Corso di Laurea in Economia. Metodi Matematici per l economia Gruppo B

Transcript

1 Università degli studi di Ferrara Insiemi. Corso di Laurea in Economia Metodi Matematici per l economia Gruppo B Esercizi sulle nozioni di base. Dati gli insiemi A = {, } e B = {,, }, calcolare A B e B A.. Dati gli insiemi A = {,, } e B = {, 5}, determinare A B e A B.. Verificare che {,, } {, 5} {, 5} {,, }.. Dato l insieme A = {,, }, quali delle seguenti scritture sono corrette? 5. Scrivere tutti i sottinsiemi di A = {a, b, c}. A, / A, {} A, {} A. 6. Dati gli insiemi A = {a, b, c, d} e B = {d, e}, determinare A\B. Dipartimento di Matematica e Informatica 7. Dati gli insiemi A = {x : x 5} e B = {x : 0 x 6}, trovare A B. 8. Se A B allora B c A c. Vero o falso? Calcolo algebrico. Semplificare le seguenti espressioni: a) ( xy) ( xy) ( 9x y ) + 5 x y ( xy) ( a7 a( a ) + a9 : ( ) a) ( ( ) : a) a : ( a) c) ( ( x ) : (x 6 ) 8 x y : x y ) :. Svolgere i seguenti prodotti: a) ( a + 7 b c ) ( a 7 b c ) 5 ( a b 5 )( + a b 5 ) ( a b 5 ) ( a b 5 +. Eseguire le seguenti divisioni: a) ( x + x 5 ) : (x x + ) ( ( ) x x + x + ) : x. Scomporre in fattori, mediante raccoglimento parziale a fattor comune, i seguenti polinomi: a) ax bx + ay by x x + x )

2 c) x + xy + x xb yb b 5. Ridurre ai minimi termini le seguenti frazioni algebriche nel loro dominio: a) x x x+x x 8 x x+ 6. Eseguire le seguenti moltiplicazioni: Radicali a) x +6x+9 x +x+ x x x+ x 9 ( + x y x+y ) ( x+y x y ) x y x y. Semplificare i seguenti radicali: a) a a +. Eseguire le seguenti moltiplicazioni supponendo che siano verificate le condizioni di esistenza dei radicali: a) 6 a 5 a 5 a. Eseguire le seguenti divisioni supponendo che siano verificate le condizioni di esistenza dei radicali: 6a a) b b : 9c d 5c d a a : a(a + ) 9c d Equazioni. Risolvere le seguenti equazioni: a) x 5 x + = (x + )(x ) 6 x ax b a = bx a b, a 0, b 0 c) x x = x x 7 d) + x = x (x ) x x. Risolvere le seguenti equazioni: a) x x + x x = x x 5x+6 x x 5 + x 5 x = x 8x+5 c) x x +x + x+ x x+ + x+6 x +x 8 = 0 d) x +5x+6 = x+ x+5 x x+. Risolvere le seguenti equazioni:

3 a) x + 7x + 7x + = 0 x x 6x x + = 0. Risolvere le seguenti equazioni: Disequazioni a) x + = x + x + = c) x + 0x + 7 x = d) 8 x + = 6 e) x + x + x + = x + f) x + 5x + + x + = 0. Risolvere le seguenti disequazioni: a) x < (x ) x < ( 0 x) c) (x+) + (x+)(x ) x (x + ) x. Risolvere le seguenti disequazioni: a) (x )(x ) > 0 (x 50) x(x + ) c) x + x > (x + )(x ). Risolvere le seguenti disequazioni: a) x > x + x +x < x c) x x+ x x. Risolvere le seguenti disequazioni: a) x x < x + x > 5 c) x < +x 5. Risolvere le seguenti disequazioni: a) x x 0 < x x + x x + 8 > x + c) 5 x < 6x d) x > x + 5

4 Esponenziali e Logaritmi. Calcolare il valore della seguente espressione: log a a a ( 5 a a), a > 0. Scrivere ( come logaritmo di un unico termine la seguente espressione: (log a + log ) log ) ( log b log 5 + log a), a, b > 0. Risolvere la seguente equazione esponenziale: x+ = 8. Risolvere la seguente equazione esponenziale: x+ = 5. Risolvere la seguente equazione esponenziale: ( x ) x ( = ) x 6. Risolvere la seguente equazione logaritmica: log a (x 5) + log a (x + 7) = log a, a > 0, a 7. Risolvere la seguente equazione logaritmica: log(x + ) log(x + x ) = 0 Geometria analitica del piano. Scrivere le equazioni delle rette su cui si trovano i lati del triangolo di vertici A(0, 0), B(, ), C(, 7).. Trovare la distanza di P (, 0) dalle rette r di equazione x y = ed s di equazione y = x. Le due rette si intersecano?. Scrivere l equazione della circonferenza che passa per A(, ), B(, 5) e ha centro nel loro punto medio.. Scrivere l equazione della parabola passante per P (, ) e con vertice V (0, 0). 5. Data la retta di equazione (m )x + y + = 0, trovare m affinchè la retta sia perpendicolare alla retta di equazione y = x. 6. Dopo avere disegnato la retta di equazione y = x + e la circonferenza di equazione (x ) + (y ) =, trovare i loro punti di intersezione. 7. Il costo per la stampa di un giornale in funzione delle copie stampate x è y = C(x) = ax + b con a, b R. Se stampare 0000 copie costa 5000 Euro e stamparne 5000 costa 6000, quanto costa stampare 5000 copie del giornale? 8. Il profitto determinato dalla vendita di un certo prodotto è rappresentato da y = p(x) = x(50 x) 00 in funzione della quantità x del prodotto. Qual è il profitto massimo? Progressioni. Calcolare 50 k=0 (k). Calcolare k=0 ( + k). Calcolare n ( k k=0 ). Calcolare n k= ( )k

5 5. Usare il simbolo di sommatoria per scrivere: Usare il simbolo di sommatoria per scrivere: Dire se la seguente uguaglianza è vera o falsa: 00 k= k = 0 k= (k + ) 8. Dire se la seguenti uguaglianze sono vere o false: n i= (αx i + βy i ) = α n i= x i + β n i= y i n i= αx i = α n n i= x i n i= (x i + y i ) = n i= x i + n i= y i Proporzioni, percentuali e scale. Una scatola a forma di parallelepipedo rettangolo di lati a, b, c viene riempita con una certa sostanza. Si aumenta del 0% ogni sua dimensione. Di quanto è aumentato il volume della scatola? Quanta sostanza in più, in termini percentuali, serve per riempire ora la scatola?. Si vogliono corrispondere 00 Euro netti per una prestazione occasionale. La tassazione relativa a tale prestazione è del 0%. Qual è il costo reale per l azienda?. Uno studente universitario paga 500 Euro di tasse l anno che rappresentano il 0% della spesa sostenuta dall Ateneo per la sua formazione. A quanto ammonterrebbero le tasse se il governo decidesse di coprire il 50% dei costi dell Ateneo?. Un libraio riceve libri scolastici da una casa editrice che gli accorda lo sconto del 5% sul prezzo di copertina. Le spese accessorie, pari a Euro 0, sono a carico del libraio che spende in tutto 790 Euro. Qual è il prezzo di vendita al pubblico di ogni libro? 5. Su un libretto di risparmio viene corrisposto l interesse lordo annuo dell.5%. Tenendo presente che lo stato applica un imposta del 7% sul capitale, qual è il rendimento netto? 6. Gli inquilini di una casa composta da appartamenti decidono di suddividere le spese di riscaldamento che ammontano a Euro 00 in parti direttamente proporzionali al numero dei vani di ciascun appartamento. Quanto dovranno pagare gli inquilini se gli appartamenti hanno, 6,, locali? Estremi, intervalli e intorni.. L intersezione dei due intervalli [, 7) e (7, 9] è (a) l insieme vuoto, ( (, 9), (c) {7}, (d) non ha senso.. L unione dei due intervalli [, 7) e (7, 9] è (a) [, 9], ( [, 9]\{7}, (c) non ha senso.. Dire se l insieme A = {x R : a < x b, a, b R}è limitato inferiormente o superiormente ed, in caso affermativo, trovare l estremo inferiore o l estremo superiore. Sono minimi o massimi?. Dire se l insieme A = {x R : < x < } {}è limitato inferiormente o superiormente ed, in caso affermativo, trovare l estremo inferiore o l estremo superiore. Sono minimi o massimi? 5

6 5. Dire se l insieme A = {,,,,...}è limitato inferiormente o superiormente ed, in caso affermativo, trovare l estremo inferiore o l estremo superiore. Sono minimi o massimi? 6. Dire se l insieme A = {x R : x}è limitato inferiormente o superiormente ed, in caso affermativo, trovare l estremo inferiore o l estremo superiore. Sono minimi o massimi? 7. Dire se l insieme A = {x R : x < 9}è limitato inferiormente o superiormente ed, in caso affermativo, trovare l estremo inferiore o l estremo superiore. Sono minimi o massimi? 8. Indica con la notazione degli intervalli l insieme A = {x R : x > } 6