Lo spettro di corpo nero

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2 Lo spettro di corpo nero Perché il fondo cosmico ha uno spettro di corpo nero? L'evoluzione dello spettro del fondo cosmico di microonde con l'espansione dell'universo La temperatura di brillanza. Definizione e suo utilizzo come misura di intensità La temperatura di antenna. Differenza e conversione fra temperatura termodinamica e temperatura di antenna

3 Un corpo nero è un oggetto che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente (e quindi non ne riflette). Per la conservazione dell'energia, tutta la radiazione assorbita viene re-irradiata con uno spettro che dipende dalla temperatura assoluta del corpo ed è indipendente dalle caratteristiche della radiazione assorbita. Qualunque corpo a temperatura T è sorgente di radiazione elettromagnetica dovuta al moto degli atomi che lo compongono. Se T è costante (equilibrio termodinamico) allora lo spettro della radiazione è di corpo nero.

4 La potenza per unità di superficie, unità di banda ed unità di angolo solido (ovvero la brillanza) di un corpo nero è data da: Le unità di misura sono, ovviamente, Per convertire in non basta semplicemente sostituire nell'equazione. Dobbiamo invece uguagliare la potenza emessa in un intervallo di lunghezze d'onda con la potenza emessa in un intervallo di frequenze

5 Sostituendo e si ottiene Lo spettro della radiazione di corpo nero è parametrizzata unicamente in funzione della temperatura.

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7 A bassa frequenza, se, si ha che:

8 Ad alta frequenza, se, si ha che:

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10 Scriviamo lo spettro di corpo nero con Calcoliamo ora la derivata di B(x) e poniamola a zero per trovare il massimo

11 Ponendo la derivata a zero si ha:

12 Se integriamo lo spettro di corpo nero su tutto l'intervallo di frequenze otteniamo è la costante di Stefan Boltzmann data da 1.80 x 10-8 W m -2 K -4.

13 Nei primissimi istanti (< 1 min) dopo il Big Bang un fondo di fotoni viene a formarsi a causa dell'annichilazione di particelle di elettroni e positroni. Il rapporto fotoni / barioni è dell'ordine di per cui il plasma primordiale, fortemente interagente con i fotoni, è all'equilibrio termodinamico. Da qui la distribuzione di corpo nero della radiazione. Si può dimostrare che le interazioni fra fotoni e materia nel plasma primordiale non alterano la distribuzione dei fotoni Cosa accade dopo il disaccoppiamento? Come mai i fotoni mantengono inalterata la loro distribuzione in frequenza?

14 Dalle equazioni di Einstein che descrivono l'espansione dell'universo si può ricavare l'andamento del fattore di scala a(t) con il redshift z dove R indica una scala di lunghezza presa come riferimento. Se prendiamo come scala di riferimento la lunghezza d'onda (che risente dell'espansione dell'universo) possiamo anche scrivere:

15 La densità di energia del fondo cosmico è proporzionale al numero di fotoni per unità di volume (che va come a 3 ) e alla lunghezza d'onda (che va come a). Ne segue che la densità di energia con l'espansione va come a 4, ovvero: D'altra parte la densità di energia è anche proporzionale a T4 (legge di Stefan-Boltzmann) per cui si ha che la temperatura del fondo cosmico durante l'espansione va come:

16 Ora la forma di corpo nero dello spettro della CMB è dato dal termine esponenziale Se calcoliamo l'argomento della funzione esponenziale a due tempi diversi durante l'espansione si ha che: Poiché il prodotto T è una costante (sia l va come 1/(1+z) mentre T va come (1+z)) si ha che la forma dello spettro rimane invariata e rimane di corpo nero durante l'espansione

17 Consideriamo un emettitore di brillanza superficiale B e definiamo la seguente quantità che chiamiamo temperatura di brillanza