12. Teoria qualitativa

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1 12. Teoria qualitativa Si esaminano le conizioni i regolarità per un campo vettoriale, che garantiscono esistenza e unicità ella soluzione per l equazione ifferenziale associata. La conizione i Lipschitz, che limita la variazione el campo, consente i provare in moo costruttivo, che in un intervallo i tempo opportuno, a ogni conizione iniziale corrispone una e una sola soluzione, la cui crescita è al più esponenziale UNICITÀ DELLA SOLUZIONE La conizione i regolarità, che si richiee a un campo vettoriale Φ, è che, ati ue punti qualsiasi x,y i un insieme D R, la istanza elle loro immagini sia limitata, uniformemente rispetto a t, alla istanza ei punti stessi Φ(x, t) Φ(y, t) L x y (12.1.1) Un campo che soisfi (12.1.1) si ice lipschitziano; ogni campo che abbia erivate prime continue in un ominio compatto e convesso è lipschitziano, vei appenice A. Teorema. Se il campo vettoriale Φ(x, t) è lipschitziano in un ominio D R allora c è al più una soluzione ella equazione per ogni ato iniziale x() = x e la ipenenza al ato iniziale è continua. Consieriamo ue punti x e y e supponiamo che esistano le soluzioni x(t), y(t) ella equazione (1.6.9) tali che x() = x e y() = y. Moltiplicano scalarmente per x(t) y(t)

2 Teoria qualitativa c l equazione soisfatta a x(t) y(t) si ha ( ) t x(t) y(t) 2 = 2(y x) Φ(y, t) Φ(x, t) (12.1.2) e alla isuguaglianza i Schwartz segue che x(t) y(t) 2 t 2 y(t) x(t) Φ(y, t) Φ(x, t) 2L y(t) x(t) 2 (12.1.3) Le soluzioni elle isequazioni ifferenziali così ottenute si scrivono, vei paragrafo 11.2 y x e Lt y(t) x(t) y x e Lt (12.1.4) Da questa isuguaglianza segue che la ipenenza ai ati iniziali è continua e che la soluzione è unica; infatti x = y implica x(t) = y(t). Nel paragrafo 2.2 si è iscussa la soluzione per il campo uniimensionale Φ(x) = β x α mostrano come in x = non si abbia unicità se α < 1. Infatti in questo caso Φ(x) è lipschitziano nell intervallo [ R, R] solo solo se esclue un intorno ell origine (se α = 1/2 e xy > il rapporto y 1/2 x 1/2 y x 1 = ( y 1/2 + x 1/2 ) 1, non è limitato per x, y ). Invece se α 1 vale (12.1.1) con L = αr α ESISTENZA DELLA SOLUZIONE Per provare l esistenza si utilizza un metoo costruttivo sviluppato a Peano e Picar. Si sostituisce l equazione ifferenziale con una equazione integrale la cui iterazione fornisce approssimazioni successive, i cui si prova la convergenza alla soluzione attraverso la maggiorazione con una serie numerica. Teorema. Se il campo vettoriale Φ(x, t) è continuo rispetto a t e è lipschitziano in x D R, per ogni conizione iniziale x D esiste una soluzione x(t) i ẋ = Φ(x, t), in un opportuno intervallo t T. Osserviamo che la soluzione ella equazione integrale x(t) = x + Φ(x(t )), t )t (12.2.1) soisfa l equazione ifferenziale con x() = x. Consieriamo una successione i approssimazioni x,x 1 (t),...,x n (t),... efinite a x n+1 (t) = x + Φ(x n (t )), t )t (12.2.2)

3 c Esistenza ella soluzione 275 Inicano con M = max Φ(x, t) per x D e t [, T], il massimo, che esiste per l ipotesi i continuità, si ha x 1 (t) x Φ(x, t ) t Mt (12.2.3) aveno maggiorato la norma ell integrale i Φ con l integrale ella norma. Proceeno in moo analogo per n 1 x n+1 (t) x n (t) = Φ(x n (t ), t ) Φ(x n 1 (t ), t ) t L x n (t ) x n 1 (t ) t (12.2.4) e utilizzano la (12.2.3) per n = 1 si ottiene x 2 (t) x 1 (t) LM t t = LMt 2 /2 e a un orine n qualsiasi x n (t) x n 1 (t) Ln 1 M (n 1)! t n 1 t = M L (12.2.5) La successione x n (t) è i Cauchy e mostriamo che la convergenza è uniforme in t. Infatti a x m+n x n = m+n k=n+1 (x k x k 1 ) segue che x m+n (t) x n (t) = M L m k=1 +k (n + k)! = M L m+n k=n+1 x k (t) x k 1 (t) M L m (Lt) k k=1 k! k! (n + k)! M L m+n k=n+1 (Lt) k k! = (e Lt 1) (12.2.6) ove si è tenuto conto che k!/(n+k)! 1 e l ultima somma è stata maggiorata poneno m =. Poiché t [, T] a ogni ǫ si può associare un n ǫ inipenente a t, tale che se n > n ǫ risulta x n+m (t) x n (t) C / C(3LT/n) n ǫ, ove C = ML 1 (e LT 1), esseno > (n/3) n. La successione x n (t) converge uniformemente rispetto a t a un limite x (t). La lunghezza T ell intervallo in cui il teorema ci assicura l esistenza è eterminato alla conizione che x m D per t T e per ogni m, quini T ipene alla conizione iniziale x. Se a esempio D è la sfera i raggio R, a (12.2.6) per n = segue che x(t) x(t) x + x ML 1 (e Lt 1) + x e se imponiamo che x(t) R per t T otteniamo una stima per T. Per provare che il limite x (t) ella successione soisfa (12.2.1) si osserva che la successione Φ(x n (t), t) converge uniformemente poiché Φ(x m+n (t), t) Φ(x m (t), t) L x m+n (t) x n (t) e è quini lecito il passaggio al limite sotto il segno i integrale in (12.2.2). Come esempio consieriamo l equazione ẋ = x 2 sceglieno D = [.R] per cui L = 2R e M = R 2. Se x > la soluzione esiste per t T ove 1 2 R(e2RT 1) R x. Posto R = x /α con < α < 1, esseno in questo caso R arbitrario, si ha x T 1 2 α log(3 2α) e valutano il massimo rispetto a α si ottiene T.575/x a confrontarsi con il risultato esatto T = 1/x. Per l equazione ẋ = sinx si ha invece L = T = 1 inipenente a R e quini la stima su T ata a e T 1 R x, mostra che T può scegliersi arbitrariamente grane, poiché non ci sono limitazioni su R. Ciò è in accoro con l esistenza ella soluzione per ogni t come mostra il calcolo esplicito che fornisce x(t) = 2arc tan (e t tan x /2).

4 Teoria qualitativa c DIPENDENZA CONTINUA DAL CAMPO La tecnica costruttiva usata per provare il teorema i esistenza, permette anche i imostrare la ipenenza continua ella soluzione al campo Φ. Teorema. Dati ue campi vettoriali Φ(x, t) e Ψ(x, t) lipschitziani in x D e continui in t, tali che Φ(x, t) Ψ(x, t) ǫ per ogni t, allora la ifferenza tra le soluzioni x(t) e y(t) elle equazioni ifferenziali ẋ = Φ(x, t) e ẏ = Ψ(y, t) con le stesse conizioni iniziali si annulla per ǫ. Dimostrazione. Consieriamo le equazioni integrali corrisponenti e la soluzione iterativa i queste all orine n x n+1 (t) = x + Φ(x n (t ), t )t, y n+1 (t) = y + Ψ(y n (t ), t )t, (12.3.1) Da teorema preceente sappiamo che le successioni x n (t), y n (t) convergono uniformemente alle soluzioni elle rispettive equazioni ifferenziali per n. Preneno la norma ella ifferenza tra le ue equazioni (12.3.1) abbiamo y n+1 (t) x n+1 (t) y x + y x + y x + L Al primo orine n = si ha Ψ(y n (t ), t ) Ψ(x n (t ), t ) t + y n (t ) x n (t ) t + ǫt Ψ(y n (t ), t ) Φ(x n (t ), t ) t Ψ(x n (t ), t ) Φ(x n (t ), t ) t (12.3.2) y 1 (t) x 1 (t) y x (1 + Lt) + ǫt (12.3.3) e per inuzione proviamo che y n (t) x n (t) y y ] [1 + Lt (Lt)n + ǫ L y x e Lt + ǫ L (elt 1) ] [Lt +... (Lt)n (12.3.4) e quini passano al limite per n la stessa isuguaglianza è soisfatta alla soluzioni x(t) e y(t) elle ue equazioni ifferenziali. Possiamo ora interrogarci sul significato elle stime ottenute ove compare una ipenenza al tempo i tipo esponenziale. Tale stima è ottimale cioè non migliorabile a meno che non si impongano conizioni ulteriori sul campo vettoriale. A esempio se il campo vettoriale

5 c Dipenenza continua al campo 277 è lineare Φ(x) = Lx(t) e L è una costante numerica, la soluzione è x(t) = e Lt x ; il comportamento esponenziale ella soluzione è quello stimato poiché L è la costante i Lipschitz. L esistenza i soluzioni con comportamento esponenziale è tipica i un sistema fortemente instabile. Se ue punti inizialmente vicini si allontanano con legge esponenziale, la loro istanza iventa i orine 1 opo un tempo caratteristico t L 1 log x y 1. Nel problema egli N corpi che interagiscono con un potenziale gravitazionale efinito a V = G i,j m im j r i r j 1 la conizione i Lipschitz è soisfatta fintanto che la istanza tra i corpi si mantiene finita; la soluzione può non esistere più quano la istanza tra ue corpi tene a zero ossia se avviene una collisione. 12.A. CONDIZIONE DI LIPSCHITZ Una funzione f(x) efinita su un intervallo D ell asse reale si ice lipschitziana se esiste una costante positiva L tale che f(x) f(y) L x y, x, y D (12.A.1) Le funzioni lipschitziane sono un sottoinsieme elle funzioni continue, come risulta eviente alla efinizione. Esse contengono invece l insieme elle funzioni con erivata prima continua; infatti alla formula i Taylor con il resto el primo orine f(y) = f(x)+f (ξ)(y x) segue (12.A.1) poiché f (ξ) L. Un campo vettoriale Φ(x, t) le cui componenti abbiano erivate prime continue in un insieme D compatto e convesso è lipschitziano. La formula i Taylor al primo orine è Φ i (y, t) Φ i (x, t) = Φ i (ξ, t) (y x) x (12.A.2) ove ξ = x + λ(y x) con < λ < 1 è in D per l ipotesi i convessità. Esiste quini una costante L tale che Φ i (ξ, t) x j L (12.A.3) Da (12.A.2) e (12.A.3) e alla isuguaglianza i Schwartz segue che e quini Φ soisfa (12.1.1). Φ i (y, t) Φ i (x, t) Φ i x y x L y x (12.A.4)