Autovalori e autovettori

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1 Autovalori e autovettori Se esiste un vettore x per cui Ax = λx x 0 Allora λ è un autovalore della matrice A corrispondente all autovettore x Gli autovalori sono soluzioni dell equazione secolare det(a λi) = 0 Le trasformazioni di similarità non cambiano gli autovalori det(sas 1 λi) = det(sas 1 λss 1 ) = det(s(a λi)s 1 ) = det(s)det(a λi)det(s 1 ) = det(a λi) Gli autovettori sono invece cambiati Ax = λx SAx = Sλx SAS 1 Sx = λsx da qui si vede che il nuovo autovettore con autovalore λ è Sx

2 Uso in fisica Gli autovalori e autovettori sono ampiamente usati nella fisica quantistica ad ogni grandezza fisica è associato un operatore autoaggiunto un operatore autoaggiunto può essere rappresentato da una matrice hermitiana se è reale la matrice è simmetrica i valori discreti che le grandezze possono assumere sono gli autovalori di queste matrici gli stati del sistema sono espandibili in termini degli autovettori u j, che formano un sistema ortonormale completo gli elementi di matrice sono ottenuti, in questa base, da u i  u j = A ij ad esempio, l energia si ottiene calcolando gli elementi di matrice dell Hamiltoniana Ĥ

3 Autovettori Suppongo di aver trovato la matrice S che diagonalizza A SAS 1 = diag(λ 1,λ 2,...,λ n ) = Λ per ricavare gli autovettori; moltiplico a sinistra per S 1 e ottengo AS 1 = S 1 Λ Chiamo u (i) il vettore che ha per componenti gli elementi della colonna i di S 1 e ottengo A ik S 1 kj = S 1 ik Λ kj = λ j Sij 1 A ik u (j) k = λ j u (j) i A u (j) = λ j u (j) I vettori colonna di S 1 sono gli autovettori Il metodo preferito per trovare autovalori e autovettori sono le trasformazioni di similarità. Usare l equazione secolare per trovare n radici complesse è un sistema lento e poco efficace, salvo che per casi particolari.

4 Iterazioni Per risolvere il problema si possono effettuare trasformazioni consecutive T 1,T 2,...T n per cui A 1 = T 1 AT 1 1 A 2 = T 2 A 1 T 1 2 = T 2 T 1 AT 1 1 T 1 2 = (T 2 T 1 )A(T 2 T 1 ) 1 per arrivare ad ottenere, dopo n, iterazioni, una matrice in forma diagonale Λ = T n T n 1...T 1 A T1 1...Tn 1 1 T 1 n = (T n T n 1...T 1 ) A (T n T n 1...T 1 ) 1 Da cui si ricava che S = T n T n 1... T 1 e S 1 è la matrice che contiene gli autovettori

5 Matrici simmetriche ed hermitiane Le matrici simmetriche hanno a ij = a ji e quelle hermitiane a ij = a ji Se il loro ordine è n hanno sempre n autovalori reali (simmetriche) o complessi coniugati (hermitiane) Alcuni autovalori possono coincidere La matrice U che le diagonalizza è una matrice unitaria (U U = U U = 1) se le matrici sono complesse, isometrica se sono reali.

6 Rotazioni di Jacobi Una trasformazione unitaria conserva la quantità n a 2 ij = Tr(A A) ij=1 Faccio un gran numero di trasformazioni unitarie Ognuna di queste diminuisce gli elementi di matrice non diagonali Alla fine otterrò una matrice che ha gli autovalori sulla diagonale principale ed è nulla altrove La trasformazione elementare T ij con i < j differisce dalla matrice unità solo per T ii = T jj = cos(θ) T ij = sin(θ) T ji = sin(θ) L angolo θ è scelto in modo da annullare a ij. Ad esempio T 13 con n = 3 è cos(θ) 0 sin(θ) sin(θ) 0 cos(θ)

7 Dettagli tecnici solo le righe i e j sono cambiate da ogni rotazione; se a ij è già molto piccolo la rotazione non viene effettuata; si fanno più cicli ciascuno con tutti i possibili i e j; Se la trasformazione è T ij questa modifica la matrice secondo la regola: a jj = a ii sin 2 θ +a jj cos 2 θ +2a ij sinθcosθ a ii = a ii cos 2 θ +a jj sin 2 θ 2a ij sinθcosθ a ij = (cos 2 θ sin 2 θ)a ij +sinθcosθ(a ii a jj ) a ki = a ki cosθ a kj sinθ k i,j a kj = a kj cosθ +a ki sinθ k i,j il valore di θ per cui a ij = 0 riduce gli elementi non diagonali n n (a pq) 2 = (a pq ) 2 2a 2 ij p,q=1,p q p,q=1,p q

8 Matrici tridiagonali Sono diverse da zero solo per a ij con i j 1 a 11 a a 21 a 22 a a 32 a 33 a a 43 a 44 È particolarmente facile calcolare il determinante, e quindi il polinomio caratteristico, per una matrice tridiagonale simmetrica Da cui D 4 (λ) = a 11 λ a a 12 a 22 λ a a 23 a 33 λ a a 34 a 44 λ D 4 (λ) = (a 44 λ)d 3 (λ) a 2 34D 2 (λ) Gli zeri di D N (λ) possono poi essere trovati con il metodo di Newton o con altri metodi per la ricerca delle radici

9 Metodo di Householder Vale per matrici simmetriche Le riduce alla forma tridiagonale usa il metodo delle successive trasformazioni di similarità P N 2 P N3...P 2 P 1 Scelgo P della forma P ij = δ ij 2u i u j con u = 1 P 2 = I Infatti P ik P kj = (δ ik 2u i u k )(δ kj 2u k u j ) = δ ij 2u i u j 2u i u j +4u i u j u 2 = δ ij Ne segue che P = P 1 e la trasformazione di similarità per una matrice A è PAP 1 = PAP

10 La trasformazione conserva la simmetria di A (PAP) ij = (δ ik 2u i u k )a kl (δ lj 2u l u j ) = a ij 2u i (u k a kj ) 2u j (a il u l )+4u i u j (u k a kl u l ) = a ji 2(a jk u k )u i 2(u l a li )u j +4u i u j (u k a lk u l ) = (PAP) ji Posso ora cercare un valore del vettore u che renda la matrice più vicina a una tridiagonale, annullando tutti gli elementi a j1 con j > 2, e quindi anche a 1j con j > 2 In particolare se u 0 = 0 ho che a 00 = (δ 0k 2u 0 u k )a kl (δ l0 2u l u 0 ) = a 00 a 0j = (δ 0k 2u 0 u k )a kl (δ lj 2u l u j ) = a 0j 2a 0l u l u j Definisco per comodità di calcolo T = a 0k u k e trovo k=0 a 0j = a 0j 2Tu j facendo il quadrato e sommando su j a 2 0j = a 2 0j +4T2 u 2 j 2T a 0j u j = a 2 0j Impongo ora che la prima colonna della matrice A sia analoga a quella di una matrice tridiagonale. Ho allora a 0j = 0 se j > 1 a 0j = 2Tu j

11 e trovo facilmente a 00 = a 00 a 2 01 = Partendo ora dalle due equazioni j=1 a 2 0j a 01 = a 01 +2Tu 1 a 0j = 2Tu j j > 1 Moltiplicando per a 01 la prima equazione e per a 0j la seconda e sommando su j ottengo e infine j=1 T = a 2 0j = 2T 2 +a 01a 01 ( a 2 0j 2a 01a 01 )/2 j=1 u 1 = (a 01 a 01 )/2T u j = a 0j /2T

12 Si può ora proseguire calcolando in modo analogo le trasformazioni che annullano gli elementi non tridiagonali della seconda, terza, etc. colonna. Ogni volta dovrò prendere trasformazioni in cui u 1 = 0, u 1 = u 2 = 0, u 1 = u 2 = u 3 = 0, in modo da non modificare la colonna 1, 2, 3,... e così via fino alla colonna N 2 compresa. A questo punto la matrice è tridiagonale e si applicano le regole per trovare gli autovalori delle matrici tridiagonali. In sostanza Considero gli elementi a ij della colonna che voglio ridurre a forma tridiagonale Trovo u j dalle formule precedenti Calcolo y i = j a iju j e z= ij u iu j a ij che mi servono per calcolare tutti gli a ij dalla formula a ij = a ij 2u i y j 2u j y i +4zu i u j Ripeto il procedimento per N 2 volte.

13 Limiti sugli autovalori Si dimostra che per ogni autovalore λ vale min i aii a ij λ max aii + i j i j i a ij Questo mi permette di restringere la ricerca degli autovalori in un intervallo noto Per una matrice tridiagonale simmetrica, con elementi diagonali α i ed elementi non diagonali β i, questo si può esprimere come α 0 β 0 λ α 0 + β 0 α 1 β 0 β 1 λ α 0 + β 0 + β 1... α k β k 1 β k λ α k + β k 1 + β k... α n 1 β n 2 λ α n 1 + β n 2 Inoltre, per matrici tridiagonali simmetriche, si dimostra che la sequenza dei determinanti parziali 1,D 1 (λ),d 2 (λ),...,d N (λ) cambia segno tante volte quanti sono gli autovalori minori di λ. Ciò mi consente di verificare se ho trovato tutte le radici

14 Oscillatore armonico quantistico Considero l equazione di Schrödinger per gli autovalori Ĥψ = Eψ e prendo un s.o.n.c. di funzioni u j (x). l hamiltoniana dell oscillatore armonico è data da Ĥ = h2 2m ω2 x 2 ψ si potrà esprimere come combinazione lineare di queste ψ(x) = c j u j (x) Moltiplicando la prima equazione a destra per u i (x) e integrando trovo c j u i (x)ĥu j (x)dx = E c j δ ij = Ec i H ij c j = Ec i Quast ultima è un equazione agli autovalori in cui le componenti degli autovettori sono i c j

15 Implementazione numerica Non posso studiare il problema in un intervallo infinito, perciò devo rinchiudere il mio sistema nell intervallo [ L/2, +L/2]. Le soluzioni dell equazione di una particella libera, che posso utilizzare come base, sono ( ) 2 2π u j (x) = L sin L jx oppure u j (x) = ( ) 2 2π L cos L jx Il potenziale armonico e simmetrico rispetto allo scambio x x e quindi la parità sarà conservata; perciò, se parto da una base di funzioni pari trovarò autovettori pari, e analoga situazione vale per una base dispari. Posso quindi limitarmi, per esempio, agli autovettori pari Gli elementi di matrice, in questo caso, saranno 2 L/2 ( ) ( 2π cos L L ix h 2 ( ) ) 2 2π 2m L j + 1 ( ) 2π 2 mω2 x 2 cos L jx L/2 A questo punto posso calcolare gli autovalori di Ĥ e i c j, e le autofunzioni ψ saranno date da: 2 ( ) 2π ψ = c j cos L L jx

16 Riscalare le equazioni Gestire con il computer piccole o grandi costanti fisiche è complicato Cerco di liberarmene riscalando le equazioni Per l oscillatore armonico questo significa scrivere ξ = mω h x e ε = 2E hω L equazione di Schrödinger diventa ψ (ξ) ξ 2 ψ(ξ) = εψ(ξ) Se l oscillatore ha autovalori E n = hω(n+ 1 2 ) quello riscalato ha autovalori ε n = 2n+1 calcolando separatamente gli autovalori relativi ad autovettori pari e dispari, mi aspetto le sequenze 3,7,11,...oppure 1,5,9...

17 Test Si possono fare alcune verifiche ed esercizi per ω = 0 gli elementi di matrice diversi da zero sono solo quelli diagonali i valori di L sono arbitrari, come pure l ordine N della matrice che diagonalizziamo. È necessario verificare che il risultato finale non cambia se si incrementano L e N, purché abbastanza grandi. posso cercare di calcolare anche gli autovettori quando ho trovato un autovettore seleziono quello più basso che so comportarsi come e ξ2 /2 faccio un grafico dell autofunzione in funzione di x ripeto tutto il procedimento per il potenziale V(x) = U 0 b/2 x b/2 ora l aver risolto l oscillatore armonico funge da test!