UNITÀ 1 LA GEOMETRIA DEL PIANO

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1 UNITÀ 1 L GEMETRI DEL PIN 11 Genealità Nello studio della geometia euclidea (da Euclide, matematico geco del III secolo ac) assume un uolo fondamentale il disegno delle vaie figue tale scopo, useemo sempe squada e compasso e costuiemo le noste figue con la massima attenzione e pecisione Cominciamo il nosto lavoo ponendo l attenzione su quelli che sono gli oggetti, gli enti, che si studiano in geometia Pe desciveli utilizzeemo delle definizioni Una definizione è una fase nella quale viene associato un nome a un ente e vengono elencate le sue caatteistiche Esempio: Un paallelogamma è un quadilateo che ha i lati opposti paalleli Pe dae una definizione è necessaio conoscee il significato di alcuni temini Nell esempio pecedente, pe stabilie che cos è un paallelogamma si deve sapee cosa significano le paole quadilateo, lati, opposti, paalleli Se i temini usati non sono conosciuti, si devono dae alte definizioni utilizzando alti enti che a loo volta dovanno essee definiti e così via Pe inteompee questo pocedimento «a itoso» che non può, ovviamente, continuae all infinito è necessaio che di alcuni concetti, detti concetti o enti pimitivi, non venga data alcuna definizione: essi costituianno la base sulla quale costuie l edificio di tutte le alte definizioni In geometia consideiamo come enti pimitivi: - il punto; - la etta; - il piano L idea di punto ci è suggeita dal segno lasciato dalla punta della matita o dal foellino paticato con un sottile spillo su un foglio di cata, da un ganellino di sabbia, da una stella lontanissima, etc Il punto è la più semplice figua geometica e l immagine che di essa danno i ifeimenti appena indicati è piuttosto impefetta In ealtà il punto è un ente geometico pivo di dimensioni; esso indica solo una posizione (Euclide, nei suoi Elementi, definisce il punto come ciò che non ha pati) Pe distinguee un punto dall alto, si pone accanto a ciascuno di essi una lettea maiuscola dell alfabeto; diemo peciò: punto ; punto ; punto C; etc C 1

2 Un insieme qualsiasi di punti costituisce una figua geometica; lo spazio è l insieme di tutti i punti e contiene quindi tutte le figue Una figua che appatiene tutta ad un piano si chiama figua piana, altimenti si chiama figua solida Come modello intuitivo di etta possiamo pensae al bodo di una iga da disegno, idealmente illimitata da entambe le pati La etta geometica si deve, infatti, pensae illimitata e senza spessoe: è costituita da infiniti punti ed ha un unica dimensione (si estende solo in lunghezza, illimitatamente) Pe distinguee una etta dall alta, si pone accanto a ciascuna di esse una lettea minuscola dell alfabeto; diemo peciò: etta ; etta s ; etta t ; etc t s Come modello intuitivo di piano possiamo pensae ad un sottile foglio di cata o alla supeficie dell acqua stagnante di un lago Si tatta, natualmente, di immagini molto appossimative peché il piano geometico, olte a non avee spessoe, è indefinitamente esteso in lunghezza e laghezza: ha, cioè, due dimensioni I piani si indicano genealmente con le lettee dell alfabeto geco; diemo peciò: piano ; piano β ; piano γ ; etc β γ Nella geometia azionale si vogliono icavae, mediante deduzioni 1, delle popietà da alte popietà Come pe gli enti pimitivi, bisogna, quindi, accettae che alcune popietà vengano assunte come pimitive, ossia non siano dedotte ma accettate come vee (postulati o assiomi) Le popietà (o poposizioni) che si possono desumee dagli assiomi si dicono teoemi; un teoema è quindi una poposizione di cui bisogna contollae la veità mediante un agionamento (dimostazione) Una dimostazione è, petanto, una sequenza di deduzioni che, patendo da affemazioni consideate vee (ipotesi), fa giungee ad una nuova affemazione (tesi) In seguito sciveemo spesso l enunciato dei teoemi mediante la stuttua linguistica se, alloa 1 pocedimenti logici consistenti nel deivae, da una o più pemesse date, una conclusione come conseguenza logicamente necessaia 2

3 La fase che segue il se è l ipotesi, ossia ciò che supponiamo veo; quella dopo alloa è la tesi, ossia l affemazione da dimostae Dimostazione dietta Una dimostazione è dietta quando, patendo dall ipotesi ed utilizzando eventualmente postulati e/o popietà dimostate in pecedenza, si peviene, attaveso una sequenza di deduzioni logiche, alla tesi Dimostazione indietta o pe assudo Una dimostazione è indietta o pe assudo quando, patendo dalla negazione della tesi ed utilizzando eventualmente postulati e/o popietà dimostate in pecedenza, si peviene, attaveso una sequenza di deduzioni logiche, a qualche popietà che è in contasto con l ipotesi data o con postulati o con teoemi già dimostati (contaddizione) isogna, quindi, concludee che l ave supposto falsa la tesi è sbagliato e che, di conseguenza, la tesi è vea (pincipio di non contaddizione: una poposizione non può contempoaneamente essee vea e falsa) Se in un teoema vengono scambiate l ipotesi e la tesi, si ottiene la poposizione invesa che pende il nome di teoema inveso Un teoema che è immediata conseguenza di un alto teoema viene chiamato coollaio Ripotiamo oa di seguito alcuni postulati che caatteizzano i punti, le ette e i piani Dati due qualunque punti distinti e, esiste una ed una sola etta che li contiene entambi (fig 1): (fig 1) Questo postulato ci assicua che due punti sono sempe allineati, cioè appatengono ad una stessa etta La etta individuata dai due punti e (fig 1) viene detta anche etta congiungente i punti e, o etta passante pe e o, ancoa, etta Il pecedente postulato si suole anche enunciae dicendo che pe due punti distinti passa una ed una sola etta Dal pecedente postulato discende il seguente coollaio: Due ette distinte non possono avee più di un punto in comune Infatti, se avesseo due punti in comune, esse coincideebbeo 3

4 Pe un punto passano infinite ette Detto P un punto del piano, l insieme delle infinite ette passanti pe P è chiamato fascio di ette popio o, anche, fascio di ette di cento P (fig 2): P (fig 2) Una etta può essee pecosa in due vesi, l uno opposto all alto (fig 3): (fig 3) I punti di una etta si possono, infatti, pensae odinati in due vesi, uno opposto all alto, in coispondenza dei due vesi secondo cui la etta può essee pecosa issato su uno dei due vesi di pecoenza (etta oientata) e consideati due punti e su, è possibile die se pecede o se segue nel veso assegnato In fig 4 si ha che pecede (o segue ): (fig 4) Su di un piano esistono infiniti punti ed infinite ette (fig 5): (fig 5) Se una etta ha due punti in comune con un piano, alloa appatiene ad (fig 6): (fig 6) 4

5 Te punti distinti che non appatengono ad una medesima etta individuano uno ed un solo piano (fig 7): C (fig 7) o Due ette si dicono complanai se appatengono a uno stesso piano, sghembe se appatengono a piani divesi o Due ette ed s del piano si dicono incidenti se hanno in comune uno ed un solo punto P che pende il nome di punto di incidenza (o di inconto, o di intesezione) delle ette ed s (fig 8): s P P s (fig 8) o Due ette ed s del piano si dicono paallele se coincidono (fig 9a) oppue se non hanno alcun punto in comune (fig 9b): s s (fig 9a) s Ø s (fig 9b) Pe indicae che due ette ed s sono paallele sciviamo // s, dove il simbolo // è detto simbolo di paallelismo [sseviamo che abbiamo assunto come paallele anche due ette coincidenti in quanto esse hanno in comune infiniti punti e non uno solo, così come ichiesto pe le ette incidenti] Paleemo ampiamente del paallelismo in alta unità 5

6 Seguono le definizioni di nuovi enti, a patie dagli enti elementai: o Semietta Data una etta e un suo punto, si dice semietta, di oigine, ciascuna delle due pati in cui imane divisa da, compeso lo stesso punto (fig 10): semietta semietta (fig 10) o Segmento Un segmento è la pate di etta limitata da due suoi punti che si dicono estemi del segmento Il segmento di estemi e si indica con o con, cioè scivendo una di seguito all alta le lettee che indicano i suoi estemi (fig 11): segmento (fig 11) Se i due estemi coincidono, il segmento è nullo ed è costituito da un solo punto sono, quindi, punti inteni) (non ci o Segmenti consecutivi Due segmenti si dicono consecutivi se hanno solo un estemo in comune (fig 12): C e C segmenti consecutivi (fig 12) o Segmenti adiacenti Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi ed appatengono alla stessa etta (fig 13): C e C segmenti adiacenti (fig 13) 6

7 PR TU In elazione alla fig 14, stabilisci quali ta le seguenti affemazioni sono vee e quali false e C sono adiacenti e DE sono consecutivi C e CD sono consecutivi CD e sono adiacenti CD e DE sono adiacenti C D E (fig 14) o Spezzata (o poligonale) Si dice spezzata o poligonale una figua geometica fomata da più segmenti, a due a due consecutivi e non adiacenti Una spezzata può essee (fig 15): non intecciata (o semplice), se i segmenti della spezzata non hanno punti inteni in comune; intecciata, se almeno due segmenti hanno punti inteni in comune; apeta, se l ultimo estemo non coincide con il pimo; chiusa, se l ultimo estemo coincide con il pimo C E M Q D spezzata non intecciata apeta P N spezzata intecciata apeta M G Q L I H spezzata non intecciata chiusa P spezzata intecciata chiusa N (fig 15) (I segmenti, C, sono i lati della spezzata; i punti,, C, sono i vetici della spezzata) 7

8 o Semipiano Data una etta di un piano, si dice semipiano ciascuna delle due pati in cui divide (fig 16): semipiano semipiano la etta è detta oigine, o fontiea, di ciascuno dei due semipiani (fig 16) o igua convessa Una figua si dice convessa se, consideati due suoi qualsiasi punti, il segmento che li unisce è completamente contenuto in (fig 17): (fig 17) o igua concava Una figua G si dice concava se esistono almeno due punti pe i quali il segmento che li unisce non è completamente contenuto in G (fig 18): G P Q il segmento PQ non è completamente contenuto in G (fig 18) o ngolo L angolo è ciascuna delle due pati in cui un piano viene diviso da due semiette aventi l oigine in comune (fig 19): s Le semiette ed s sono dette lati dell angolo; l oigine comune è detto vetice dell angolo (fig 19) 8

9 o Un angolo si dice convesso se non contiene i polungamenti dei suoi lati (fig 20): s (fig 20) o Un angolo si dice concavo se contiene i polungamenti dei suoi lati (fig 21): s (fig 21) Quando nel seguito paleemo di angolo senza ulteioe specificazione, intendeemo sempe angolo convesso Pe indicae l angolo convesso della fig 22 useemo una delle seguenti notazioni: s, s, s, s,,,, e, se non ci sono ambiguità di intepetazione, s (fig 22) Se si vuole fae ifeimento ad un angolo concavo lo si deve espimee in maniea esplicita; così, nel caso della fig 21, diemo angolo s concavo (taluni indicano tale angolo con la scittua s) Gli aggettivi convesso e concavo sono in accodo con le definizioni date di figua convessa e di figua concava o Si dice coda di un angolo convesso un qualsiasi segmento i cui estemi appatengono ai lati dell angolo (fig 23): s coda (fig 23) 9

10 o ngoli consecutivi Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vetice, un lato in comune e gli alti due lati situati da pate opposta ispetto al lato comune (fig 24): e C angoli consecutivi C (fig 24) o ngoli adiacenti Due angoli si dicono adiacenti se, olte ad essee consecutivi, hanno i lati non comuni appatenenti ad una stessa etta (fig 25): e C angoli adiacenti C (fig 25) o ngoli opposti al vetice Due angoli si dicono opposti al vetice se i lati dell uno sono i polungamenti dei lati dell alto (fig 26): ' ' e '' angoli opposti al vetice; ' e ' angoli opposti al vetice (fig 26) PR TU eo o falso? a) Due angoli consecutivi sono anche adiacenti b) Due angoli adiacenti sono anche consecutivi c) Due angoli consecutivi possono essee entambi acuti d) Due angoli adiacenti possono essee entambi acuti 10

11 12 igue conguenti 2 Il temine conguente si usa in geometia pe die che due figue possono essee sovapposte in modo che tutti i loo punti coincidano d esempio due segmenti si dicono conguenti se è possibile sovappoli in modo che i loo estemi (e, quindi, tutti i punti che sono ta loo) coincidano Si usa lo stesso temine quando è possibile sovappoe alte figue geometiche come angoli, tiangoli, quadilatei, etc La nozione di sovapponibilità è legata a quella di movimento igido, ossia di movimento di una figua senza che vi sia defomazione della stessa sseviamo i due segmenti della figua seguente: C 25 cm 25 cm D (fig 27) I due segmenti hanno la stessa lunghezza, cioè stessa distanza ta gli estemi dei segmenti, quindi si è soliti die che i due segmenti sono uguali Noi, oa, diemo che il segmento è conguente al segmento CD, e sciveemo: CD (si legge è conguente a CD ) Peché conguente e non uguale? Peché questa complicazione teminologica? asta ossevae che i due segmenti in figua non appesentano lo stesso oggetto geometico, non sono la stessa figua; non possono, quindi, essee definiti uguali peché costituiti da punti divesi del piano Una figua, petanto, può essee uguale soltanto a se stessa mente due figue che si coispondono punto pe punto (coispondenza biunivoca) si dicono conguenti Si ha, quindi, la seguente definizione: Due figue 1 e 2 si dicono conguenti, e si scive 1 2, quando esiste un movimento igido che le sovappone punto a punto La elazione di conguenza ta figue gode delle seguenti popietà: 1 iflessiva: 1 1 (ogni figua è conguente a se stessa); 2 simmetica: (se la figua 1 è conguente alla figua 2, alloa la figua 2 è conguente alla figua 1 ); 3 tansitiva: (se la figua 1 è conguente alla figua 2 e la figua 2 è conguente alla figua 3, alloa la figua 1 è conguente alla figua 3 ) La elazione di conguenza è, quindi, una elazione di equivalenza 2 qui e nel seguito l agomento viene pesentato in maniea intuitiva, legandolo all idea di movimento 11

12 ssioma del taspoto di un segmento Dati un segmento e una semietta di oigine, esiste ed è unico un punto P appatenente ad tale che P (fig 28): P (fig 28) Si può quindi pensae di disegnae infiniti segmenti conguenti ad un segmento dato La elazione di conguenza ta segmenti, essendo una elazione di equivalenza (PR TU), pemette di dividee l insieme di tutti i segmenti in classi di equivalenza, ognuna delle quali si chiama lunghezza: ad ogni classe appatengono tutti i segmenti ta loo conguenti e che hanno, quindi, la stessa lunghezza Confonto ta segmenti Confontae due segmenti vuol die stabilie se sono conguenti o, se non lo sono, vedee quale dei due è il maggioe (o il minoe) Siano dati quindi due segmenti qualsiasi e CD (fig 29): C D (fig 29) L assioma del taspoto ci pemette il loo confonto Consideiamo, infatti, due segmenti P e Q CD, con l estemo in comune ed appatenenti alla stessa semietta di oigine Possono veificasi i seguenti te casi: P cade pima dell estemo Q, alloa diciamo che P è minoe di Q, e quindi è minoe di CD, e sciviamo < CD (fig 30a); P coincide con Q, alloa i due segmenti P e Q, e quindi e CD, sono conguenti, e sciviamo CD (fig 30b); P cade dopo l estemo Q, alloa diciamo che P è maggioe di Q, e quindi è maggioe di CD, e sciviamo > CD (fig 30c) 12

13 P Q P < Q < CD (fig 30a) P Q P Q CD (fig 30b) Q P P > Q > CD (fig 30c) Il confonto può avvenie sovapponendo, con un movimento igido, diettamente e CD, facendo coincidee l estemo con l estemo C e veificando dove cade l estemo (seguiemo tale pocedimento nel confonto ta angoli) 13 peazioni con i segmenti Somma di due segmenti La somma di due segmenti adiacenti e C è il segmento C che ha pe estemi gli estemi non comuni dei due segmenti dati (fig 31): (fig 31) C Sciviamo + C = C, usando l usuale simbolo di addizione (*) Nel caso di due segmenti e CD non adiacenti, la loo somma è data dal segmento D ottenuto taspotando, con un movimento igido, i segmenti e CD in modo che siano adiacenti, con l estemo coincidente con C (fig 32): C D La somma di te o più segmenti, CD, E, si ottiene addizionando alla somma dei pimi due segmenti il tezo e così via fino all ultimo segmento (*) Nel definie le opeazioni con i segmenti, così come in seguito quelle con gli angoli, invece del simbolo, abbiamo utilizzato il simbolo =, che sta pe è il segmento, è l angolo, volendo poe l attenzione sull opeazione in oggetto e sul isultato della stessa L addizione ta i segmenti è un opeazione che gode delle popietà commutativa e associativa ale la seguente popietà: Segmenti somme di segmenti conguenti sono conguenti C (fig 32) In simboli: se CD e E GH alloa + E CD + GH PR TU a dimostala, utilizzando l assioma del taspoto di un segmento D bbiamo pefeito, qui e in seguito, nonostante l opeazione di taspoto, mantenee lo stesso nome pe i segmenti 13

14 Diffeenza di due segmenti La diffeenza di due segmenti e CD, con CD, è il segmento D che si ottiene sovapponendo e CD in modo che l estemo coincida con l estemo C e gli estemi D e siano sulla stessa semietta di oigine (fig 33): C D C D (fig 33) Sciviamo CD = D, usando l usuale simbolo di sottazione (D è, quindi, quel segmento che sommato a CD dà pe somma ) Se CD, alloa il segmento D è il segmento nullo ale la seguente popietà: Segmenti diffeenze di segmenti conguenti sono conguenti In simboli: se CD, E GH E alloa E CD GH PR TU a dimostala, utilizzando l assioma del taspoto di un segmento Multiplo e sottomultiplo di un segmento Il multiplo di un segmento, secondo il numeo natuale n, è il segmento CD che si ottiene facendo la somma di n segmenti conguenti ad ; cioè: In paticolae: CD = = n n volte - se n 1, il multiplo di secondo il numeo 1 è il segmento stesso; - se n 0, il multiplo di secondo il numeo 0 è il segmento nullo Se n 0, si dice che il segmento è sottomultiplo di CD secondo il numeo n e si scive: 1 CD (si legge è uguale a un n-esimo di CD o è uguale all n-esima pate di CD ) n In fig 34 è n = 3, pe cui '' è multiplo di secondo il numeo 3 e si scive: '' = 3 ' ' '' '' (fig 34) Sempe dalla fig 34 si ha che il segmento è il sottomultiplo di '' secondo il numeo 3 e si 1 scive: = '' 3 14

15 La scittua CD = n m, con m, n N e n 0, indica che CD è il multiplo, secondo il numeo m, del sottomultiplo di, secondo il numeo n; cioè: CD = n m = In alte paole, il segmento CD è m volte l n-esima pate di 1 m n Così la scittua CD = 3 5 indica che CD è 5 volte la teza pate di, cioè il segmento è diviso in 3 pati conguenti e CD è 5 di quelle pati (fig 35): * * * C * * * * * D (fig 35) Da quanto detto sul multiplo e sottomultiplo di un segmento segue, in paticolae, che un qualsiasi segmento può essee diviso in due pati conguenti Si ha quindi la seguente definizione: Punto medio di un segmento Dato un segmento, si dice punto medio di il punto M, inteno ad, equidistante dagli estemi e, cioè tale che M M (fig 36): M (fig 36) Si può dimostae che il punto medio di un segmento è unico (PR TU) ssioma del taspoto di un angolo Dati un angolo ab e una semietta di oigine, esiste, in ognuno dei due semipiani nei quali la etta di divide il piano, una ed una sola semietta di oigine che foma con la semietta data un angolo conguente ad ab (fig 37): b s a s ab s' ab s' (fig 37) Si può quindi pensae di disegnae infiniti angoli conguenti ad un angolo dato La elazione di conguenza ta angoli, essendo una elazione di equivalenza (PR TU), pemette di dividee l insieme di tutti gli angoli in classi di equivalenza, ognuna delle quali si chiama ampiezza: ad ogni classe appatengono tutti gli angoli ta loo conguenti e che hanno, quindi, la stessa ampiezza 15

16 Confonto ta angoli Confontae due angoli vuol die stabilie se sono conguenti o, se non lo sono, stabilie quale dei due è il maggioe (o il minoe) Siano dati quindi due angoli qualsiasi ab e cd (fig 38): d b a ' c (fig 38) peando un movimento igido, sovapponiamo i due angoli facendo coincidee i vetici ed uno dei lati, pe esempio il lato a con il lato c, in modo che i due angoli si tovino dalla stessa pate ispetto al lato comune Possono veificasi i seguenti te casi: il lato b è inteno all angolo cd, alloa diciamo che ab è minoe di cd e sciviamo ab < cd (fig 39a); il lato b coincide con il lato d e alloa diciamo che ab è conguente a cd e sciviamo ab cd (fig 39b); il lato b è esteno all angolo cd, alloa diciamo che ab è maggioe di cd e sciviamo ab > cd (fig 39c) d b ab < cd (fig 39a) ' a c b d ab cd (fig 39b) ' a c b d ab > cd (fig 39c) ' a c 16

17 14 peazioni con gli angoli Somma di due angoli La somma di due angoli consecutivi ab e bc è l angolo ac che ha pe vetice il vetice dei due angoli e pe lati i due lati non comuni (fig 40): c b a (fig 40) Sciviamo ab + bc = ac, usando l usuale simbolo di addizione Nel caso di due angoli ab e c'd non consecutivi, la loo somma è data dall angolo ad ottenuto disponendo, con un movimento igido, i due angoli in modo che isultino consecutivi (fig 41): b d a ' β c d ' β + β b c a (fig 41) La somma di te o più angoli ab, c'd, e''f, si ottiene addizionando alla somma dei pimi due angoli il tezo e così via fino all ultimo angolo L addizione ta angoli è un opeazione che gode delle popietà commutativa e associativa ale la seguente popietà: ngoli somme di angoli conguenti sono conguenti In simboli: se β γ δ alloa + γ β + δ PR TU, utilizzando l assioma del taspoto di un angolo 17

18 Diffeenza di due angoli La diffeenza di due angoli ab e c'd, con ab c'd, è l angolo db che si ottiene sovapponendo, con un movimento igido, c'd ad ab, come nel caso del loo confonto (fig 42): b d ab > c'd a ' β c b d - β β ' c a ab c'd = db (fig 42) Se ab c'd, alloa db è l angolo nullo ale la seguente popietà: ngoli diffeenze di angoli conguenti sono conguenti In simboli: se β, γ δ γ alloa γ β δ PR TU, utilizzando l assioma del taspoto di un angolo Multiplo e sottomultiplo di un angolo Il multiplo di un angolo ab, secondo il numeo natuale n, è l angolo cd che si ottiene facendo la somma di n angoli conguenti ad ab; cioè: In paticolae: cd = ab + ab + + ab = n ab n volte - se n 1, il multiplo di ab secondo il numeo 1 è l angolo ab stesso; - se n 0, il multiplo di ab secondo il numeo 0 è l angolo nullo Se n 0, si dice che l angolo ab è sottomultiplo di cd secondo il numeo n e si scive: ab 1 cd (si legge l angolo ab è uguale a un n-esimo dell angolo cd o l angolo ab è uguale n all n-esima pate dell angolo cd ) 18

19 In fig 43 è n = 3 e quindi l angolo cd è multiplo dell angolo ab secondo il numeo 3 e si scive: cd = 3 ab d b' a'' b a ' b a' a c (fig 43) Sempe dalla fig 43 si ha che l angolo ab è il sottomultiplo secondo il numeo 3 dell angolo cd e si scive: ab = 3 1 cd m La scittua cd = ab, con m, n N e n 0, indica che l angolo cd è il multiplo, secondo il n numeo m, del sottomultiplo dell angolo ab, secondo il numeo n; cioè: m 1 cd = ab = m ab n n In alte paole, l angolo cd è m volte l n-esima pate dell angolo ab Così la scittua cd = 3 5 ab indica che l angolo cd è 5 volte la teza pate dell angolo ab, cioè l angolo ab è diviso in 3 pati conguenti e l angolo cd è 5 di quelle pati (fig 44): d b nei due angoli abbiamo indicato come vetice lo stesso punto a c (fig 44) Da quanto detto sul multiplo e sottomultiplo di un angolo, segue, in paticolae, che un qualsiasi angolo può essee diviso in due pati conguenti 19

20 Si ha quindi la seguente definizione: isettice di un angolo Si dice bisettice di un angolo la semietta che ha oigine nel vetice dell angolo e lo divide in due angoli conguenti (fig 45): s b bisettice In simboli: (fig 45) b bs Si può dimostae che la bisettice di un angolo è unica (PR TU) 15 ngoli paticolai o ngolo piatto Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono semiette opposte [Si può pensae ottenuto facendo uotae la semietta, intono ad, di mezzo gio, così da assumee la posizione (fig 46)] L angolo piatto si suole indicae con la lettea geca π (scopiai il peché nel coso dei tuoi studi) π π (fig 46) ngolo piatto 180 o ngolo gio Un angolo concavo i cui lati sono semiette sovapposte si dice angolo gio [Si può pensae ottenuto facendo uotae la semietta, intono ad, di un gio completo, descivendo così tutto il piano (fig 47)] (fig 47) ngolo gio

21 o ngolo nullo Un angolo convesso i cui lati sono semiette sovapposte si dice angolo nullo [Si può pensae ottenuto quando la semietta imane nella posizione iniziale, cioè se ha una otazione nulla (fig 48)] (fig 48) ngolo nullo 0 o ngolo etto Un angolo si dice etto se è la metà di un angolo piatto (fig 49): C ngolo etto 90 angolo etto angolo etto C è la bisettice dell angolo piatto (fig 49) o ngolo acuto Un angolo si dice acuto se è minoe di un angolo etto (fig 50): angolo acuto ngolo acuto < 90 (fig 50) o ngolo ottuso Un angolo convesso si dice ottuso se è maggioe di un angolo etto (fig 51): angolo ottuso ngolo ottuso > 90 (fig 51) 21

22 o ngoli complementai Due angoli si dicono complementai quando la loo somma è un angolo etto (fig 52): C e C angoli complementai C angolo etto (fig 52) (vviamente i due angoli non devono essee necessaiamente consecutivi) o ngoli supplementai Due angoli si dicono supplementai quando la loo somma è un angolo piatto (fig 53): e C angoli supplementai C angolo piatto C (fig 53) (vviamente i due angoli non devono essee necessaiamente adiacenti) o ngoli esplementai Due angoli si dicono esplementai quando la loo somma è un angolo gio (fig 54): e C angoli esplementai (fig 54) (vviamente i due angoli non devono avee necessaiamente gli stessi lati) PR TU Esiste sempe il complementae di un angolo? Peché? 22

23 PR TU Completa le seguenti affemazioni: o il supplementae di un angolo di 85 è ampio ; o il complementae di un angolo di 89 è ampio ; o il complementae di un angolo di 2 è ampio ; o il supplementae di un angolo di 112 è ampio ; o l esplementae di un angolo di 60 è ampio ; o il supplementae di un angolo di 120 è ampio ; o l esplementae di un angolo di 107 è ampio ediamo alcuni teoemi sugli angoli TEREM ngoli supplementai di angoli conguenti sono conguenti β 1 β 1 supplementae di β Hp: 1 supplementae di β 1 β β 1 Th: 1 Dimostazione Dall ipotesi discende che: supplementae di β + β π π β ; 1 supplementae di β β 1 π 1 π β 1 Poiché tutti gli angoli piatti sono conguenti ta loo e, pe ipotesi, β β 1 si ha: π β π β 1 peché diffeenze di angoli conguenti, e quindi: 1 CD (Il teoema può essee visto come un coollaio della popietà di pag18 elativa ad angoli diffeenze di angoli conguenti) L enunciato del teoema può, ovviamente, essee fomulato come segue: ngoli supplementai di uno stesso angolo o di angoli conguenti sono conguenti 23

24 PR TU In modo del tutto analogo si dimostano i seguenti teoemi: ngoli complementai di uno stesso angolo o di angoli conguenti sono conguenti ngoli esplementai di uno stesso angolo o di angoli conguenti sono conguenti TEREM Due angoli opposti al vetice sono conguenti Q N Hp: MQ opposto al vetice di PN Th: MQ PN M P Dimostazione asta ossevae che gli angoli MQ e PN sono entambi supplementai dell angolo QN (poiché, pe ipotesi MQ e PN sono angoli opposti al vetice) pe cui, in base al teoema pecedente, si ha: MQ PN CD (Il teoema può essee visto diettamente come un coollaio del teoema pecedente) PR TU In elazione alla figua 55, stabilisci quali ta le seguenti affemazioni sono vee e quali false: β γ δ (fig 55) a) e γ sono supplementai b) γ e δ sono complementai c) e γ sono conguenti d) β e γ sono supplementai e) e γ sono opposti al vetice f) γ e β sono conguenti g) β e δ sono complementai 24