CAPITOLO 24. Il modello di Friedmann Le equazioni di questo modello sono la (23 7) e la (23 4): R + k. Ṙ 2 + k = R

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1 CAPITOLO 24 Dinamica cosmologica Nel cap. prec. abbiamo scritto le equazioni inamiche per un universo omogeneo e isotropo, e abbiamo iscusso i iversi contributi alla materia. Vogliamo ora stuiare l evoluzione che risulta a quelle equazioni; per far ciò sarà necessario assumere scelte particolari per l equazione i stato ella materia. Sappiamo che al tempo presente la pressione può essere trascurata, ma questo non è più vero quano è piccolo, perché il contributo ella raiazione va come 1/ 4, e perciò finisce necessariamente per ominare. È unque ragionevole supporre che l equazione i stato reale sia compresa fra ue casi estremi: p = 0 moello i Friemann) p = 1 3 moello i Tolman). Come veremo i ue moelli anno anamenti qualitativamente simili: possiamo quini aspettarci che anche l evoluzione reale segua lo stesso anamento. In particolare, entrambi i moelli presentano una singolarità: su questo punto torneremo più avanti. Dato che siamo soprattutto interessati alle fasi iniziali ell evoluzione, trascureremo il termine cosmologico. Il moello i Friemann Le equazioni i questo moello sono la 23 7) e la 23 4): + k 2 = 8π 3 3 = cost. = alle quali si ricava + k ) 3 2 = 8 3 π ) Conviene porre 8 3 π =, opo i che la 24 1) iventa Ṙ 2 + k =. 24 2) La 24 2) si può integrare elementarmente in tutti i e tre i casi k = +1, 0, 1. Esaminiamoli separatamente. 24 1

2 Caso k = 1: La soluzione si esprime in funzione i una variabile ausiliaria η: = cos η) t = 1 2 η sin η). 24 3) Si noti che η è la stessa coorinata temporale usata nella 8 1), e già apparsa nel Cap. 22. La sola ifferenza è che mentre nello stuio el collasso gravitazionale conveniva prenere l origine i η e i t all inizio el collasso, ossia al massimo i, qui abbiamo messo l origine all inizio ell espansione, che è la singolarità accennata sopra in realtà in questo caso le singolarità sono ue: una a t = 0 e l altra a t = π ). È chiaro alle 24 3) che è proprio il massimo i, e che il grafico i in funzione i t è una cicloie fig. 24 1). Un universo a sezioni spaziali sferiche è quini limitato anche nel tempo. Caso k = 0: Ora la soluzione è molto più semplice: = 3 2 1/2 t/ ) Il grafico si trova in fig. 24 2: in questo caso sezioni spaziali piatte) l espansione continua all infinito, anche se con velocità che tene a zero. Caso k = 1: La soluzione ha una forma assai simile alle 24 3), salvo l uso i funzioni iperboliche: = 1 2 cosh η 1) t = ) sinh η η). Anche qui l espansione continua all infinito, ma asintoticamente = t, il che è quanto ire che la velocità i espansione Ṙ tene a c. Il grafico si vee in fig È interessante osservare che per t piccolo le soluzioni con k 0 non si istinguono a quella con k = 0. La cosa si verifica preneno nelle 24 3), 24 5) i termini i orine più basso in η e poi eliminano η fra e t, ma si può eurre irettamente alla 24 2), ove il secono membro è sicuramente ominante, rispetto a k, per sufficientemente piccolo. In tutti i casi unque per t piccolo si ritrova la 24 4). Questo è un caso particolare i un risultato generale che iscuteremo più avanti. Il moello i Tolman 24 2 Stavolta le equazioni sono la 23 7) e la 23 5): + k 2 = 8π 3

3 4 = cost. = alle quali si ricava + k ) 4 2 = 8 3 π ) Conviene porre ora 8 3 π = 2, e la 24 6) iventa Ṙ 2 + k = 2 2. Anche questa si può integrare in tutti i e tre i casi k = +1, 0, 1. Si trova: = t 2 t) per k = 1 = 2 t per k = 0 = t 2 + t) per k = 1. L anamento qualitativo non è iverso a quello el moello i Friemann: in particolare, per k = 1 si ha ancora un massimo =. I grafici sono rispettivamente una semicirconferenza, un arco i parabola e uno iperbole equilatera figure 24 4, 24 5, 24 6). Si presenta i nuovo il fenomeno già visto: per t piccolo i tre casi sono inistinguibili. La singolarità iniziale In tutti i casi a t = 0 è presente una singolarità, e si potrebbe verificare, calcolano il tensore i iemann, che si tratta i una singolarità reale. Del resto la cosa è ovvia se si pensa che è il raggio i curvatura elle sezioni spaziali, e quano questo si annulla non c è ubbio che ci si ebba trovare in una singolarità ella geometria. A rigore occorrerebbe qualche precisazione. In primo luogo per k = 1 le singolarità sono ue: quella a t = 0 big bang) e quella a t = π nel moello i Friemann ovvero a t = 2 in quello i Tolman big crunch). Ma anche negli altri casi sarebbe stato possibile are elle soluzioni in cui è funzione ecrescente i t, e termina in una singolarità nel futuro; solo che queste soluzioni hanno Ṙ < 0 a tutti i tempi, e quini contrastano con le osservazioni. Più in generale, è immeiato concluere alla 23 7), per qualunque k, che esiste nel passato un t al quale si annulla. La cosa è ovvia per k = 0 o k = 1, perché Ṙ non si annulla mai. Ma anche se k = 1, consierato che per le 23 4), 23 5) va almeno come 1/ 3, si vee che nel passato Ṙ/ era maggiore el valore attuale, che è positivo. L esistenza elle singolarità potrebbe comunque essere una peculiarità i questi moelli, che hanno un elevata simmetria, iscenente al principio cosmologico. Si potrebbe sospettare che scostamenti anche piccoli alla simmetria 24 3

4 facciano scomparire le singolarità: in parole povere, se le geoetiche ella materia non sono più tutte raiali nel senso ella varietà 4-imensionale) non è etto che ebbano passare tutte per uno stesso punto. Una risposta a questo problema è stata ata negli anni 60 al lavoro i Hawking e Penrose, i quali hanno mostrato che sotto ipotesi precise ma sufficientemente ragionevoli al punto i vista fisico una singolarità è inevitabile. L unica via per evitarla è unque quella i moificare le equazioni. A questo proposito c è a ricorare quanto abbiamo osservato nel Cap. 1: la G non consiera effetti quantistici, e questi iventano importanti quano la ensità è sufficientemente alta P = g cm 3 ). Introuceno questa conizione in entrambi i moelli si trova un tempo ello stesso orine: vicino a T P / s. È unque certo che la G cae in ifetto per tempi vicini alla supposta singolarità, e quini i teoremi i singolarità i Hawking Penrose non sono applicabili. La via uscita sarebbe quella i avere una teoria quantistica ella gravità: obbiettivo che finora non è stato realizzato. Il problema el fine tuning Abbiamo già notato che in entrambi i moelli, i Friemann e i Tolman, il comportamento iniziale non ipene a k. Vogliamo ora stuiare più a vicino questo fenomeno. ipreniamo la efinizione i Ω ata al cap. preceente: Ω = c = 8π 3 H 2 = 8π 3 2 Ṙ 2 = 8π 3 3. Ṙ2 Derivano ln Ω rispetto a t si ha: Ω = 1 3 Usano la 23 9): Ω = p 3 t 3 ) Ṙ 2 Ṙ = 1 3 t 3 H 2 H = 3pH e infine, eliminano con la 23 8) e semplificano: Ω = 8π 3 Ancora, esseno = Ṙ Ω/): 24 4 t 3 ) H 2 H 2 H H. Ω 1) 1 + 3p ) = H Ω 1) 1 + 3p ). HΩ 1 ΩΩ 1) Ω = p ). 24 7)

5 Abbiamo ottenuto la 24 7) senza approssimazioni, e senza fare ipotesi sull equazione i stato. Supponiamo ora che l espressione in parentesi a secono membro sia limitata inferiormente, a un α > 0: avremo allora 1 ΩΩ 1) Ω α 24 8) alla quale si vee anzitutto che Ω/ ha sempre il segno i Ω 1, il che è quanto ire che le soluzioni sono sempre crescenti o sempre ecrescenti a secona che sia Ω < > 1. Si imostra poi senza ifficoltà che in ogni caso Ω 1 quano 0. A esempio, se poniamo p = 1 3, ossia α = 2, integrano la 24 7) si trova 1 1 Ω 2. Calcoliamo ora il rapporto tra il valore attuale i e quello al limite i valiità ella G: ) 1/4 0 > lim > lim 0 Dato che oggi Ω non è molto iverso a 1, ne segue che inizialmente oveva ifferire a 1 solo sulla 60-ma cifra! Si può obiettare che p = 1 3 è la conizione caratteristica i un universo ominato alla raiazione, cosa certamente falsa al tempo presente. Però anche se si limita il calcolo alla fase in cui la raiazione è ominante, e lo si moifica per i tempi successivi, non si ottiene un risultato sostanzialmente iverso. Questo perché nella 24 7) è ovviamente più importante la fase in cui è piccolo. Poiché non sembra ragionevole un tale aggiustamento fino el valore iniziale i Ω, si eve cercare un altra straa, che passa chiaramente per la negazione ell ipotesi fatta sopra, che sia sempre 1 + 3p/ α > 0. Occorre che vi siano fasi ell evoluzione ell universo in cui al contrario 1 + 3p/ < 0, il che implica pressione negativa. Sono questi i moelli inflazionari, i cui qui non possiamo parlare. 24 5