ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la curva k di equazione y = f (x), dove è: f (x) = x + x + a) Determinare per quali valori di x essa è situata nel semipiano y > e per quali nel semipiano y <. b) Trovare l equazione della parabola passante per l origine O degli assi e avente l asse di simmetria parallelo all asse y, sapendo che essa incide ortogonalmente la curva k nel punto di ascissa (N.B.: si dice che una curva incide ortogonalmente un altra in un punto se le rette tangenti alle due curve in quel punto sono perpendicolari). c) Stabilire se la retta tangente alla curva k nel punto di ascissa ha in comune con k altri punti oltre a quello di tangenza. d) Determinare in quanti punti la curva k ha per tangente una retta parallela all asse x. e) Enunciare il teorema di Lagrange e dire se sono soddisfatte le condizioni perché esso si possa applicare alla funzione f (x) assegnata, relativamente all intervallo x. PAROLE CHIAVE Informazioni Essa incide ortogonalmente la curva k nel punto di ascissa Relativamente all intervallo x Obiettivi Determinare per quali valori di x Trovare l equazione della parabola passante Stabilire se la retta ha in comune con k altri punti Determinare in quanti punti la curva k ha per tangente una retta parallela all asse x 5 Enunciare il teorema di Lagrange Dire se sono soddisfatte le condizioni perché esso si possa applicare alla funzione f(x) assegnata

2 La funzione assegnata f (x) = x + è definita per tutto l insieme dei numeri reali ad esclusione di x = ed è positiva per x >, mentre è negativa per x <. x + x + x + > + Figura obiettivo La parabola richiesta, del tipo y = ax + bx + c, deve verificare tre condizioni: a) passare per l origine degli assi cartesiani; b) passare per il punto di ascissa cioè per il punto (, ); c) avere la tangente in quel punto perpendicolare alla retta tangente alla f (x). Quindi c = per la prima condizione = a b per la seconda condizione a + b = per la terza condizione; infatti f (x) = x(x + ) (x + ) x = x x + x (x + ) (x + ) e quindi il coefficiente angolare della tangente a f (x) in x = è f ( )= ; il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola nello stesso punto è è opposto e reciproco, cioè. c = Risolvendo il sistema a b = siottiene a =, b = 7 e c =. a + b = La parabola richiesta è y = x 7 x. obiettivo Per determinare se la retta tangente alla curva k nel punto di ascissa ha in comune con k altri punti oltre quello di tangenza si deve risolvere il sistema formato dalla retta tangente e f (x). La retta tangente ha equazione y = (x + ) cioè y = x 8; il sistema da risolvere è: y = x 8 y = x + x + che fornisce l equazione x + 8x + x + x +8 =. 7 SCIENTIFICO

3 Ricordando che si ha una soluzione doppia per x =, per la tangenza, l equazione si può scrivere (x + ) (x x + 8) =. Poichè l equazione x x + 8 = ha il discriminante negativo si può concludere che non vi sono ulteriori intersezioni. obiettivo Per determinare in quanti punti la curva k ha per tangente una retta parallela all asse x si ricercano i punti per cui è verificata la condizione f (x) =, f (x) = x x + x = ; si deve risolvere l equazione x(x + x ) =, cioè x = e (x + ) (x + x ) =. Risolviamo l equazione cubica con il metodo grafico: x + x = ; x = x +, quindi y = x y = x + y O x Quindi la curva k ha tangenti parallele all asse x nei punti Figura x = ex = x < x < obiettivo Teorema di Lagrange Se f (x) è una funzione continua nell intervallo chiuso e limitato [a,b] e derivabile nell intervallo aperto (a,b), esiste almeno un punto x (a,b) tale che f (x ) = f (b) f (a) b a Poichè la funzione in esame non è definita per x =, valore che appartiene all intervallo assegnato [,] viene a mancare la condizione della continuità nell intervallo chiuso per poter applicare il teorema di Lagrange. obiettivi 5, 8

4 PROBLEMA Si considerino le lunghezze seguenti: [] a + x, a x, a x, dove a è una lunghezza nota non nulla ed x è una lunghezza incognita. a) Determinare per quali valori di x le lunghezze [] si possono considerare quelle dei lati di un triangolo non degenere. b) Stabilire se, fra i triangoli non degeneri i cui lati hanno le lunghezze [], ne esiste uno di area massima o minima. c) Verificato che per x = a le [] rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo, descriverne la costruzione geometrica con riga e compasso e stabilire se si tratta di un triangolo rettangolo, acutangolo o ottusangolo. d) Indicato con ABC il triangolo di cui al precedente punto c), in modo che BC sia il lato maggiore, si conduca per A la retta perpendicolare al piano del triangolo e si prenda su di essa un punto D tale che AD sia lungo a: calcolare un valore approssimato a meno di un grado (sessagesimale) dell ampiezza dell angolo formato dai due piani DBC e ABC. PAROLE CHIAVE Informazioni a è una lunghezza nota non nulla ed x è una lunghezza incognita Triangolo non degenere Verificato che per x = a In modo che BC sia il lato maggiore 5 Approssimato a meno di un grado (sessagesimale). Obiettivi Determinare per quali valori di x le lunghezze Stabilire se fra i triangoli ne esiste uno di area massima o minima Verificato che per x = a Descriverne la costruzione geometrica con riga e compasso 5 Stabilire se si tratta di un triangolo rettangolo, acutangolo o ottusangolo Calcolare un valore dell ampiezza dell angolo formato dai due piani DBC e ABC. 9 SCIENTIFICO

5 Dalle informazioni e si hanno i limiti a > e x > e poichè le [] rappresentano lunghezze, lati di un triangolo non degenere, si hanno le condizioni: a + x > a x > che danno a cioè < x < a. < x < a, a x > Il lato maggiore è a + x mentre il minore è a x. Perché le [] siano le lunghezze dei lati di un triangolo non degenere devono sussistere le condizioni: a + x < a x + a x un lato è minore della somma degli altri due; un lato è maggiore a + x > a x a + x della differenza degli altri due. Risolvendo il sistema si ha x < a ; quindi per < x < a le [] rappresentanole lunghez- x > ze dei i lati di un triangolo non degenere. obiettivo Per ottenere l area del triangolo si applica la formula di Erone A = p(p a)(p b)(p c) avendo indicato con p il semiperimetro del triangolo e con a,b,c le misure dei tre lati. Nel nostro caso il perimetro p = a + x + a x + a x = a e il semiperimetro p = a, mentre gli altri fattori sono: a (a + x) = a x a (a x) = a + x a (a x) = x. L area è e la sua derivata A(x) = a(x + ax a ) A(x) = a(a x)(a + x)x a(a x)(a + x)x si annulla per ed è positiva per a a 7 x = a ± a 7 < x < a + a 7 ; considerando i limiti del problema si ha che per x = a + a 7 l area è massima. a a 7 a + a 7 a x + ax a obiettivo + Figura 5

6 Per x = a poichè < a le [] rappresentano i lati di un triangolo non degenere. < a,, Le lunghezze dei lati in questo caso sono: I tre lati si possono esprimere a, a, 7 a. a come multipli della lunghezza quindi nella costruzione geometrica con riga e compasso prima si determina il segmento poi si costruiscono i multipli richiesti:, a a Costruzione del segmento figura Dato il segmento RS si determina il punto medio M : con un compasso si punta in R e ampiezza (raggio) maggiore della metà di RS si traccia una circonferenza; si ripete l operazione per il punto S (centro in S e stessa ampiezza precedente); si traccia il segmento che unisce i due punti di intersezione delle circonferenze ottenendo il punto medio M. Si ripete lo stesso procedimento per ottenere il punto M medio fra R e M ; il segmento RM è la quarta parte di RS. R M M S Figura Costruzione dei lati. Su delle semirette si prendono dei segmenti che risultino essere rispettivamente sette, sei e tre volte il segmento RM, cioè: 7 a, a a. segmento RM). Costruzione del triangolo ABC (figura 5). (Si utilizza il compasso con apertura il A B C Figura 5 5 SCIENTIFICO

7 Una volta riportato il segmento BC, che è 7 a si punta il compasso in B e con apertura, a a ; si traccia una circonferenza; si ripete il procedimento con centro in C e apertura l intersezione delle due circonferenze è il vertice A del triangolo richiesto. Per determinare la tipologia del triangolo in esame si applica il teorema di Carnot: BC = AB + AC AB AC cosbâc. cosbâc= 9 a + a 9 a quindi l angolo BÂC è ottuso e il triangolo è ottusangolo. a a = 9 obiettivi,, 5 D A H C Figura L altezza AH relativa al lato BC si ricava con la formula inversa dell area del triangolo ABC: AH = Area(ABC ). BC Con la formula di Erone si ha Area(ABC ) = a a 5 a a = 5 a. 5 AH = a 5 = 7 a 7 a. AD Quindi tg DĤA = da cui DĤA 57. AH = a = a, B obiettivo 5

8 QUESTIONARIO. Il rapporto fra la base maggiore e la base minore di un trapezio isoscele è. Stabilire, fornendone ampia spiegazione, se si può determinare il valore del rapporto tra i volumi dei solidi ottenuti facendo ruotare il trapezio di un giro completo dapprima intorno alla base maggiore e poi intorno alla base minore o se i dati a disposizione sono insufficienti. Indicate con B la base maggiore, b la base minore e h l altezza del trapezio, si ha B = b. Il volume del solido ottenuto con una rotazione attorno alla base maggiore è dato dalla somma del volume del cilindro con altezza la base minore e del volume dei due coni la cui altezza totale è b, (ottenuta facendo B b = b b = b): V = πh b + πh b = πh b. Il volume del solido ottenuto con una rotazione attorno alla base minore è dato dalla differenza fra il volume del cilindro con altezza la base maggiore e il volume dei due coni con altezza totale b, (ottenuta facendo B b = b b = b): h b B V = πh B πh b = πh b πh b = πh b. Figura 7 B h b Figura 8 Il rapporto richiesto è V V =.. Due tetraedri regolari hanno rispettivamente aree totali A e A e volumi V e V. A Si sa che V =. Calcolare il valore del rapporto A V A Dal rapporto di similitudine fra le aree =, si ricava il rapporto di similitudine k fra A due spigoli corrispondenti: k =. Il rapporto tra i due volumi è dato dal cubo del V rapporto di similitudine, cioè = V ( ) =. 5 SCIENTIFICO

9 . Considerati i numeri reali a, b, c, d comunque scelti se a > b e c > d allora: A) a + d > b + c; B) a d > b c; a C) ad > bc; D) d > b c. Una sola alternativa è corretta: individuarla e motivare esaurientemente la risposta. La risposta corretta è la B); infatti da c > d si ha c < d cioè d > c e sommando termine a termine questa relazione con la prima data (a > b) si ottiene la B).. Si consideri la seguente proposizione: La media aritmetica di due numeri reali positivi, comunque scelti, è maggiore della loro media geometrica. Dire se è vera o falsa e motivare esaurientemente la risposta. Posti x, y i due numeri reali positivi, la media aritmetica è M a = x + y mentre la media geometrica è M Confrontando le due medie si ha: cioè x + y g = x y. M a > M g > xy (x + y) ed elevando al quadrato (i termini sono entrambi positivi) si ottiene > xy; (x + y) > xy sviluppando si ha x + xy + y > xy, cioè x xy + y >, (x y) >. L ultima relazione è vera purchè x y, quindi l affermazione in questione è falsa (x e y sono comunque scelti!). 5. Determinare, se esistono, i numeri a, b in modo che la seguente relazione: sia un identità. x x = a x + b x + Si scompone il denominatore della prima frazione e si addizionano le frazioni del secondo membro della relazione: a(x +) + b(x ) = ; questa relazione è una identità se, oltre i denominatori, anche i numeratori sono uguali, cioè: (x )(x +) (x )(x +) = x (a + b) + a b; per il principio di identità dei polinomi si ha a = a + b = che risolto dà a b = b =. Si consideri la funzione: f (x ) = (x ) 7 ( x) 5. Stabilire se ammette massimo o minimo assoluti nell intervallo x. La f (x) è continua nell intervallo x. ammette massimo e minimo assoluti nell intervallo Per il teorema di Weierstrass la f (x),. 5

10 7. Calcolare la derivata, rispetto ad x, della funzione f (x) tale che: x + f (x) = ln tdt, con x >. x Una primitiva dell integrale indefinito (integrazione per parti) è: x ln tdt= t ln t t + c quindi f (x) = [t ln t] + x = (x +)ln(x +) x ln x. La sua derivata è f (x) = ln(x +) + x + x + ln x x x + = ln(x +) ln x = ln x x 8. La funzione reale di variabile reale f (x) è continua nell intervallo chiuso e limitato [,] e derivabile nell intervallo aperto (,). Si sa che f () = e inoltre f (x) per ogni x dell intervallo (,). Spiegare in maniera esauriente perché risulta f () 5. Viste le ipotesi del testo, si può applicare il teorema di Lagrange: f (b) f (a) f () f () = f (x ) con a < x < b, che nel nostro caso diventa = f (x ) e b a f () < x <. Poichè f () = si ha: = f (x ); ma dal testo si sa che f (x) f () e sostituendo si ottiene = f (x ) ; ricavando il valore di f () si ha f () cioè f () In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani (Oxy), è assegnato il luogo geometrico dei punti che soddisfano alla seguente equazione: y = x + x. Tale luogo è costituito da: A) un punto; B) due punti; C) infiniti punti; D) nessun punto. Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un esauriente spiegazione della risposta. Ricerchiamo l insieme di definizione della funzione: x x x ; cioè l insieme di definizione è = {, + }. x x Quindi la risposta corretta è la B). 55 SCIENTIFICO

11 . La funzione reale di variabile reale f (x), continua per ogni x, è tale che: dove a, b sono numeri reali. Determinare, se esistono, i valori a, b per cui risulta: f (x)dx = a, f (x)dx = b, f (x)dx = ln e f (x)dx = ln. Posto x = t si ha x = e come limiti: per x si ha t ; per x t, dx = dt si ha t ; per x si ha t. Quindi sostituendo in si ottiene f (x)dx = ln f (t)dt = ln cioè f (t)dt = ln; quindi b = ln. Sostituendo in f (x)dx = ln si ha f (t)dt = ln cioè Per la proprietà dell integrale definito si ha: f (t)dt = f (t)dt + sostituendo i corrispondenti valori si ha:b = a + ln = a + ln a = ln ln= ln ln = ln f (t)dt = ln. f (t)dt e quindi, 5