La discussione di Weierstrass applicata all equazione di Friedmann

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1 Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica Corso di Laurea in Matematica La discussione di Weierstrass applicata all equazione di Friedmann Sara Grillo 24 Febbraio 2017

2 Introduzione I problemi di dinamica ad un solo grado di libertà spesso conducono allo studio dell equazione differenziale q 2 = f (q) q(0) = q 0 q(0) = q 0 f (q) è una funzione nota mentre la q = q(t) è la funzione incognita. q = ± f (q) Affinchè la funzione q(t) sia reale, si studia l equazione in un sottoinsieme dell insieme di definizione della f (q) in cui quest ultima risulta essere positiva. Si cerca di determinare l andamento della q(t) in base alle proprietà della f (q). Questo studio qualitativo prende il nome di DISCUSSIONE DI WEIERSTRASS. slide 2 di 19

3 Introduzione Un esempio semplice di applicazione della discussione di Weierstrass è il pendolo semplice che ha la seguente equazione di moto: ml 2 θ + mgl sin θ = 0 θ(t 0 ) = θ 0 θ(t 0 ) = θ 0 Tenendo conto dell integrale primo dell energia 1 2 ml 2 θ2 mgl cos θ = E si può riscrivere l equazione nella forma cercata: θ 2 = f (θ) con f (θ) = 2g l (cos θ + E mgl ). slide 3 di 19

4 Introduzione La discussione di Weierstrass può essere svolta per via grafica tracciando il grafico dell energia potenziale V e studiando il moto a seconda del valore dell energia meccanica E (che dipende dai dati iniziali). θ = 2 ml 2 E V V = mgl cos θ slide 4 di 19

5 Modelli cosmologici I modelli cosmologici si basano sul fatto che l universo possa essere descritto con il linguaggio della geometria differenziale riemanniana. Chiamiamo modello cosmologico relativistico un modello dove è ammessa la validità della Relatività Generale e dove sono inoltre validi il Principio Cosmologico e il Postulato di Weyl. Il principio cosmologico estende a livello cosmico il principio copernicano affermando che, in qualsiasi istante di tempo, su di una scala opportunamente grande l universo è sia omogeneo che isotropo. Il postulato di Weyl afferma che la materia si comporta come un fluido, le cui particelle seguono traiettorie geodetiche nello spazio-tempo che non si intersecano mai, ad eccezione di un punto nel passato posto a distanza finita o infinita. Tale postulato suppone implicitamente che esista una classe di osservatori privilegiati, quelli a riposo rispetto al fluido, il cui movimento è determinato dall evoluzione dell universo. Questi osservatori vengono detti osservatori comoventi e il loro tempo proprio è detto tempo cosmico. slide 5 di 19

6 Equazione di Friedmann Sostituendo la metrica di Robertson-Walker nelle equazioni di Einstein della Relatività Generale si ottiene la celebre equazione di Friedmann: dove Λ è la costante cosmologica; c è la velocità della luce nel vuoto; Ṙ 2 = C R + Λc2 R 2 εc 2 3 ε = 0, +1, 1 è il parametro di curvatura; R(t) > 0 è la funzione di espansione (interpretabile come raggio dell universo se ε = +1); C= 1 3 kµ 0c 4 R 3 è un integrale primo con k = 8πG e µ 0 la densità di massa propria. c 4 slide 6 di 19

7 Modelli di Friedmann generali (µ 0 > 0, Λ 0) Ṙ 2 = C R + Λc2 R 2 εc 2 3 Ponendo F (R) = C R + Λc2 R 2 εc 2, si vede subito che l equazione è del tipo 3 Ṙ 2 = F (R) Si ha una sovrabbondanza di parametri quindi si fissa il valore di C e si rappresentano nel piano RΛ le tre curve di livello F ε (R, Λ) = 0 corrispondenti al valore fissato di ε = 0, +1, 1. Si esplicita Λ in funzione di R. slide 7 di 19

8 Modelli di Friedmann generali (µ 0 > 0, Λ 0) ε = 0, 1: le curve hanno andamento monotono crescente e si mantengono sempre al di sotto dell asse R. ε = +1: la curva ha inizialmente andamento monotono crescente, raggiunge un massimo in M = ( 3C 2c 2, 4c4 ) e poi decresce indefinitamente tendendo 9C 2 asintoticamente all asse R. slide 8 di 19

9 Modelli di Friedmann generali (µ 0 > 0, Λ 0) Tracciando le rette parallele all asse R si determinano le bande permesse, cioè quelle regioni ammissibili fisicamente in cui F ε 0. Si discuteranno ora i diversi modelli cosmologici ottenuti a seconda dei valori di ε e di Λ. slide 9 di 19

10 Modelli illimitatamente espansivi I casi ε = 0, 1 quando Λ > 0 e ε = 1 quando Λ > Λ si trattano tutti allo stesso modo, in quanto il grafico della curva sta tutto al di sotto della retta corrispondente al valore fissato della costante Λ. Si fissano le condizioni iniziali supponendo che R 0 = 0 e Ṙ0 > 0. La F (R) è strettamente positiva e il segno davanti al radicale rimane quello che si presenta all istante iniziale, quindi Ṙ deve mantenersi positivo. R risulta quindi indefinitamente crescente. slide 10 di 19

11 Modelli pulsanti a periodo finito Caso ε = 1 e 0 < Λ < Λ. Se si suppone che il valore assunto da R all istante iniziale appartenga al segmento [A, B], per esempio R 0 = 0 con Ṙ0 > 0, si ha che R è crescente e raggiunge in un tempo finito il massimo valore R 1. slide 11 di 19

12 Modelli pulsanti a periodo finito Successivamente inizia una fase di collasso che avviene ripercorrendo i vari stati attraversati in fase di espansione. Quando R = 0 (collasso completo) si ha un brusco cambiamento di segno di Ṙ e si ripete nuovamente il ciclo. slide 12 di 19

13 Modelli collasso-espansivi Considerato sempre il caso ε = 1 e 0 < Λ < Λ, se ora si suppone che il valore assunto da R all istante iniziale appartenga alla semiretta [C, + ), il modello si espande indefinitamente dopo un eventuale contrazione iniziale, in cui R raggiunge il valore minimo R 2. slide 13 di 19

14 Modello statico (Einstein) Caso ε = 1 e Λ = Λ. Se inizialmente R 0 = R e Ṙ 0 = 0, si ha un modello statico cioè rimane indefinitamente nello stesso stato. L andamento di R(t) è riportato nel grafico (a). slide 14 di 19

15 Modello espansivo a meta asintotica statica Caso ε = 1 e Λ = Λ. Se inizialmente 0 < R 0 < R e Ṙ 0 > 0, si ha un modello indefinitamente espansivo che tende asintoticamente al modello statico. L andamento di R(t) è riportato nel grafico (b). slide 15 di 19

16 Modello in contrazione a meta asintotica statica Caso ε = 1 e Λ = Λ. Se inizialmente R 0 > R e Ṙ 0 < 0 si ha un modello indefinitamente in contrazione che tende asintoticamente al modello statico. L andamento di R(t) è riportato nel grafico (c). slide 16 di 19

17 Modello espansivo asintoticamente euclideo Caso ε = 1 e Λ = Λ. Se inizialmente R 0 > R e Ṙ 0 > 0 si ha un modello indefinitamente espansivo con tendenza di R all infinito. L andamento di R(t) è riportato nel grafico (d). slide 17 di 19

18 Considerazioni conclusive La concezione all epoca di Einstein di un universo finito e statico lo spinse ad introdurre nelle sue equazioni la costante cosmologica come stabilizzatore dell universo, per evitare che la forza gravitazionale potesse avere il sopravvento sulla spinta di espansione data dal Big Bang. Con la scoperta di Hubble, Einstein si dovette arrendere ad un universo in espansione, reputando l introduzione della costante cosmologica come il più grande errore della sua vita. Negli ultimi decenni, quella lettera lambda prematuramente rinnegata è diventata la protagonista del modello standard della cosmologia, detto anche modello Lambda-CDM (CDM sta per Cold Dark Matter, ossia Materia Oscura Fredda). Esso è il modello cosmologico attualmente in uso in quanto è in accordo con le osservazioni sperimentali. La costante cosmologica ha assunto oggi un nuovo ruolo: essa tenta di spiegare l accelerazione dell espansione dell universo. La natura di tale costante è un problema aperto e i cosmologi sono alla ricerca di quel modello che possa descrivere al meglio il nostro universo. slide 18 di 19

19 Ringraziamenti GRAZIE PER L ATTENZIONE!!! slide 19 di 19