Scritto di Analisi II e Meccanica razionale del

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1 Scritto i Analisi II e Meccanica razionale el 5.. Esercizio i meccanica razionale Nel piano verticale Oxy i una terna inerziale Oxyz sono vincolati a muoversi un asta rettilinea omogenea OA, ilunghezza a emassa m, eunisco circolare, iraggio a e centro C, la cui ensità è ata a σp = m P C P. L asta ha l estremo O fisso nell origine, mentre il isco rotola senza strisciare sull asse orizzontale Ox vei figura. Il sistema è pesante,e una molla ieale i costante elastica k = mg/4a collega l estremo A ell asta con il centro C. Assunti i vincoli ieali, si usino i parametri lagrangiani s, φ R in figura per eterminare: a lamatrice inerzia i rispetto alla terna Cxyz con origine in C eassi rispettivamente paralleli a quelli i Oxyz; b l espressione ell energia cinetica el sistema; c gli equilibri el sistema; leproprietàistabilitàei preetti equilibri; e le equazioni i Lagrange el moto.

2 Soluzione a Matrice inerzia in Cxyz el isco circolare Poichè iliscosicolloca nelpianocoorinato Cxy ella terna Cxyz,lamatrice inerzia relativa a Cxyz eve assumere la forma generale [L C ]= L xx L xy L xy L yy L xx + L yy ove i momenti inerzia L xx, L yy e il prootto inerzia nonbanale L xy vanno calcolati ricorreno alla efinizione. Introotte le usuali coorinate polari piane x, y = ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, ρ, ϕ [,a] [, π], con polo C, perilmomento inerzia rispetto a Cx si ha la relazione L xx = y σa = a = m π π ϕ ρ sin ϕ m ρ = cos ϕ m π ϕ a6 6 = m [ ϕ sin ϕϕ a ρ 5 ρ = ] π sin ϕ a 6 6 = ma 6 mentre il momento relativo all asse Cy vale L yy = x σa = a π ϕ ρ cos ϕ m ρ = L xx = ma 6 e il prootto inerzia risulta nullo L xy = a xyσ A = = m π π ϕ ρ cos ϕρsin ϕ m ρ = sin ϕ cos ϕϕ a ρ 5 ρ = m [ sin ϕ ] π a 6 6 =. La matrice inerzia richiesta iventa pertanto: [L C]=ma /6 /6. /3 b Energia cinetica el sistema L energia cinetica el sistema è ata alla somma elle energie cinetiche, relative alla stessa terna Oxyz, ell asta OA eelisco. Occorre quini calcolare separatamente i ue contributi, per poi applicare la proprietà aitiva.

3 Energia cinetica ell asta OA L asta costituisce un sistema rigio otato i asse fisso Oz e con angolo i rotazione φ orientato rispetto al versore ê 3 conformemente alla regola ella mano estra. La velocità angolare ell asta si scrive quini φ ê 3.Per l energia cinetica ell asta vale così l espressione: T OA = IOA Oz φ ê 3 = ma φ = 3 3 ma φ. Energia cinetica el isco Il isco non presenta alcun punto fisso, per cui la sua energia cinetica eve essere valutata faceno uso el teorema i König. Poichè laensità σp ipene unicamente alla istanza fra il generico punto P el isco e il centro C,èeviente che C costituisce un centro i simmetria per evaunque ientificato con il relativo baricentro. altra parte, si è giàtrovato cheilmomento inerzia el isco rispetto all asse Cz èespressoa IOz = L xx + L yy = ma 3. Inoltre, la velocità angolare ω ê 3 el isco si ricava meiante la conizione i puro rotolamento, imponeno che nel punto B i contatto con l asse Ox la velocità eliscosia uguale a zero: =Ċ + ω ê 3 B C ericorano le ovvie relazioni B C = a ê C O = B O + C B = asê + aê Ċ = aṡ ê alle quali segue =aṡ ê + ω ê 3 a ê =aṡ + ωê equini ω = ṡ. Lamassa el isco si ottiene infine integrano su la ensità arealeσ: σa = a π ϕ m ρ = m π ϕ a ρ 3 ρ = m a4 π πa4 4 = m. Notato che nella terna baricentrale Cxyz il isco ruota attorno all asse fisso Cz,il teorema i König porge allora: T = m Ċ + I Cz ωê 3 = m 4 a ṡ + ma 3 ṡ = 5 ma ṡ. Energia cinetica el sistema La somma elle enegie cinetiche parziali appena calcolate efinisce l energia meccanica el sistema T = T OA + T = 3 ma φ + 5 ma ṡ. 3

4 Osservazione Si noti che l energia cinetica el isco puòesserevalutata in moo equivalente consierano che l energia cinetica èfunzione non giàel moto ma ell atto i moto el sistema. A causa ella conizione i puro rotolamento, l atto i moto i coincie con quello i un isco che occupi la stessa posizione e che sia posto in rotazione attorno all asse fisso Bz con velocità angolare ṡ ê 3.Per l energia cinetica eve unque aversi l espressione T = I Bzṡ nella quale il momento inerzia relativo all asse Bz si ricava al teorema i Huygens- Steiner: IBz = ICz + m B C = ma + m 3 a = 5 6 ma in moo che risulta T = aconferma el risultato preceente. 5 6 ma ṡ = 5 ma ṡ, c Equilibri Il sistema è scleronomo a vincoli bilaterali ieali, posizionale e conservativo. Le sollecitazioni attive applicate sono infatti il peso e l interazione elastica fra i punti A e C meiata alla molla ieale i costante k = mg/4a, entrambeescritte all appropriato potenziale. Potenziale elastico Gli estremi ella molla sono iniviuati ai vettori posizione A O =a sin φ ê a cos φ ê C O = B O + C B = as ê + a ê per cui C A = as sinφê + a + cos φê equini C A = a s +4sin φ 4s sin φ++4cos φ+4cosφ =a s 4s sin φ+4cosφ+5 in moo che il potenziale elastico iventa, omessa una costante aitiva irrilevante, U el = k C A = mg 8a a s 4s sin φ +4cosφ =mga s 8 + s sin φ cos φ. Potenziale gravitazionale Per ricavare il potenziale gravitazionale basta osservare che a esso il isco concorre con un contributo costante, in quanto il baricentro C può soltanto scorrere parallelamente all asse 4

5 orizzontale Ox, mentre il baricentro ell asta omogenea OA coincie con il punto meio i questa. Si ha pertanto: U g = mg ê A O = mg ê a sin φ ê a cos φ ê =mga cos φ. Potenziale el sistema La somma ei potenziali elastico e gravitazionale porge il potenziale el sistema: Us, φ =U el + U g = mga s 8 + s sin φ cos φ + mga cos φ = = mga s 8 + s sin φ + cos φ. Equilibri Gli equilibri el sistema sono tutti e soli i punti critici el potenziale U esiottengono unque imponeno il simultaneo annullarsi elle erivate parziali prime U s s, φ =mga s 4 + sin φ U φ s, φ =mga s cos φ sin φ, ossia risolveno il sistema i equazioni s 4 + sin φ = s cos φ sin φ =. La prima equazione equivale a s =sinφ esostituita nella secona la riuce all equazione pura in φ: sin φ cos φ sin φ = sin φ cos φ =. Per sin φ =sihanno le raici φ =eφ = π, checorrisponono alle configurazioni i equilibrio: s, φ =, s, φ =,π. Nel caso si abbia cos φ / =risultano invece le ulteriori soluzioni φ = π 3 φ = π 3, cui sono associati gli equilibri: s, φ = π 3, 3 s, φ = 3, π. 3 5

6 Stabilità egliequilibri L analisi i stabilità egli equilibri si basa sul calcolo elle erivate parziali secone: U s s, φ = 4 mga U s φ s, φ = mga cos φ U φ s s, φ = mga cos φ U φ s, φ =mga s sin φ cos φ che porgono la matrice hessiana: H U s, φ =mga 4 cos φ cos φ s sin φ cos φ Configurazione s, φ =, In questo caso la matrice hessiana el potenziale iventa /4 / H U, = mga / / erisultainefinita, al momento che eth U, = 8 m g a <. ato il ricorrere i un autovalore positivo, il teorema i inversione parziale i Lagrange- irichlet implica allora che l equilibrio ebba essere instabile secono Liapunov. Configurazione s, φ =,π Nella fattispecie si ha H U,π=mga /4 /. / / La matrice hessiana è ancora inefinita a causa el segno negativo el suo eterminante: eth U,π= 3 8 m g a < e implica nuovamente l instabilità ell equilibrio per il teorema i inversione parziale i Lagrange-irichlet. Configurazione s, φ = 3,π/3 In questo punto la matrice hessiana el potenziale assume la forma H U 3,π/3 = mga = mga. /4 /4 /4

7 con eterminante positivo e traccia negativa eth U 3,π/3 = trh U 3,π/3 = 4 m g a = m g a > 4 mga = 5 4 mga <, in moo che la matrice risulta efinita negativa. Ne eriva che la configurazione costituisce un massimo relativo proprio el potenziale, la cui stabilità èassicurata al teorema i Lagrange-irichlet. Configurazione s, φ = 3, π/3 Questa configurazione èstabile al pari ella sua simmetrica, per il teorema i Lagrange- irichlet. La matrice hessiana el potenziale risulta infatti la stessa: H U 3, π/3 = H U 3,π/3. Al meesimo risultato si perviene notano che il potenziale el sistema è una funzione pari ei propri argomenti: U s, φ =Us, φ s, φ R. e Equazioni i Lagrange Le equazioni pure el moto sono quelle i Lagrange con la lagrangiana L L t ṡ s = t L φ L φ = L = T + U = 5 ma ṡ + 3 ma φ + mga s 8 + s sin φ + cos φ, alla quale si traggono le semplici espressioni: L = 5 t ṡ 6 ma s L s = mga s 4 + sin φ t L φ = 4 3 ma φ L φ = mga s cos φ sin φ. Le equazioni i Lagrange iventano pertanto: 5 6 ma s mga s 4 + sin φ = 4 3 ma φ mga s cos φ sin φ =. 7