Esercizi Di Geometria 1 (BAER) Canale 1 Da consegnare Lunedi 19 Ottobre

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1 Esercizi Di Geometria (BAER Canale Da consegnare Lunedi 9 Ottobre SETTIMANA 3 (2 8 Ottobre Moltiplicazione di matrici Gli esercizi sono presi dal libro Intorduction to Linear Algebra di Serge Lang Esercizio Data una matrice quadrata A, mostrare che A + t A é simmetrica; 2 Un matrice quadrata A si dice anti simmetrica se t A = A Mostrare che se A é una matrice quadrata, allora A t A é anti simmetrica; 3 Se una matrice é anti simmetrica, cosa si puó dire dei suoi elementi sulla diagonale? 4 Mostrare che ogni matrice quadrata é somma di una matrice simmetrica e di una anti simmetrica Soluzione t (A + t A = t A + t ( t A per linearitá della trasposizione Poiché t ( t A = A otteniamo che t (A + t A = t A + A = A + t A; 2 t (A t A = t A t ( t A per linearitá della trasposizione Poiché t ( t A = A otteniamo che t (A t A = A + t A = (A t A; 3 Gli elementi diagonali di una matrice anti simmetrica sono zero Infatto zero é l unico numero reale uguale al suo opposto 4 Sia A una matrice quadrata Allora A = 2 (A t A + 2 (A + t A Per quanto visto nei punti precedenti, A é quindi somma di una matrice simmetrica e di una anti simmetrica Esercizio 2 In ognuno dei seguenti casi trovare (ABC e A(BC ( ( ( 2 4 A =, B =, C = ; ( ( 2 2 A =, B = 2, C = ;

2 ( A = 3, B = 2 3 5, C = Soluzione 2 Per quanto visto a lezione, il prodotto righe per colonne é associativo Per cui (ABC = A(BC Esso é uguale a ( 3 2 ; 4 ( 2 ; 4 ( Esercizio 3 Siano Trovare AB e BA Soluzione 3 AB = Esercizio 4 Sia A = ( 5 5 ( 2 3 ( 4 2, BA = 5 A = ( 2, B = Determinare E A, E 2 A ed E 3 A, ed anche A t (E, A t (E 2, A t (E 3 dove E i denota l i esimo vettore (riga! unitario standard di R 3 Soluzione 4 E A = (3,, 5, E 2 A = (2,,, E 3 A = (,, 7, A t (E = t (3, 2,, A t (E 2 = t (,,, A t (E 3 = t (5,, 7 Esercizio 5 Sia X = E = (,, il primo vettore unitario standard di R 3 e sia A una matrice 3 3 Descrivere XA e A t X Stessa richiesta per X = E 3 = (,, Generalizzare al caso dell i-esimo vettore standard di R n Soluzione 5 E i A é uguale alla i esima riga di A: E i A = A i A t E i é uguale alla i esima colonna di A: A t E i = A i Esercizio 6 Siano e ( 2 3 A = B = Trovare AX e BX per ognuno dei seguenti valori di X: X = ; X = ; X = 2

3 Soluzione 6 Come osservato nell esercizio precedentea t E i = A i Per cui A t E = t (2, 4, A t (E 2 + E 3 = t (, + t (3, 5 = t (4, 6, A t E 3 = t (3, 5 Similmente, B t E = t (3,, 2, B t (E 2 + E 3 = t (7,, + t (5, 4, 8 = t (5, 3, 9, B t E 3 = t (5, 4, 8 Esercizio 7 Trovare AX in ognuno dei seguenti casi: 3 X = 2 e A = 2 ; 2 2 X = 3 X = 4 X = x x 2 x 3 x x 2 x 3 e A = e A = e A = Soluzione 7 t (4, 9, 5; 2 t (3, ; 3 t (x 2, ; ( 2 5 ( ( ; ; 4 t (, x Esercizio 8 Sia A = ( a b c d Trovare AS per ognuna delle seguenti matrici S Descrivere a parole l effetto su A di questo prodotto ( x S = ; ( 2 S = x Soluzione 8 AS = ( a b + ax : é ottenuta aggiungendo un multiplo della c d + cx prima colonna alla seconda colonna di A; ( a + bx b 2 AS = c + dx d alla prima colonna di A ( a b Esercizio 9 Sia A = c d Descrivere a parole l effetto su A di questo prodotto : é ottenuta aggiungendo un multiplo della seconda colonna Trovare SA per ognuna delle seguenti matrici S 3

4 ( x S = ( 2 S = x ; ( a + cx b + dx Soluzione 9 SA = c d della seconda riga alla prima riga di A; ( a b 2 SA = c + ax d + bx alla seconda riga di A Esercizio Sia : é ottenuta aggiungendo un multiplo : é ottenuta aggiungendo un multiplo della prima riga A = Trovare A 2 ed A 3 Generalizzare al caso 4 4 Soluzione A 2 = ; A 3 = Posto B = si ha B 4 = Esercizio Sia Trovare A 2, A 3 ed A 4 B 2 = B 3 = A = 2 ; ; 4

5 Soluzione Esercizio 2 Sia Trovare A 2, A 3 ed A 4 Soluzione 2 A 2 = A 3 = A 4 = A = A 2 = A 3 = A 4 = Esercizio 3 Sia A una matrice diagonale con elementi diagonali a, a 2,, a n Descrivere A 2, A 3 e A k per ogni intero positivo k Soluzione 3 A k e una matrice diagonale con entrate a k, a k 2,, a k n Esercizio 4 Trovare una matrice A, 2 2, tale che A 2 = 2 = ( 2 Determinare tutte le matrici A, 2 2 e tali che A 2 = ( Soluzione 4 Ad esempio A = ( a b 2 A = per ogni a, b R tali che b Inoltre ci sono anche le matrici a2 a b ( della forma per ogni c R c Esercizio 5 Sia A una matrice quadrata di taglia n 5

6 Se A 2 =, mostrare che n A é invertibile 2 Se A 3 =, mostrare che n A é invertibile 3 In generale, se A k = per qualche k, mostrare che n A é invertibile [Suggerimento: pensare alle serie geometriche] 4 Supponiamo che A 2 + 2A + n = Mostrare che A é invertibile 5 Supponiamo che A 3 A + n = Mostrare che A é invertibile Soluzione 5 Sia A una matrice quadrata di taglia n L inversa é n + A 2 L inversa é n + A + A 2 3 L inversa é n + A + A 2 + A A k 4 Per ipotesi, A(A + 2 n = n e qundi l inversa di A é (A + 2 n 5 Per ipotesi, A(A 2 n = n e qundi l inversa di A é (A 2 n Esercizio 6 Due matrici quadrate A e B della stessa taglia Diciamo che A é simile a B se esiste una matrice invertibile T tale che B = T AT Supponiamo che A sia simile a B, allora dimostrare che: B é simile ad A; 2 A é invertibile se e solo se B é invertibile; 3 t A é simile a t B 4 Supponiamo che A n = per qualche n, e che B sia invertibile della stessa taglia di A mostrare che (BAB n = Soluzione 6 Se B = T AT, moltiplicando a destra per T e a sinistra per T entrambi i membri di questa uguaglianza, si ottiene T BT = A e quindi B é simile ad A (mediante la matrice T ; 2 Supponiamo che A abbia inversa A Allora, T A T é inversa di B, poiché T A T B = (T A T (T AT = T A (T T AT = T (A AT = T T 3 Si prenda la trasposta della relazione B = T AT Si ottiene t B = t T t A t T Questo vuol dire che t B é simile ad t A,poiché esiste una matrice C (la matrice C := t T tale che t B = C t AC 4 n volte {}}{ (BAB n = (BAB (BAB (BAB (BAB = = BA(B BA(B B AB = BA n B = 6

7 Esercizio 7 Una matrice quadrata A = (a ij i,j=,,n, n n di dice triangolare superiore se a ij = per ogni i > j Siano A e B due matrici triangolari superiori della stessa taglia Mostrare che AB é ancora triangolare superiore Cosa possiamo dire degli elementi diagonali di AB? Soluzione 7 (AB ij = A i B j = se i > j Gli elementi sulla diagonale di AB sono i prodotti degli elementi sulla diagonale di A con quelli sulla diagonale di B, componente per componente: ovvero (AB ii = A ii B ii per ogni i Esercizio 8 Siano a e b due numeri Si considerino le seguenti matrici: ( ( a b A := B := Determinare AB, A 2, A 3 ed A k per ogni k 2 Mostrare che sia A che B sono invertibili esibendone una inversa ( a + b Soluzione 8 AB = Per induzione su k si dimostra che ( ka A k = (per ogni k ( ( a b 2 A := e B := Esercizio 9 Sia R(θ la matrice di rotazione di un angolo θ: ( cos θ sin θ R(θ = sin θ cos θ Mostrare che dati comunque due numeri θ e θ 2 si ha R(θ R(θ 2 = R(θ + θ 2 2 Mostrare che la matrice R(θ ha una inversa, esibendola 3 Mostrare che R(θ 2 = R(2θ Usando l induzione, mostrare che R(θ n = R(nθ per ogni n Soluzione 9 Dati comunque due numeri θ e θ 2 si ha ( cos θ cos θ R(θ R(θ 2 = 2 sin θ sin θ 2 (sin θ cos θ 2 + cos θ sin θ 2 sin θ cos θ 2 + cos θ sin θ 2 cos θ cos θ 2 sin θ sin θ 2 Dalle ben note formule: cos θ cos θ 2 sin θ sin θ 2 = cos(θ + θ 2 e sin θ cos θ 2 + cos θ sin θ 2 = sin(θ + θ 2 otteniamo la formula desiderata 7

8 2 Poiché cos( = e sin( =, dalla formula appena dimostrata si ha R(θ = R( θ 3 Per induzione su n si dimostra che ( cos nθ sin nθ R(θ n = sin nθ cos nθ Esercizio 2 Sia X = t (, 2 un punto del piano Se rotiamo X di un angolo di π/4, quali sono le coordinate del nuovo punto? 2 Stessa domanda per il vettore X = t (, 3 e la rotazione di un angolo di π/2 3 Sia X un vettore di R 2 e sia Y = R(θX la sua rotazione di un angolo θ Mostrare che Y = X 4 Sia θ > Qual é la matrice associata alla rotazione di angolo θ? Soluzione 2 2 t (, 3 2 t ( 3, 3 Le coordinate di Y = (y, y 2 sono date da da cui, espandendo si ottiene y = x cos θ x 2 cos θ y 2 = x sin θ + x 2 cos θ y 2 + y 2 2 = x 2 + x 2 2 8