Urti tra due punti materiali

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1 Uti ta due punti ateiali URTO: eento isolato nel quale una foza elatiaente intensa agisce pe un tepo elatiaente bee su due o più copi in contatto ta loo isultato di un contatto fisico F F isultato di una inteazione ta paticelle p He eteo-cate Le foze che, coe nel caso di un uto agiscono pe un tepo bee ispetto al 00 tepo di osseazione Uti su scale diese sono chiaate foza ipulsie A. Roeo Dinaica VII - Uti t 4 s α Ν

2 Uti ta due punti ateiali L oggetto L esecita su R una foza F(t) L oggetto R esecita su L foza F(t) F(t) può aee un intensità che aia nel tepo Nelle figue sono appesentati due possibili andaenti di F(t). L azione della foza si esplica nell inteallo τ t -t Le foze ipulsie che si anifestano duante un uto sono intene al sistea dei due punti ateiali inteagenti In assenza di foze estene si eifica duante l uto la conseazione della quantità di oto totale τ P P in,in +,in,fin +,fin Pfin Duante l uto la quantità di oto del cento di assa iane inaiata: P ( + ) P P costante CM in fin τ A. Roeo Dinaica VII - Uti

3 Uti ta due punti ateiali Il oto del cento di assa non iene alteato dall uto. Vaiano inece le quantità di oto di ciascun punto ateiale pe l effetto dell ipulso della foza di inteazione t f p f J F( t) dt dp p p t t i p i F ( t) dt F ( t) dt,fin,in J, Dato che : t P t F (E) ( t) F F, dt, t (E) F, p J J, J, e J,, pia consideati, pe le foze intene ipulsie che, t A. Roeo Dinaica VII - Uti 3 si siluppano nell uto, si possono sciee: τ f i,fin,in J, t t, p Le aiazioni di quantità di oto sono uguali ed opposte La conseazione della quantità di oto totale è possibile in pesenza di foze estene? Si se la duata dell ipulso τ è sufficienteente piccola e le foze estene non sono ipulsie. Infatti la aiazione della quantità di oto totale douta alle foze estene: J t F ( t) dt F τ

4 Uti ta due punti ateiali Conseazione della quantità di oto J t t F ( t) dt F τ τ τ F : alo edio della foza ipulsia nell inteallo τ Dato che J assue un aloe finito e che τ è olto bee, F può assuee aloi esteaente gandi, ispetto a cui F (E) è cetaente tascuabile La foza estena, se non è ipulsia, non odifica i singoli ipulsi duante l uto e quindi iane ea l uguaglianza J, -J,, e alida la conseazione della quantità di oto totale Nel caso dell uto la conseazione del oento angolae non aggiunge alcuna infoazione Infatti: duante l uto e quindi se Pin Pfin τ L in P in L fin P fin Nel caso dell uto il pincipio di conseazione della quantità di oto ed il pincipio di conseazione del oento angolae sono equialenti A. Roeo Dinaica VII - Uti 4

5 Uti ta due punti ateiali Enegia A pioi non è noto se le foze intene sono conseatie. Non si può assuee la conseazione dell enegia eccanica del sistea duante l uto nè che l Enegia cinetica si consei Dato che la posizione dei punti non aia nell uto, eentuali enegie potenziali non aiano nell uto e quindi: E E k L enegia cinetica del sistea può essee espessa utilizzando il secondo teoea di Konig: E k + ( + ) CM E' k Enegia cinetica del cento di assa: non aia se ale la conseazione della quantità di oto Enegia cinetica dei due punti ispetto al sistea del cento di assa. E ' k ' + ' Può ianee costante o aiae a seconda che le foze intene siano conseatie o non siano conseatie A. Roeo Dinaica VII - Uti 5

6 Sistea del laboatoio e sistea del cento di assa Sistei di ifeiento in cui può essee studiato l uto: Sistea del laboatoio (sistea ineziale) Sistea del cento di assa Legae ta le elocità nei due sistei, in qualsiasi istante: + ' CM ' + CM Coe già diostato, nel sistea del cento di assa, la quantità di oto totale è nulla: ' + ' ' + 0,in,in,fin ',fin p' p',in p',in,fin p',fin Dal cento di assa si edono i punti aiae eso il cento di assa con quantità di oto uguali in odulo ed opposte in eso. I punti si utano nella posizione occupata dal cento di assa e ipatono dopo l uto con quantità di oto ancoa uguali in odulo ed opposte in eso. In geneale pe ogni punto : p A. Roeo Dinaica VII - Uti 6 in ' fin p'

7 Uto copletaente anelastico L uto si chiaa copletaente anelastico quando i due punti estano attaccati dopo l uto, foando un unico copo puntifoe di assa + Se e sono le elocità dei due punti pia dell uto e la elocità coune iediataente dopo l uto si ha: ( + )' + ( + ) CM Le aiazioni di quantità di oto dei singoli punti sono: CM p p ( + + Subito dopo l uto i due punti si uoono con la elocità che aea il cento di assa un istante pia dell uto ( CM esta inaiata nell uto) CM ) CM Si eifica dalla elazione sopa, che queste due aiazioni sono uguali ed opposte: + ( + ) CM ( CM ) (CM ) A. Roeo Dinaica VII - Uti 7

8 Uto copletaente anelastico Enegia cinetica pia dell uto: E k,in + ( Enegia cinetica + )CM + E' k Applicando il teoea di Konig Enegia cinetica dopo l uto: E + k,fin ( ) CM < E k, in Enegia cinetica nel sistea del cento di assa In un uto copletaente anelastico, l enegia totale diinuisce. L enegia che iene assobita è E k e coisponde all enegia cinetica ispetto al cento di assa che i punti hanno pia dell uto : E k E k,fin E k,in NOTA: Doe finisce l enegia pesa?. E' k ( + ) CM I due copi duante l uto si defoano in odo peanente e estano copenetati. Il laoo copiuto, a spese dell enegia cinetica iniziale, pe fae aenie la defoazione non iene più ecupeato, oeo le foze intene che si siluppano non sono conseatie.

9 Esepio Un poiettile di assa p 0g si uoe oizzontalente con 400s - e peneta in un blocco di assa b 390g inizialente in quiete su una supeficie pia di attito.quali sono le elocità finali del poiettile e del blocco? y p Pia dell uto in b Dopo l uto b p fin Sol.: o x Quantità di oto totale iniziale P 3 in,x p in,x 0 400g s 4 0 gs 4kg s Quantità di oto totale finale P + fin,x ( p b ) fin, x 400g fin, x 0.4kg fin, x P in,x P fin,x 4kg s 0.4kg fin, x fin,x 0s A. Roeo Dinaica VII - Uti 9

10 Esepio - continuazione y Pia dell uto b Dopo l uto b p in fin p o x NOTA : NOTA : K p in, x 800J K f ( p + b ) fin, x 0J i L enegia non si consea: caloe, defoazione. Qual è la aiazione di quantità di oto del poiettile e del blocco? fin,x 0s Poiettile: P p p p,fin p p,in ( 0 Kg)( 0s ) ( 0 Kg)( 400s ) 3.9Ns Blocco: P ( 0.39Kg)( 0s ) ( 0) b +3.9Ns Opposti! A. Roeo Dinaica VII - Uti 0

11 Esepio: pendolo balistico Dispositio pe deteinae la elocità dei poiettili Una pallottola di assa, che iaggia oizzontalente con elocità,in uta il pendolo di assa ianendoi conficcata. Nessuna foza estena agisce sul sistea. f 0 h,in pe :,in 0 del sistea subito dopo l uto:,fin fin conseazione della quantità di oto P P in,x pe :,in del sistea subito dopo l uto:,fin fin fin,x,in ( + ) fin fin, in + A. Roeo Dinaica VII - Uti

12 Esepio: pendolo balistico - continuazione f 0 del sistea subito dopo l uto: fin,in fin +, in h Teinata la collisione, il pendolo con la pallottola inizia ad oscillae aggiungendo un altezza h, isuata ispetto alla posizione di equilibio, tale che l enegia potenziale eguagli l enegia cinetica del sistea subito dopo l uto Conseazione dell enegia eccanica ( + ) gh ( + ) fin,in ( + ),in + gh A. Roeo Dinaica VII - Uti

13 Esecizio: uto copletaente anelastico Un blocco di kg pate da feo, senza attito, lungo un piano inclinato di ispetto al piano oizzontale dall altezza di 0,65. All aio, sul piano a quota zeo, uta, attaccandoisi, un blocco di assa 3,5 kg. I due blocchi congiunti slittano pe una distanza di 0,57 sul piano oizzontale fino ad aestasi. Qual è il coefficiente di attito della supeficie oizzontale? kg h0,65 3,5 kg Sol.: 0,57 Moto del blocco di kg Pe toae la elocità finale di, pia dell uto con applichiao la conseazione dell enegia gh ( ) fin fin + + gh 9,8 0, 65 3,57 s Subito dopo l uto i due punti blocchi si uoono insiee con la elocità ( f ): 3,57 5,5,3 s fin,3 s 3

14 kg Esecizio: continuazione h0,65 3,5 kg fin,3 s Moto dei due blocchi l 0,57 Dall istante dopo l uto i due blocchi si uoono sul piano oizzontale con elocità iniziale f e deceleazione costante data dall attito dinaico: Utilizzando il legae ta aiazione dell enegia cinetica e laoo E W k at f µ k 0, 5 l g ( + ) µ ( + )g l f k A. Roeo Dinaica VII - Uti 4

15 h0,65 kg 3,5 kg Esecizio: continuazione Utilizzo le equazioni del oto fin,3 s Moto dei due blocchi l 0,57 Dall istante dopo l uto i due blocchi si uoono sul piano oizzontale con elocità iniziale f e deceleazione costante data dall attito dinaico: Utilizzando le equazioni del oto unifoeente deceleato: fk a µ k g a µ g k (t) x(t) f at Pe x(t)l, (t)0 f t at 0 f ( µ kg)t l f t µ ( g) t k t µ l f k f g µ k f g ( µ g) k µ k f g l µ f k g f µ k 0, 5 lg A. Roeo Dinaica VII - Uti 5

16 Uto elastico Si definisce uto elastico, un uto duante il quale si consea anche l enegia cinetica del sistea Le foze intene sono conseatie. I due copi che utano subiscono, duante l uto, delle defoazioni elastiche, ipendendo la configuazione iniziale subito dopo l uto. Nell uto elastico sono dunque alide le equazioni: P fin P in E E k,fin k,in Sistea di ifeiento del laboatoio Sistea di ifeiento del cento di assa 6

17 Uto elastico Caso unidiesionale I due copi si uoono pia e dopo l uto elastico lungo la stessa diezione. Supponendo di conoscee le asse e le elocità iniziali dei due copi che utano, attaeso le due equazioni di conseazione: possiao icaae il aloe delle due elocità finali incognite: P in P fin in in fin + fin + ( + ) CM P fin P in E E k,fin k,in E E k,fin k,in in + i, in, fin +, fin,fin ( ),in + +,in Sistea del laboatoio Sistea del cento di assa,fin,in + ( + ),in A. Roeo Dinaica VII - Uti 7

18 Sistea del laboatoio Uto elastico Caso unidiesionale,fin,fin ( ),in +,in + + ( ),in +,in Attenzione ai segni delle elocità!pendendo coe ifeiento il eso di,in, alloa,in a consideata con segno positio se è concode a,in, o negatio se è discode. Segno delle elocità finali: - positio elocità concode a,in - negatio elocità discode a,in Nel sistea del cento di assa pe l uto elastico si icaa: ',fin ',fin,in,in Sistea del cento di assa Velocità e quantità di oto di ciascun punto iangono inaiate in odulo, cabiano solo il eso 8

19 Esepio uto elastico Un neutone di assa uta fontalente, in odo elastico un besaglio costituito da un nucleo atoico di assa inizialente feo. Qual è la diinuzione pecentuale dell enegia del neutone? Fae il calcolo nei casi in cui il nucleo besaglio sia: ) Piobo; (assa atoica: A06) ) Cabonio; (assa atoica: A) 3) Idogeno. (assa atoica: A) Sol.: E,in k,in Ek,,in,in E k,,fin E k,,in E k,, fin + ( ),fin,in,in doe in questo caso,in 0,fin, in + + k,,fin 4, i E 4 k,,fin 4, fin Ek,,fin E ( ) k,,in + ( ) E ( ) + k,,in + E, fin Caso: ) Caso: ) Caso: 3) A 06: 06 A : A : E E E E E E k,,fin k,,in k,,fin k,,in k,,fin k,,in 4 ( + ) 4 ( + ) 4 ( + ) , 0 ( 07) ( 3) % 4 0, 8 8% 4 00% ( )

20 Uti ta punti ateiali e copi igidi e uti ta copi igidi Riassunto pe la isoluzione degli esecizi: Se uto è elastico Conseazione dell enegia cinetica Se agiscono solo foze intene o quelle estene non sono ipulsie Conseazione della quantità di oto totale Se esiste un incolo che tiene feo un punto del copo igido Esiste una foza estena di tipo ipulsio La quantità di oto non si consea Se agiscono solo foze intene o quelle estene non sono ipulsie Conseazione del oento angolae L, indipendenteente dalla scelta del polo O Se agiscono foze estene, il cui oento Conseazione del oento angolae L M è nullo ispetto ad un dato polo calcolato ispetto allo stesso polo O Quando il copo utato è incolato, il sistea di incoli può esplicitae, duante l uto, un sistea di foze di isultante R e un oento isultante M. L effetto coplessio nel beissio tepo di duata dell uto è dato dall ipulso della foza e dall ipulso angolae: J dt Mdt R J A. Roeo Dinaica VII - Uti 0

21 Esecizio uti ta punti ateiali e copo igido Una sbaa oogenea di lunghezza L e assa M, è sospesa nel punto O ed è libea di uotae nel piano eticale attono ad un asse oizzontale passante pe tale punto. Inizialente la sbaa è inclinata di un angolo θ 0, ispetto alla diezione eticale (edi figua) e da questa posizione ad un dato istante iene lasciata cadee. Raggiunta la posizione eticale essa colpisce, una assa puntifoe appoggiata sul piano. Nell ipotesi in cui l asta uoti attoni ad O senza attito e che l uto con la assa sia copletaente anelastico, calcolae: A. Il odulo della elocità angolae ω 0 con cui la sbaa uta la assa appoggiata sul piano. B. L angolo θ fin, ispetto alla diezione eticale, del quale si sposta la sbaa, in seguito all uto con la assa puntifoe. θ 0 A. Roeo Dinaica VII - Uti

22 Esecizio uti ta punti ateiali e copo igido L h θ 0 Sol.: Il oto della sbaa può essee scheatizzato in 3 fasi:. fase di discesa della sbaa. uto copletaente anelastico con 3. isalita del sistea sbaa + assa Fase : E possibile applicae la conseazione dell enegia eccanica pe la sbaa ta l istante iniziale in cui la sbaa è fea a θ 0 ispetto alla diezione eticale e l istante finale iediataente pecedente all uto con la assa : E + E E + E 0 + Mgh k,in p,in k,fin p,fin h L L cosθ 0 L Iω Mg + L Mg L cosθ0 0 ω0 + I I 0 ML 3 Mg L Mg L L cosθ0 ω0 ML 3 L + Mg 3g 0 cos L ω ( θ ) A. Roeo Dinaica VII - Uti 0

23 Esecizio uti ta punti ateiali e copo igido Sol. - continuazione: Fase : Duante l uto si ha la CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE TOTALE del sistea baa+assa ispetto al polo O: L h θ 0 Lin (sbaa) + Lin () Lfin (sbaa + ) I0 ω0 + 0 I 0 ML 3 (I 0 + L ) ω' ω ' 3 ML 3 ML + L ω 0 A. Roeo Dinaica VII - Uti 3

24 Esecizio uti ta punti ateiali e copo igido Sol. - continuazione: L θ 0 Fase 3: Duante la isalita del sistea sbaa + si ha la CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA h Ek,in (sbaa + ) + E p,in (sbaa + ) E k,fin (sbaa + ) + E p, fin (sbaa + ) ( I + L ) 0 ω' + Mg L L 0 + g (L Lcos θ fin ) + Mg (L cos θ fin ) ( cos θ fin ) ( I + L ) 0 M ω' + gl θ fin A. Roeo Dinaica VII - Uti 4