1. Si considerino: l insieme A degli iscritti all Università di Pavia e l insieme B dei residenti a Pavia. Descrivere

Transcript

1 . Si considerino: l insieme A degli iscritti all Università di Pavia e l insieme B dei residenti a Pavia. Descrivere A B, A B, A \ B, B \ A.. Si considerino: l insieme A dei multipli di e l insieme B dei multipli di 5. Descrivere l insieme A B. Come sarebbe l insieme A B se B fosse costituito dai multipli di 6 anziché di 5? 3. Un piccolo albergo dispone di 3 piani con stanze ciascuno. La stanza numero n del piano numero m è etichettata come (m, n). Un sisma rende inagibili le stanze (m, n) con n + m =. Descrivere l insieme delle stanze inagibili e l insieme complementare.. Eseguire le operazioni indicate: a) 8 3 ( 3 ), b) , c) ( 8 ( ) 3) ( 0.5), d) 7 ( ) ( ) Porre in ordine crescente i seguenti numeri razionali: a) 0.88, b) (.), c) 0.8, d) 3, e) 5, f) n n +, g) n + n +, h) 6, i) Sono vere le seguenti disuguaglianze? a) ( 3 ) 6 5 ; b) c) ( n ) n. + 3 ( + ) 0.5; 8 7. Scrivere in forma decimale i seguenti numeri reali: a) 3 ; b) ; c) ; d) 00 7 ; e) (0.3)3 ; f) ( 5).

2 8. Trasformare la seguente espressione riducendola ad una sola linea di frazione: a + b a x + b. y 9. È vero che: a + b ab b a a b = a b ab + b? 0. Qual è la differenza tra l area di un rettangolo di dimensioni a + e b + e l area di un rettangolo di dimensioni a e b?. Se la base di un rettangolo aumenta del 0% e l altezza diminuisce del 0% qual è in percentuale la variazione dell area?. Semplificare le seguenti espressioni: (x + y) (x y ) + (x y) ; ( a + a + a a + ) : a+ a ; x x xy + y x ; xy + a+8 a+ 9+a a+a a + a +. a a 3 3. Riconoscere che le seguenti espressioni sono il quadrato di una espressione: a + a b + b ; x + 0x + 5; x + + x.. Fattorizzare le seguenti espressioni: a b + 6a + 3b; a + b + a + b + ab a + 6a + 9 b. 5. La frazione a b a è uguale a: b a) a 6 b 6 ; b) a b ; c) a + b ; d) a + b ; e) a b.

3 6. Semplificare: a) ( a + b ) ; b) ( a b ) (b a) ; c) ( + a ) + ( + a). 7. Qual è il maggiore fra i numeri 5 /3 e 3 /? 8. Porre in ordine crescente i seguenti numeri reali: () 3, 8 / 3, ( ) /, ( ) ()., 8 9. Calcolare: ( ( 8 a ) /3 ) 3 3, 3 quando a =. 0. Siano a, b due numeri reali positivi. i) 3 (a + b ) 3/ a b = 0? È vero che: ii) se a > b allora a + b a b 3 (a b ) 3/ = 0? iii) 3 (a + b ) 3/ a b 0?. Individuare il rapporto che deve sussistere fra i lati di un rettangolo affinché lo si possa dividere in due parti rettangolari uguali fra loro e simili al rettangolo originario.. (Sezione aurea) Individuare il rapporto che deve sussistere fra i lati di un rettangolo affinché da esso si possa togliere un quadrato ottenendo un rettangolo simile al rettangolo originario. 3. Un numero naturale di due cifre è tale che, moltiplicandolo per il numero che si ottiene scambiando le cifre si ottiene 9. Se la somma delle cifre è 9, qual è il numero?. Risolvere le seguenti disequazioni: a) x 3x + > 0 b) 3x x < 0 c) x (x )(x + 3) < 0 d) > 0 x x e) (x x + 3)(x + 5) < 0. 3

4 5. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni: a) x 3x > 0; b) x(x 3x ) > 0; c) x x 3x < 0; d) x3 x Risolvere le seguenti disequazioni e sistemi di disequazioni: a) 3x 7x + < 0; b) x 3x + > 0; c) { x > 0 ; d) x < 0 + x <. 7. È vero che: a) (a + ) (a ) 0 per ogni a R? b) a [ (a + ) (a ) ] 0 per ogni a R? 8. Determinare il punto di intersezione delle rette di equazione: x + y 3 = 0, x 3y + = Stabilire se le seguenti terne di punti sono allineate: (5, ), (0,, ), ( 0, ); ( 5, 0), (0, 6), (3, 3). 30. Verificare che i seguenti punti costituiscono i vertici di un parallelogramma: A = (0, ), B = (, 0), C = (6, ), D = (, 3). Calcolare inoltre il perimetro del parallelogramma. 3. Individuare gli eventuali punti di intersezione fra la retta r di equazione x y + 3 = 0 e la circonferenza C di equazione x + y = Determinare quel valore α > 0 per il quale il perimetro del quadrilatero di vertici i punti ( 3, ), (3, ), (0, 0) e (0, + α) è 0.

5 33. Per quali valori di α > 0 l insieme: {(x, y) : x + y < α} {(x, y) : x + y > } non è vuoto? Esercizi vari 3. Semplificare le seguenti espressioni: a) (a ) a + ; b) a b a b ; c) a 3 a. 35. È vero che: a) (a ) 3 = ( a /a 3) 6 b) {x R : x < 3/} 3 c) x < x < 36. Verificare che se ( r + r ) = 3 allora r 3 + r 3 = Date le due frazioni 3 7 e 5, trovare una frazione che sia strettamente compresa fra esse. 38. Un azienda, in un momento di difficile congiuntura, abbassa lo stipendio di tutti i dipendenti dell 8%; superata questa difficoltà, alza tutti gli stipendi dell 8%. Come è, dopo di ciò, la situazione dei dipendenti? 39. Se.3 x.5 ed è.6 y., fra quali limiti sono compresi i numeri x + y, x y, xy e x/y? 0. Semplificare la seguente espressione: (y x )(y + x ) y + x.. Trasformare (se possibile) le seguenti espressioni in somme di quadrati: 3x xy + y ; 3x 6xy + y.. Dati due numeri positivi a e b, è più grande la loro media aritmetica a+b o la loro media geometrica ab? 5

6 3. Il numero 0.9 è uguale a: a) 0.3: b) 0.8; c) un numero compreso fra 0.8 e 0.9; d) un numero compreso fra 0.9 e.. Posto K = 98075/78356, risulta: a) 0 < K < 0 ; b) 0 3 < K < 0 ; c) 0 < K < 0 3 ; d) 0 5 < K < 0 ; 5. Si stima che attualmente la popolazione mondiale aumenti dell,7% ogni anno. Indicata con P la popolazione mondiale attuale e con Q la popolazione mondiale stimata tra un anno, il legame fra P e Q è espresso da: a) Q =, 007P ; b) Q =, 07P ; c) Q =, 7P ; d) Q =, 7P ; 6. Ogni diagonale di un cubo di lato m misura: a) m; b) 3 m; c) 3 3 m; d) 3 m; 7. Eseguire la divisione con resto fra i seguenti polinomi: a) A(x) = x 5 3x + 5x +, B(x) = x 3 + 3; b) A(x) = x 3 +, B(x) = x + ; c) A(x) = 3x + x 3 5x 6, B(x) = x Calcolare la lunghezza del lato del triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio r. 6