Polinomi ortogonali. 21 febbraio 2017

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1 Polinomi ortogonali 1 febbraio 017 I polinomi ortogonali di grado n in una variabile reale x sono, innanzitutto, POLINOMI, ossia qualcosa la cui definizione è sprofondata nei tempi della vostra pur giovanile memoria, risalendo alla vostra frequentazione della scuola media inferiore. L aggettivo ortogonali che vien loro appioppato significa semplicemente che ne esistono numerose famiglie, a loro volta numerose, nel senso che ne fanno parte polinomi di tutti i gradi possibili, da 0 a, ciascuna contraddistinta da una funzione di famiglia w(x) 0 e da un dominio di definizione per tale funzione, di modo che, presi due membri diversi P k (x) e P l (x) (significa due polinomi di grado differente: k e l) di ciascuna famiglia, valga SEMPRE P k (x)p l (x) w(x) dx 0 (1) in cui D è appunto il dominio di w(x). Alcune considerazioni discendono immediatamente: D la presenza della funzione w(x) nella definizione(1) è indispensabile, perché il dominio di un polinomio è l intera retta reale e quindi, in assenza del vincolo posto da w(x), l integrale (1) sarebbe sempre divergente; occorre, con tutta evidenza, che sia k l, altrimenti nella (1) comparirebbe il quadrato di un certo polinomio della famiglia e quindi, data la positività assunta di w(x), mai l integrale (1) potrebbe annullarsi se non nel caso sconfortantemente triviale in cui tutti i polinomi della famiglia fossero identicamente nulli (perbacco: che farsene?); poiché della famiglia fa parte anche il polinomio di grado zero, la (1) dice anche che OGNI polinomio della famiglia che abbia grado k > 0 ha integrale nullo su D, se pesato con w(x); l integrale del polinomio di grado zero è, peraltro, chiaramente proporzionale a quello di w(x) stessa; il prodotto P k (x)p l (x) che compare nella (1) è, ovviamente, un polinomio di grado k + l e ha integrale pesato nullo su D, ma NON È ASSOLU- TAMENTE DETTO che coincida con il P k+l (x) che fa parte della stessa famiglia, ANZI... 1

2 Assodate tutte le precedenti ovvietà, restano da identificare le famiglie di polinomi ortogonali più significative per un Fisico, o per un Fisico-matematico: ne saranno introdotte tre() che incontrerete presto nel vostro percorso di aspiranti Fisici più un altra che ha più interesse dal punto di vista matematico. 1 Polinomi di Hermite H n (x) Li incontrerete come basi per le funzioni d onda dell oscillatore armonico quantistico; per essi la funzione w(x) è ) w(x) exp ( x () e il dominio D è dunque esteso sull intera retta reale. Sono definiti dalla seguente formula: H n (x) ( 1) n exp(x ) dn dx n exp( x ) () che dà evidentemente un polinomio di grado n perché tale è la derivata n esima dell esponenziale indicato, a parte il fattore esponenziale stesso, opportunamente eliso tramite il prefattore esponenziale di esponente opposto. Convenendo che la derivata 0 esima di una funzione sia la funzione stessa cui venga applicata, i polinomi di Hermite dei gradi più bassi sono H 0 (x) = 1 H 1 (x) exp(x ) d dx exp( x ) = x H (x) exp(x ) d dx exp( x ) = exp(x ) d dx H (x) exp(x ) d dx exp( x ) = exp(x ) d dx = 8x 1x ( xexp( x ) ) = 4x ( (4x )exp( x ) ) = La condizione (1) è soddisfatta in maniera evidente se k e l hanno diversa parità, mentre assai meno evidente è la sua validità quando la parità fosse la stessa: in quel caso sono appunto cruciali i singoli coefficienti e l azione della funzione w(x) all interno del dominio d integrazione. La struttura stessa della formula che definisce i polinomi di Hermite suggerisce a chi non sia orbo le seguenti formule di ricorrenza, che consentono di velocizzarne in maniera vertiginosa il calcolo dei coefficienti: dh n dx (x) = nh n 1(x) n > 0 H n+1 (x) = xh n (x) dh n dx (x) (5) (4)

3 Pertanto, dallaconoscenzadirettadeisolih 0 (x)eh 1 (x), sipossonodeterminare i coefficienti di tutti i polinomi successivi senza dover più calcolare una sola derivata. Polinomi di Laguerre L n (x) Li incontrerete quando risolverete l equazione di Schrödinger per l atomo d idrogeno per la componente radiale della funzione d onda; si tratta di un caso particolare, per α = 0, dei cosiddetti polinomi associati di Laguerre n (x) definiti dalla formula n (x) x α e x d n ( e x n! dx n x n+α) (6) in cui α è qualsiasi numero reale. Questi polinomi adempiono la condizione (1) sul dominio D = {x > 0} con la funzione w(x) = x α e x, anzi si mostra che 0 x α e x k (x)l(α) l (x)dx = δ kl Γ(k +α+1) k! in cui Γ(z) è la funzione di Eulero la quale, per z intero non negativo, verifica Γ(z + 1) z! di modo che i polinomi di Laguerre L n (x) L (0) n (x) sono addirittura ortonormali. I polinomi dei gradi più bassi, calcolati esplicitamente, sono: 0 (x) = 1 1 (x) x α e x d dx (x) x α e x ( e x x 1+α) = α+1 x d dx ( e x x +α) = x α e x e x x α[ x (α+)x+(α+)(α+1) ] = 1 x (α+)x+ (α+)(α+1) (x) x α e x 6 d dx ( e x x +α) = = x 6 + α+ x (α+)(α+) x+ (α+)(α+)(α+1) 6 Ognuno si ricavi da sé le corrispondenti espressioni con α = 0. Anche per i polinomi di Laguerre vige una relazione di ricorrenza a due passi, che può essere agevolmente verificata anche sperimentandola sulle espressioni esplicite dei gradi bassi; precisamente: L (0) n+1 (x) L n+1(x) = 1 n+1 [(n+1 x)l n(x) nl n 1 (x)] n 1 (9) (7) (8)

4 che può essere avviata mediante la conoscenza diretta di L 0 (x) e L 1 (x); come si intuisce facilmente questa ricorrenza produce coefficienti dei monomi di grado alto vertiginosamente piccoli al crescere di n. Un altra relazione interessante lega i polinomi associati di Laguerre con α = 1 ai polinomi di Hermite, consentendo quindi, anche mercé gli integrali che compaiono in (1) per le due famiglie, di valutare gli integrali pesati del prodotto di un polinomio di Hermite per sé stesso. Valgono infatti L (±1/) 0 (x) = H 0 (x) = 1 e: H n (x) =( 1) n n n!l ( 1/) n (x ) n > 0 H n+1 (x) =( 1) n n+1 n!xl (1/) n (x ) n 0 (10) come si può abbastanza facilmente controllare. Polinomi di Legendre L n (x) Li incontrerete là dove avrete incontrato anche i polinomi di Laguerre, quando si tratterà di esprimere la parte angolare della funzione d onda dell atomo d idrogeno: infatti sono le espressioni fondanti per le cosiddette funzioni associate di Legendre le quali, a loro volta, con poco lavoro aggiuntivo, costituiranno le armoniche sferiche, ossia gli autostati del momento angolare, quelli che in Chimica, ma anche in Fisica, sono chiamati più familiarmente orbitali atomici. Sono definiti dalla formula d n L n (x) 1 [ (x n n! dx n 1) n] (11) e verificano la condizione (1) con w(x) = 1 nell intervallo [ 1,1] e w(x) = 0 altrove. Si può anzi calcolare esplicitamente la (1) in questo caso, trovando 1 1 L k (x)l l (x) dx = δ kl k +1 (1) È interessante notare che dei polinomi di Legendre, vista la definizione di w(x), serve solo l andamento in un intervallo compatto della retta reale: quello che faranno al di fuori non importa un accidente. Anche in questo caso si forniscono le espressioni esplicite dei polinomi di grado 4

5 basso: L 0 (x) = 1 L 1 (x) 1 d ( x 1 ) = x dx d L (x) 1 [ (x 8dx 1) ] = 1 (x 1) L (x) 1 d [ (x 48dx 1) ] = 1 (5x x) (1) Si noti che anche i polinomi di Legendre, come quelli di Hermite, ma NON come quelli di Laguerre, hanno parità definita, uguale a quella del loro grado. Anch essi posseggono una relazione di ricorrenza a due passi che qui si riporta: L n+1 (x) n+1 n+1 xl n(x) n n+1 L n 1(x) (14) che, come d abitudine, consente di determinarli tutti partendo dai due d infimo grado. La validità della ricorrenza è direttamente sperimentabile sulle espressioni esplicite sopra riportate. È curioso (fino a un certo punto) notare che, una volta espressi i coefficienti razionali dei diversi polinomi in modo che tutti abbiano lo stesso denominatore di quello di grado maggiore, tale denominatore comune è sempre una potenza di. ComegiàsièanticipatolefunzioniassociatediLegendreP n (m) (x) si costruiscono partendo dai polinomi di Legendre; esse dipendono da due cosiddetti numeri quantici: il grado n del polinomio di Legendre che le definisce e un secondo numero, pure intero, m, vincolato all intervallo 0 m n, secondo la seguente definizione P (m) n (x) = (1 x ) m d m dx ml n(x) x 1 (15) Si osservi che la definizione è ben posta: il dominio è quello significativo dei polinomi di Legendre, per cui è ben definito il prefattore anteposto all operatore di derivazione; d altro canto, poiché m non supera n, le funzioni così definite non sono banalmente e identicamente nulle sul loro dominio, né si può affermare che si tratti ancora di polinomi perché, per ogni valore dispari di m, il prefattore è una funzione irrazionale. Ricordando l espressione data per il polinomio di Legendre L n (x) si potrà riscrivere, equivalentemente: P (m) n (x) = ( 1)n n n! (1 x ) m d m+n dx m+n [ (1 x ) n] (16) in cui l introduzione del fattore ( 1) n tiene conto del fatto che si è cambiato il segno della funzione da derivare, per ricondurla al dominio di interesse (quando si definirono i polinomi di Legendre non aveva importanza, dato che non vi erano coinvolte radici di checchessia). In questa forma, però, risulta palese che 5

6 la condizione 0 m n può essere trasformata nella più debole 0 m n, consentendocioèalnumeroquanticomdiassumeretuttiivaloriinteriin[ n,n]. È proprio grazie a quest ultima osservazione che è possibile definire le armoniche sferichey lm (θ,φ), autostatidelmoduloquadrodelmomentoangolareedellasua proiezionesuundeterminatoassecartesiano: quiθ eφsonoappuntogliangolidi colatitudine e azimuth (rispettivamente) delle coordinate polari sferiche, l(l + 1) è il modulo quadro del momento angolare (quantizzato, in unità di ) e l m l è il valore (quantizzato, nelle stesse unità) della sua componente lungo l asse delle coordinate polari stesse. L espressione esplicita dell armonica sferica più generale possibile, completa di fattori di normalizzazione rispetto all integrazione sull intero angolo solido, è: Y lm (θ,φ) ( 1) m+ m { l+1 4π }1 (l m )! ( m ) P l (cosθ) e imφ (17) (l+ m )! in cui la valutazione della funzione associata di Legendre in x = cosθ è nell intrinseca natura del suo dominio. Si riconoscerà facilmente nell unica armonica sferica di numero quantico l = 0, Y 00 (θ,φ), che, per inciso, è la costante 1, 4π null altro che la distribuzione angolare isotropa dell orbitale s; così come, nelle tre armoniche sferiche di numero quantico l = 1, i tre orbitali p: Y 1, 1 (θ,φ) = sin(θ) e iφ 8π Y 1, 0 (θ,φ) = 4π cos(θ) Y 1, 1 (θ,φ) = 8π sin(θ) eiφ = Y 1, 1 (θ,φ) (18) 4 Polinomi di Tchebyshev di prima specie T n (x) Il nome di questo matematico russo è un altro di quelli che nessuno, in occidente, sa esattamente come scrivere, e pertanto ne esistono un numero di grafie diverse che è più o meno proporzionale al fattoriale del numero di lettere che lo compongono. Anche i suoi polinomi soddisfanno la condizione (1) nell intervallo [ 1,1] con una funzione peso w(x) = 1 1 x. In pratica la loro definizione è quella di un polinomio trigonometrico basato sulla formula di De Moivre per cui: T n (cosθ) cos(nθ) (19) 6

7 I polinomi dei gradi bassi sono pertanto T 0 (x) = T 0 (cosθ) cos(0) = 1 T 1 (x) = T 1 (cosθ) cos(θ) = x T (x) = T (cosθ) cos(θ) = cos(θ) 1 = x 1 T (x) = T (cosθ) cos(θ) = cos(θ +θ) = = cos(θ)cos(θ) sin(θ)sin(θ) = = (cos(θ) 1)cos(θ) sin(θ) cos(θ) = = (cos(θ) 1)cos(θ) (1 cos(θ) )cos(θ) = = 4x x (0) Non poteva mancare la consueta formula di ricorrenza a due passi che, nel caso presente, recita: T n+1 (x) xt n (x) T n 1 (x) (1) Non si ritiene necessario aggiungere altro. 7