ρ = 3 p ρ + 3 p a c 2 a = 4π 3 G 3 Gρ d(ρc 2 a 3 ) = pda 3 p = p(ρ)

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1 a = 4π 3 G ρ + 3 p a c 2 a 2 + Kc 2 = a 2 8π 3 Gρ d(ρc 2 a 3 ) = pda 3 p = p(ρ) Dalla I eq. di Friedmann, condizione necessaria affinche l universo sia statico e : ρ = 3 p c 2 L universo era considerato statico quando, nel 1915, la teoria della Relativita Generale fu enunciata presentata da Einstein (le osservazioni di Hubble sono del 1929)

2 Per soddisfare questo pregiudizio teorico Einstein modifico le equazioni di campo introducendo la costante cosmologica Λ: R ij 1 2 g ijr Λg ij = 8πG c 4 R ij 1 2 g ijr = Λg ij + 8πG c 4 T ij = p g ij + ( p + ρ c 2 )U i U j Da cui si ottengono le usuali equazioni di Friedmann in cui alla pressione e densita si sostituiscono delle quantita efficaci che dipendono dal valore della costante cosmologica T ij T ij = 8πG c 4 p = p Λc 4 8πG p p, ρ ρ T ij ρ = ρ + Λc 2 8πG

3 Le 2 nuove equazioni di Friedmann diventano quindi: a = 4π 3 G p ρ + 3 c 2 a 8π a 2 + Kc 2 = a 2 3 G ρ Che ammettono la soluzione statica per: p ρ = 3 c = a = 0 2 = 3Kc 2 8πGa p = Kc 4 2 8πGa 2 Ma questa soluzione e instabile

4 Per un universo di polvere (p=0) il valore di Λ che rende l universo statico e : Λ = K a 2, ρ = Kc 2 4πGa 2 Poiche ρ>0 allora K=+1 e quindi Λ>0. Il valore di Λ che rende l universo statico risulta quindi essere: Λ E = 4πGρ c 2 Osservazioni recenti mostrano che Λ e diversa da zero ma molto minore di Λ E. Si pone il problema del significato fisico di Λ (fluido a pressione negativa, energia del vuoto) e del suo valore naturale

5 Pensiamo ad un campo scalare come una serie di oscillatori classici. Ogni oscillatore fornisce un energia che e la somma della sua energia cinetica e potenziale. In quiete c e solo l energia potenziale di minimo che possiamo porre uguale a zero (solo le differenze di energia potenziale sono osservabili). In meccanica quantistica l energia al minimo non e nulla ma pari a E 0 = 1 Quindi l energia di punto zero di un campo quantistico e :. 2!ω 1 E 0 = 2!ω i La somma si estende a tutti i modi. Considerando un scatola di lato L e considrando tutti i modi nella scatola e sapendo che ci sono dn=dk(l/2π) nell intervallo di numeri d onda dk si ottiene che m=massa della particella E 0 = 1 2!L3 La densita di energia si ottiene integrando fino ad un kmax: Quali sono i valori naturali di Kmax=2π/λmin? Prendendo λmin =Lplanck si ottiene: d 3 k ω (2π) 3 k, ω 2 = k 2 + m2! 2 i 4 ρ vuoto =! k max 16π 2 ρ vuoto =10 92 g /cm 3 >> ρ Λ 0.7 3H 0 2 8πG g /cm 3

6 Da cui Cosmologicamente rilevante e l universo (vuoto, piatto e con costante cosmologica) detto di de Sitter: p = ρ c 2 = Λc 4 8πG p = 0, ρ = 0, K = 0, Λ 0 e, dalla I eq. Di Friedmann, a 2 = Λc 2 3 a2 Da cui si deduce che Λ e positivo e che quindi a cresce esponenzialmente come a(t) = Aexp Λ 3 1/ 2 a ct H(t) a = c Λ 3 1/ 2 L espansione esponenziale e tipica dell epoca Inflazionaria

7 Per risolvere le equazioni di Friedmann e necessario specificare l equazione di stato p(ρ) delle varie componenti (fluidi perfetti) contenute nell universo. Ipotizziamo che esista un solo fluido. L equazione di stato del fluido perfetto puo essere scritta nella forma (esatta o approssimata) di Zel dovich: p = ωρc 2, 0 ω 1 Il parametro ω e legato alla velocita del suono: v s = p ρ 1/ 2 S Il caso ω>1 e impossibile poiche implica vs>c Il caso ω<0 implica p<0 e al parametro ω non e collegata una velocita del suono

8 n = ρ = p = In condizioni di equilibrio cinetico : g f ( p! c)d 3 pc = g (E 2 m 2 c 4 ) 1/ 2 EdE ( 2π) 2 2π 2 m exp[(e µ) /K B T] ±1 g E( p! c) f ( p! c)d 3 pc = g (E 2 m 2 c 4 ) 1/ 2 E 2 de ( 2π) 2 2π 2 m exp[(e µ) /K B T] ±1! g p c 2 ( 2π) 2 3E f ( p! c)d 3 pc = g (E 2 m 2 c 4 ) 3 / 2 de 6π 2 m exp[(e µ) /K B T] ±1 f ( p! c) = funzione di distribuzione, E 2 = p! c 2 +m 2 c 4 +Fermi - Dirac, - Bose - Einstein, µ Potenziale Chimico In condizioni di equilibrio chimico i + j k + l µ i + µ j = µ k + µ l

9 Limite non-relativistico (KBT<<mc 2 ) non degenere (KBT>>µ): n = g mc 2 K B T 2π 3/ 2 exp( (mc 2 ρ)/k B T) ρc 2 = mc 2 n p = nk B T << ρc 2 Limite relativistico (KBT>>mc 2 ) non degenere (KBT>>µ): n = ρc 2 = π 2 gk 4 B T π 2 gk 4 B T ζ (3) gk 3 π 2 B T 3 7ζ(3) gk 3 8π 2 B T 3 (Bose) (Fermi) (Bose) (Fermi) p = ρc 2 3

10 Si danno tre casi di interesse cosmologico: p = nk B T = K T B m p c ρ c 2 2 m = K B T m c 2 3/ 2 p K B T exp m c m 2 p c 2 >> K B T p 0 2π K B T p = 1 3 ρc 2 p = ρc 2

11 Consideriamo il caso in cui ω sia costante nel tempo La condizione di adiabaticita dell espansione: d(c 2 a 3 ρ) = pda 3 applicata ad un fluido di Zel dovich: p = ωρc 2 Permette di ottenere la legge di evoluzione di ρ (e p) ρa 3(1+ω) = ρ 0 a 0 3(1+ω) = const

12 In un universo di particelle non relativistiche (polvere) (ω=0): ρ m a 3 (1+ z) 3 In un universo di particelle relativistiche (fotoni) (ω=1/3): ρ γ a 4 (1+ z) 4 In un universo con costante cosmologica (ω=-1): ρ Λ = const

13 Se ad una certa epoca a(t1) due fluidi differenti hanno densita diverse, allora esiste un epoca (antecedente o futura) detta dell equivalenza in cui le densita coincidono Un esempio e costituito dall equivalenza tra materia e radiazione. All epoca attuale la densita di materia barionica e ~10 4 volte maggiore della densita di energia della radiazione. E quindi esistita un epoca di equivalenza tra radiazione-materia in corrispondenza a z eq =10 4 Ω 0 h 2 ( ) 1 h = H 0 100

14 Tutti i modelli di Friedmann con 1/3<ω<1 posseggono una singolarita iniziale chiamata Big Bang. Consideriamo un universo dominato un singolo fluido e riscriviamo la II equazione di Friedmann a = 4π 3 G ρ + 3 p c 2 a = 4π 3 G[ ρ(1+ 3ω) ]a La condizione ω>-1/3 garantisce la positivita del termine tra parentesi, ovvero il fatto che l evoluzione di a sia decelerata a < 0

15 Se ad un certo istante (p. es. l epoca attuale) l universo si espande, ovvero la derivata di a e positiva, allora la funzione a(t) e concava. Esistera quindi un epoca, detta Big Bang, in cui a=0. I modelli di Friedmann hanno dunque una singolarita iniziale. Si noti che in una espansione decelerata 1/H(t) sovrastima l eta dell universo. 1 = a 0 Δt a H 0 a 0 0 Δa > t 0 Big Bang (t=0) a (t 0 ) > 0 a(to) to

16 Riscriviamo la I eq. di Friedmann introducendo il concetto di densita critica ρc e di parametro di densita Ω: a a 0 2 8π a 2 a 2 3 Gρ = Kc a 0 a 2 8π a 0 3 Gρ = H ρ 0 ρ 0,c H Ω 0 ( ) = Kc 2 ρ 0,c 3H 2 0 8πG (densita'critica); Ω 0 ρ 0 (parametro densita') ρ 0,c K > 0 Ω 0 >1 ρ > ρ c t Universo Chiuso K < 0 Ω 0 <1 ρ < ρ c t K = 0 Ω 0 =1 ρ = ρ c t a 0 2 Universo Aperto Universo Piatto n.b. ρ 0,c = 3H 0 2 8πG = h 2 g cm 3, h = H 0 /100 Km s -1 Mpc -1

17 Riscriviamo la II eq. di Friedmann introducendo le equazioni di stato di materia, radiazione, costante cosmologica ed i loro parametri di densita a = 4π 3 G ρ + ρ + ρ + 3 p + p + p DM γ Λ DM γ Λ c 2 a a = H 2 2ρ c p DM = 0, p γ = ρ γ 3c 2, p Λ = ρ Λ c 2 Ω ( ρ DM + 2ρ γ 2ρ Λ )a = H 2 DM 2 + Ω Ω γ Λ a a q a a 2 = H a = Ω DM a 2 + Ω Ω γ Λ