GRAVITAZIONE CENNI STORICI

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1 CENNI STORICI GRAVITAZIONE Ipotesi pincipali alla base del sistema geocentico di Tolomeo: 1) la Tea è immobile al cento dell Univeso; ) tutti gli asti (pianeti e stelle) uotano intono alla Tea; 3) i pianeti si spostano con velocità unifome su taiettoie cicolai (epicicli) i cui centi descivono, a loo volta, obite cicolai (defeenti) a velocità costante; 4) Sole e Luna descivono defeenti (senza epicicli) intono alla Tea.

2 Ipotesi pincipali alla base del sistema eliocentico di Copenico (1543): 1) il Sole, e non la Tea, è immobile al cento dell Univeso; ) tutti gli asti (Tea compesa) uotano intono al Sole su taiettoie cicolai pecose nello stesso veso e giacenti nello stesso piano; 3) tutti i pianeti (Tea compesa) sono sfeici e uotano intono ad uno dei loo diameti; 4) la velocità con cui i pianeti si spostano sulle loo obite è unifome, ma i pianeti più vicini al Sole si spostano più velocemente di quelli più lontani.

3 Moto dietto e etogado del pianeta Mate Spiegazione del moto planetaio nel sistema tolemaico Spiegazione del moto planetaio nel sistema copenicano nel caso di un pianeta esteno (a) e inteno (b) (a) (b)

4 Inizialmente scaso consenso pe Copenico: a quel tempo i fenomeni celesti potevano inquadasi altettanto bene nello schema geocentico tolemaico. Dalla fine del XVI secolo la teoia eliocentica è stata fatta oggetto di uno spietato ostacismo: Giodano Buno, il pimo seguace e fevente fautoe della nuova teoia, viene buciato vivo a Roma nel Con l intoduzione del cannocchiale in astonomia si feceo delle ossevazioni (in paticolae quelle che mostavano il susseguisi delle fasi del pianeta Venee) che potevano essee spiegate solo adottando lo schema copenicano. Ciò alla fine ha potato all accettazione della poposta copenicana, vincendo la lunga e ostinata opposizione di pensatoi vincolati alle concezioni filosofico-eligiose del tempo.

5 LE LEGGI DI KEPLERO Foniscono una descizione cinematica del moto planetaio, deivata dall analisi delle ossevazioni dello astonomo danese Tycho Bahe. I legge: i pianeti descivono obite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi. II legge: il vettoe posizione di ciascun pianeta ispetto al Sole descive aee uguali in tempi uguali. III legge: i quadati dei peiodi di ivoluzione dei pianeti sono popozionali ai cubi dei semiassi maggioi delle loo obite.

6 NATURA CENTRALE DELLA FORZA GRAVITAZIONALE Aea spazzata dal vettoe posizione del pianeta nel tempo dt: da 1 ( + d)( 1 dθ ) dθ Si definisce velocità aeolae: S da dt 1 dθ dt Il momento angolae del pianeta è: dθ L m m S dt Conclusione peliminae: la legge delle aee di Kepleo (S costante) equivale alla costanza del modulo del momento angolae del pianeta. Siccome l ossevazione mosta che il piano dell obita dei pianeti imane costante nel tempo, anche la diezione del vettoe momento angolae imane costante.

7 In definitiva: la legge delle aee di Kepleo unita all ossevazione della costanza del piano obitale implica che il vettoe momento angolae del pianeta è costante nel tempo e quindi la foza applicata al pianeta è centale. DERIVAZIONE DELLA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE II legge di Kepleo (legge delle aee) + dato ossevativo che i piani obitali sono fissi nel tempo la foza agente sul pianeta è centale. I legge di Kepleo l obita di un pianeta è chiusa la foza è dietta veso il Sole. I legge di Kepleo l obita di un pianeta è ellittica (caso paticolae ciconfeenza: i due fuochi coincidono col cento). ma v m ˆ v π /P m 4π P ˆ.

8 Pe la III legge di Kepleo (nel caso paticolae di un obita cicolae): P k 3 4π k m ˆ Conclusione peliminae: pe soddisfae le leggi di Kepleo, la foza gavitazionale deve essee centale e invesamente popozionale al quadato della distanza dal Sole. m La foza gavitazionale che il Sole esecita su ogni pianeta è popozionale alla massa m del pianeta (infatti la foza gavitazionale che la Tea esecita su un copo è popozionale alla massa del copo stesso). Analogamente: M La foza che il pianeta esecita sul Sole deve essee popozionale alla massa M del Sole.

9 Pe la III legge della dinamica: F G Ossia: m M B k, M 4π B m M ˆ. G m M ˆ. Conclusione definitiva: pe soddisfae le leggi di Kepleo, la foza gavitazionale deve essee centale, diettamente popozionale al podotto delle masse in gioco e invesamente popozionale al quadato della distanza dal Sole. La costante di popozionalità vale: G m 3 kg -1 s -

10 Non è detto a pioi che la foza gavitazionale che si esecita ta Sole e pianeti sia la stessa che si esecita ta la Tea ed un gave o ta due masse in laboatoio. Newton, peò, fece popio questa ipotesi (legge di gavitazione univesale). Foza gavitazionale in possimità della supeficie teeste: G m M R ˆ (in questo caso m massa del copo ed M massa della Tea). Foza peso: P m g con P g G M g R ˆ acceleazione di gavità. L ipotesi che G sia una costante univesale ha potato a isultati coeenti in molti campi dell astonomia e dell astonautica, pe cui, fino a pova contaia, può essee agionevolmente accettata. La costante G non dipende dal mateiale di cui le masse inteagenti sono costituite né dall eventuale mezzo (fluido) in cui esse sono immese.

11 ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE Poiché la foza gavitazionale è centale e dipende solo dalla distanza, essa è consevativa. Esiste una funzione enegia potenziale gavitazionale tale che: de p FG gad E p ˆ d de p d G m M Si intega la pecedente attibuendo all enegia potenziale valoe zeo pe. 0 E p de p G m M d E p G m M

12 ENERGIA MECCANICA TOTALE Enegia totale di un sistema di due paticelle di massa M ed m soggette alla mutua inteazione gavitazionale: E 1 M V + 1 m v G m M Se M >> m: E 1 m v G m M Nel caso di obita cicolae della massa m intono alla massa M si ha: m M v G m a m m v G m M E G mm Ossevazione impotante Questo isultato vale non solo pe le obite cicolai ma anche pe quelle ellittiche.

13 Obite caatteizzate dallo stesso semiasse maggioe e quindi dalla stessa enegia totale, ma con valoi di eccenticità (indicati pe ciascuna obita) e momento angolae divesi. Manova di sopasso eseguita dal veicolo spaziale B, inizialmente sulla stessa obita di un alto satellite A, identico al pimo, che lo pecede. Le dimensioni non sono in scala.