Sistemi relativistici

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1 Sistemi relativistici Corso di laurea magistrale F. Becattini

2 Sommario lezione Insieme microcanonico gas ideale relativistico Corpo nero microcanonico Caso massivo generale: sviluppo in molteplicita'

3 Insieme microcanonico di un gas ideale relativistico (Approssimazione di autostati di quadrimpulso) Per semplicita' trascureremo le cariche esattamente conservate oppure sommeremo su tutte le possibili cariche iniziali (insieme gran microcanonico). E' equivalente al caso di un gas di particelle completamente neutre.

4 Per il caso di bosoni, occorre dare a x0 una piccola componente immaginaria negativa e in modo tale che la serie sui numeri di occupazione converga Procedendo analogamente al caso canonico otteniamo (nota la notazione sintetica sul dominio di integrazione) Se ci sono anche cariche conservate, ci saranno ulteriori integrali su intervalli finiti, ma la struttura resta analoga.

5 Calcolo di Il calcolo analitico esplicito della funzione di partizione microcanonica e' impossibile per il caso di particelle relativistiche libere con relazione di dispersione E' invece possibile per il caso ultrarelativistico e per quello non relativistico

6 Corpo nero microcanonico Gas di bosoni senza massa a 2 stati di polarizzazione con energia, impulso e volume fissato Si fa il calcolo nel sistema di riposo Prima di tutto si osserva che: perche' x0 ha una piccola componente immaginaria negativa

7 L'integrale nell'impulso puo' essere risolto esplicitamente e fornisce Dunque, si calcola la serie E allora

8 Si sviluppa adesso in serie l'esponenziale e si integra termine per termine (sviluppo a molteplicita' fissate) e si integra in x ricordandosi che x0 ha una parte immaginaria NOTA: il termine n=0 richiede un trattamento a parte. Il risultato e' zero. Si ottiene

9 Im x0 Si sceglie per l'integrazione un circuito con semicerchio sul semipiano superiore del piano complesso polo Re x0 NOTA: se M <0 devo scegliere il cerchio sul semipiano inferiore e l'integrale fa zero! Dopo un po' di algebra si arriva alla formula finale

10 COMMENTI La costante dimensionale 1/M4 dipende dalla presenza della delta. In effetti questa e' una densita' di stati per cella di quadrimpulso. Per grandi (M, V), in log W, mentre il fattore 1/M4 da' luogo ad un termine che cresce logaritmicamente, la sommatoria da' luogo ad un termine lineare (entropia) La serie e' convergente per qualsiasi valore finito di VM3 essendo minore della serie esponenziale dipende essenzialmente dall' unica possibile variabile adimensionale VM3, essendo m=0. E' allora banale mostrare che p=1/3 M/V anche nel caso microcanonico (ESERCIZIO) Tutte le osservabili fisiche dipendono da log W

11 Il logaritmo della densita' di stati ha senso solo per la parte adimensionale? adimensionale Si puo' definire allora l'entropia solo in base all'ultimo fattore, pero' ci sara' da aggiungere qualcosa in modo che per M >0 si abbia S >0

12 Limite termodinamico Per V e M grandi, i termini della serie da tenere in conto sono moltissimi. Ci si aspetta di ritrovare le leggi note del corpo nero. Sviluppo del punto di sella di NOTA: Per avere il corretto punto di sella, la soluzione in x0 deve essere immaginaria negativa

13 Im x0 Ci sono 4 punti di sella candidati Il punto di sella con parte immaginaria negativa soddisfa la richiesta di negativita' della derivata seconda (punto di massimo) polo Re x0 La direzione di attraversamento del punto di sella deve essere mantenuta sulla direzione reale

14 Asintoticamente dunque: Se ho altre particelle, la scala va divisa per il loro numero, dato che il numero dei gradi di liberta' moltiplica V a fattore in tutte le espressioni. Il limite termodinamico e' raggiunto prima.

15 Esempi Gas di fotoni a T=300 K Densita' di energia = MeV4 e con x=106 si ha V = cm3 Gas di fotoni a T=3 K Densita' di energia = MeV4 e con x=106 si ha V = cm3 A temperature ancora piu' basse il volume critico puo' diventare abbastanza grande ma in pratica e' impossibile creare un sistema di fotoni a energia impulso esattamente costante Gas di gluoni liberi a T=300 MeV (8 gradi di liberta') Densita' di energia = MeV4 e con x=105 si ha V = 1.45 fm3

16 Spettro Metodo generale per calcolare lo spettro:perturbare l'esponenziale con una funzione e fare la derivata in zero.

17 Spettro continuo Da notare che deve essere pertanto e la serie e' dunque una somma finita di termini ESERCIZIO: Calcolare lo spettro e farne dei grafici in x = /M

18 Gas ideale relativistico massivo Partiamo dall'espressione della funzione di partizione microcanonica: e calcoliamo la funzione di partizione microcanonica a molteplicita' fissata che e' tale che

19 Si opera esattamente come nel caso canonico, cioe' scrivendo la delta di Kronecker come un integrale di Fourier, passando al piano complesso e calcolandolo con il teorema dei residui essendo

20 Adesso deve essere sviluppato in serie anche l'esponenziale Di tutti questi termini devo considerare soltanto quelli che Si riduce al problema di trovare le partizioni di un intero N nella rappresentazione della molteplicita', che indicheremo con

21 Si ottiene cosi' col vincolo NOTA: questo indice l DIPENDE dalla partizione Definiamo

22 e riesplicitando i vari z si ottiene Conclusione: la f.d.p a N fissato e' una somma su tutte le partizioni di N in cui compaiono H oggetti (clusters) di quadrimpulso associato np, spin S, e tutti devono rispettare la conservazione dell'energia impulso DECOMPOSIZIONE A CLUSTER DELLA FUNZIONE DI PARTIZIONE PER UN GAS QUANTISTICO

23 Statistica di Boltzmann Tornando alle formule iniziali, questo consiste nel tenere solo il primo termine dello sviluppo del logaritmo, cioe' il termine con n=1 Boltzmann: solo una partizione, quella con N clusters

24 I termini successivi comportano potenze di V di ordine inferiore: VH con H < N Dunque, nel limite termodinamico solo il termine a N clusters domina e i restanti sono trascurabili. Questo corrisponde al limite di temperatura 0, essendo M fissata e V infinito. Dato che m/t > si recupera il limite di statistica classica.