Equazioni di Friedmann e soluzione statica

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1 Equazioni di Friedmann e soluzione statica Dalla I eq. di Friedmann, condizione necessaria affinche l universo sia statico e : L universo era considerato statico quando, nel 1915, la teoria della Relativita Generale fu enunciata presentata da Einstein (le osservazioni di Hubble sono del 1929)

2 La Costante Cosmologica 1 Per soddisfare questo pregiudizio teorico Einstein modifico le equazioni di campo introducendo la costante cosmologica L: Da cui si ottengono le usuali equazioni di Friedmann in cui alla pressione e densita si sostituiscono delle quantita efficaci che dipendono dal valore della costante cosmologica

3 La Costante Cosmologica 2 Le 2 nuove equazioni di Friedmann diventano quindi: Che ammettono la soluzione statica per: Ma questa soluzione e instabile

4 La Costante Cosmologica 3 Per un universo di polvere (p=0) il valore di L che rende l universo statico e : Poiche r>0 allora K=+1 e quindi L>0. Il valore di L che rende l universo statico risulta quindi essere: Osservazioni recenti mostrano che L e diversa da zero ma molto minore di L E. Si pone il problema del significato fisico di L (fluido a pressione negativa, energia del vuoto) e del suo valore naturale

5 Costante Cosmologica e Campi Quantistici Pensiamo ad un campo scalare come una serie di oscillatori classici. Ogni oscillatore fornisce un energia che e la somma della sua energia cinetica e potenziale. In quiete c e solo l energia potenziale di minimo che possiamo porre uguale a zero (solo le differenze di energia potenziale sono osservabili). In meccanica quantistica l energia al minimo non e nulla ma pari a Quindi l energia di punto zero di un campo quantistico e :. La somma si estende a tutti i modi. Considerando un scatola di lato L e considrando tutti i modi nella scatola e sapendo che ce ne sono dn=dk(l/2p) nell intervallo dk si ottiene che m=massa della particella La densita di energia si ottiene integrando fino ad un kmax: Quali sono i valori naturali di kmax=2p/lmin? Prendendo lmin =Lplanck si ottiene:

6 Soluzioni alle Eq. Di Friedmann L Universo (vuoto e piatto) di de Sitter Cosmologicamente rilevante e il modello di Universo (vuoto, piatto ma con costante cosmologica non nulla) detto di de Sitter: Da cui e, dalla I eq. Di Friedmann, Da cui si deduce che L e positivo e che quindi a cresce esponenzialmente come Nota: l espansione esponenziale e caratteristica dell epoca Inflazionaria

7 Modelli di Friedmann: Fluidi Perfetti 1 Per risolvere le equazioni di Friedmann e necessario specificare l equazione di stato p(r) delle varie componenti (fluidi perfetti) contenute nell universo. Ipotizziamo che esista un solo fluido. L equazione di stato del fluido perfetto puo essere scritta nella forma (esatta o approssimata) detta di Zel dovich: Il parametro w e legato alla velocita del suono: Il caso w>1 e impossibile poiche implica vs>c Il caso w<0 implica p<0. Inoltre al parametro w non potrebbe essere associata alcuna velocita (del suono) nel mezzo.

8 Termodinamica di Equilibrio 1 In condizioni di equilibrio cinetico : In condizioni di equilibrio chimico

9 Termodinamica di Equilibrio 2 Limite non-relativistico (KBT<<mc 2 ) e non degenere (KBT>>µ): Limite relativistico (KBT>>mc 2 ) e non degenere (KBT>>µ):

10 Modelli di Friedmann: Fluidi Perfetti 2 Si danno tre casi di interesse cosmologico: w=0 Universo di polvere (materia non relativistica): w=1/3 Universo di radiazione (materia relativistica): w=-1 Universo con costante cosmologica:

11 Modelli di Friedmann: Fluidi Perfetti 3 Consideriamo il caso in cui w sia costante nel tempo La condizione di adiabaticita dell espansione: applicata ad un fluido di Zel dovich: Permette di ottenere la legge di evoluzione di r (e p)

12 Modelli di Friedmann: Fluidi Perfetti 4 In un universo di particelle non relativistiche (polvere) (w=0): In un universo di particelle relativistiche (fotoni) (w=1/3): In un universo con costante cosmologica (w=-1):

13 Modelli di Friedmann: l Equivalenza Se ad una certa epoca a(t1) due fluidi differenti hanno densita diverse, allora esiste un epoca (antecedente o futura) detta dell equivalenza in cui le densita coincidono Un esempio e costituito dall equivalenza tra materia e radiazione. All epoca attuale la densita di materia barionica e ~10 4 volte maggiore della densita di energia della radiazione. E quindi esistita un epoca di equivalenza tra radiazione-materia in corrispondenza a

14 Modelli di Friedmann: Big Bang (1) Tutti i modelli di Friedmann con 1/3<w<1 posseggono una singolarita iniziale chiamata Big Bang. Consideriamo un universo dominato un singolo fluido e riscriviamo la II equazione di Friedmann La condizione w>-1/3 garantisce la positivita del termine tra parentesi, ovvero il fatto che l evoluzione di a sia decelerata

15 Modelli di Friedmann: Big Bang (2) Se ad un certo istante (p. es. l epoca attuale) l universo si espande, ovvero la derivata di a e positiva, allora la funzione a(t) e concava. Esistera quindi un epoca, detta Big Bang, in cui a=0. I modelli di Friedmann hanno dunque una singolarita iniziale. Si noti che in una espansione decelerata 1/H(t) sovrastima l eta dell universo. Big Bang (t=0) a(to) to