Corsi abilitanti speciali Fisica Classica III Corsista Antonio Santoro Applicazione di strumenti matematici avanzati allo studio del campo

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1 osi abilitanti speciali Fisica lassica III osista ntonio Santoo pplicaione di stumenti matematici avanati allo studio del campo elettostatico in pesena di conduttoi

2 STRMENTI MTEMTII ampi scalai e campi vettoiali Gadiente di un campo scalae 4 ampi che ammettono un poteniale 5 Integale di linea di un campo vettoiale lungo una linea oientata 6 Flusso di un campo vettoiale attaveso una supeficie 8 Divegena di un campo vettoiale Teoema della divegena o di Gauss-Ostogadskij Rotoe di un campo vettoiale Teoema di Stokes Il poteniale vettoe 3 Integali multipli impopi 3 L opeatoe laplaciano 4 oodinate cilindiche 5 oodinate sfeiche 6 Espessione degli opeatoi vettoiali in divesi sistemi di coodinate 6 Gadiente 6 Divegena 7 Rotoe 7 Laplaciano scalae 8 Funioni amoniche 8 Teoema del massimo 8 Teoema del minimo 9 Pimo teoema di unicità 9 Secondo teoema di unicità 9 Poblema di Diichlet inteno 9 Poblema di Diichlet esteno 9 IL MPO ELETTROSTTIO IN PRESENZ DI ONDTTORI NEL OTO 9 Equilibio elettostatico in conduttoi omogenei 9 Pessione elettostatica alcolo del campo in pesena di conduttoi 3 Esempio della sfea conduttice 5 Schemi elettostatici 6 I condensatoi 7 Il condensatoe piano 3 ondensatoe cilindico 3

3 Stumenti matematici ampi scalai e campi vettoiali onsideiamo il nomale spaio tidimensionale (o euclideo) e una egione o dominio di questo spaio che chiameemo Ω. onsideiamo oa una funione definita in Ω, (P) che associa d ogni punto P di Ω una gandea scalae (P): tale funione definisce un campo scalae. n esempio di campo scalae può essee la appesentaione su di una cata geogafica dei valoi di pessione atmosfeica in funione delle coodinate geogafiche. La stuttua di un campo scalae può essee appesentata geometicamente mediante le supefici di livello. na supeficie di livello è l insieme dei punti dello spaio tidimensionale in cui (P) assume un valoe costante. Tonando al nosto esempio, è chiao che in uno spaio bidimensionale una supeficie diventa una linea di livello, come le isobae di figua. Sia definita oa una funione che associ ad ogni punto P di Ω una gandea vettoiale (P). si dice che in Ω è definito un campo vettoiale. n campo vettoiale può essee appesentato mediante linee vettoiali. na linea vettoiale è una linea che sia tangente in ogni punto al vettoe (P).

4 (P ) (P 3 ) (P ) P P 3 P 4 (P 4 ) P na supeficie S è una supeficie vettoiale del campo vettoiale (P) se, in ogni suo punto P, la nomale n alla supeficie è otogonale a (P). n (P) Definiamo invece tubo di flusso una supeficie vettoiale tubolae costituita dall insieme delle linee vettoiali che passanti pe una linea chiusa l non coincidente con alcuna linea vettoiale 3

5 Gadiente di un campo scalae Dato un campo scalae (P) vogliamo studiane il compotamento intono ad un punto geneico P o. Pe fae questo consideiamo una etta oientata che passi pe P o e consideiamo il appoto incementale ( P) ( PO ) R( P, Po ) d( P, P ) O Si definisce deivata dieionale di nel punto P O il limite P O lim ( P) ( PO ) d( P, P ) d( P, P ) O O onsideiamo oa una supeficie di livello passante pe il punto P e un vettoe avente dieione e veso coincidenti con la nomale alla supeficie nel punto P e modulo pai alla deivata dieionale di (P) secondo la dieione della nomale. Tale gandea vettoiale appesenta il gadiente di o gad. Possiamo anche die che gad è un opeatoe che tasfoma un campo scalae in un campo vettoiale. Esso ci infoma su come vaia la gandea (P) nelle vaie dieioni dello spaio in cui è definita.- Supponiamo, infatti di conoscee gad e di vole calcolae la deivata dieionale di in una geneica dieione divesa dalla nomale alle supefici di livello 4

6 n gad l α P γ P Pe deteminae la deivata dieionale lungo la dieione di costuiamo il appoto incementale R d P, P ) ( Dalla figua vediamo che l d P, P )cosα pe cui ( d( P, P ) l cosα pe cui passando al limite pe d ( P, P ) si ha gad cosα o anche gad i dove i appesenta il vesoe che indica la dieione della etta. ppae evidente che, in un sistema di appesentaione in coodinate catesiane si ha ( gad ) ( gad ) ( gad ) y y ampi che ammettono un poteniale n campo vettoiale (P) ammette un poteniale nel suo dominio di definiione se in tale dominio possiamo definie un campo scalae tale che gad 5

7 saà alloa il poteniale di. Si noti che il poteniale di può essee definito a meno di una costante. Infatti, pe le popietà di lineaità dell opeatoe gadiente, consideata la funione scalae (P) (P) costante si ha gad(p)gad pe cui gad gad Integale di linea di un campo vettoiale lungo una linea oientata consideiamo un campo e una cuva egolae γ definita nel dominio del campo di estemi M ed N. La cuva viene oientata scegliendo un veso di pecoena su di essa ad esempio da M ad N. Suddividiamo la cuva mediante vai punti P, P, P n. In coispondena di questi punti consideiamo i valoi che assume il campo,, n. onsideiamo poi i podotti scalai k I k e la sommatoia T n n k k Ik P P 3 P P onsideiamo oa la successione dei valoi assunti dalla sommatoia al cescee del numeo dei punti in cui suddividiamo la cuva. Se la successione tende ad un limite pe n che tende ad infinito tale limite si dice integale di linea del campo vettoiale 6

8 lim Tγ Tn dl n γ Se l integale viene applicato ad una linea chiusa si pala di cicuitaione di lungo la linea γ γ dl Date due cuve γ e γ che abbiano gli stessi estemi M ed N gli integali T e γ γ T γ ' γ ' dl dl sono in geneale divesi fa loo. Godono della popietà di avee integali di linea indipendenti dalla cuva e dipendenti dai soli estemi di integaione solo i campi che ammettono un poteniale. Infatti se gad si ha i mente i y dl di dyi di pe cui y y i dl d dy d d y Pe cui T γ dl d N M ' γ ' γ ' Ne discende che la cicuitaione è nulla γ dl γ 7

9 Flusso di un campo vettoiale attaveso una supeficie onsideiamo un campo vettoiale definito in una egione Ω e sia S una supeficie egolae non chiusa contenuta in Ω. Sia poi γ la cuva chiusa oientata in modo che il veso di pecoena sulla cuva e la nomale alla supeficie siano legati dalla egola della mano desta. Suddividiamo S in n pati S, S, S 3, S N, in maniea abitaia con aee σ, σ, σ 3, σ n. onsideiamo su ogni supeficie un punto M i e il valoe assunto da in ognuno di questi punti. Detto n j il vettoe nomale alla supeficie S j nel punto M j consideiamo la sommatoia Φ n n k n σ k k k n k kn σ k onsideiamo la successione di valoi assunti dalla sommatoia al cescee del numeo n delle pati. Se esiste il limite pe n che tende ad infinito della successione esso pende il nome di flusso di attaveso la supeficie S Φ S lim Φ n n nds S S ds n Pe il modo in cui è definito, il segno del flusso dipende dall oientaione scelta pe la nomale alla supeficie S. La noione di flusso può essee estesa ad una supeficie chiusa. In tal caso, a seconda del veso della nomale potemo palae di flusso entante o flusso uscente. 8

10 Tali espessioni non si ifeiscono quindi alla eale dieione delle linee di flusso ispetto alla supeficie ma soltanto al modo in cui è stata abitaiamente oientata la nomale alla supeficie. n campo si dice consevativo pe il flusso se vale la elaione S nds La popietà di consevaione del flusso si può espimee anche altenativamente dicendo che se S ed S sono due supefici olate da una stessa linea chiusa γ, oientate entambe in maniea conguente ispetto all oientamento della cuva. onsideiamo oa la supeficie chiusa ottenuta dall unione di S e S. Si ha alloa 9

11 Φ S nds n ds ( n) ds nds nds nds S S S S S S S n ds uindi la consevaione del flusso compota che sia costante il flusso attaveso supefici divese non chiuse, olate dalla stessa cuva pe cui si può palae di flusso associato alla cuva. Divegena di un campo vettoiale onsideiamo oa un campo vettoiale e un dominio spaiale τ appatenente al dominio spaiale di definiione Ω e limitato da una supeficie chiusa egolae. Si considei il appoto fa il flusso del campo attaveso la supeficie e il volume di τ nds Φ ( τ ) ( τ ) onsideiamo il limite di tale appoto quando facciamo estingee il volume intono ad un punto P o. Se questo limite esiste ed è finito, indipendente dalla supeficie chiusa abbiamo una nuova gandea nds lim divp o ( τ ) ( τ ) che chiamiamo divegena del campo vettoiale nel punto P o. Possiamo die che la divegena è un opeatoe che associa ad un campo vettoiale un campo scalae (la divegena di ). E facile calcolae la espessione della divegena in coodinate catesiane. onsideiamo un volume cubico incentato intono al punto P o come in figua

12 onsideata la faccia BD oientata veso l esteno si ha ds n ds d Φ Mente pe la faccia posteioe B D si ha ds ds n d ' ' Φ meno di infinitesimi di odine supeioe si ha d ' pe cui d dds d d Φ Φ Facendo un agionamento analogo pe tutte le facce possiamo scivee Φ y div d y d y y Teoema della divegena o di Gauss-Ostogadskij Sia un campo vettoiale definito in una egione di spaio Ω, limitata da una supeficie chiusa ; se in ogni punto di Ω è definita la divegena di si ha

13 Ω divdτ nds Data la definiione di campo consevativo pe il flusso si ha che pe tali campi isulta in base al teoema della divegena div. n campo che veifica tale elaione in ogni punto del suo dominio è detto anche solenoidale. L opeatoe divegena è lineae div(b)divdivb div(a)adiv con a costante scalae abitaia. Rotoe di un campo vettoiale onsideiamo un campo vettoiale definito in una egione dello spaio Ω, e sia P un punto di tale egione. onsideiamo una supeficie qualsiasi S passante pe P e γ la cuva chiusa che la ola. onsideiamo il appoto R γ tdl ( S ) Immaginiamo di estingee la supeficie S intono al punto P in modo da lasciae inalteato l oientamento n della nomale alla supeficie. Se esiste il limite del appoto lim lim tdl γ R n R ( S) ( S) ( S) ed è indipendente dalla dieione n, esso pende il nome di otoe del campo vettoiale nel punto P. Il otoe può essee visto come un opeatoe che associa ad ogni campo un alto campo ot. Teoema di Stokes Sia un campo vettoiale definito in una egione dello spaio Ω e sia γ una linea chiusa contenuta in Ω; detta S una supeficie qualsiasi olata da γ, se in tutti i punti di S è definibile il otoe di si ha tdl ot γ S nds

14 Pe i campi che ammettono poteniale tdl ot nds ot γ pe l abitaietà di S pe cui un campo che S ammette poteniale è anche iotaionale. Il poteniale vettoe Si può dimostae che se un campo è solenoidale (div) esso si può espimee come otoe di un campo vettoiale. viene detto poteniale vettoe di. Poiché, pe definiione, un campo vettoiale che ammette un poteniale scalae Φ ha cicuitaione nulla e quindi isulta iotaionale, cioè ot gad Φ, si ha che, consideato gad Φ ot ot Pe cui un poteniale vettoe è definito a meno del gadiente di un abitaio poteniale scalae. Integali multipli impopi Diamo alcune noioni elementai sugli integali multipli impopi estesi a egioni limitate. onsideiamo una funione f(,y,) definita in un dominio limitato Ω dello spaio tidimensionale, e supponiamo che essa sia illimitata in ogni intono ω δ di un punto P appatenente ad Ω. Supponiamo che f sia limitata ed integabile in ogni dominio Ω-ω δ. Si definisce integale impopio della f in Ω il limite Ω lim f (, y, ) ddyd δ f (, y, ) ddyd Ωω δ Se questo limite esiste, è finito ed è indipendente dal modo in cui si estinge il dominio ωδ l integale impopio si dice convegente. In alcuni casi tale limite non esiste in geneale ma esiste ed è finito quando iconsideino domini ω δ costituiti da sfee concentiche al punto P. In tal caso il limite pende il nome di valoe pincipale secondo auchy dell integale impopio. 3

15 Teoema. onsideata una successione abitaia n di sfee di diameto via via decescente centate in P, condiione necessaia e sufficiente pe la convegena dell integale impopio è che la successione Ω Ω f (, y, ) ddyd, f (, y, ) ddyd,... f (, y, ) ddyd isulti limitata. Ωn Possiamo utiliae tale isultato pe dimostae in paticolae che data la funione c f, y, ) ( con c> e ( ) ( y y ) ( ) α l integale Ω [ ] c ddyd esteso ad una sfea centata intono a P α è convegente pe α < 3 e divegente pe α 3. tal fine consideiamo una successione di sfee n di sfee di diameto via via decescente centate in P e gli integali c ddyd α Ω n Se scegliamo un sistema di coodinate sfeiche centate in a P abbiamo Ω n c α ddyd Ω c α ( 3α ) ( 3α ) [ R δ ] π π R c α sinddd d sind 4πc n pe α 3 3α R 4πc ln pe α 3 δ n n δ n d uindi la successione degli integali saà limitata pe α < 3 e illimitata pe α 3. L opeatoe laplaciano Si definisce come opeatoe laplaciano divgad In coodinate catesiane y Intodotto l opeatoe nabla 4

16 i j k y con i, j e k vesoi degli assi coodinati, si ha i j k gad y e divgad oodinate cilindiche In un sistema di coodinate cilindiche un punto è individuato dalla lunghea del aggio congiungente l oigine degli assi e la poieione del punto sull asse y, dall angolo φ individuato dall asse e dal aggio congiungente l oigine degli assi e la poieione del punto sull asse y, e dalla quota. hiaamente il legame con le coodinate catesiane è dato dalle seguenti elaioni cosφ ysinφ 5

17 oodinate sfeiche In un sistema di coodinate sfeiche il punto P è individuato dal aggio che congiunge l oigine degli assi con il punto, dall angolo φ fomato con l asse dalla poieione di sul piano y e dall angolo fomato da con l asse Si ha Xsincosφ Ysinsin φ Zcos Espessione degli opeatoi vettoiali in divesi sistemi di coodinate Gadiente oodinate catesiane ( gad ) ( gad ) ( gad ) y y oodinate cilindiche 6

18 7 gad gad gad oodinate sfeiche gad gad gad sin Divegena oodinate catesiane y div y oodinate cilindiche div oodinate sfeiche div sin sin sin Rotoe oodinate catesiane y ot ot y ot y y y oodinate cilindiche

19 8 ot ot ot oodinate sfeiche ϑ ot ot ot sin sin sin sin Laplaciano scalae oodinate catesiane y oodinate cilindiche oodinate sfeiche sin sin sin Funioni amoniche na funione scalae, continua insieme con le sue deivate pime e dotata di deivate seconde limitate in un dominio spaiale Ω, si dice amonica se veifica l equaione di Laplace divgad Teoema del massimo na funione amonica in un dominio limitato e continua anche sulla fontiea di esso non può essee massima in alcun punto inteno del dominio

20 Teoema del minimo na funione amonica in un dominio limitato e continua anche sulla fontiea di esso non può essee minima in alcun punto inteno del dominio Pimo teoema di unicità Se di una funione amonica in un dominio limitato e ivi continua fin sulla fontiea, si assegnano i valoi su tutti i punti della fontiea, è univocamente deteminata nel dominio Secondo teoema di unicità Se di una funione amonica in un dominio limitato e ivi continua fin sulla fontiea, si assegnano i valoi della deivata nomale su tutti i punti della fontiea, è univocamente deteminata nel dominio a meno di una costante additiva abitaia Poblema di Diichlet inteno Deteminae una funione, amonica in un dominio limitato e ivi continua fin sulla fontiea, quando siano assegnati i valoi di sulla fontiea. Poblema di Diichlet esteno Deteminae una funione, amonica in un dominio illimitato costituito dalla egione spaiale estena ad una supeficie chiusa S, e ivi continua fin sulla fontiea, quando siano assegnati i valoi di sulla fontiea e la sia egolae all infinito (cioè ε >, S ': < ε ) Il campo elettostatico in pesena di conduttoi nel vuoto Equilibio elettostatico in conduttoi omogenei n conduttoe è in equilibio elettostatico quando in esso non vi è alcun moto macoscopico di caiche. iò significa che il campo elettico macoscopico deve essee nullo in tutti i punti inteni del conduttoe. no stato di equilibio deve sempe essee aggiunto altimenti le caiche continueebbeo a muovesi indefinitamente nel conduttoe cedendo enegia cinetica pe uto al eticolo cistallino e ciò non è possibile essendo il campo elettostatico iotaionale e quindi consevativo pe il lavoo. 9

21 In un conduttoe nomale, posto a tempeatua ambiente, una volta innescato un movimento macoscopico di elettoni, si aggiunge apidamente una situaione di equilibio in un tempo detto tempo di ilassamento che è dell odine di secondi. Dal punto di vista macoscopico, dunque, un copo conduttoe in equilibio elettostatico si pesenta come una egione di spaio nel cui inteno deve essee E. Di conseguena pe il teoema di Gauss espesso in foma locale deve essee ρ, pe cui nei punti inteni del conduttoe non possono essee localiate caiche. Sulla supeficie estena del conduttoe, esiste una baiea di poteniale che impedisce alle caiche di abbandonae il copo, ed esse si distibuianno in modo da dae un campo complessivo nullo all inteno del conduttoe. Oa dato il teoema di Gauss in foma locale dive ρ ε

22 e consideando il cilindetto di figua pecedente, tascuando il contibuto al flusso della supeficie lateale del cilindo si ha E σds E n E σ ε nds E nds n ε uindi nei punti in cui sia pesente una caica con densità supeficiale σ, il campo pesenta una discontinuità nella componente nomale di E in coispondena della supeficie. In paticolae nel caso di un conduttoe, pe la nullità del campo all inteno si ha che all esteno del conduttoe, quale che si ala sua foma, la componente nomale del campo elettico è P P lim ( dall' esteno) σ ( P ) E( P) ε Possiamo aggiungee lo stesso isultato anche consideaioni di natua divesa. Infatti in base alle consideaioni fatte nel paagafo elativo agli integali impopi possiamo dimostae che il poteniale elettostatico è definito e continuo anche in tutti i punti inteni ad una geneica distibuione volumetica o supeficiale di caiche elettiche. Oa all inteno del conduttoe, essendo E-gad, deve isultae gad((p)) e quindi costante. Pe la sua continuità anche in coispondena delle caiche supeficiali si ha che è costante anche sulla supeficie. Ne deiva che il campo è ad essa nomale E n n

23 Pessione elettostatica Dato un conduttoe caico, supponiamo di conoscee la distibuione della densità di caica supeficiale σ sulla supeficie. onsideato un geneico punto P della supeficie vogliamo valutae la foa agente sulla caica elementae σds. Poiché sappiamo che σ E saemmo tentati di concludee che la foa è ε df σ Eσ ds ds. ε In ealtà la foa è pai esattamente alla metà di questo valoe. Infatti pe calcolala in modo coetto dobbiamo consideae non il campo totale ma il campo geneato da tutte le caiche tanne l elementino di caica σds. Pe deteminalo consideiamo la figua seguente in cui sono individuati due punti P e P immediatamente vicini al punto P della supeficie, ispettivamente all inteno e all esteno del conduttoe. alti alti hiamiamo E e E i campi nei due punti geneati da tutte le caiche escluso l elementino σds e E e E i campi geneati da σds. Deve essee E alti E all inteno e E alti E σ/ε n. Se sommiamo membo a

24 membo le due elaioni e teniamo pesente che E e E sono uguali ed alti alti opposti (campo geneato da uno stato piano di caiche) mente E e E sono paticamente identici. Pe cui sommando membo a membo si ha E alti σ n E ε alti σ σ σ n df σds n dsn ε ε ε Tale foa è pependicolae alla supeficie, dietta veso l esteno e popoionale all aea dell elemento. Si pala di pessione elettostatica σ p ε alcolo del campo in pesena di conduttoi onsideiamo un conduttoe a cui sia confeita una caica finita la quale si distibuià sulla supeficie con una densità supeficiale σ in modo da ottenee un campo nullo all inteno del conduttoe. Se indichiamo con Γ il volume inteno al conduttoe, Ω il volume esteno al conduttoe e la supeficie del conduttoe il nosto scopo è di deteminae una funione poteniale che goda delle seguenti popietà È continua in tutti i punti inteni di Ω e sulla fontiea (abbiamo visto infatti che il poteniale è continuo anche in pesena di distibuioni supeficiali di caica) Soddisfa l equaione di Laplace in tutti i punti di Ω pe assena di caiche nello spaio esteno al conduttoe ssume valoe costante in tutti i punti di Γ e di eifica la condiione ds n ε lim eifica la condiione ( P). uesta ultima condiione deiva dal P fatto che la distibuione di caiche è tutta al finito. uesta ultima condiione va consideata come condiione di egolaità all infinito nel senso che, comunque consideato un valoe ε, si può sempe tovae una sfea che contenga il copo conduttoe al di là della quale la funione assume ovunque valoi minoi di ε. i toviamo di fonte al cosiddetto poblema di Diichlet esteno di cui volgiamo dimostae oa l unicità della soluione. 3

25 Supponiamo di avee due soluioni del poblema (P) e (P) e. onsideiamo oa la funione (P) (P) - (P) la quale veificheà in tutti della egione Ω l equaione Essendo la condiione al contono sulla supeficie uguale pe (P) e (P) si ha Inolte lim lim lim ( P) ( P) ( P) P P P uindi è continua in Ω e, assume valoe nullo sulla fontiea e si annulla all infinto e veifica la equaione di Laplace: invocando il teoema del massimo pe le funioni amoniche non ci esta che concludee che sia identicamente nulla da cui l unicità della soluione pe il poteniale. 4

26 5 Esempio della sfea conduttice onsideiamo una sfea conduttice di aggio R centata nell oigine del sistema di ifeimento posta nel vuoto a cui sia confeita una caica. pe motivi di simmetia possiamo già die che deve dipendee soltanto dalla distana dal cento della sfea. L equaione di Laplace in coodinate sfeiche sin sin sin diventa semplicemente d d d d L integale geneale di questa equaione è B ) ( con e B costanti abitaie. Pe la condiione di egolaità all infinito deve essee B ) (

27 Sulla supeficie deve poi essee n R ds n R 4 π R ε 4πε 4πε R Schemi elettostatici onsideiamo un conduttoe Γ dotato di cavità intena a cui comunichiamo una caica. ogliamo oa dimostae che la caica si distibuisce solo sulla supeficie estena. onsideiamo la funione poteniale in tutta la egione delimitata dalla supeficie intena. Pe assena di caiche in tale egione essa soddisfa l equaione di laplace e deve assumee valoi costanti sulla supeficie intena. Si tatta di un poblema di Diichlet inteno. oispondente ad un valoe costante del poteniale sulla fontiea. pplicando il agionamento fatto pecedentemente si ha ancoa una volta che il poteniale è costante all inteno della cavità e il campo elettostatico è nullo. In paticolae saà nulla la componente nomale del campo in tutti i punti della supeficie intena, pe cui la densità supeficiale di caica sulla supeficie intena deve essee nulla. In base a questo agionamento possiamo die che ogni distibuione di caica 6

28 all esteno del conduttoe non poduce campo all inteno della cavità. Il conduttoe cavo si compota come uno schemo elettostatico. I condensatoi n condensatoe è un sistema fisico costituito da due conduttoi detti amatue affacciati e sepaati da un meo isolante, caicati in modo che la caica sull uno sia uguale ed opposta a quella dell alto. uesti dispositivi consentono di ceae intensi campi elettostatici egioni limitate e di immagainae notevoli enegie elettostatiche. ominciamo consideando due copi conduttoi di fome e dimensioni geneiche caicati con due caiche e Detti e i poteniali dei due conduttoi, e le supefici dei due copi ed Ω lo spaio esteno ai due copi il poteniale dovà essee continuo nello spaio e sulle due supefici, veificae l equaione di Laplace in Ω, assumee i valoi costanti e su e e annullasi all infinito. Dobbiamo dunque cecae la soluione di un poblema di Diichlet esteno con fontiea multipla. onsideiamo alloa (P) soluione del poblema coispondente alle condiioni al contono su su e (P) soluione del poblema coispondente alle condiioni al contono 7

29 su su onsideiamo oa la funione (P) * (P) * (P) uesta funione veifica l equaione di Laplace, si annulla all infinito,è continua in Ω, assumee i valoi costanti e su e. Essa soddisfa dunque il nosto poblema ma è nota se sono noti (P) e (P). onsideate le caiche sui due copi si ha ε ds ε n n ds ε ε ds ε ds n ε n Posto n n ds ds ε n ds ε n ds ε n ds ε n ds Si ha dunque o anche in foma maticiale 8

30 9 con l intoduione dunque di una matice di capacità del sistema i cui elementi dipendono soltanto dalla geometia del sistema. Si può dimostae che la matice è simmetica con. onsideiamo oa il caso paticolae in cui i due conduttoi siano caicati con caiche uguali ed opposte - Si ha alloa ) ( Eseguiamo poi le seguenti tasfomaioni sostituiamo tali espessioni in e otteniamo

31 3 ) ( ) ( dove c La capacità di un condensatoe dipende, dunque, soltanto dalla geometia del sistema.

32 Il condensatoe piano bbiamo un condensatoe costituito da due amatue piane e paallele di aea S. sepaate da una distana d. Se d è molto piccola ispetto alle dimensioni delle amatue possiamo suppoe le amatue infinite. onsideato il sistema di ifeimento di figua appae ovvio pe la simmetia del sistema che l equaione di Laplace si iduce a d d uindi ()B. pplichiamo il teoema di Gauss alla supeficie chiusa indicata in figua ε E nds ε ds n 3

33 on le appossimaioni fatte di amatue infinite amatue pe cui ε S ma dalla soluione dell equaione di Laplace - -d n è nulla fuoi delle Pe cui ε S d ondensatoe cilindico onsideiamo un condensatoe costituito da due cilindi conduttoi coassiali a seione cicolae di lunghea molto supeioe ai aggi dei cilindi. Pe la simmetia del sistema l equaione di Laplace in coodinate cilindiche diventa 3

34 d d d d d d d d Pe diveso da si ha alloa d K d con K costante abitaia pe cui l integale geneale è Kln Oa σ ds con, in base al teoema di oulomb int σ ε int K ε Rint La quantità di caica pe unità di lunghea saà ε Rint πr int K πkε Mente la diffeena di poteniale saà Rest est int K ln Rint πε Rest ln Rint 33