XX.1 COSA E UN ANGOLO

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2 XX.1 CSA E UN ANGL Tra i moltissimi argomenti che la Geometria piana ci propone, gli angoli hanno certamente un ruolo di principale importanza non soltanto per le innumerevoli conseguenze matematiche, ma anche pratiche. Vediamo se le tue conoscenze acquisite nel percorso di Scuola Primaria ti aiutano a svolgere questo esercizio: osserva attentamente la seguente foto (fig.1) e metti un cerchietto sugli oggetti, o sulla parte che interessa di un oggetto, che indica un angolo. Confrontati, dopo, con i tuoi compagni e discutine con il tuo insegnante. Figura 1: Foto del giardino in Via delle orchidee La parola angolo nel linguaggio comune Guarda l immagine e scrivi la frase di uso comune in cui compare la parola angolo:

3 Cerchiamo ora di dare una definizione geometrica di angolo e quindi sul tuo quaderno svolgi questa attività: disegna un piano e traccia su di esso due semirette aventi la stessa origine (fig.2). sserverai, quindi, che il piano Figura 2: Semirette con origine in comune resta diviso in due regioni: colorando le due regioni in modo diverso avrai così evidenziato i due angoli. Si chiama angolo ciascuna delle parti in cui un piano è diviso da due semirette che hanno la stessa origine. Le due semirette si chiamano lati dell'angolo, l'origine comune delle due semirette si chiama vertice dell'angolo. In fig.3 sono evidenziate le varie parti dell angolo. vertice lato lato X.1.1 Costruzione e definizione Gli angoli si possono anche indicare con le lettere dell alfabeto (fig.4): una per indicare il vertice, e altre due per indicare i rispettivi lati dell angolo. Quindi si scrivono le tre lettere di seguito e la lettera che indica il vertice deve essere sempre al centro:!!! Quando non ci sono motivi di equivoco, per semplicità, si scrive solo la lettera del vertice:! Figura 4: Angolo indicato con tre lettere dell'alfabeto Figura 3: Le parti dell'angolo

4 X.1.2 Angoli concavi e convessi Come facciamo a distinguere i due angoli disegnati? Se prolunghiamo le due semirette dalla parte dell'origine comune (fig.5), diremo che si chiama concavo l'angolo che contiene i prolungamenti e convesso l'angolo che non li contiene. Guardiamo un momento l'immagine: ci accorgiamo subito che il prolungamento dei lati si trova nella regione di piano di colore rosa, di conseguenza essa angolo concavo angolo convesso rappresenta un angolo concavo, la parte celeste invece indica un angolo convesso. Figura 5: Angolo concavo e convesso Un angolo si dice - convesso quando al suo interno non contiene il prolungamento dei suoi lati. - concavo quando contiene il prolungamento dei suoi lati. RICRDA CHE UN ANGL NN E L ARCHETT CHE SI USA PER INDICARL, NE IL SU VERTICE, ma una parte di piano!

5 X Prova TU 1. Indica i seguenti angoli usando le tre lettere: 2. Per ciascun angolo indica se è concavo o convesso (prova a tracciare i prolungamenti dei lati) XX.2 ANGLI A CNFRNT Confrontare significa Confrontare in Geometria è un azione che coinvolge sia la forma degli oggetti matematici che le loro misure. Il confronto porta a stabilire se i due oggetti considerati hanno la stessa ampiezza o se uno è maggiore o minore dell'altro.

6 Per fare questo, bisogna sovrapporre i due angoli facendo coincidere i rispettivi vertici e un lato. Per sovrapporre i due angoli è necessario trasportare un angolo sull'altro. Per eseguire questa operazione possiamo ricalcare l'angolo su di un foglio di carta trasparente e spostare la carta sull altro angolo sovrapponendoli. H.2.1 Angoli congruenti e non CAS n.1: sovrapponendo il vertice A al vertice B (fig.6), un lato del primo angolo con un lato del secondo, vediamo che anche gli altri due lati coincidono: i due angoli sono congruenti e si scrive Figura 6: Angoli congruenti!! CAS n.2: sovrapponendo il vertice A al vertice B (fig.7), un lato del primo angolo con un lato del secondo, vediamo che il secondo lato dell angolo A cade all esterno dell angolo B, quindi i due angoli non sono congruenti e si scrive, Figura 7: Angolo rosso maggiore di angolo verde!>! ovvero l angolo! è maggiore dell angolo!. Figura 8: Angolo arancione minore di angolo rosso. CAS n.3: sovrapponendo il vertice A al vertice B (fig.8), un lato del primo angolo con un lato del

7 secondo, vediamo che il secondo lato dell angolo A cade all interno dell angolo B, quindi i due angoli non sono congruenti e si scrive,!<! ovvero l angolo! è minore dell angolo!. X.2.2 Angoli consecutivi e adiacenti L aggettivo consecutivi fa pensare a un angolo che segue un altro. Pertanto Due angoli si dicono consecutivi (fig.9) quando hanno il vertice e un lato in comune, mentre gli altri due lati si trovano da parti opposte rispetto al lato comune. Figura 10: Angoli consecutivi Figura 9: Angoli adiacenti L aggettivo adiacenti fa pensare a un angolo vicino ad un altro. Pertanto Due angoli si dicono adiacenti (fig.10) se sono consecutivi e i lati non comuni sono semirette opposte, cioè sono l uno sul prolungamento dell altro. Se proviamo a tracciare due rette incidenti (fig.11), osserviamo che si individuano quattro angoli: quelli dello stesso colore sono congruenti fra loro. Figura 11: Rette incidenti che individuano 4 angoli

8 Due angoli si dicono opposti al vertice quando i lati dell uno sono sul prolungamento dell altro. X.2.3 perazioni con gli angoli Le operazioni che hai finora imparato a svolgere con i numeri, si possono eseguire anche con gli angoli. Vediamo come. L addizione Per addizionare due angoli (fig.12) bisogna disporli l uno consecutivo all altro, magari trasportandone uno; l angolo somma è l angolo che ha per lati quelli non comuni degli angoli dati e che contiene il lato comune, ovvero:!!! +!!! =!!! B B + D = A D A C C Figura 12: Somma di due angoli Per addizionare tre (fig.13) o più angoli, si addizionano i primi due, poi si addiziona il terzo all angolo ottenuto e così via. + + = Figura 13: Somma di tre angoli

9 La sottrazione scriverà: Per sottrarre due angoli (fig.14) si trasporta il secondo sul primo facendo coincidere un lato e il vertice e in modo che gli altri due lati si trovino dalla stessa parte rispetto a tale lato. Il lato del secondo angolo cadrà all interno del primo angolo e si!!! +!!! =!!! Figura 14: Differenza tra due angoli Multipli e sottomultipli Un angolo che è la somma di 2, 3, 4, angoli congruenti all angolo!!! si dice multiplo di!!! secondo 2, 3, 4, Riferendoci alla fig.15, scriveremo:!!! =!!!! D B cioè l angolo!!! è multiplo dell angolo!!! secondo il numero 3. A C Figura 15: Multiplo di un angolo Un angolo che è la metà, la terza parte, ecc di un altro angolo, si dice che è sottomultiplo di quell angolo secondo 2, 3, ecc, Riferendoci alla figura seguente, scriveremo: B D C A Figura 16: Sottomultiplo di un angolo C!!! =!!!!! cioè l angolo!!! è sottomultiplo dell angolo

10 !!! secondo il numero 3. Dall angolo multiplo alla bisettrice Consideriamo ora l angolo!!! secondo e la semiretta C (fig.17). Si dice che C è bisettrice B traccia la semoretta C A Figura 17: Bisettrice di un angolo ovvero!!! è multiplo di!!!. B A dell angolo!!! perché lo divide in due parti congruenti. Equivalentemente potremo dire che l angolo!!!=!!!!! Si chiama bisettrice di un angolo la semiretta che ha l origine nel vertice dell angolo e che lo divide in due parti congruenti. C Per aiutarti a ricordare la nuova terminologia, RICRDA CHE BISETTRICE DERIVA DA BISECARE che letteralmente significa DIVIDERE IN DUE. CIASCUN ANGL INDIVIDUAT DALLA BISETTRICE PTRA ESSERE ULTERIRMENTE DIVIS DA UN ALTRA BISETTRICE e così via!

11 XX.3 LA MISURA DEGLI ANGLI Quale grandezza misuriamo in un angolo? Non certo una lunghezza come per i segmenti, ma l ampiezza dell angolo. Potremmo chiederci (fig.18): a che angolo suona la sveglia? E la seconda ora? A che angolo suona la ricreazione? A che angolo incontrerò Antonello? Per rispondere a queste domande abbiamo bisogno di:! unità di misura;! strumento di misura. Figura 18: Angoli da misurare X.3.1 Unità di misura L unità di misura degli angoli è il grado. Un grado, ovvero 1, è la 360-esima parte di un angolo giro. Il simbolo per indicarlo è un piccolo cerchietto scritto come apice. I sottomultipli del grado sono: primi e secondi. Un primo, ovvero 1, è la 60-esima parte di un grado. Il simbolo per indicarlo è un piccolo apice. Un secondo, ovvero 1, è la 60-esima parte di un primo, o equivalentemente la 3600-esima parte del grado. Il simbolo per indicarlo è un doppio apice.

12 Esplicitiamo la misura La misura di un angolo può essere espressa in: GRADI PRIMI SECNDI Dove GRADI è un numero intero, PRIMI è un numero intero compreso tra 0 e 59, mentre SECNDI deve essere un numero (non necessariamente intero) minore o al più uguale a 59. ESEMPI " Angolo espresso in forma normale: perché rispetta le condizioni che dette prima. " Angolo espresso in forma non normale: perché i numeri che indicano, rispettivamente, i primi e i secondi non sono più piccoli di 60. Che facciamo in questo caso? Riduzione a forma normale # Riduciamo a forma normale l angolo Partiamo dai secondi: 85'' è un numero maggiore di 59. Calcoliamo la divisione intera per 60, in questo modo calcoleremo quanti primi ci sono in 85''. 85'' Il resto 25 va sostituito al posto di 85. Il quoziente 1 è il numero di primi e va invece sommato ai primi della traccia, ottenendo: =

13 RICRDA CHE SE I SECNDI SUPERAN IL VALRE DI 59 ALLRA SI EFFETTUA LA DIVISINE PER 60. IL QUZIENTE DELLA DIVISINE VA SMMAT AI PRIMI, MENTRE IL REST E IL NUV VALRE DEI SECNDI. In questo esempio anche i primi superano 59, allora possiamo pensare di ripetere il ragionamento che abbiamo utilizzato per i secondi. Dividiamo per 60 i primi così da determinare quanti gradi ci sono in ' Il quoziente è il numero che andrà sommato ai gradi, mentre il resto è il valore da sostituire ai primi: = SE I PRIMI SUPERAN IL VALRE 59' ALLRA SI EFFETTUA LA DIVISINE PER 60. IL QUZIENTE DELLA DIVISINE VA SMMAT AI GRADI, MENTRE IL REST È IL NUV VALRE DEI PRIMI # ra vogliamo scrivere in forma normale Naturalmente i secondi hanno un valore molto più grande di 59 e quindi dividiamo per 60.

14 in definitiva: Il quoziente intero è 95, mentre il resto è 16, di conseguenza: 5716 = Dobbiamo, ora, scrivere in forma normale i primi. Dividiamo 95 per 60 e otteniamo 1 come quoziente e 35 come resto, cioè 95 = = ESEMPI Scriviamo in forma normale l'ampiezza dell'angolo: 68,235 La parte intera, cioè 68, rappresenta i gradi della forma normale, la parte decimale, 0,235, la moltiplichiamo per 60 e otteniamo così i primi: 0, = 14,1 68,235 = 68 14,1 Dobbiamo trasformare anche i primi seguendo lo stesso procedimento: 0,1 60 = 6, In definitiva: 68,235 = ,1 = 14 6 SE I GRADI SN NUMERI DECIMALI ALLRA SI PRENDE PER GRAD LA PARTE INTERA, LA PARTE DECIMALE INVECE VERRÀ MLTIPLICATA PER 60. tterremo così un nuovo numero, la sua parte intera sarà il valore da associare ai primi, l'eventuale parte decimale invece verrà moltiplicata per 60 ed il risultato saranno i secondi della misura dell'angolo espresso in forma normale.

15 X Prova TU Riduci in forma normale le seguenti ampiezze di angoli , , , ,98 X.3.3 Strumento di misura Per misurare gli angoli si usa il goniometro (fig.19). Come si usa?! si fa coincidere il vertice dell angolo con il centro del goniometro;! si fa coincidere il bordo rettilineo con una semiretta dell angolo;! si legge la misura dell angolo sulla scala graduata, in corrispondenza della seconda semiretta Figura 19: Il goniometro per misurare gli angoli caso:!!!=50 ;!!!=130. dell angolo. Nel nostro X.3.3 Angoli particolari Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono l uno sul prolungamento dell altro. Esso misura 180. angolo piatto

16 A angolo giro Se la semiretta A ruota intorno all origine di un giro completo, allora descrive un angolo costituito da tutti i punti del piano che viene detto angolo giro. Esso misura 360. Se la semiretta A non compie nessuna rotazione intorno all origine, allora si ottiene l angolo nullo. Esso misura 0. A angolo nullo angolo retto Se si traccia la bisettrice di un angolo piatto, si ottengono due angoli congruenti che si chiamano angoli retti. Quindi, l angolo retto è la metà di un angolo piatto e misura 90. Un angolo di riferimento L angolo retto oltre a rappresentare l angolo che più frequentemente incontriamo nella realtà, è anche usato per B fare la distinzione tra angolo acuto e ottuso. Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto, ovvero!!!<90. angolo acuto D angolo ottuso C Un angolo si dice ottuso se è maggiore dell angolo retto, ovvero!!!>90, e minore di un angolo piatto, ovvero!!!<180. A RICRDA CHE PER STIMARE LA MISURA DI UN ANGL QUAND NN HAI LA PSSIBILITA DI MISURARL PRECISAMENTE, DEVI RIFERIRTI AGLI ANGLI NTI!

17 X Prova TU Completa la tabella: angolo Acuto ttuso Retto Piatto Giro Concavo Convesso Angoli complementari, supplementari, esplementari Gli angoli particolari e le operazioni sugli angoli ci servono per definire altre tre tipologie: " complementari se la loro somma è un angolo retto, ovvero α+β=90 α angoli complementari β " supplementari se la loro somma è un angolo piatto, ovvero α+β=180 α angoli supplementari β " esplementari se la loro somma è un angolo giro, ovvero α+β=360 angoli esplementari α β

18 XX Mettiamo in pratica 1. Segna la V o la F, secondo che l affermazione sia vera o falsa e rappresenta graficamente ciascuna situazione a. La somma di due angoli complementari è un angolo piatto V F b. Due angoli ottusi possono essere supplementari V F c. Un angolo concavo ed uno convesso possono essere esplementari V F d. Un angolo acuto e uno ottuso possono essere complementari V F e. La somma di due angoli supplementari è un angolo piatto V F f. Due angoli piatti non sempre sono asplementari V F g. Due angoli retti sono sempre complementari V F 2. Disegna una coppia di angoli complementari, una di angoli supplementari e una di angoli esplementari. Per ciascuna coppia scrivi la relazione che lega entrambi gli angoli.