Oscillatore armonico tridimensionale

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1 Oscillatore armonico isotropo Oscillatore armonico tridimensionale L oscillatore armonico isotropo in 3 dimensioni é descritto dall hamiltoniana con H = m p + m ω r = h m + m ω r ) [ p, H ] 0 [ L, H ] = 0 ) Soluzione in base cartesiana L eq.) si puó evidentemenete scrivere come la somma di tre oscillatori armonici unidimensionali le cui hamiltoniane commutano H = i= m {p i + m ω x i } = H i 3) i= Introduciamo le variabili adimensionali [H i, H j ] = 0 4) Q i = ) mω h x i P i = e definiamo gli operatori di creazione e distruzione a + i, a i i =,, 3): che soddisfano le relazioni di commutazione L eq.3) puó essere scritta nella forma ) pi 5) mω h a + i = Q i ip i ) a i = Q i + ip i ) 6) [a i, a + j ] = δ ij [a i, a j ] = [a + i, a + j ] = 0 7) H = hω{a + i a i + i= } 8) Gli autovalori ed autostati dell hamiltoniana sono quindi h =, n i Z + ): H ψ n,n,n 3 = E n,n,n 3 ) ψ n,n,n 3 = hω n + n + n ) ψ n,n,n 3 9) dove ψ n,n,n 3 = a+ ) n a + ) n a + 3 ) n 3 n!n!n 3! ψ 0 0)

2 e a i ψ 0 = 0 i ) Gli autostati dell energia, tranne lo stato fondamentale ψ 0, sono degeneri con degenerazione data dalla partizione dell intero positivo N = n + n + n 3 in tre interi n, n, n 3 non negativi N = 3 stati, N = 6 stati, N = 3 0 stati, N = 4 5 stati, in generale 3+N )!/!N!). Nello spazio delle funzioni delle variabili spaziali questa soluzione equivale a usare nell eq.3) l espressione in coordinate cartesiane del Laplaciano ed a cercare una soluzione dell equazione H Ψ r) = [ h m per separazione di variabili ) x + y + z + m ω x + y + z ) ] Ψ r) = E Ψ r) ) Ψ r) = ψx) ψy) ψz) 3) dove ψx i ) é soluzione dell equazione stazionaria dell oscillatore armonico unidimensionale. Ricordiamo che ψ ni Q i ) = N ni H ni Q i ) e Q i 4) dove N ni é una costante di normalizzazione N ni = π / n i! n i 5) e H ni Q i ) é il polinomio di Hermite di ordine n i nella variabile Q i, vedi Scwabl par.3... Quindi l autofunzione generica della hamiltoniana dell oscillatore armonico tridimensionale é dove Ψ n,n,n 3 x, y, z) = N n N n N n3 H n Q )H n Q )H n3 Q 3 ) e R 6) R = Q + Q + Q 3 7) L eq.6) non é invariante per rotazioni tranne per lo stato fondamentale). Abbiamo quindi perso l invarianza per rotazione eq.) come conseguenza di avere scelto una base di autostati comune a H e H i. Infatti [ L, H i ] 0 8) Solo l autostato di L con autovalore 0 puó anche essere autostato di H e H i. Notiamo che la degenerazione degli autostati di H é totalmente eliminata fissando gli autovalori e quindi anche gli autostati) di delle tre hamiltoniane parziali H i la terza é funzione delle prime due) e di H. Il sistema completo di osservabili é quindi formato da tre osservabili. In effetti anche l operatore unitario paritá S definito da S xs = x S ps = p 9) commuta con la hamiltoniana eq.). Notiamo che dalla proprietá S = = SS = SS 0)

3 3 segue che gli autovalori di S sono ±. Dalla definizione, eq.6), si deduce subito Sa i S = a i Sa + i S = a + i ) Ne consegue che gli autostati eq.6) si dividono in due classi: dispari e pari secondo che cambiano o meno segno per cambiamento di segno della variabile spaziale r r, rispettivamente per N = n +n +n 3 dispari e pari. Si faccia attenzione che r p) in eq.9) denota l osservabile operatore hermitiano). Sulle autofunzioni eq.6) l azione dell operatore paritá é S Ψ n,n,n 3 )x, y, z) = Ψ n,n,n 3 ) x, y, z) ) Soluzione in base polare Definiamo gli operatori A + ± = a + ± i a + ) 3) A ± = a i a ) 4) A + 0 = a + 3 A 0 = a 3 5) che soddisfano [A k, A + l ] = δ kl 6) [A k, A l ] = [A + k, A+ l ] = 0 7) la hamiltoniana eq.8) si scrive H = k=±,0 hω {A + k A k + } 8) Essendo le relazioni di commutazione degli operatori A + k, A k identiche a quelle degli operatori a + i, a i, la struttura degli autostati sará la stessa e quindi possiamo scrivere autovalori ed autostati della hamiltoniana come n k Z + ) H ψ n+,n,n 0 = E n+,n,n 0 ) ψ n+,n,n 0 = hω n + + n + n 0 ) ψ n+,n,n 0 9) dove ψ n+,n,n 0 = A+ +) n + A + ) n A + 0 ) n 0 ψ 0 30) n+!n!n 0! A k ψ 0 = 0 k {±, 0} 3) Dalle relazioni tra gli operatori A + k, A k e gli operatori a + i, a i e tra questi ultimi e gli operatori Q i, Q i si ricava A + + = Q ip + iq + P ) A + = Q + ip iq + P ) 3)

4 4 A + = Q ip iq P ) A = Q + ip + iq P ) 33) e si deduce che L i = ε imn Q m P n ) L z L 3 L 0 = hq P P Q ) = ha + + A + A + A ) 34) Si vede immediatamente che l operatore definito dall eq.34) é hermitiano, commuta con H e sugli stati eq.30) ha autovalori Si dimostra anche che L 0 ψ n+,n,n 0 = hn + n ) ψ n+,n,n 0 = hm ψ n+,n,n 0 35) L + = h A + + A 0 + A + 0 A ) 36) L = h A + 0 A + + A + A 0 ) 37) É immediato verificare che L ± commutano con la hamiltoniana eq.8) e soddisfano [L +, L ] = hl 0 [L 0, L ± ] = ± hl ± 38) quindi gli operatori L ±,0 soddisfano le relazioni del momento angolare e l eq.) é d immediata verifica. Sappiamo che gli autovalori dell operatore L z L 0 soddsfano m l quindi m max = l. Quindi fissato n = n + + n + n 0 avremo un valore di l = m,max = n a cui corrispondono l + stati con valore di m tali che l m l. Per esempio m = l n + = n n = 0 n 0 = m = l n + = n n = 0 n 0 = m = l n + = n n = n 0 = 0 39) Dalla precedente equazione si vede che ci sono due stati indipendenti che corrispondono a m = l. Ció significa che é possibile costruire uno stato con valore m = l tale che L + applicato a tale stato dia zero. Quindi abbiamo, fissato n, costruito uno stato con l = m,max = l. Continuando nella costruzione si deduce che per ogni fissato valore di n ci sono diversi valori del momento angolare l { n, n -,..., 0 l pari l = n, n -,..., l dispari. Ne segue che l energia non dipende da l, ma solo da n. L indipendenza dell energia da l non puó essere spiegata in termini della simmetria per rotazioni spaziali, che implica la non dipendenza dell energia dal numero quantico m quindi implica una degenerazione di ordine l + ). Gli autostati della hamiltoniana eq.8) che sono autostati di L 0 con autovalore m e di L con autovalore ll + ) sono ψ n,l,m ψ n,n,n = A+ +) n ψ 0 40) n! Dall azione degli operatori L ± L ± ψ l,m = h ll + ) mm ± ) ψ l,m± 4)

5 5 si deduce che lo stato Esempio: ψ n,n,n = Lo stato con l = n si scrive n ψ n,n,n = n ψ n,n,m L ) n m ψ n,n,n 4) ψ n,n,n = A+ +) n A + 0 ) n )! n ) A+ +) n A + 0 ) n n )!! n ) A + +) n A + 0 ) n )!! ψ 0 43) ψ 0 + A+ +) n A + ) n )! ψ 0 A+ +) n A + ) n )! ψ 0 ψ 0 44) 45) Infatti tale stato ha autovalore di L 0 uguale a n ed é annichilato da L +, inoltre é ortonormalizzato ed ortogonale allo stato eq.44). Gli autostati con valore di m < l si ricavano operando con l operatore L. Gli stati con altri valori di l hanno ovviamente espressioni piú complicate e si ricavano imponendo che siano annichilati dal operatore L + e che siano ortogonali agli stati giá costruiti con uguale aotovalore di L 0. Nello spazio delle funzioni delle variabili spaziali questa soluzione equivale a usare nell eq.3) l espressione in coordinate polari del Laplaciano ed a cercare una soluzione dell eq.) per separazione di variabili dove χr) é soluzione dell equazione radiale di Schrödinger [ m r + r Ψ r) = χr) Y lm θ, φ) 46) ) ll + ) + + ] r mr mω r χr) = E χr) 47) e Y lm θ, φ) é l armonica sferica, vedi Schwabl - par Introducendo la variabile adimensionale R = mω/ h) r, vedi eq.7), che tuttavia in seguito continueremo ad indicare con r, e scrivendo l energia E = hωλ/ l eq.47) si riscrive [ r r r r ) + λ r )] ll + ) χr) = 0 48) r Si noti che spesso nella letteratura al posto dell eq.48) si trova l equazione per la funzione ur) definita da χr) = ur) 49) r [ con ur 0) = ur ) = 0. Scrivendo r + λ r ll + ) r χr) = Rr) e r / )] ur) = 0 50) 5)

6 6 l eq.48) si riduce a, indicando con l apice la derivata della funzione rispetto a r, R + r r ) R + λ 3 ) ll + ) R = 0 5) r Cerchiamo una soluzione dell eq.5) nella forma di una serie di potenze di r Rr) = k=α Il coefficiente della piú piccola potenza α ) di r nell eq.5) é c k r k 53) αα ) + α ll + ) = αα + ) ll + ) 54) e deve essere nullo = α = l. L altra possibile soluzione α = l + ) va scartata perché da una soluzione divergente all origine. Notiamo che l andamento di χr) all origine puó essere direttamente ricavata dall eq.48) osservando che per r 0 il termine dominante é il potenziale centrifugo e quindi l eq.48) si puó scrivere [ r r r Sostituendo l eq.53) nell eq.5) si trova r ) ] ll + ) χr) = 0 r 0 55) r {[kk + ) ll + )]c k r k + [λ 3 k]c k r k+ } = 0 56) k=l Nell eq.56) il coefficiente di r l é ovviamente nullo, il coefficiente di r l+ é Il coefficiente del generico termine r k é: cioé [l + )l + ) ll + )]c l+ c l+ = 0 57) [kk + ) ll + )]c k + [λ 3 k )]c k = 0 58) c k = λ 3 k ) l k)l + k + ) c k 59) L eq.59) e l eq.57) implicano che nella serie di potenze eq.53) le potenze di r variano di due in due quindi abbiamo Rr) = r l [serie di potenze in r ] = r l vr) = r l p=0 c p r p 60) Il rapporto tra due termini consecutivi della serie é dall eq.59) λ 3 k ) l k)l + k + ) r k r k 6)

7 7 Dallo sviluppo in serie della funzione esponenziale e r = k=0 r k k! = rk+) /k + )! r k /k! k r k 6) quindi la serie eq.53) tende ad un esponenziale positivo in r e di conseguenza la funzione eq.5) tenderebbe ad una costante per r dando un andamento non accettabile per una funzione d onda, che deve appartenere allo spazio L. Ne segue che, per avere una soluzione fisicamente accettabile, nella serie eq.53) i coefficienti devono essere nulli per k > k max = n + cioé la serie deve troncarsi e divenire un polinomio. Dall eq.59) si vede che questo avviene se λ = n ) e quindi ritroviamo per l energia l espressione E n = hωn + 3/). Quindi l autofunzione dell eq.) si scrive, dall eqq.46)- 5) Ψnlm r) = N nl e r / R nl r) Y lm θ, φ) 64) dove N nl é una costante di normalizzazione e R nl r) é un polinomio in r di grado n, potenza piú bassa l, con potenze di r che variano di due in due. Il rapporto tra i coefficienti di due monomi consecuitivi in r é dato dall eq.59), che permette il calcolo per iterazione di tutti i coefficienti in funzione c l. Quest ultimo viene fissato dalla normalizzazione. Sostituendo l eq.60) nell eq.5) si vede che il polinomio vr) soddisfa l equazione di Laguerre, vedi, per es., Messiah-Vol. I - App. B. In termini dei polinomi di Laguerre L p k t) l eq.64) si scrive Ψnlm r) = N nl e r / r l L l+/ k r ) Y lm θ, φ) [k = n l)] 65) con = N nl [k + l) + ] [k + l) ]... 3 π 66) Si ricordi che stiamo usando per la variabile r l espressione adimensionale eq.7), cioé stiamo misurando r in unitá h/mω) /. Dalla definizione, eqq.3), 4) e 5), si deduce subito SA k S = A k SA + k S = A + k 67) Quindi gli autostati eq.30) si dividono in autostati di S di autovalore +, se n = n + + n + n 0 é un numero pari, e, se n é dispari. Dall equazione S Y lm θ, φ) = Y lm π θ, φ + π) = ) l Y lm θ, φ) 68) segue che gli autostati con l pari n pari) sono invarianti per paritá, mentre quelli con l dispari n dispari) cambiano segno. Relazione tra soluzioni in base cartesiana ed in base polare Un modo per determinare la relazione tra le autofunzioni nella base sferica e le autofunzioni nella base cartesiano il seguente: : nell eq.6), in cui le variabili adimensionali sono espresse in

8 8 funzione delle variabili spaziali, usando l inversa dell eq.5), si esprimono le variabile cartesiane in funzione di quelle polari x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ 69) La completezza delle basi delle autofunzioni implica che possiamo scrivere, omettendo per semplificare la scrittura le costanti di normalizzazione: R nl r) Y lm θ, φ) = n +n +n 3 =n n,n,n 3 c n,l,m n,n,n 3 H n x)h n y)h n3 z) 70) con x, y, z adimensionali) c n,l,m n,n,n 3 = dxdydz N n N n N n3 R nl r) Y lm θ, φ) H n x)h n y)h n3 z) e r / 7) Anche per l oscillatore armonico tridimensionale é possibile definire gli stati coerenti come autostati degli operatori a i o A k. Tali stati hanno la forma del prodotto di tre stati coerenti introdotti per l oscillatore armonico unidimensionale. Oscillatore armonico anisotropo Se l oscillatore armonico non é isotropo, cioé le costanti del potenziale o equivalentemente le frequenze ω i non sono uguali nelle tre direzioni, la hamiltoniana non si scrive nella forma eq.), ma H = m {p i + m ωi x i } = H i 7) e i= i= [ L, H ] 0 73) In tal caso, siccome l eq.4) é ancora soddisfatta, la soluzione si trova nella base cartesiana, definendo gli operatori di creazione e distruzione a + i, a i tramite l eq.6) in cui gli operatori Q i, P i sono definiti dall eq.5) in cui si é fatta la sostituzione ω ω i. L eq.9) adesso diventa H ψ n,n,n 3 = E n,n,n 3 ) ψ n,n,n 3 = hω i n i + i= ) ψ n,n,n 3 74) Nello spazio delle funzioni l autofunzione generica della hamiltoniana dell oscillatore armonico tridimensionale anisotropo é Ψ n,n,n 3 x, y, z) = N n N n N n3 H n Q )H n Q )H n3 Q 3 ) e Q e Q e Q 3 75)