Operatori C, P e T { } Stati Fisici. Osservabili. Osservabili (II) prof. Domenico Galli

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1 Stati Fisici Operatori C, P e T prof. Domenico Galli Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori Dottorato di Ricerca in Fisica Uno stato fisico è rappresentato da un vettore di stato (ket) in uno spazio vettoriale complesso: E Un ket contiene tutte le informazioni su di uno stato fisico. La somma di due ket è un altro ket: + β = γ, β, γ E La moltiplicazione di un ket per un numero complesso c è un altro ket: c = c = β c,, β E I ket e c, c = Ae iϕ rappresentano il medesimo stato fisico: Soltanto la direzione è significativa nello spazio dei ket. Gli stati fisici sono raggi, non vettori. Raggio: sottospazio c E;c, E. { } 2! Osservabili Osservabili (II) Un osservabile (p. es.: una componente della quantità di moto o dello spin) è rappresentato da un operatore A. In generale un operatore agisce su di un ket da sinistra originando un altro ket: A = β In generale lo stato A non è la moltiplicazione dello stato per uno scalare complesso. Tuttavia ci sono dei ket particolarmente importanti (autoket dell operatore A), che si indicano con: L applicazione dell operatore A a un autoket riproduce lo stesso autoket a meno di un fattore moltiplicativo. Lo stato fisico corrispondente a un autoket è chiamato autostato. I numeri dell insieme: { a, a, a, } sono chiamati autovalori dell operatore A. a, a, a, e che soddisfano la proprietà: A a = a a, A a = a a, ecc., a, a, a 3! 4!

2 Componenti dei Ket Lo Spazio dei Bra La dimensione dello spazio vettoriale è determinata dal numero di alternative nel risultato di un esperimento. In tale spazio, gli autoket dell osservabile A formano una base. Ogni ket arbitrario si può scrivere, per componenti: = c i, c i Lo spazio dei bra è uno spazio vettoriale E, duale rispetto allo spazio dei ket E: Spazio duale: insieme di tutti i funzionali lineari su E a valori complessi. β ( E ) β ( ) La linearità implica che: = c γ + c β γ β,, β γ c + c β β Addizione di bra e moltiplicazione un bra per uno scalare sono definite dalle relazioni: ( + β ) γ = γ + β γ c γ = c γ 5! 6! Lo Spazio dei Bra (II) Lo Spazio dei Bra (III) A ogni ket corrisponda un bra : CD dove CD = corrispondenza duale. Una base nello spazio dei bra è costituita dagli autobra corrispondenti duali di una base di autoket: CD {,i = 1,2, } {,i = 1,2, } Il corrispondente duale di una somma è la somma dei corrispondenti duali dei singoli addendi: CD { + β +} { + β +} Il corrispondente duale del prodotto di un ket per un numero è il prodotto del bra duale per il complesso coniugato del numero: c CD c, c Per le combinazioni lineari di ket si ha perciò: c CD { + c β β +} { c + c β β +} 7! 8!

3 Prodotto Interno Ortonormalità Il prodotto interno è il prodotto di un bra per un ket β, che si scrive: β Il prodotto interno per definizione soddisfa due proprietà: β = β 0 = 0 = 0 La norma del ket o del bra è definita come: Dato un ket non nullo si può formare il ket normalizzato ˆ, definito come: ˆ = 1 che rappresenta il medesimo stato fisico. Due ket e β si dicono ortogonali se: β = 0 9! 10! Operatori Operatori (II) Un operatore X agisce su di un ket da sinistra e il prodotto risultante è ancora un ket: X = β Due operatori X e Y si dicono uguali se: X = Y, Un operatore X si dice nullo se: Gli operatori possono essere sommati: ( X + Y) = X + Y, La somma è commutativa e associativa: X + Y = Y + X X + Y + Z = ( X + Y) + Z Un operatore X si dice lineare se: X = 0, = c X + c β X β,, β X c + c β β Vedremo che gli operatori C e P sono lineari, mentre l operatore T è anti-lineare: = c T + c β T β,, β T c + c β β 11! 12!

4 Operatori (III) Operatori (IV) Un operatore X agisce su di un bra da destra e il prodotto risultante è ancora un bra: X = β Il ket X e il bra X non sono in generale duali tra loro. Si definisce operatore hermitiano coniugato o aggiunto dell operatore X, l operatore X tale che: X CD X Un operatore si dice hermitiano o autoaggiunto se e è uguale al suo aggiunto: Gli operatori X e Y possono essere moltiplicati: ( XY) = X ( Y ), β ( XY) = ( β X )Y, β La moltiplicazione, in generale, non è commutativa: XY YX ma è associativa: X ( YZ) = ( XY)Z Si noti che: X = X ( Y )X CD X Y ( Y X ) CD XY ( XY) = Y X 13! 14! Assioma Associativo e Prodotto Esterno Assioma Associativo e Prodotto Esterno (II) Assioma associativo: La proprietà associativa vale in generale, fintanto che abbiamo a che fare con moltiplicazioni consentite tra bra e ket e operatori lineari. on vale per operatori anti-lineari. In particolare, per l assioma associativo, si ha: def ( β ) γ = β ( γ ) = β γ β,, γ ket ket prodotto esterno numero dove γ è semplicemente un numero, mentre β è definito prodotto esterno. Come si vede, un prodotto esterno, applicato a un ket produce un altro ket. Il prodotto esterno di un ket e un bra può essere considerato come un operatore. L operatore β ruota γ nella direzione di β. Si osservi che: γ CD β β γ X CD X γ e dunque: ( β ) = β γ Inoltre si osservi che, per l assioma associativo, si ha, per operatori lineari: def β ( X ) = ( β X ) = β X bra ket ket bra 15! 16!

5 Assioma Associativo e Prodotto Esterno (III) Operatori Hermitiani Poiché: γ X CD X γ β = β si ha: β X = β X β X = X β { } = X β = ( X ) β Teorema: Gli autovalori di un operatore hermitiano sono reali; gli autoket corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali. A = A A = A = A = CD A = A = A = 0 = = 0 j = i = j i = 0, = δ j,i a j 17! 18! Basi di Autoket Relazione di Chiusura Gli autoket normalizzati dell operatore A: a, a, a,, a ( ),i = 1,, { } { } = a i formano un insieme completo ortonormale. Un generico ket si può scrivere, per componenti: = i, i Moltiplicando per a sinistra si ottiene la componente j-esima: a j = i = i = i δ j,i j = = j Per quanto detto possiamo scrivere: = i, i j = = = a i) a i) = 1 (relazione di chiusura o di completezza). 19! 20!

6 Relazione di Chiusura (II) Operatori di Proiezione Dalla relazione di chiusura troviamo: a i) a i) = 1 Consideriamo l operatore: Λ i = = 1 = 2 i = = = = = = detto operatore di proiezione. Esso seleziona la parte del ket parallela ad a i) : Λ i a = La relazione di chiusura si può scrivere come: Λ i = 1 a = a i = i 21! 22! Operatori Unitari e Cambiamento di Base Operatori Unitari e Cambiamento di Base (II) Si chiama operatore unitario un operatore che conserva il prodotto interno: U U β = β Un operatore unitario soddisfa la relazione: U U = UU = 1 U 1 = U Teorema: Date due basi di ket ortonormali e complete: {,i = 1,, } { b ( i),i = 1,, } esiste un operatore unitario U tale che: b ( i) = U, i = 1,, Infatti, definito: U = k=1 b ( k) U soddisfa la relazione richiesta: U = b ( k) k=1 = b ( k) = δ k,i b ( k) = b ( i) k=1 k=1 inoltre U è unitario: UU = b ( k) a ( l) b ( l) = b ( k) a ( l) b ( l) = k=1 l=1 k=1 l=1 = b ( k) δ k,l b ( l) = b ( k) b ( k) = 1 k=1 l=1 k=1 23! 24!

7 Operatori Unitari e Cambiamento di Base (III) Operatori Unitari e Cambiamento di Base (IV) La matrice di trasformazione relativa al cambiamento di base si scrive, essendo b ( i) = U : U i, j = U = b ( j) Inoltre, poiché: a k k=1 = 1 Troviamo ora la relazione tra i vecchi e i nuovi elementi di matrice. Essendo: a m m=1 a ( m) = 1, a ( n) a ( n) = 1 b j n=1 = U, b ( i) = U Si ottiene la trasformazione di similarità X = U X U : = U b j La matrice colonna delle nuove componenti di un ket si ottengono dalla matrice colonna delle vecchie, moltiplicando per la matrice U i,j: nuova componente b ( j) = b ( j) = U k=1 k=1 U j,k vecchia componente b ( i) X b ( j) nuovo elemento di matrice = b ( i) a ( m) a ( m) X a ( n) a ( n) b ( j) = m=1 n=1 = U a ( m) a ( m) X a ( n) a ( n) U m=1 n=1 U i,m vecchio elemento di matrice U n,l 25! 26! Traccia di un Operatore Spettri Continui La traccia di un operatore è la somma dei suoi elementi diagonali: = a i Tr X e risulta indipendente dalla rappresentazione Si può anche dimostrare che: = Tr( YX ) = Tr( X ) Tr XY Tr U XU = δ i, j ( a i) ) = a i Tr Tr b i X b ( i) scelta. Vi sono osservabili (come lo spin) con uno spettro discreto di autovalori. Vi sono osservabili (come le componenti dell impulso) con uno spettro continuo di autovalori. Molti risultati sono generalizzabili = δ i, j ξ ξ = δ ξ ξ a i = 1 ξ d ξ ξ = 1 = = ξ d ξ ξ a i) 2 = 1 d ξ ξ 2 = 1 27! 28!

8 Spettri Continui (II) Spazio delle Coordinate β = β β = β ξ d ξ ξ a i A = δ i, j ξ A ξ = ξ δ ξ ξ Gli autoket dell operatore posizione X, soddisfano l equazione agli autovalori: X x = x x Il ket di stato per un arbitrario stato si può scrivere come: + = x d x x Consideriamo una misura della posizione: Mettiamo un rivelatore sottile nella posizione x che scatta quando una particella si trova in un piccolo intervallo intorno a x : [x Δ, x +Δ]; Quando si registra un conteggio il ket cambia come: + = x d x x x d x x x +Δ x Δ 29! 30! Spazio delle Coordinate (II) Operatori di Simmetria La condizione di ortonormalità della base di ket si scrive: x x = δ x x Si chiama funzione d onda per lo stato il prodotto interno: ψ x = x Spesso, per indicare lo stato avente ψ x come funzione d onda si scrive: = ψ ( x) Dato un ket consideriamo uno stato simmetrico che supponiamo sia stato ottenuto applicando un operatore O. Poiché O è un operatore di simmetria, l azione di O non deve cambiare il risultato di una misura. Dovrà perciò valere la condizione: O O β 2 = β 2 Questa condizione può essere soddisfatta in due modi: O O β = β ( operatore unitario ) O O β = β ( operatore anti-unitario ) 31! 32!

9 Inversione Spaziale Inversione Spaziale (II) Dato un ket consideriamo uno stato spazialmente invertito che supponiamo sia stato ottenuto applicando un operatore P, noto come operatore di parità: P P = P Detto X l operatore posizione, ci aspettiamo che il valor medio delle coordinate preso rispetto allo stato spazialmente invertito sia l opposto: P X P = X Questo è vero se: P X P = X P X P = X PP X P = P X X P = P X X P + P X = 0 Dunque P anticommuta con X : { P, X } = 0 Vediamo ora come si trasforma per parità un autoket delle coordinate: x P x X ( P x ) = X P x = PX x = P x x = ( x )( P x ) Dunque P x è un autoket di X corrispondente all autovalore x. Si ha anche, per definizione: X x = x x Pertanto P x deve essere uguale all autoket delle coordinate x a meno di un fattore di fase: P x = e iδ x 33! 34! Inversione Spaziale (III) Coniugazione di Carica Per convenzione si sceglie: e iδ = 1 Per cui si ha: P x = x Inoltre: P 2 x = PP x = P x = x Per cui: P 2 = 1 Pertanto l operatore P è hermitiano oltre che unitario: P 1 = P = P P e L = e R P π 0 = π 0 P n = + n L operazione della coniugazione di carica cambia il segno della carica e del momento magnetico, lasciando inalterate le altre coordinate. ella fisica classica la coniugazione di carica cambia in segno della densità di carica, della densità di corrente, del campo elettrico e del campo magnetico: C ρ ρ, E C E, C, B C B. Le equazioni di Maxwell sono invarianti per coniugazione di carica. ella fisica quantistica relativistica implica anche lo scambio di particella e antiparticella. Per i leptoni implica anche un cambio di segno nel numero leptonico. Per i barioni implica anche un cambio di segno nel numero barionico. 35! 36!

10 Coniugazione di Carica (II) Coniugazione di Carica (III) Consideriamo particelle di spin ½, nella rappresentazione delle coordinate ψ ( x ) = x. Per un elettrone l equazione di Dirac si scrive: p e c A mc ψ = i e c A mc ψ = i x e µ c A µ γ µ mc ψ = 0 Prendendo = c = 1, si scrive:!"#$%&' ( p ea m)ψ = ( i ea m)ψ = i x ea µ µ γ µ m ψ = 0 Una lacuna nel mare delle energie negative # registra l assenza di una energia E (E > 0) e # l assenza di una carica +e (e < 0). E = ± m 2 e + p 2 Essa è equivalente alla presenza di un positrone "# di energia +E > 0 e carica e > 0. # "! Ma si può scrivere direttamente anche l equazione di Dirac per il positrone. (!"! $")""! $")"! 37! Corrispondenza 1-1 tra soluzioni a energia negativa dell equazione di Dirac per l elettrone: ( p ea m)ψ = ( i ea m)ψ = i x ea µ µ γ µ m ψ = 0 e soluzioni a energia positiva dell equazione di Dirac per il positrone: ( p + ea m)ψ C = ( i + ea m)ψ C = i Cerchiamo un operatore che trasformi le due equazioni l una nell altra. x + ea µ µ γ µ m ψ C = 0 38! Coniugazione di Carica (IV) Prendendo la complessa coniugata dell equazione di Dirac per l elettrone, moltiplicando per 1 e ricordando che A µ è reale si ottiene: i i x = i µ x µ, A µ = ( A µ ) x ea µ µ γ µ m ψ = 0 i x + ea µ µ ( γ ) µ + m ψ = 0 Se riusciamo a trovare una matrice non-singolare Cγ 0 tale che: ( Cγ )( 0 γ ) µ ( Cγ ) 0 1 = γ µ Allora avremo, come cercato: ( Cγ ) 0 i x + ea µ µ ( γ ) µ + m ( Cγ ) 0 1 ( Cγ 0 )ψ = 0 C ( ψ γ 0 ) T =Cψ T i x + ea µ µ γ µ + m ( Cγ 0 )ψ = 0 i x + ea µ µ γ µ m ( Cγ 0 ψ ) = 0 ψ C ψ = ψ γ 0 39! Coniugazione di Carica (V) Costruiamo esplicitamente Cγ 0 nella rappresentazione in cui: γ 0 = , γ 1 = Si ha: { γ µ,γ } ν = 2g µν 1, µ,ν = 0,1,2,3 ( γ ) 0 = γ , γ 2 = i 0 0 i 0 0 i 0 0 i = ( γ ) 0 1 = ( γ ) 0 T = γ 0, ( γ ) = γ, = 1,2,3 γ ( 0 γ ) γ 0 = γ 0 γ γ 0 γ 0 γ 0, γ 3 = = γ ( 0 γ 0 γ ) = γ 0 γ ( 0 γ ) = ( γ ) = ( γ ) γ 0 = γ 0 γ 0 γ 0 = γ 0 = ( γ ) 0 T γ ( 0 γ ) µ γ 0 = ( γ ) µ T, µ = 0,1,2,3 ( Cγ )( 0 γ ) µ ( Cγ ) 0 1 = Cγ ( 0 γ ) µ ( γ ) 0 1 C 1 = Cγ ( 0 γ ) µ γ 0 C 1 = C( γ ) µ T C 1 g µν = ( γ ) µ T = γ µ, µ = 0, γ µ, µ = 1,3 = ( γ ) T 40!

11 Coniugazione di Carica (VI) Coniugazione di Carica (VII) Per cui si deve avere: Cγ 0 ( γ ) µ ( Cγ ) 0 1 = γ µ C( γ ) µ T C 1 = γ µ ( γ ) µ T = C 1 γ µ C C( γ ) µ T = γ µ C Cγ µ = γ µ C, µ = 0,2 Cγ µ = γ µ C, µ = 1,3 Una possibile scelta è: C = iγ 2 γ 0 Cγ 0 = iγ 2 γ 0 γ 0 = iγ 0 γ 2 γ 0 = γ 0 C Cγ 1 = iγ 2 γ 0 γ 1 = iγ 2 γ 1 γ 0 = +iγ 1 γ 2 γ 0 = γ 1 C Cγ 2 = iγ 2 γ 0 γ 2 = iγ 2 γ 2 γ 0 = γ 2 C Cγ 3 = iγ 2 γ 0 γ 3 = iγ 2 γ 3 γ 0 = +iγ 3 γ 2 γ 0 = γ 3 C Operatori Anti-Lineari γ µ, µ = 1,3 ( γ ) µ T = γ µ, µ = 0,2 { γ µ,γ } ν = 2g µν 1, µ,ν = 0,1,2,3 41! Per C = iγ 2 γ 0 si ottengono pertanto le proprietà: = i( γ ) 0 ( γ ) 2 = iγ ( 0 γ ) 2 = iγ 2 γ 0 = C 1 = i ( 1 γ ) 0 1 ( γ ) 2 1 = iγ ( 0 γ ) 2 = iγ 2 γ 0 = C T = i( γ ) 0 T ( γ ) 2 T = iγ 0 γ 2 = iγ 2 γ 0 = C C = iγ 2 γ 0 C 1 = iγ 2 γ 0 C T = iγ 2 γ 0 Cψ = Cγ 0 ψ = iγ 2 ψ γ µ, µ = 1,2,3 γ µ, µ = 1,2,3 γ µ, µ = 1,3 ( γ ) µ = γ µ, µ = 0 ( γ ) µ 1 = γ µ, µ = 0 ( γ ) µ T = γ µ, µ = 0,2 C = C 1 = C T = C + Avremo quindi, per l operatore C di coniugazione di carica: C e L = e L ψ C = Cψ = Cγ 0 ψ = iγ 2 γ 0 γ 0 ψ = iγ 2 ψ C u = u = iγ ( 2 iγ 2 ψ ) = iγ 2 ( i) γ 2 = γ 2 γ 2 ψ = ψ C 2 ψ = CCψ = C iγ 2 ψ C 2 = 1 = iγ 2 iγ 2 ψ C 1 = C = C Operatori Anti-Lineari (II) ψ = C d = d C n = n C γ = γ C π 0 = + π 0 42! Sia un operatore lineare L, sia un operatore anti-lineare A mappa uno spazio di ket E in se stesso: L ( E ) L ( E ) E A E A Tuttavia essi hanno un diverso comportamento quando si applicano a combinazioni lineari di ket. Per un operatore lineare: L( c + c β β ) = c L + c β L β,, β E c,c β Si definisce invece anti-lineare un operatore per il quale: A( c + c β β ) = c A + c β A β,, β E c,c β In particolare un operatore anti-lineare non commuta con una costante, quando essa è considerata come un operatore moltiplicativo alla sua destra: Ac = c A 43! Il prodotto di n operatori lineari o anti-lineari è: Lineare se il numero di fattori anti-lineari è pari; Anti-lineare se il numero di fattori anti-lineari è dispari. Un bra, per definizione è un funzionale lineare: β ( E ) β ( ) Per gli operatori lineari vale l assioma associativo: def ( β L) = β ( L ) = β L el caso di un operatore anti-lineare A l assioma associativo non vale, in quanto β A è un funzionale anti-lineare, mentre si suppone che un bra sia un funzionale lineare. Dobbiamo perciò introdurre una coniugazione complessa per rendere β A lineare: def ( β A) = β ( A ) = β A 44!

12 Operatori Anti-Lineari (III) Operatori Anti-Unitari Dalla definizione di coniugato hermitiano e di prodotto interno: γ X CD X γ Un operatore anti-lineare Θ che trasforma: Θ Θ = Θ β = β β Θ β Θ = Θ β abbiamo trovato, per gli operatori lineari: si dice anti-unitario se: β L = β L β L = L β { } = L β = ( L ) β Per gli operatori anti-lineari troviamo invece: = ( A ) β = ( A β ) β A β A { } = A β β Θ Θ = β Θ Dovendo essere: ( β Θ ) Θ β Θ segue che: ( Θ ) = β = β,, β = β ( Θ Θ ) ( Θ ) = β Θ Θ = ΘΘ = 1 45! 46! Operatori Anti-Unitari (II) Operatori Anti-Unitari (III) Un operatore anti-unitario Θ si può sempre scrivere nella forma: Consideriamo inoltre l operatore K: Θ = UK dove: U è un operatore unitario; K è l operatore di complessa coniugazione: Genera il complesso coniugato di ogni coefficiente che moltiplica un ket e sta alla destra di K: Kc = c K Infatti Θ è antilineare, in quanto: = UK( c + c β β ) = U ( Kc + Kc β β ) = = U ( c K + c β K β ) = Uc K + Uc β K β = Θ c + c β β = c UK + c β UK β = c Θ + c β Θ β K K Sviluppando in una base di autoket,i = 1,,, si ha: = K = K = K = K = K = = = K { } in quanto l operatore K non modifica i ket della base (avendo essi componenti 0 o 1 rispetto alla base stessa): = δ i, j 47! 48!

13 Operatori Anti-Unitari (IV) Operatori Anti-Unitari (V) Avremo quindi: Θ = Θ = UK = UK = U = U a i β Θ = Θ β = UK β = UK β = U = β U a i CD Per quanto riguarda il corrispondente duale β Θ β Θ : β = = Per cui si ha: β Θ Θ = β U j=1 U = β U U = j=1 = = β = β δ i, j = j=1 j=1 = β = β = β = = β = β β Θ = β Θ = β U e l operatore Θ = UK risulta anti-unitario. 49! 50! Inversione Temporale Inversione Temporale (II) Dato un ket consideriamo uno stato temporalmente invertito che supponiamo sia stato ottenuto applicando un operatore T, noto come operatore di inversione temporale: T T = T Se il moto soddisfa la simmetria per inversione temporale ci aspettiamo di ottenere lo stesso stato: 1. Applicando T al sistema al tempo t = 0 e lasciando evolvere il sistema per il tempo δt > 0 sotto l azione della hamiltoniana H; 2. Facendo evolvere il sistema per il tempo t = δt < 0 e quindi applicando T: Consideriamo l evoluzione temporale di uno stato fisico. Detto,t 0 ;t lo stato (al tempo t) di un sistema che al tempo t 0 è rappresentato dal ket, si ha, essendo H l operatore hamiltoniano:,t 0 = 0;t = δt = 1 ih δt 1 ih δt T = T 1 ih ( δt ) Affinché questa relazione sia vera per ogni ket deve essere: iht = T i H 51! 52!

14 Inversione Temporale (III) Se T fosse unitario: Avremmo: iht = TiH = ith HT = TH T 1 HT = H p 2 el caso di una particella libera, detto p l impulso, si ha: p 2 T 1 2m T = H = p 2 2m 2m Ma ci aspettiamo che p cambi segno, ma non p 2. Se invece T è anti-unitario: Si ha: iht = T ih = it H HT = T H T 1 HT = H el caso di una particella libera otteniamo, come atteso: p 2 T 1 2m T = p 2 2m 53! Prof. Domenico Galli Dipartimento di Fisica domenico.galli@unibo.it