ogni punto) pe ogni punto passa una ed una sola supeficie di livello = φ 0 La conoscenza delle supefici di livello consente di descivee completamente il campo e la egione Ω è bidimensionale, si pala di linee di livello 1

2 ampi scalai e vettoiali (2) e ad ogni punto P = (x, y, z) di una egione Ω dello spazio vettoiale R 3 è associato uno ed un solo vettoe A, diemo che un campo vettoiale A è stato definito in Ω. A può essee un vettoe dello spazio R n oppue dello spazio n. In simboli: A R A R 3 n n : P Ω (P) (o ) Indicheemo il campo vettoiale A conlanotazionea(x, y, z, t), oppue A(P, ( t). Qualoa A non dipenda dal tempo, e cioè A = A(x,y,z)=A(P), il campo vettoiale si dià stazionaio. A seconda della gandezza fisica (vettoiale) appesentata da A, il campo vettoiale potà assumee denominazioni i i divese. Ad esempio, se A ha le dimensionii i di una velocità paleemo di campo di velocità, se A ha le dimensioni di una foza, paleemo di campo di foze, se V ha le dimensioni di una foza pe unità di caica si paleà di campo elettico, e via dicendo i chiamano linee di campo le linee dello spazio R 3 paallele in ogni punto P al vettoe A. Pe i punti di tali linee isulta: A d = 0 (i) dove d è il vettoe di lunghezza infinitesima tangente alla linea nel punto P. Tale uguaglianza, difatti, è soddisfatta se e solo se A e d sono paalleli. 2

3 ampi scalai e vettoiali (3) e A è un campo di velocità, le linee di campo si dianno linee di flusso (o linee di coente, se A è stazionaio). e A è un campo di foze, si pala di linee di foza. Anche nel caso dei campi E.M. si usa la dizione linee di flusso, o talvolta, impopiamente, di linee di foza. Espimendo il vettoe infinitesimo tangente alla linea in componenti catesiane: d = dx ˆ i ˆ x + dy iy + dz ˆz i l equazione vettoiale (i) si può iscivee nel modo seguente: Adz y Ady z = 0 A zdx A xdz = 0 Ady x Adx y = 0 da queste 3 equazioni scalai si icava infine: dx dy dz = = (ii) A A A x y z In modo del tutto analogo, si dimosta che le linee di campo soddisfano l equazione: ds u 1 ds u 2 ds u 3 dove (ds,ds,ds sono gli achi elementai e = = u1, u2, u3 (A Au1 Au2 A u1,a u2,a u3 ) le componenti di A ispetto a un u3 geneico sistema di ifeimento cuvilineo (u 1,u 2,u 3 ). 3

4 ampi scalai e vettoiali (4) Integando l equazione diffeenziale (ii) si può quindi ottenee l espessione analitica delle linee di foza del campo vettoiale. L integazione di tale equazione può isultae nella patica molto difficile! Pe questo motivo spesso si utilizzano citei qualitativi pe il tacciamento delle linee di flusso. Esecizio Deteminae sul piano xy l espessione analitica delle linee di flusso del campo elettostatico geneato da una caica puntifome q 0 posta nell oigine del sistema di ifeimento catesiano Le linee di flusso hanno il limite di fonie una appesentazione completa solo di diezione e veso della gandezza vettoiale appesentata, ma non danno infomazioni igoose sulla sua intensità. Pe ovviae a ciò, si utilizza il citeio di Faaday: le linee di foza vengono disegnate più avvicinate nelle zone dello spazio in cui l intensità del campo è maggioe. Peché tale citeio dia infomazioni pecise, è quindi necessaio che si abbia una elazione di dietta popozionalità fa la densità di linee di foza disegnate e il modulo del vettoe. i tatta, comunque, di un citeio qualitativo. - Un campo le cui linee di flusso sono ovunque // ed equidistanziate si dià unifome - Un punto del campo vettoiale dal quale si dipatono tutte le linee vettoiali si dià una sogente del campo - Un punto nel quale si chiudono tutte le linee vettoiali si dià un pozzo. 4

5 ampi scalai e vettoiali (5) Esempio : nel caso del campo elettostatico, le caiche positive sono le sogenti, le caiche negative i pozzi. + - ORGENTE POZZO Data una linea chiusa, si definisce tubo di flusso la supeficie tubolae fomata da tutte le linee vettoiali che passano pe i punti di. 5

6 Integali su linee, supefici e volumi INTEGRALI DI LINEA ia una cuva oientata di R 3, di estemi P1 e P2. sia descitta in foma paametica dalla funzione, dipendente dal paameto scalae u: 3 : u [ a, b] R [ ] R P1 = (a) u =u 2 (u) P P2 P2= (b) u =u 1 P1 ia f una funzione definita sull insieme [] dei punti di Integale cuvilineo 2 Tale integale non dipende dalla paametizzazione scelta. i dimosta che isulta sempe: d = ( u) du P P 1 ( u ) = x( u)ˆi + y( u)ˆi + z( u)ˆi f d b P 2 f ( ( u )) d = f ( ( u )) ( u ) 1 P a du x y FORMULA RIOLUTIVA DELL INTEGRALE URVILINEO z 6

7 Integali su linee, supefici e volumi (2) ia A un campo vettoiale definito e continuo lungo. La quantità: P2 A d = Ax dx + Ay dy + Az dz P 1 è detta integale del campo vettoiale A lungo la linea. L integale suddetto è la somma lungo delle componenti tangenziali di A ispetto alla cuva stessa. d dx ˆ x dy ˆ dz ˆ d = i + i y + i z è un vettoe tangente a e di + d lunghezza infinitesima d Petanto si può scivee anche: c A d = A ˆ i d dove î è il vesoe tangente a nel geneico punto P, avente veso concode con l oientazione della cuva. c 7

8 Integali su linee, supefici e volumi (3) e è una cuva chiusa semplice (cioè non inteseca se stessa in alcun punto) alloa l integale lungo tale cuva: A d = A ˆi d è detto cicuitazione di A lungo. OERVAZIONE: L integale di linea di un campo vettoiale è un caso paticolae di integale cuvilineo, con: f ( ( u )) = Ai ˆ Il contibuto della paametizzazione è contenuto nel vesoe tangente. i dimosta che: ˆ i = ( u ) ( u ) i ha quindi: b b ˆ A d = A i d = A ( u) d u = A ( u) du P ( u) P 2 P 2 ( u ) 1 1 P a a 8

9 Integali su linee, supefici e volumi (4) FORMULA RIOLUTIVA PER L INTEGRALE DI LINEA DEL AMPO VETTORIALE: b P2 A d = A () u du P 1 a Esecizio i calcoli la cicuitazione di un vettoe A(x,y,z) lungo un cechio di aggio R centato nell oigine e giacente sul piano xy (vedi figua). φ = ρ d INTEGRALI DI UPERFIIE ia una supeficie oientata di R 3 descitta in foma paametica dalla funzione ˆ vettoiale, dipendente dai paameti scalai u,v: i n [ ] [ ] 2 3 { a,b c,d } R [ ] R : ( u, v) D = R s 9

10 Integali su linee, supefici e volumi (5) è il vettoe, funzione dei paameti u e v, che individua il geneico punto della supeficie : ( u, v) = x( u, v) ˆi + y( u, v) ˆi + z( u, v) ˆi x ia oa f una funzione scalae o vettoiale definita sull insieme [] dei punti di. Integale supeficiale f d y z Tale integale non dipende dalla paametizzazione scelta. i dimosta che isulta sempe: d = u v d u d v, dove : u v = = u v FORMULA RIOLUTIVA DELL INTEGRALE DI UPERFIIE f d = f ( ( u, v)) u v du dv = f ( ( u, v)) u D b d a c v du dv 10

11 Integali su linee, supefici e volumi (6) ia oa A(x,y,z) un campo vettoiale definito e continuo lungo. ia inolte î n il vesoe nomale alla supeficie i nel geneico punto P. La quantità: ˆ A i n d è detta flusso del campo vettoiale A attaveso la supeficie. Nota Pe quanto iguada il veso di îi n, pe convenzione viene consideato dietto veso l esteno nel caso di una supeficie chiusa. e è una supeficie apeta, il vesoe î n è dietto dalla faccia positiva a quella negativa, avendo stabilito a pioi quale sia la faccia positiva della supeficie. e ha pe contono una linea chiusa oientata, si assume pe î n il veso in cui avanza una vite che uota nel veso positivo fissato su (egola della vite, o del cavatappi). e è una supeficie chiusa alloa indicheemo con: A ˆ i n d il flusso attaveso tale supeficie. 11

12 Integali su linee, supefici e volumi (7) OERVAZIONE: Il flusso di un campo vettoiale è un caso paticolae di integale supeficiale, con: f((,)) u v = A ˆi Il contibuto della paametizzazione è contenuto nel vesoe nomale. i dimosta che: ˆ i n = u v u v n da cui: A i = A u v = A u v ˆ bd bd u v [ ] nd u v d d u v d d a c u v a c FORMULA RIOLUTIVA PER IL FLUO DI UN AMPO VETTORIALE: bd bd n [ u v ] a c a c ˆ A i d = A d u d v= A d u dv u v 12

13 Integali su linee, supefici e volumi (8) EERIZIO i calcoli il flusso del vettoe A(x,y,z) y attaveso una supeficie sfeica centata nell oigine di aggio R (figua). θ R d ˆ i = ˆ n i φ INTEGRALI DI VOLUME i considei i una supeficie i chiusa che acchiude una egione A dello spazio R 3. i possono alloa avee i seguenti integali di volume: φ V A V d V Integale di un campo scalae d V Integale di un campo vettoiale ΩV 13

14 Integali su linee, supefici e volumi (9) e u è espesso, ad esempio, in foma catesiana: A= A ˆ ˆ ˆ xix+ Ayiy+ Aziz isulta: A d V = A d V ˆi + A d V ˆi + Ad V ˆi x x y y z z V V V V e ci si iconduce quindi all integale di 3 funzioni scalai. Gli integali di volume, come quelli cuvilinei o di supeficie, possono essee effettuati, a scelta, in uno dei sistemi di ifeimento disponibili. Nel caso di un ifeimento catesiano isulta, banalmente: dv = dx dy dz i icodi che l elemento infinitesimo di volume (paallelepipedo elementae) in un geneico sistema di coodinate cuvilinee (u 1,u 2,u 3 ) può essee espesso nel modo seguente: dv = ds1ds2ds3 = h1h 2h3du1du2du3 14

15 Integali su linee, supefici e volumi (10) Ad esempio, se si adotta un sistema di ifeimento sfeico (vedi figua): θ d d φ 2 dv h 1 h 2 h 3 d dθ d sinθ d dθ d = Φ = Φ φ sen θ sen θ dφ E In un sistema cilindico i dv = h h h d d Φ dz = d d Φ dz Pe espimee l elemento di volume esiste un appoccio del tutto equivalente, che sfutta le popietà del podotto vettoiale misto. Tale podotto fonisce infatti il volume del paallelepipedo obliquo avente come spigoli i 3 vettoi opeandi. i considei un sistema di coodinate cuvilinee (u1, u2, u3), e sia = x ( u, u, u ) ˆi + y ( u, u, u ) ˆi + z ( u, u, u ) ˆi x y z la elativa tasfomazione da coodinate cuvilinee a coodinate catesiane. 15

16 Integali su linee, supefici e volumi (11) i dimosta che: d V = dududu = ( u1 u2 u3) dududu u1 u2 u3 inolte, il podotto misto coincide con il deteminante Jacobiano della funzione : x u y u z u x u y u z u = J( ) x u y u z u i veifichi pe esecizio che applicando la fomula scitta sopa, si iottiene, ispettivamente pe i sistemi cilindico e sfeico: ilindico i d V = ( )dd d Φ dz = dd d Φ dz Φ z feico 2 d V ( θ Φ ) d dθ d sinθ d dθ d = Φ = Φ 16