Prova scritta di meccanica razionale del

Transcript

1 Esercizio 1 Nel piano Oxy di una terna Oxyz si considera il sistema costituito da una lamina L e da un asta rettilinea AB. La lamina ha la forma di un quarto di cerchio, con centro O e lati OA e OD, di lunghezza a, posti rispettivamente lungo i semiassi positivi Ox e Oy. L asta AB ha lunghezza a ed è saldata a L in A ortogonalmente ad OA, giacendo nel IV quadrante. Le densità di lamina e asta sono date da: σ(p = µ P O πa 3 Prova scritta di meccanica razionale del P L λ(q = µ Q A Q AB, a essendo µ una massa caratteristica. Un punto P di massa µ può scorrere senza attrito lungo l arco AD di L ed è collegato da una molla ideale di costante elastica k al punto C di ordinata lungo l asse Oy. Assumendo il peso trascurabile, determinare: (a la massa e la posizione del baricentro in Oxyz del sistema lamina-asta; (b la matrice d inerzia relativa alla terna Oxyz del sistema lamina-asta; (c il momento d inerzia relativo alla retta AB del sistema lamina-asta; (d le equazioni del moto di P, usando l angolo ϕ (, π/ in figura; (e la condizione di equilibrio di P, qualora l arco AD avesse coefficiente di attrito radente statico µ s >. 1

2 Esercizio Nel piano verticale Oxy di una terna inerziale Oxyz un disco circolare omogeneo D, di massa m, raggio a e centro C, rotola senza strisciare lungo l asse orizzontale Ox. Un asta rettilinea omogenea AC, di massa m e lunghezza a, ha un estremo incernierato nel centro C del disco e l altro estremo A libero di scorrere lungo Oy. Il sistema è pesante e a vincoli ideali. Una molla ideale di costante elastica k collega C con un punto materiale P, di massa m, vincolato a scorrere lungo Oy. Resistenze viscose con uguale costante di frizione β agiscono su A, C e P. Usare i parametri ξ, ϕ R in figura per determinare del sistema: (a gli equilibri; (b le caratteristiche di stabilità degli equilibri; (c l energia cinetica relativa a Oxyz; (d le equazioni di Lagrange; (e i modi normali delle piccole oscillazioni attorno ad un equilibrio stabile per β = e k = mg/8a.

3 Soluzione dell esercizio 1 (a Massa e baricentro del sistema lamina-asta Massa della lamina La massa della lamina viene determinata integrando la densità areale σ sull intero settore circolare OAD. Conviene senz altro esprimere l integrale in coordinate polari piane, ponendo: x = ρ cos φ y = ρ sin φ, (ρ, φ [, a] [, π/] in modo che risulta: m L = L σ da = a dρ ρ π/ dφ µ πa 3 ρ = µ πa 3 a ρ dρ π/ dφ = µ a 3 πa 3 3 π = µ 6. Massa dell asta L asta AB è descritta dalla parametrizzazione: con elemento infinitesimo di lunghezza: e densità di linea: Q(y O = aê 1 + yê, y [, ] ds = Q (y dy = ê dy = dy λ(y = µ Q O (A O µ = yê µ = a a y, y [, ]. a Per la massa dell asta si ha così l espressione: m AB = AB λ ds = ( µ a y dy = µ a [ y ] = µ. Massa del sistema lamina-asta Poichè l asta e la lamina presentano un unico punto in comune (A, la massa del sistema lamina-asta si identifica semplicemente con la somma delle masse parziali fin qui calcolate: m = m L + m AB = µ 6 + µ = 3 µ. Baricentro della lamina La lamina L giace nel piano coordinato Oxy, che ne costituisce un ovvio piano di simmetria. Un evidente asse di simmetria, in tale piano, è poi rappresentato dalla bisettrice y = x, come si deduce immediatamente notando che per ogni punto Q(x, y di L il punto simmetrico Q (y, x è a sua volta contenuto in L e presenta la stessa densità: σ(x, y = σ(y, x (x, y L, 3

4 dal momento che Q O = Q O e la densità σ dipende unicamente dalla distanza del generico punto Q L dall origine. Il baricentro di L è così determinato da un vettore posizione della forma: G L O = x L ê 1 + x L ê, con l ascissa individuata dalla relazione: x L = 1 m L L in modo che risulta: x σ da = 6 µ a = 6 πa 3 dρ ρ [ ρ 4 4 π/ ] a dφ ρ cos φ µ πa 3 ρ = 6 πa 3 [ sin φ ] π/ G L O = 3 π aê π aê. a = 6 πa 3 a 4 4 = 3 π a, π/ ρ 3 dρ cos φ dφ = Baricentro dell asta Per il teorema dell inviluppo convesso il baricentro dell asta deve collocarsi lungo il segmento AB e deve perciò ammettere un vettore posizione della forma: G AB O = aê 1 + y AB ê, y AB (,. L ordinata y AB viene calcolata direttamente tramite la definizione: y AB = 1 m AB AB y λ ds = µ y ( µ a y dy = a y dy = a [ y 3 3 ] = 3 a e porge pertanto: G AB O = aê 1 3 aê. Baricentro del sistema lamina-asta Dato che l intersezione L AB = {A} è un insieme di misura nulla, il baricentro G del sistema lamina-asta si può determinare ricorrendo al teorema distributivo: G O = m L(G L O + m AB (G AB O = m = 3 [ µ ( 3 µ 6 π aê π aê + µ ( aê 1 ] 3 aê = 3 8π aê π aê aê 1 1 aê = ( 3 8π + 3 ( 3 aê π 1 aê. (b Matrice d inerzia in Oxyz del sistema lamina-asta La matrice d inerzia rispetto a Oxyz del sistema lamina-asta può essere determinata sommando le matrici d inerzia di L ed AB relative alla stessa terna, che quindi vanno calcolate preventivamente. 4

5 Matrice d inerzia della lamina Poichè la lamina giace completamente nel piano coordinato Oxy, i prodotti d inerzia L L xz e L L yz sono nulli e il momento d inerzia relativo all asse Oz è pari alla somma dei momenti d inerzia relativi agli assi Ox e Oy. L esistenza dell ovvio asse di simmetria y = x nel piano Oxy implica poi che L L xx = L L yy. La matrice d inerzia della lamina rispetto a Oxyz deve assumere perciò la forma: L L [L L xx L L xy O] = L L xy L L xx. L L xx Il momento d inerzia relativo all asse Ox si calcola dalla definizione, con un integrale doppio in coordinate polari (ρ, φ: L L xx = y σ da = L a dρ ρ = µ a 5 πa 3 5 π/ dφ ρ sin φ µ πa 3 ρ = µ πa 3 π/ 1 cos φ a dφ = 1 [ 1π µa φ mentre per l unico prodotto d inerzia non banale si ha: per cui: L L xy = L = µ πa 3 xy σ da = a ρ 4 dρ π/ a dρ ρ π/ dφ ρ cos φ ρ sin φ µ πa 3 ρ = sin φ cos φ dφ = µ a 5 [ sin φ πa 3 5 π/ ρ 4 dρ sin φ dφ = ] π/ sin φ = 1 µa, ] π/ 1/ 1/1π [L L O ] = µa 1/1π 1/. 1/1 = 1 1π µa, Matrice d inerzia dell asta L asta si colloca per intero nel piano coordinato Oxy e la sua matrice d inerzia relativa a Oxyz deve perciò essere del tipo: [L AB O ] = L AB xx L AB xy Il momento d inerzia rispetto all asse Ox vale: L AB xx = y λ ds = AB L AB xy L AB yy L AB xx y ( µ a y dy = µ a 5 + L AB yy. y 3 dy = µ a [ y 4 4 ] = 1 4 µa

6 e quello relativo ad Oy si scrive: L AB yy = AB x λ ds = a ( µ a y dy = µ [ y y dy = µ ] = 1 µa, mentre l unico prodotto d inerzia non banale diventa: L AB xy = xyλ ds = AB ay ( µ a y dy = µ a y dy = µ a [ y 3 3 ] = 1 3 µa. La matrice d inerzia assume così la forma: 1/4 1/3 [L O ] AB = µa 1/3 1/. 3/4 Matrice d inerzia del sistema lamina-asta La matrice d inerzia in Oxyz del sistema lamina-asta è la somma delle matrici d inerzia di lamina ed asta rispetto allo stesso riferimento: 1/ 1/1π 1/4 1/3 [L O ] = [L L O ] + [LAB O ] = µa 1/1π 1/ + µa 1/3 1/ = 1/1 3/4 3/1 1/1π + 1/3 = µa 1/1π + 1/3 11/. 17/ (c Momento d inerzia relativo alla retta AB del sistema lamina-asta La retta AB contiene l asta, che quindi darà contributo nullo al relativo momento d inerzia. Per determinare quest ultimo sarà così sufficiente considerare la sola lamina L, con matrice d inerzia e baricentro: [L L O] = µa 1/ 1/1π 1/1π 1/ 1/1 G L O = 3 π aê π aê rispettivamente. Per calcolare il momento d inerzia di L relativo ad AB si considerano gli assi Oy e G L O, paralleli alla retta AB. Il teorema di Huygens-Steiner porge allora le relazioni: ( I AB = I GL y + m L a xgl I Oy = I GL y + m L x G L dalle quali, sottraendo membro a membro, si ottiene: ( I Oy I AB = m L x GL a x ( G L + ax GL = ml axgl a = 6

7 ed infine: I AB = I Oy 1 6 = µ ( a 3 6 π a a = 1 ( 3 6 π 1 µa ( 3 π 1 µa = 1 = µa 1 ( 3 6 π 1 µa = ( 1 1 π + 1 µa = 6 ( π µa. (d Equazioni del moto del punto P La posizione del punto P lungo l arco AD è determinata dalla parametrizzazione: cui corrispondono il versore tangente: P O = a cos ϕ ê 1 + a sin ϕ ê, ϕ (, π/, ˆτ(ϕ = P (ϕ P (ϕ = sin ϕ ê 1 + cos ϕ ê, ϕ (, π/ e l ascissa curvilinea: s = ϕ P (ϕ dϕ = ϕ a dϕ = aϕ. La posizione dell estremo C della molla è invece individuata da: C O = ê, per cui la forza elastica agente su P assume la forma: F el = k(p C = ka [ ] cos ϕ ê 1 + (sin ϕ + 1ê. Nell ipotesi di vincolo liscio l equazione pura del moto si scrive: µ s = F el ˆτ ossia: e dunque: µa ϕ = ka [ cos ϕ ê 1 + (sin ϕ + 1ê ] ( sin ϕ ê1 + cos ϕ ê µ ϕ = k cos ϕ. 7

8 (e Condizione di equilibrio di P in presenza di attrito statico Il versore normale all arco AD è definito da: ˆn(ϕ = dˆτ / dˆτ dϕ dϕ = cos ϕ ê 1 sin ϕ ê. Poichè la curva vincolare è piana, la condizione per l equilibrio espressa dalla legge di Coulomb-Morin dell attrito radente statico si riduce a: F el ˆτ(ϕ µ s F el ˆn(ϕ (1 con: F el ˆτ(ϕ = ka cos ϕ e: F el ˆn(ϕ = ka [ cos ϕ ê 1 + (sin ϕ + 1ê ] (cos ϕ ê1 + sin ϕ ê = ka(1 + sin ϕ, in modo che la (1 diventa: ka cos ϕ µ s ka(1 + sin ϕ, ϕ (, π/, ovvero, equivalentemente: cos ϕ 1 + sin ϕ µ s, ϕ (, π/. ( Osservazione. Equilibri in presenza di attrito La condizione di equilibrio ( si può riesprimere nella forma: vale a dire: ed infine: cos ϕ µ s(1 + sin ϕ 1 sin ϕ µ s(1 + sin ϕ + sin ϕ (1 + µ s sin ϕ + µ s sin ϕ + µ s 1. (3 Il primo membro della disequazione è un polinomio di secondo grado in sin ϕ, i cui zeri si scrivono: sin ϕ = µ s ± µ 4 s (1 + µ s(µ s µ s = µ s ± µ s = 1 (1 µ s/(1 + µ s per cui la condizione di equilibrio diventa: ( (1 + µ s (sin ϕ + 1 sin ϕ 1 µ s 1 + µ s 8

9 e nell intervallo ϕ (, π/ si riduce a: sin ϕ 1 µ s 1 + µ s, con µ s tipicamente minore di 1 e quindi (1 µ s/(1 + µ s (, 1]. Le configurazioni di equilibrio si hanno dunque per: ( 1 µ arcsin s 1 + µ s ϕ < π. Si noti che nel caso liscio l arco seno assume il valore π/ e il punto P non ammette alcuna configurazione di equilibrio la configurazione corrisponderebbe all estremo D, che però è espressamente escluso dalla curva vincolare. Soluzione dell esercizio (a Equilibri Gli estremi dell asta omogenea sono individuati dalle ovvie relazioni trigonometriche: C O = a sin ϕ ê 1 + aê e A O = (a cos ϕ + aê. Il baricentro dell asta coincide con il suo punto medio e viene quindi individuato per mezzo del vettore posizione: G AC O = C O + A O = a sin ϕ ê 1 + a(1 + cos ϕê, mentre per il punto materiale P si ha, più semplicemente: P O = aξê. Il sistema scleronomo è soggetto a sollecitazioni posizionali conservative, costituite dal peso e dall interazione elastica che la molla ideale produce fra i punti P e C. Di queste interazioni si deve determinare il relativo potenziale. Sono inoltre presenti sollecitazioni di resistenza viscosa applicate ai punti A, C e P, con la stessa costante di frizione β, delle quali si devono calcolare le componenti generalizzate. Potenziale gravitazionale Il potenziale delle forze peso si ottiene sommando i contributi del disco, dell asta e del punto P. Tenuto conto delle espressioni precedenti, si ha: U g = U D g + U AC g + U P g = mgê (C O mgê (G AC O mgê (P O = = mga mga(1 + cos ϕ mgaξ = mga cos ϕ mgaξ + costante. 9

10 Potenziale elastico Alla molla ideale di costante elastica k tesa fra i punti C e P è associato il potenziale: U el = k C P = k a sin ϕ ê 1 + (a aξê = = ka sin ϕ ê1 + (1 ξê ka = (4 sin ϕ + ξ ξ + costante. Potenziale del sistema La somma dei potenziali parziali, gravitazionale ed elastico, definisce il potenziale del sistema: U(ϕ, ξ = U g + U el = mga( cos ϕ ξ + ka ( sin ϕ ξ + ξ, (ϕ, ξ R, in cui si sono omesse le costanti additive inessenziali. Componenti generalizzate delle resistenze viscose I punti di applicazione delle resistenze viscose sono individuati dai vettori posizione: C O = a sin ϕ ê 1 + aê P O = aξê A O = a( cos ϕ + 1ê con le velocità istantanee: Ċ = a cos ϕ ϕ ê 1 e le derivate parziali prime: P = aξê A = sin ϕ ϕ ê C ϕ = a cos ϕ ê P 1 ϕ = C ξ = P ξ = aê A ϕ = sin ϕ ê A ξ =. La componente generalizzata relativa a ϕ del sistema di resistenze viscose è quindi data da: Q rv ϕ = βċ C ϕ β P P ϕ β A A ϕ = βċ C ϕ βȧ A ϕ = = 4βa cos ϕ ϕ 4βa sin ϕ ϕ = 4βa ϕ (4 mentre quella relativa a ξ si scrive: Q rv ξ = βċ C ξ β P P ξ β A A ξ = β P P ξ = βa ξ. (5 È facile verificare che le resistenze viscose costituiscono un sistema di sollecitazioni completamente dissipative, avendo potenza non positiva: π = Q rv ϕ ϕ + Q rv ξ ξ = 4βa ϕ βa ξ 1 ( ϕ, ξ R

11 che si annulla esclusivamente per velocità generalizzate nulle: 4βa ϕ βa ξ = ( ϕ, ξ = (,. Equilibri Poichè appare evidente che le componenti generalizzate delle forze dissipative sono nulle per velocità generalizzata nulla, gli equilibri del sistema vanno identificati con i punti critici del potenziale e si ottengono perciò annullando simultaneamente le derivate parziali prime: U ϕ = mga sin ϕ 4ka sin ϕ cos ϕ U ξ = mga + ka ( ξ + 1 ossia risolvendo il sistema di equazioni algebrico-trigonometriche: mga sin ϕ 4ka sin ϕ cos ϕ = mga + ka ( ξ + 1 = che con semplici passaggi si riduce alla forma equivalente: ( mg 4ka sin ϕ 4ka cos ϕ = mg ka ξ + 1 =, vale a dire: sin ϕ ( λ cos ϕ = ξ = 1 4λ, essendosi posto per brevità: λ = mg 4ka >. (6 La prima equazione dipende unicamente dalla variabile angolare ϕ e porge soluzioni definite incondizionatamente per sin ϕ = : ϕ = ϕ = π corrispondenti agli equilibri: (ϕ, ξ = (, 1 4λ (ϕ, ξ = (π, 1 4λ. Altre soluzioni si hanno invece per λ cos ϕ = : ϕ = arccos λ ϕ = arccos λ e sono associate agli equilibri: (ϕ, ξ = ( arccos λ, 1 4λ (ϕ, ξ = ( arccos λ, 1 4λ, 11

12 definiti e distinti dai precedenti per λ < 1. Nel successivo studio della stabilità si porrà per brevità arccos λ = ϕ. (b Stabilità degli equilibri Gli equilibri del sistema sono tutti isolati perchè in numero finito. La compresenza di sollecitazioni posizionali conservative e completamente dissipative autorizza ad utilizzare la forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet, basata sui criteri di Barbasin-Krasovskii. A questo scopo occorre calcolare le derivate parziali seconde del potenziale: U ϕϕ (ϕ, ξ = mga cos ϕ 4ka ( cos ϕ sin ϕ U ξϕ (ϕ, ξ = U ϕξ (ϕ, ξ = U ξξ (ϕ, ξ = ka e determinare quindi la relativa matrice hessiana: ( H U (ϕ, ξ = 4ka λ cos ϕ cos ϕ + sin ϕ = H 1/4 U (ϕ in ciascuna configurazione di equilibrio. La forma diagonale della matrice e il segno negativo dell autovalore ka mostrano che le caratteristiche di stabilità degli equilibri dipendono esclusivamente dal segno della derivata parziale U ϕϕ (ϕ, ξ = U ϕϕ (ϕ. Configurazione (ϕ, ξ = (, 1 4λ In questo caso la derivata parziale seconda del potenziale rispetto a ϕ non ha segno definito: ed obbliga a considerare tre diversi casi: U ϕϕ ( = 4ka (λ 1 (i se λ > 1 è U ϕϕ ( > e l equilibrio non costituisce un massimo relativo proprio del potenziale. Il teorema forte di Lagrange-Dirichlet ne implica l instabilità; (i per λ < 1 vale invece U ϕϕ ( <, per cui la matrice hessiana del potenziale è definita negativa. Il punto di equilibrio, in quanto massimo relativo proprio del potenziale, risulta asintoticamente stabile per la forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet. (i qualora sia infine λ = 1, si ottiene U ϕϕ ( = e la discussione della stabilità nella configurazione (ϕ, ξ = (, 1 4λ = (, 3 richiede un esame più approfondito. In tal caso si ha infatti: U(ϕ, ξ = mga( ξ cos ϕ + mga ( sin ϕ ξ 4 + ξ = = mga ( ξ cos ϕ 1 sin ϕ ξ 8 + ξ 4 e con la sostituzione: ϕ = δϕ ξ = 3 + δξ 1

13 per il potenziale adimensionalizzato porge l espressione: 1 mga U(ϕ, ξ = 3 δξ cos δϕ 1 sin δϕ 1 8 (9 6δξ + δξ + 1 ( 3 + δξ = 4 = δξ + sin δϕ δϕ δϕ sin cos δξ δξ δξ 4 = = sin4 δϕ δξ 8, dalla quale si deduce immediatamente che il punto critico costituisce un punto di sella del potenziale. L esclusione del massimo relativo (proprio assicura l instabilità dell equilibrio grazie al teorema forte di Lagrange-Dirichlet, ovvero ai criteri di Barbasin e Krasovskii. Configurazione (ϕ, ξ = (π, 1 4λ Nella fattispecie la derivata seconda rispetto a ϕ del potenziale presenta sempre segno negativo: U ϕϕ (π = mga 4ka < e la matrice hessiana del potenziale risulta definita negativa, individuando l equilibrio come punto di massimo relativo proprio del potenziale. Ne segue la stabilità asintotica dell equilibrio, in virtù della forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet. Configurazione (ϕ, ξ = (ϕ, 1 4λ, con cos ϕ = λ < 1 Per questa configurazione si ha: U ϕϕ (ϕ = 4ka ( λ cos ϕ cos ϕ + sin ϕ = 4ka sin ϕ >, essendo per definizione ϕ (, π/. Ne deriva che l equilibrio costituisce un punto di sella del potenziale e che l esclusione del massimo relativo comporta l instabilità della configurazione. Configurazione (ϕ, ξ = ( ϕ, 1 4λ, con cos ϕ = λ < 1 La derivata parziale seconda del potenziale rispetto a ϕ è uguale a quella calcolata nella configurazione precedente: U ϕϕ ( ϕ = 4ka ( λ cos ϕ cos ϕ + sin ϕ = U ϕϕ (ϕ > e porta alla stessa conclusione: quando definito, l equilibrio risulta instabile. (c Energia cinetica L energia cinetica del sistema è data dalla somma delle energie cinetiche delle tre parti costituenti, il punto materiale P, l asta AC ed il disco D: T = T P + T AC + T D, energie cinetiche parziali che occorre determinare separatamente. 13

14 Energia cinetica del punto P L energia cinetica del punto si ricava direttamente dalla definizione, usando l espressione della velocità P già ottenuta in precedenza: T P = m P = m a ξê = ma ξ. Energia cinetica dell asta AC L asta omogenea AC si muove nel piano Oxy, ma è priva di punti fissi. L energia cinetica viene quindi determinata ricorrendo al teorema di König: T AC = m Ġ AC + 1 IAC Gz ωac. Dal vettore posizione del punto medio (e baricentro dell asta: G AC O = a sin ϕ ê 1 + a(1 + cos ϕê derivando in t si ricava la velocità istantanea dello stesso punto: Ġ AC = (a cos ϕ ê 1 a sin ϕ ê ϕ con modulo quadrato: Ġ AC = a ϕ, mentre il momento d inerzia dell asta rispetto all asse passante per G AC e ortogonale al piano Oxy si scrive: I AC Gz = m(a 1 = ma 3 e per la velocità angolare istantanea si ha l ovvia espressione: L energia cinetica dell asta risulta pertanto: ω AC = ϕ ê 3. T AC = m a ϕ + 1 ma 3 ϕ = 3 ma ϕ. Energia cinetica del disco D Anche il disco si muove nel piano Oxy privo di punti fissi, per cui si rende ancora necessario fare uso della formula di König: T D = m Ċ + 1 ID Cz ω D nella quale il vettore posizione del centro C è dato da: C O = a sin ϕ ê 1 + aê 14

15 e derivato in t porge la velocità istantanea: Ċ = a cos ϕ ϕ ê 1 di modulo quadrato: Ċ = 4a cos ϕ ϕ, mentre il momento d inerzia del disco rispetto all asse baricentrale Cz risulta: I D Cz = ma. La velocità angolare del disco, che si muove di moto piano in Oxy, è della forma ω D = ωê 3 e viene determinata dalla condizione di puro rotolamento scritta per il punto B di contatto istantaneo fra disco e asse Ox: = Ḃ = Ċ + ωê 3 (B C = a cos ϕ ϕ ê 1 + ωê 3 (ê = = a cos ϕ ϕ ê 1 + aωê 1 = a( cos ϕ ϕ + ω ê 1 in modo che risulta ω = cos ϕ ϕ e quindi: ω D = cos ϕ ϕ ê 3. Il teorema di König porge così l energia cinetica richiesta: T D = m 4a cos ϕ ϕ + 1 ma cos ϕ ϕ ê3 = = ma cos ϕ ϕ + ma cos ϕ ϕ = 3ma cos ϕ ϕ. Energia cinetica del sistema Sommando le tre energie cinetiche parziali si perviene all espressione dell energia cinetica del sistema: T = ma ξ + 3 ma ϕ + 3ma cos ϕ ϕ ( = ma cos ϕ ϕ + ma ξ. (7 (d Equazioni di Lagrange L ipotesi dei vincoli ideali autorizza a scrivere le equazioni pure del moto nella forma di Lagrange: d ( L L dt ϕ ϕ = d ( L Qrv ϕ dt ξ L ξ = Qrv ξ per mezzo della lagrangiana: ( L = T + U = ma cos ϕ ϕ + ma ( ξ + mga( cos ϕ ξ+ ka sin ϕ ξ + ξ 15

16 e delle componenti (4 e (5 delle forze viscose: Q rv ϕ = 4βa ϕ Q rv ξ = βa ξ. Le espressioni parziali che entrano nella definizione dei binomi di Lagrange si calcolano agevolmente: L ( 4 ϕ = ma cos ϕ ϕ d ( L ( 4 = ma dt ϕ cos ϕ ϕ 1ma cos ϕ sin ϕ ϕ L ϕ = 6ma cos ϕ sin ϕ ϕ + mga sin ϕ 4ka sin ϕ cos ϕ L ξ = ma ξ d ( L dt ξ = ma ξ L ξ = mga + ka ( ξ + 1 sicchè le equazioni del moto risultano: ma ( cos ϕ ϕ 6ma cos ϕ sin ϕ ϕ mga sin ϕ + 4ka sin ϕ cos ϕ = 4βa ϕ ma ξ + mga + ka (ξ 1 = βa ξ. Si osservi che le equazioni del moto sono disaccoppiate, la prima dipendendo unicamente dalla variabile ϕ e la seconda soltanto da ξ. La seconda equazione è anche lineare e a coefficenti costanti, per cui risulta risolvibile esplicitamente. (e Piccole oscillazioni per β = e k = mg/8a Equilibrio stabile Per β = le resistenze viscose vengono rimosse. Gli equilibri del sistema rimangono invariati, ma le relative proprietà di stabilità non possono più essere caratterizzate completamente facendo uso dei criteri di Barbasin e Krasovskii ed è necessario ricorrere ai teoremi di Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale. In particolare, i massimi relativi propri del potenziale sono ora equilibri stabili, ma non risultano attrattivi. Gli equilibri nei quali la matrice hessiana del potenziale presenta almeno un autovalore positivo ossia U ϕϕ > sono instabili per il teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet. Nel caso che sia k = mg/8a, il parametro d ordine λ vale: λ = mg 4ka = mg 4a 8a mg = e di conseguenza (ϕ, ξ = (π, 1 4λ = (π, 7 costituisce l unico equilibrio stabile del sistema, mentre gli equilibri (ϕ, ξ = (ϕ, 1 4λ e (ϕ, ξ = ( ϕ, 1 4λ non sono definiti. 16

17 Matrice hessiana del potenziale La matrice hessiana del potenziale in questa configurazione risulta definita negativa: ( H U (π, 7 = 4ka 1 = mga ( ( 3 3/ = mga. 1/4 1/4 1/8 Matrice dell energia cinetica L espressione (7 dell energia cinetica è una forma quadratica definita positiva delle velocità generalizzate ϕ, ξ e può scriversi come: ( T = ma 4 ϕ cos ϕ + ma ξ = 1 ( ( ϕ ξ A(ϕ, ξ ξ ϕ in termini della matrice di rappresentazione: ( 4 A(ϕ, ξ = ma cos ϕ 1 che per (ϕ, ξ = (π, 7 si riduce a: ( 4 A(π, 7 = ma ( = ma /3. 1 Pulsazioni normali delle piccole oscillazioni Per determinare le pulsazioni e i modi normali delle piccole oscillazioni occorre considerare la matrice ausiliaria: ( ( C(ω = ω A(π, 7 + H U (π, 7 = ma ω /3 3/ + mga = 1 1/8 = ma 3 ω 3 g a ω g 8a. Le pulsazioni normali si ricavano dall equazione caratteristica: ossia: che porge: e quindi: (ma ( 3 ω 3 ω = 9 44 ω 1 = 1 g a detc(ω = g a g ( ω g = a 8a ω = 1 8 g a ω = 3 g 11 a, con ω 1 < ω. ω 1 indica la pulsazione del primo modo normale (modo basso, mentre ω è quella del secondo (modo alto. 17

18 Modi normali I modi normali delle piccole oscillazioni sono soluzioni particolari delle equazioni linearizzate del moto, della forma: ( ϕ ξ = ( ( π ai + cos(ω 7 b i t + α i i t R e risultano individuati dai rispettivi vettori delle ampiezze (a i b i (,, per i = 1 (modo basso e i = (modo alto. Detti vettori si ricavano, a meno di un fattore non nullo arbitrario, risolvendo il problema agli autovalori generalizzato: ( ( ( C(ωi ai ai =,, b i ovvero ricercando una qualsiasi soluzione non banale del sistema di equazioni lineari algebriche omogenee: ( 3 ω i 3 g a i = a ( ωi g i = 1,. (8 b i = 8a b i Modo basso, di pulsazione ω 1 Per la pulsazione più bassa, ω 1, si ha: 3 ω 1 3 g a per cui il sistema (8 porge le soluzioni non banali: ω 1 g 8a = a 1 = b 1 R \ {}. Il modo normale di oscillazione può così esprimersi nella forma: ( ( ( ( ϕ π 1 g = + A ξ 7 1 cos 1 a t + α 1 t R dove A 1 e α 1 R sono costanti assegnate a piacere con l intesa che A 1 sia piccolo, in modo che quelle descritte siano effettivamente oscillazioni di piccola ampiezza attorno all equilibrio considerato. Modo alto, di pulsazione ω Nel caso della pulsazione più elevatata, ω, risulta all opposto: 3 ω 3 g a = ω g 8a in modo che le soluzioni del sistema (8 diventano: a R \ {} b = ed il corrispondente modo normale di oscillazione assume la forma: ( ( ( ( ϕ π 1 3 g = + A ξ 7 cos 11 a t + α t R con A e α costanti reali arbitrarie essendo sempre A, così da assicurare che le ampiezze di oscillazione siano piccole. 18