SPAZIO CARTESIANO E 3 (R) Sia [O,B] un riferimento euclideo nello spazio euclideo E 3 (R). B è una base ortonormale. condizioni di ortogonalità

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1 SPZIO CRTESINO E (R) Sia [O,B] un ifeimento euclideo nello spaio euclideo E (R). B è una base otonomale. P P e e e P P condiioni di otogonalità ) etta-etta di paameti diettoi [(l,m,n )],[(l,m,n )] (l,m,n ) (l,m,n ) ) piano piano di equaioni a i b i c i d i, i, (a,b,c ) (a,b,c ) ) etta-piano pa. di.[(l,m,n)] e piano abcd a b c l m n Eseciio Dati i piani α, α - 4 e la etta di equaione. Leione 9 - lgeba e Geometia - nno ccademico 9/

2 Studiae le mutue posiioni e l otogonalità. Toviamo i paameti diettoi della etta isolvendo il sistema lineae omogeneo associato m l n l [(,,-)] m l nl a) I due piani sono incidenti peché il ango di E sono otogonali peché (a,b,c)(,,), (a,b,c )(,,-) soddisfano la condiione di otogonalità (a,b,c) (a,b,c ) b) Il piano α e la etta sono non incidenti peché il ango di mente il ango della matice incompleta è. La etta e il piano soddisfano la condiione di paallelismo Leione 9 - lgeba e Geometia - nno ccademico 9/

3 (a,b,c) (l,m,n), dunque paalleli distinti. c) Il piano α e la etta sono incidenti peché il 4 ango di così come il ango della matice incompleta è. Non sono otogonali peché i coefficienti non soddisfano la condiione di otogonalità a' b' c' l m n. Eseciio Deteminae le equaioni della etta passante pe P(,,-) otogonale al piano α -4. I paameti diettoi della etta isultano popoionali a (,,-) la etta è in foma paametica t, t R t Le equaioni catesiane sono... Leione 9 - lgeba e Geometia - nno ccademico 9/

4 Eseciio Deteminae l equaione del piano passante pe (-,,-) otogonale alla etta di equaione. I paameti diettoi della etta isultano popoionali a (,,-) il piano appatiene dunque al fascio impopio di piani di equaione -k. Imponendo il passaggio di tale piano geneico pe il punto si ottiene k e quindi il piano di equaione Eseciio 4 Deteminae l equaione della etta passante pe P(-,,) paallela al piano di equaione α e pependicolae alla etta di equaioni Leione 9 - lgeba e Geometia - nno ccademico 9/ 4

5 I paameti diettoi della etta sono ottenuti isolvendo l n l - m n n-l e ml da cui [(,,-)]. La etta ichiesta ha paameti diettoi ancoa incogniti [(l,m,n)] che devono soddisfae a) la condiione di paallelismo con il piano l.m.n. (); b) la condiione di otogonalità con l.m.n.(-) () Le equaioni () e () devono valee contempoaneamente (l,-l,) [(,-,)]. Le equaioni della etta ichiesta sono quindi t t t R oppue Leione 9 - lgeba e Geometia - nno ccademico 9/ 5

6 Esecii isolti con il metodo dei fasci di piani Eseciio 5 Si deteminino le equaioni della etta passante pe P(,-,) paallela ai piani α-,β-. P α β La etta può essee ottenuta come inteseione ta due piani α e β paalleli ad α e β passanti pe P. Il fascio impopio di piani paalleli a α ha equaione k; il piano che passa pe P è α. nalogamente si ottiene β Leione 9 - lgeba e Geometia - nno ccademico 9/ 6

7 Eseciio 6 Si detemini l equaione del piano π passante pe P(,,-) contenente la etta -. Il piano, dovendo contenee la etta, appateà al fascio popio di piani di asse α ( ) β( ) con ( α, β) (,) P Imponendo il passaggio pe P si ottiene αβ β-α. Sostituendo nel fascio e semplificando pe α ( lecito (α,β) (,) ) si ottiene π.. Retta passante pe due punti e B B B B Leione 9 - lgeba e Geometia - nno ccademico 9/ 7

8 Retta passante pe nella dieione [(l,m,n)] l m n Eseciio 7 Sia [O,B] un ifeimento euclideo nello spaio euclideo E (R). Deteminae le equaioni delle seguenti a) la etta passante pe i punti (,-,-) e B(,,-); b) la etta s passante pe C(-,,-) e dieione [(,,)]; c) dimostae che le ette, s così ottenute sono sghembe e deteminae le equaioni dei piani paalleli che le contengono. a) la etta che passa pe e B ha equaioni 5 b) analogamente la etta s passante pe C è Leione 9 - lgeba e Geometia - nno ccademico 9/ 8

9 Leione 9 - lgeba e Geometia - nno ccademico 9/ 9 s c) le ette sono sghembe peché la matice completa 5 ha deteminante non nullo. Pe deteminae i piani paalleli che contengono ispettivamente e s ossevo peliminamente che i paameti diettoi sono [(-,5,)] e [(,,)] s. Il piano π ichiesto, contenente la etta, appatiene al fascio popio di piani di asse ( ) ( ) (,) ), ( con 5 β α β α. Riodinando i coefficienti ispetto a,, 5α αβ-αβ. Questo piano è paallelo alla etta s se 5α. α.β. β π 5-. s π σ

10 nalogamente pe σ, contenente s, che appatiene al fascio popio di piani di asse s α()β(-) ossia α βα-β. Imponendo la condiione di paallelismo con la etta si ottiene α.(-) β.5 ossia α5β. Sostituendo nel fascio e semplificando pe β si ottiene σ.. Eseciio 8 a) Deteminae la etta paallela ai piani α 4 β - passante pe R(,4,). b) Deteminae la etta p passante pe Q(,,) e P(,-,) c) Dimostae che le ette, p sono incidenti e deteminae l equaione del piano che le contiene entambe. a) tovo le equaioni dei piani Leione 9 - lgeba e Geometia - nno ccademico 9/

11 Leione 9 - lgeba e Geometia - nno ccademico 9/ α e β paalleli ad α e β passanti pe R. Il fascio impopio di piani paalleli a α ha equaione 4k; il piano che passa pe R è popio α 4. nalogamente si ottiene β b) la etta passante pe Q(,,) e P(,-,) ha equaione - p. c) le ette, p sono incidenti peché ango di e B è 4 4 B R α β α β

12 Il piano che contiene entambe le ette è un piano del fascio di piani di asse paallelo ad p. p F() (4)µ(-4) (,µ) (,) R Imponendo la condiione di paallelismo con la etta p di paameti diettoi [(,,-)] p, si ottiene (µ).( µ).( 4µ).(-) µ. Il piano ichiesto è... Leione 9 - lgeba e Geometia - nno ccademico 9/

13 Leione 9 - lgeba e Geometia - nno ccademico 9/ Esecii da svolgee ) Eseciio dei temi d esame 7..5,.. e... Eseciio tema d esame ) Fissato un ifeimento affine nello spaio affine si deteminino (se esistono) le equaioni a) la etta passante pe (,,) con spaio diettoe W{(a,a,a)a R}; b) il fascio di piani contenente ; c) il piano α contenente paallelo al piano β -4; d) il piano γ passante pe B(,,-) e contenente ; e) il piano δ passante pe C(,,) e paallelo a γ; f) il piano ϕ passante pe B, C, D(,,-); g) studiae l inteseione fa F k k- ed il piano ϕ. ) Date le seguenti coppie di ette stabilie le mutue posiioni 6 s s

14 Leione 9 - lgeba e Geometia - nno ccademico 9/ 4 4 s 4) Pe quali valoi di k eale le seguenti ette isultano sghembe? Pe quali incidenti? 4 ) ( s k k 5) Veificae che le seguenti ette sono complanai R - 4 s R 5