Corso multimediale di matematica

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1 2006 GONIOMETRIA introduzione : concetti di geometria euclidea Prof. Calogero Contrino

2 Partizione del piano: semipiani Con riferimento alla figura 1 si consideri il seguente postulato Considerata una retta di un piano, essa divide l insieme dei punti del piano che non le appartengono in due sottoinsiemi (regioni ) che godono delle seguenti proprieta : due punti qualsiasi, appartenenti allo stesso sottoinsieme, sono estremi di un segmento che non interseca la retta; due punti qualsiasi, appartenenti a sottoinsiemi diversi, sono estremi di un segmento che interseca la retta. Figura 1 B A B B B B A A A A A 04/03/2014 2/8

3 Partizione del piano: semipiani Con riferimento alla figura 2 si può dare ora la seguente Definizione 1 assegnata una retta di un piano, dicesi semipiano (chiuso) ciascuna delle due parti di piano individuate dalla retta inclusa la retta medesima Figura 2 Considerazioni Ogni retta divide il piano in due semipiani ; Ogni retta appartiene a ciascuno dei semipiani che essa individua e ne costituisce la frontiera detta anche origine del semipiano; 04/03/2014 3/8

4 Partizione del piano: angoli Anche due semirette giacenti sul piano ed aventi la stessa origine (fig.3) suddividono l insieme dei punti del piano che non appartengono ad esse in due sottoinsiemi ognuno dei quali gode di una sola delle seguenti proprieta : due punti qualsiasi, appartenenti allo stesso sottoinsieme,sono estremi di un segmento che e costituito solo da punti dello stesso sottoinsieme ; Figura 3 r esiste almeno una coppia di punti appartenenti allo stesso sottoinsieme che sono estremi di un segmento costituito da punti non tutti appartenenti allo stesso sottoinsieme. Si può pertanto dare la seguente V s Definizione 2 dicesi angolo (proprio) ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette aventi la stessa origine, incluse le due semirette. Il punto origine delle due semirette prende il nome di vertice ; le due semirette prendono il nome di lati. 04/03/2014 4/8

5 angoli convessi e concavi Si hanno inoltre le seguenti definizioni angolo convesso Definizione 3 : angolo convesso : un angolo si dice convesso se due qualsiasi suoi punti sono estremi di un segmento costituito soltanto da punti appartenenti all angolo. angolo concavo Definizione 4 : angolo concavo : un angolo si dice concavo se esiste almeno una coppia di suoi punti che sono estremi di un segmento non tutto costituito da punti ad esso appartenenti. 04/03/2014 5/8

6 Criteri per individuare angoli convessi e concavi Si hanno i seguenti criteri per individuare la concavità o convessità di un angolo angolo convesso angolo convesso : un angolo risulta convesso se i prolungamenti dei suoi lati dalla parte opposta al vertice non appartengono all angolo. angolo concavo angolo concavo : un angolo risulta concavo se i prolungamenti dei suoi lati dalla parte opposta al vertice appartengono all angolo. 04/03/2014 6/8

7 angolo piatto e angolo giro Si hanno ancora le seguenti definizioni angolo piatto Definizione 5 : angolo piatto : un angolo si dice piatto se i suoi lati sono semirette opposte. Indicheremo l angolo piatto con il simbolo P angolo giro Definizione 6 : angolo giro : un angolo si dice giro se i lati sono semirette coincidenti e ad esso appartengono tutti i punti del piano. 04/03/2014 7/8

8 angolo nullo Definizione 7 : angolo nullo : un angolo si dice nullo se i suoi lati sono semirette coincidenti e ad esso appartengono soltanto i punti delle semirette. angolo nullo 04/03/2014 8/8

9 angoli : altre definizioni e convenzioni Per indicare un angolo generico che ha per vertice il punto V e lati le semirette a e b si usa la seguente scrittura : avb Per indicare un angolo generico che ha per vertice il punto V ed i cui lati passano per i punti A e B, si usa la seguente scrittura : AVB V Figura 3 b a B A Angoli orientati Anche gli angoli come i segmenti possono essere orientati. Se per i segmenti si puo stabilire un verso di percorrenza da un estremo all altro cui corrisponde un ordinamento dei suoi punti interni, Figura 4 b B per gli angoli si puo stabilire un verso di rotazione per le semirette che avendo origine nel vertice ruotino intorno ad esso da un lato all altro, fissando così un ordinamento per le semirette che ricadono all interno dell angolo.(gli orientamenti possibili sono ovviamente due) V a A 04/03/2014 9/8

10 angoli : alcune definizioni e convenzioni Non volendo indicare vertici e lati, un angolo generico verrà indicato con le lettere minuscole dell alfabeto greco (come i piani ed i semipiani). Angoli consecutivi C Definizione 8 : Due angoli si dicono consecutivi se hanno in comune c b B il vertice ed un lato ed hanno i lati non comuni da parti opposte rispetto a quello in comune (vedi figura ) V a A Angoli adiacenti Definizione 9 : b B Due angoli si dicono adiacenti se sono consecutivi e hanno i lati non comuni appartenenti alla stessa retta (vedi figura ) C c V a A 04/03/ /8

11 Postulato del trasporto degli angoli Si ha il seguente Postulato Assegnati un angolo ed un semipiano, sulla cui origine (retta di frontiera) sia fissata una semiretta, esiste ed è unico l angolo del semipiano congruente all angolo assegnato che ha un lato sulla semiretta ed il vertice nella sua origine. Postulato del trasporto 04/03/ /8

12 Confronto di angoli Dal postulato del trasporto consegue il seguente criterio per il confronto di angoli che hanno un orientamento fissato. Criterio per il confronto di angoli Assegnati due angoli per effettuare il loro confronto si agirà come segue (vedi figura): Si trasportano gli angoli in modo tale da sovrapporre un lato (primo lato) di ciascun angolo Il secondo lato di ciascun angolo deve ricadere dalla stessa parte rispetto al lato comune : Criterio per il confronto di angoli 04/03/ /8

13 Confronto di angoli Assegnati due angoli e, dal confronto effettuato con le modalità precedenti possono emergere tre situazioni. A : > Se il secondo lato di risulta interno ad allora si dirà che è maggiore di ( > ) Confronto di angoli > B : < Se il secondo lato di risulta esterno ad ad allora si dirà che è minore di ( < ) < C : Se anche i secondi lati si sovrappongono allora si dirà che i due angoli sono congruenti ( ) 04/03/ /8

14 addizione di angoli consecutivi Si ha la seguente Assegnati due angoli consecutivi e, lato comune ad e, il secondo lato di, definizione essendo rispettivamente a,b,c il primo lato di, il si definisce angolo somma degli angoli e l angolo che ha lo stesso vertice dei precedenti e come lati i lati non comuni (a,c) ad e. In simboli si scriverà : = + o avc = avb + bvc o AVC = AVB + BVC Avendo indicato con V il vertice e con A,B,C tre generici punti rispettivamente sui lati a,b,c. Addizione di angoli consecutivi = + C B c b V a A 04/03/ /8

15 addizione di angoli In generale se i due angoli non sono consecutivi il postulato del trasporto ne rende ancora possibile il calcolo della somma essendo assicurato un movimento rigido che li rende consecutivi. Si ha pertanto la seguente definizione Assegnati due angoli non consecutivi e, si definisce angolo somma degli angoli e l angolo somma di due angoli consecutivi rispettivamente congruenti agli angoli assegnati. Per la scrittura in simboli si utilizzeranno ancora le convenzioni viste in precedenza. C c b B Addizione di angoli non consecutivi = + = + V a A 04/03/ /8

16 sottrazione di angoli La sottrazione di angoli si riconduce all operazione di addizione. A tal proposito si ha la seguente definizione Assegnati due angoli non consecutivi e, con >, si definisce angolo differenza degli angoli e l angolo che sommato a (il secondo) da come risultato (il primo) In simboli, con le precedenti convenzioni, si scriverà : = - = - o bvc = avc avb o BVC = AVC AVB Sottrazione di angoli non consecutivi = - = - C B c b V a A 04/03/ /8

17 multipli di angoli Si ha la seguente definizione Assegnati un angolo e un numero naturale n > 1, si dice multiplo dell angolo secondo n l angolo somma di n angoli congruenti ad. In simboli, con le precedenti convenzioni, si scriverà : = n Considerazione La precedente definizione si può estendere ai casi in cui n valga 1 o 0 considerando come multiplo di nel primo caso se stesso e nel secondo caso l angolo nullo Multiplo di un angolo = n = n 04/03/ /8

18 postulato di Eudosso - Archimede Si ha il seguente postulato Assegnati due angoli, non congruenti o nulli, minore che supera il maggiore. esiste sempre un angolo multiplo del In simboli (con < ) si scriverà : = n > = n Postulato di Eudosso - Archimede = n > 04/03/ /8

19 sottomultipli di angoli Dato un angolo multiplo di un angolo secondo n (= n ), i termini della relazione possono essere invertiti e si può dare la seguente definizione Assegnati un angolo e un numero naturale n > 1, si dice sottumultiplo dell angolo secondo n l angolo tale che l angolo risulti la somma di n angoli congruenti ad. In simboli, si scriverà : = n Sottomultiplo di un angolo = n 04/03/ /8

20 angolo retto Si ha la seguente definizione dicesi angolo retto il sottomultiplo di un angolo piatto secondo il naturale n = 2. In simboli si scriverà : R P = 2 Angolo retto R P = 2 P R R 04/03/ /8

21 angolo acuto ed ottuso Si hanno le seguenti definizioni dicesi angolo acuto un angolo minore di un angolo retto. dicesi angolo ottuso un angolo maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto. R Angolo acuto ed angolo ottuso P 04/03/ /8

22 angoli complementari ed anticomplementari Assegnati due angoli, si hanno le seguenti definizioni due angoli si dicono complementari se la loro somma è congruente ad un angolo retto. due angoli si dicono anticomplementari se la loro differenza è congruente ad un angolo retto. Angoli complementari ed anticomplementari R R = + R R = - 04/03/ /8

23 angoli supplementari ed antisupplementari Assegnati due angoli, si hanno le seguenti definizioni due angoli si dicono supplementari se la loro somma è congruente ad un angolo piatto. due angoli si dicono antisupplementari se la loro differenza è congruente ad un angolo piatto. Angoli supplementari ed antisupplementari P P = + P = - 04/03/ /8

24 angoli esplementari due angoli si dicono esplementari se la loro somma è congruente ad un angolo giro. Angoli esplementari G G = + 04/03/ /8

25 misura degli angoli : grandezze commensurabili Si richiamano a questo punto alcune definizioni fondamentali per pervenire al concetto di misura di un angolo. definizione Due grandezze geometriche omogenee si dicono commensurabili omogenea a quelle assegnate che sia sottomultipla comune. se esiste una grandezza Applicando tale definizione ad angoli si avrà che l angolo sottomultiplo comune sarà nella seguente relazione con gli angoli assegnati e : = ; = n m angoli commensurabili 04/03/ /8

26 misura degli angoli : definizione per angoli commensurabili Da : = m ; = n Si ottiene : = m Assumendo l angolo come unità di misura ( = ) si può dare la seguente = m = m n n definizione Dati due angoli commensurabili e dicesi misura di rispetto ad il numero razionale m tale che = m n n angoli commensurabili 04/03/ /8

27 misura degli angoli : definizione generale Si noti che, essendo m, n due naturali, m Q + in accordo con il fatto che la misura n euclidea è una misura assoluta che non tiene conto dell orientamento. Se due angoli non ammettono sottomultiplo comune si dirà, come per qualsiasi altra grandezza, che sono incommensurabili. In tal caso si potrà sempre assumere uno dei due angoli come unità di misura e si potrà ancora parlare di misura di uno rispetto all altro intendendo che ad essi risulti associato un numero irrazionale secondo il solito legame : =, con numero irrazionale. Unificando le due definizioni precedenti si può ora dare una più generale definizione Dati due angoli e dicesi misura di rispetto ad il numero reale tale che = 04/03/ /8