Gravitazione La forza gravitazionale è una Forza centrale

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1 Gavitazione La foza gavitazionale è una oza centale Le foze centali sono olto ipotanti in fisica ( copi); agiscono in cete zone dello spazio con queste popietà: - in ogni punto sono diette veso un punto fisso O detto cento della foza - il odulo è solo funzione di distanza dal cento u epulsiva: e sono paalleli ( esepio ta caiche elettiche di stesso segno) attattiva e sono antipaalleli coe ta asse o caiche elettiche di segno opposto foza funzione di posizione che agisce in data zona dello spazio, odifica lo spazio, e genea un capo di foza che agisce su ogni paticella che si tovi nello spazio in cui c e il capo. pia del 600 ( Newton) nella gavitazione ( Univeso) non c ea niente da spiegae copi celesti e copi teeni eano descitti sepaataente poi A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione

2 Popietà delle foze centali dl dt L v u ()u 0 L costante costante In capo di foze centali oento della foza ispetto al cento è nullo Quindi il oento angolae L è costante. Quindi anche costante il piano dei vettoi e v aiettoia di P è cuvilinea e piana. Il veso di L definisce il veso di pecoenza delle taiettoia. A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione

3 In cineatica si è visto che nel oto cuvilineo si può espiee la velocità taite le coponenti adiali e otogonale a questa pe cui il oento angolae diventa : L v (v + v v ) θ Dato che e v sono paalleli e e v θ sono pependicolai il odulo è L vθ d dt θ e L è costante è costante anche il suo odulo e quindi dθ dt In un tepo dt il aggio vettoe spazza un aea infinitesia coe indicato in figua, che è cica un tiangolo di base dθ e altezza quindi di aea dθ A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione 3 θ

4 Posso espiee la velocità aeolae coe da dt dθ dt L Quindi se L è costante anche la velocità aeolae è costante: La taiettoia di un punto che si uove in capo di foze centali giace in un piano fisso che passa pe il cento ed è pecosa in odo che la velocità aeolae sia costante.quindi è costante il teine dθ dt e la taiettoia è chiusa, caso dei pianeti, la costanza della velocità aeolae iplica che da dt C A A L L A A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione 4

5 Popietà delle foze centali Le foze centali sono consevative. Infatti dato che () ed è scivo il lavoo coe paallela ad W B A ds B A ()u ds W B A () d f ( B ) f ( A ) Il lavoo dipende solo dalle coodinate del punto iniziale e finale e non dal pecoso, condizione pe avee una foza consevativa : le foze centali sono consevative A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione 5

6 La oza Gavitazionale Newton (64-77) nel 666 ( pubblicata nel 687 ) ipotizza che la caduta dei gavi ed il oto dei copi celesti siano egolati dalle stesse leggi e icava la legge di gavitazione univesale Newton si basa sulle ossevazioni cineatiche di ycho Bahe( ) ed i calcoli del ateatico Kepleo che sono iassunti in 3 leggi (600-60). i pianeti si uovono su obite ellittiche di cui il ole occupa uno dei fuochi. I pianeti si uovono con velocità aeolae costante 3. i quadati dei peiodi di ivoluzione sono popozionali ai cubi delle distanze edie dal ole (sei-asse aggioe ) A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione 6

7 Da Kepleo alla legge di gavitazione In pia appossiazione le obite dei pianeti sono cicolai. e la velocità aeolae è costante il oto del pianeta è cicolae unifoe infatti da dt e è costante lo è anche la velocità angolae il che iplica che la foza sia centipeta ( solo coponente in diezione adiale) e deve valee che: ω dθ dt 4π Pe la teza legge di Kepleo costante 3 K cost. π ω oza esecitata dal sole sui pianeti è invesaente popozionale al quadato della distanza dal sole 4π k A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione 7

8 A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione 8 Da Da Kepleo Kepleo alla legge di gavitazione alla legge di gavitazione Consideiao il sistea ea ole. La foza esecitata dal sole sulla tea è, k 4 π e le elazioni valgono pe qualsiasi coppia di copi la oza esecitata dalla tea sul sole è siile e le due foze devono essee eguali in odulo quindi ovo la legge di gavitazione univesale, k 4 π k k k k k 4 k 4 π π e definisco k 4 k 4 π π

9 La legge di gavitazione univesale ˆ oza ta due asse qualsiasi e è negativa quindi la foza è attattiva costante di gavitazione univesale tovata analiticaente equagliando pe un copo sulla tea la di gavitazione e la foza peso e dai paaeti dell obita lunae,l g L L g L ω L L Diensioni: [ 3 ] L M Valoe: A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione 9 N Kg 3 Kg s

10 Misua di con la Bilancia di tosione di Cavendish A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione 0

11 Massa ineziale e gavitazionale u Le asse che copaiono in questa foula sono legate all inteazione gavitazionale e a pioi potebbeo essee divese dalla assa ineziale che copae nella a. ulla supeficie teeste posso scivee I g G G g G G I peientalente si è veificato che g è indipendente dai copi il che iplica che il appoto G I è costante cioe G e I sono popozionali o eguali e non dipendono ad es. dalla sostanza di cui sono fatti. i sono eseguiti vai espeienti a età 800 e ecenteente pe veificae con elevata pecisione la eguaglianze dei due tipi di asse. Due copi di ateiale diveso appesi a fili a piobo pe effetto della otazione teeste avebbeo deviazioni teeste. I isultati sono negativi A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione

12 Esepio i osseva che un pianeta ha un satellite che uota con obita cicolae di aggio,5 0 5 K. Il peiodo di otazione è gioni. Da questi dati posso ovae la assa del pianeta? i posso peché se il oto è cicolae unifoe deve valee tessa elazione scitta pe il sistea tea luna P, ostituendo i valoi : P P P P, 4π 3 P, ω 3 P, (,86 ω P, A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione P 39.5 (, ) 6, Kg ω 8 3 P, ) 3 pe i satelliti atificiali teesti fissato il è fissata la distanza dalla supefice teeste ( dal cento della tea)

13 G Capo Gavitazionale u questa è la foza che lega due asse qualsiasi, u, è il vesoe che va a. Posso iscivee le due foze coe ( u ) ( u ),,, Pongo il teine ta paentesi eguale a G i, capo gavitazionale, geneato dalla assa i ( u ) G, G ( u ) G, A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione 3

14 Capo Gavitazionale Le foule sopa scitte valgono pe asse puntifoi o a sietia sfeica. e ci sono più asse vale il pincipio di sovapposizione; se G i è il capo della iesia assa oo vettoialente ed ho il capo totale in un punto geneico P G (P ) n i ( i i u i ) G i A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione 4 Rappesentazione gafica dei capi : linee di foza. Il vettoe del capo ha la diezione della tangente alla linea di foza in ogni punto. iniziano e finiscono sulle sogenti del capo 3. la loo densità è popozionale all intensità del capo 4. la loo distibuzione nello spazio in genee ispecchia le sietie delle sogenti i i u i

15 Linee di foza che indicano il capo gavitazionale vicino ad una assa puntifoe. La diezione delle Linee di oza indica la diezione del capo in ogni punto; la densità delle linee è popozionale all intensità del capo Linee di foza che indicano il capo elettico geneato da due caiche puntifoi di stessa intensità e di stesso segno A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione 5

16 Calcoliao il lavoo copiuto dalla foza pe spostae una assa da un punto A ad un punto B W AB Enegia potenziale del Capo Gavitazionale B A B B W u ds A d AB A W ( + ) E E AB p,a p,b Definiaol enegia potenziale della foza di gavità che coe già detto è una foza consevativa B d s A E p W è nullo se spostaento è ta due posizioni con stessa distanza () da ; enegia potenziale non cabia A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione 6

17 dalla definizione di potenziale ovo elazione ta foza e E p : ( ) infatti de d p d d ( pe una distibuzione continua: W ( ) d E p ) E p <0 pe finito Ep 0 pe R W>0 se viene da la foza di Newton è coetta solo se ha una distibuzione di assa sfeica o se è puntifoe altienti vale pe gli eleenti d pe i sistei legati E totale <0 M A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione 7 E v < 0

18 consideiao infatti un copo di assa (satellite) obitante attono ad un copo di assa M(pianeta). ia M fisso nell oigine di un sistea di ifeiento ineziale e l obita di sia cicolae. E p ( ) M E K v ω E M 3 ( ) M v ω ω M M M M E K ω M M E < 0 vale pe tutti i sistei legati A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione 8

19 E(negia) K si può diostae che pe un obita qualunque : E ( M) M+ J ( e ) J oento angolae e e eccenticità dell obita E E 0 0 E K+ U E U obita Eccent. ellisse 0<e< cechio e0 paabola e ipebole e> En.totale <0 <0 0 >0 A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione 9

20 Velocità di fuga Quale dovebbe essee la velocità iniziale, detta di fuga, che peette a un copo di aggiungee l infinito cioè di uscie dal capo gavitazionale teeste? v Ho scitto la consevazione dell enegia eccanica ta la posizione iniziale sulla supeficie della tea e l infinito dove E p è nulla. Ossevo che la velocità all infinito ci basta che sia nulla pe cui si ha: v v. Ks v Kh V è divesa sui vai pianeti A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione 0

21 Capo di una distibuzione a sietia sfeica nel caso di uno stato sfeico cosa succede fuoi e dento la distibuzionedi assa? e se la distibuzione è piena? A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione

22 ρ costante V 3 4πR Pe un punto che dista dal cento: ' ρ π 3 R ' g 3 R 3 3 A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione

23 Quesito Ad una distanza dal cento: ' ρv' ' Cosa ci icoda? Il oto aonico 3 π ρ 84.' π ρ K 4π 3 π 3 ρ4π k A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione 3

24 I Pianeti ole. diaeto: K. densità 0.5ρ ea 3. gavità: 8g 4. assa 0 30 Kg pianeta Massa (Kg) <Dist> dal ole (K) Dist. al peielio (K) Distanza all afelio (K) Peiodo (anni) Mecuio Venee ea Mate Giove atuno Uano Nettuno Plutone LUNA:. dist. dalla ea K 4. assa: /80 M ea. diaeto: 3476 K 5. densità: 0.6 ρ ea 3.34ρ acqua 3. A. Roeo volue 0 9 K 3 /49 V ea Meccanica e Onde- Gavitazione 6. gavità: /6 g 4

25 Le pincipali lune di Giove luna Massa (Kg) <dist.> da Giove (K) Dist. al peiasto di Giove Distanza all apoasto di Giove Peiodo (gioni) Io Euopa Ganiede Callisto I satelliti atificiali satelliti putnik I M (Kg) 83 <dist.> (K) Dist. al peiasto. (*0 3 K) 6.60 Dist. apoa. (*0 3 K) 7.33 Peiodo (inuti) 96. putnik II Exploe I Vanguad I ExploeIII putnik III A. Roeo Meccanica e Onde- Gavitazione 5