Prova scritta di meccanica razionale del

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1 Prova scritta di meccanica razionale del.7.7 Esercizio Nel piano Oxy di una terna solidale Oxyz = Oê ê ê si considera il sistema riido costituito da una piastra circolare D, di raio a e centro C(4a/5, a/5,, e da un asta rettilinea OA di estremo A(,,. Le densità areale della piastra e lineare dell asta risultano rispettivamente: σ(p = µ P C πa P D λ(q = µ a A Q Q OA, essendo µ una massa costante caratteristica. Determinare del sistema: (a la massa e la posizione del baricentro rispetto a Oxyz; (b la matrice d inerzia relativa a Oxyz; (c i momenti d inerzia relativi alla retta Cx, passante per C e parallela ad Ox, ed alla retta r di equazione y x =, z = ; (d se il piano α di equazione y + z = è un piano principale d inerzia in O. (e Ricavare inoltre velocità e accelerazione istantanee del punto C e l asse di Mozzi del sistema rispetto al riferimento dove O è fisso e la velocità anolare istantanea è ω = ωê + ωê, con ω costante.

2 Esercizio Una terna Oxyz = Oê ê ê ruota con velocità anolare costante ω attorno all asse verticale Oy rispetto ad un riferimento inerziale. Nel piano Oxy un asta riida omoenea OA, di lunhezza a e massa m, ha punto fisso O e l estremo A libero di scorrere luno il lato orizzontale BC di una piastra rettanolare riida P = BCDE, con lati B C = a e B E = a, massa m e i punti medi M, N dei lati BC, DE vincolati a scorrere luno Oy. Su Oy si muove anche un punto P di massa m, colleato ad A da una molla ideale di stiffness mω. Una molla identica è tesa fra O ed M. Il sistema è pesante e a vincoli ideali, con resistenze viscose di costante β applicate in A e in P. Usando le variabili s > e ϕ ( π/, π/ in fiura come coordinate laraniane, determinare del sistema, rispetto a Oxyz: (a li equilibri (specificare le eventuali condizioni di esistenza; (b le proprietà di stabilità deli equilibri, tenendo conto di tutte le sollecitazioni; (c l espressione dell eneria cinetica; (d le equazioni di Larane; (e i modi normali delle piccole oscillazioni attorno ad un equilibrio stabile per β =.

3 Soluzione dell esercizio È necessario in primo luoo definire le appropriate parametrizzazioni per il disco D e l asta OA, ed esprimere le corrispondenti densità areale e lineare in termini dei parametri scelti. Per il disco conviene senz altro introdurre una parametrizzazione mediante coordinate polari piane di polo C: ( 4 ( P (ρ, φ O = 5 a + ρ cos φ ê + 5 a + ρ sin φ ê, (ρ, φ [, a] [, π], che fornisce l espressione seuente per la densità areale: σ(ρ, φ = µ ρ, (ρ, φ [, a] [, π]. πa La parametrizzazione dell asta OA è invece data da: Q(x O = xê, x [, ], per mezzo della quale la densità lineare si scrive: visto che A O = ê. λ(x = µ a aê xê = µ a (a + x, x [, ], (a Massa e baricentro Massa del disco La massa del disco viene ricavata interando la densità areale σ sul dominio circolare D, parametrizzato in coordinate polari piane: m D = D σ da = a dρ ρ π dφ µ πa ρ = µ πa a π ρ dρ dφ = µ a πa π = µ. Massa dell asta L interazione della densità lineare λ sul semento OA fornisce la massa dell asta: m OA = λ ds = OA µ a (a + x dx = µ a [ (a + x ] = µ. Massa del sistema La massa del sistema è data dalla somma delle masse calcolate per disco ed asta: m = m D + m OA = µ + µ = 7 µ, dal momento che l intersezione D OA è costituita da un solo punto l oriine O e rappresenta un insieme di misura nulla che non ha alcun effetto sul calcolo deli interali di superficie su D e di linea su OA.

4 Baricentro del disco Il centro C è un ovvio centro di simmetria per il disco, in quanto la densità σ è funzione della sola distanza da C. Di conseuenza C va anche identificato con il baricentro di D: G D O = C O = 4 5 aê + 5 aê. Baricentro dell asta Per l asta, che iace completamente luno l asse Ox, le proprietà di simmetria ed il teorema dell inviluppo convesso imponono che il baricentro sia individuato da un vettore posizione della forma: G OA O = x OA ê con ascissa x OA [, ]. Detta ascissa viene calcolata ricorrendo alla definizione: x OA = = a m OA OA x λ ds = µ x µ a (a + x dx = a (a x + x + ax dx = a [ a x = ( a a4 a4 4 + ( a4 = in modo che risulta: 4 + G OA O = a 4 ê. x(a + x + ax dx = ] + x4 4 + ax a = a 4, Baricentro del sistema Poichè l intersezione OA D è un insieme di misura nulla, il baricentro del sistema può essere determinato facendo uso del teorema distributivo: G O = m D(G D O + m OA (G OA O m = ( µ 5ê 5ê ê = 7µ a = ( ê 5ê [ µ( 4 5 aê + 5 aê = + µ a = aê aê. ( a 4 ê ] = (b Matrice d inerzia Matrice d inerzia in Oxyz dell asta OA Poichè l asta OA iace luno l asse Ox, la sua matrice d inerzia relativa a Oxyz deve assumere la forma: [L OA O ] = L OA yy L OA yy con il momento d inerzia rispetto all asse Oy determinato direttamente sulla base della definizione: L OA yy = OA x λ ds = x µ a (a + x dx = µ a 4 (a x + x 4 + ax dx =

5 sicchè si ottiene: = µ [ ] a a x + x5 5 + ax4 = µ ( a 5 a + a5 5 a5 = µa, O ] = µa /. / [L OA Matrice d inerzia in Oxyz del disco Per determinare la matrice d inerzia in Oxyz del disco conviene calcolare preliminarmente la matrice relativa alla terna baricentrale Cxyz e poi riportarla nella terna Oxyz mediante il teorema eneralizzato di Huyens-Steiner. Rispetto a Cxyz, causa li evidenti assi di simmetria Cx e Cy, la matrice d inerzia di D assume la forma diaonale: [L D C] = LD Cxx L D Cxx L D Cxx con la particolarità che L D Cyy = LD Cxx per via dell ulteriore asse di simmetria y = x, z = e che L D Czz = LD Cxx + LD Cyy per l essere D Cxy. Il momento d inerzia relativo all asse Cx è calcolato come seue: π L D [ ] σ Cxx = (P C ê da = dφ D = µ πa = µa π a π dρ ρ (ρ sin φ µ πa ρ = µ πa cos φ [ φ dφ a5 5 = µa π π π sin φ dφ ] π sin φ = µa π π = 5 µa in modo che la matrice d inerzia risulta: [L D C] = µa /5 /5. 6/5 a ρ 4 dρ = ( cos φ dφ = La matrice d inerzia relativa a Oxyz si ricava dal teorema di Huyens-Steiner eneralizzato: [L D O] = [L D C] + m D d + d d d d d d d d + d d d d d d d d + d dove i coefficienti d, d, d sono le coordinate del baricentro C rispetto a Oxyz: C O = d α ê α = 4 5 aê + 5 aê α= 5

6 vale a dire: d = 4 5 a d = 5 a d =. Ne deriva che: [L D O] = µa /5 9/5 /5 /5 + µa /5 6/5 = 6/5 = µa /5 8/5 4/5 /5 + µa 4/5 /5 = 6/5 /5 4/5 = µa 4/5 47/5. 6/5 Matrice d inerzia in Oxyz del sistema La matrice d inerzia in Oxyz del sistema è la somma delle matrici d inerzia di disco e asta rispetto alla stessa terna: [L O ] = [L D O] + [L OA O ] = µa /5 4/5 / + µa 4/5 47/5 = / 6/5 /5 4/5 = µa 4/5 87/5. 97/ (c Momenti d inerzia relativi alle rette Cx ed r Retta Cx, passante per C e parallela all asse Ox La retta Cx è parallela all asse coordinate Ox, ma non contiene il baricentro G del sistema. Occorre quindi applicare due volte il teorema di Huyens-Steiner: una prima volta fra li assi paralleli Cx e Gx; una seconda volta fra li assi paralleli Ox e Gx. Le relazioni corrispondenti sono: I Cx = I Gx + m(y G y C e sottratte membro a membro porono: ossia: dove: I Cx I Ox = m(y G y C my G I Ox = I Gx + my G I Cx = I Ox + m(y C y C y G = I Ox + my C (y C y G I Ox = L xx = 5 µa y C = 5 a y G = 8 5 a m = 7 µ, 6

7 sono rispettivamente il momento d inerzia rispetto all asse Ox, l ordinata di C, l ordinata del baricentro e la massa del sistema. Sostituendo questi valori si ottiene il momento d inerzia richiesto: I Cx = 5 µa + 7 µ ( 5 a 8 a 5 5 a = 5 µa µa( 5 5 = ( 5 µa = µa. Retta r di equazione y x =, z = La retta r passa chiaramente per l oriine O della terna di riferimento ed è individuata dal versore direttore: ˆn = ê + ê ê + ê Il relativo momento d inerzia è dato da: = ê + ê 5. I r = I Oˆn = ˆn L O (ˆn = = /5 4/5 ( µa 4/5 87/5 = 5 97/ = [ 5 µa ( ] = 5 = 5 µa( = 85 µa = µa. (d Piano α come piano principale d inerzia in O Per definizione il piano α, di equazione y + z =, è un piano principale d inerzia in O del sistema se passa per il punto O ed il suo vettore ortoonale è un autovettore dell operatore d inerzia in O. Che O α è evidente. Si deve soltanto verificare che il vettore ortoonale al piano: v = ê + ê sia un autovettore di L O. Si può eseuire il controllo rispetto alla base ê ê ê, andando a verificare se sia o meno: [L O ] per λ R opportuno. Si ha in effetti: /5 4/5 µa 4/5 87/5 97/ = λ = µa 4/5 87/5 λ 97/ λ R e si deve concludere che il piano α non costituisce un piano principale d inerzia in O del sistema. 7

8 (e Velocità e accelerazione instantanee del punto C. Asse di Mozzi Velocità istantanea di C Si osserva preliminarmente che ω = ωê + ωê è costante nella terna di riferimento solidale Oxyz se e soltanto se essa risulta costante anche nella terna di riferimento assoluta cui tale velocità anolare è riferita, come seue dalla ben nota relazione: d A ω dt = d R ω dt + ω ω = d R ω dt =, tra derivata assoluta e relativa del vettore ω. Il moto del sistema nella terna assoluta avviene dunque a velocità anolare costante ed è percio un moto rotatorio uniforme. La velocità istantanea del punto C del sistema è data dalla relazione enerale dell atto di moto riido: Ċ = Ȯ + ω (C O = ω (C O ( e risulta pertanto: ( 4 Ċ = ω(ê + ê + ê ê ê ( a = aω 5ê 5ê 4/5 /5 = aω ê 5ê 5ê Accelerazione istantanea di C L accelerazione di C si ricava in modo analoo, derivando in t la relazione ( e ricordando che tanto ω quanto O sono costanti: Si ottiene così: C = d ω dt (C O + ω (Ċ Ȯ = ω Ċ. C = ω(ê + ê aω 5 ( ê + 4ê + ê = = aω ê ê ê 5 4 = aω 5 ( 4ê 6ê + 4ê. Asse di Mozzi L asse di Mozzi l è certamente definito, dal momento che ω. D altra parte, essendo O punto fisso, si ha Ȯ = e quindi O l, per cui l asse di Mozzi costituisce in effetti un asse istantaneo di rotazione. Ma dovendo essere parallelo ad ω, come ben noto, tale asse non può essere che la retta O ω. Si osservi come, essendo ω un vettore costante nel tempo, tale asse istantaneo di rotazione in effetti nel tempo non cambi. Soluzione dell esercizio (a Equilibri Il sistema, scleronomo e a vincoli bilaterali ideali, è soetto a sollecitazioni attive che in parte hanno natura posizionale conservativa il peso, le forze elastiche e le forze 8

9 centrifuhe e in parte hanno carattere dissipativo le resistenza viscose in A e in P. Le forze di Coriolis risultano ovunque dirette ortoonalmente al piano vincolare Oxy, dato che a tale piano sono parallele tanto la velocità anolare di trascinamento ωê quanto le velocità istantanee di tutti i punti del sistema: di conseuenza, le componenti eneralizzate delle forze di Coriolis sono identicamente nulle e non hanno alcun effetto né sulla dinamica né sulla statica del sistema. Delle forze posizionali conservative peso, forze elastiche e forze centrifuhe si determinano i rispettivi potenziali, mentre delle forze dissipative si devono calcolare le componenti eneralizzate. Potenziale delle forze peso Il potenziale ravitazionale è la somma dei contributi relativi all asta OA, alla piastra P e al punto P : U = m ê A O m ê (M O m ê (P O, dove si è sfruttata la circostanza che la mancata conoscenza dell esatta ubicazione del baricentro di P non impedisce la determinazione del relativo potenziale ravitazionale, dal momento che P può soltanto traslare luno la direzione verticale Oy: in luoo del baricentro G P, indeterminato perchè non viene specificato se la piastra sia omoenea o meno, si può considerare qualsiasi punto dello spazio solidale a P, come ad esempio M. Una diversa scelta comporterebbe la semplice introduzione di una inessenziale costante additiva nel potenziale. Sostituendo le espressioni dei vettori posizione in termini dei parametri laraniani: A O = a(sin ϕ ê cos ϕ ê il potenziale ravitazionale si riduce a: M O = cos ϕ ê P O = sê, U = ma cos ϕ + ma cos ϕ + mas = ma cos ϕ + mas. Potenziale elastico Per calcolare il potenziale elastico del sistema si devono sommare i contributi delle due molle ideali, di uuale costante mω, che colleano M ad O ed A a P, rispettivamente: Le espressioni seuenti sono immediate: U el = mω M O mω A P. A P = sin ϕ ê a cos ϕ ê + as ê = a sin ϕ ê + a(s cos ϕê A P = a (s + s cos ϕ M O = cos ϕ ê = a cos ϕ 9

10 e sostituite nella relazione precedente porono: U el = mω a cos ϕ mω a (s + s cos ϕ = = ma ω ( cos ϕ s + s cos ϕ + costante. Potenziale centrifuo Il potenziale centrifuo si riduce al solo contributo dell asta OA, dal momento che il punto P si muove luno l asse di rotazione Oy e la piastra P è vincolata a traslare parallelamente allo stesso asse. Una interazione diretta pore l espressione cercata: U cf = ω IOA Oy = mω a sin ϕ = ω a a (ξ sin ϕ m a dϕ = ξ dξ = mω a sin ϕ a = ma ω sin ϕ. 6 Potenziale del sistema Il potenziale del sistema è la somma dei potenziali parziali appena calcolati, ravitazionale, elastico e centrifuo: U(s, ϕ = ma cos ϕ + mas + ma ω ( cos ϕ s + s cos ϕ + 6 sin ϕ ovvero, equivalentemente: U(s, ϕ = ma cos ϕ + mas + ma ω ( sin ϕ s + s cos ϕ, da considerare per (s, ϕ R + ( π/, π/. Componenti eneralizzate delle resistenze viscose Le forze viscose sono applicate nei punti A e P individuati dai vettori posizione: A O = a(sin ϕ ê cos ϕ ê P O = sê con velocità istantanee rispettive: A = a(cos ϕ ê + sin ϕ ê ϕ P = ṡê da cui si ricava la funzione ausiliaria di Rayleih: R = β A β P = βa ϕ βa ṡ.

11 Ne seuono le componenti eneralizzate: D s = R ṡ = βa ṡ D ϕ = R ϕ = βa ϕ, la cui potenza è di seno non positivo: π = D s ṡ + D ϕ ϕ = βa ṡ βa ϕ e si annulla unicamente per velocità eneralizzate nulle: π = = (ṡ, ϕ = (,. Il sistema delle resistenze viscose viene quindi riconosciuto come un sistema di sollecitazioni completamente dissipative. Equilibri Le sollecitazioni dissipative si annullano per velocità eneralizzate nulle e non hanno quindi alcun effetto sulle confiurazioni di equilibrio del sistema, che devono essere identificate con i punti stazionari del potenziale. Gli equilibri, tutti ordinari, venono quindi calcolati annullando simultaneamente le derivate parziali prime del potenziale del sistema: U s (s, ϕ = ma + ma ω ( s + cos ϕ U ϕ (s, ϕ = ma sin ϕ + ma ω ( 4 sin ϕ cos ϕ s sin ϕ ossia risolvendo il sistema di equazioni non lineari: ma + ma ω ( s + cos ϕ = ma sin ϕ + ma ω ( 4 sin ϕ cos ϕ s sin ϕ = (s, ϕ R + ( π, π. La prima equazione fornisce il valore di equilibrio di s in funzione di quello della variabile anolare: s = aω + cos ϕ. Con questa sostituzione la seconda equazione di equilibrio diventa una equazione nella sola variabile ϕ: ( ma ω sin ϕ aω + 4 cos ϕ aω cos ϕ = che semplificata convenientemente si riduce a: ( sin ϕ 5 aω + cos ϕ =. Da questa si traono tutti i valori di equilibrio di ϕ, eualiando a zero ciascuno dei due fattori a primo membro.

12 Per sin ϕ = si hanno ϕ = e ϕ = π, ma causa la limitazione ϕ ( π/, π/ soltanto la prima soluzione è fisicamente sinificativa. La corrispondente confiurazione di equilibrio è data da: ( (s, ϕ = aω +, e risulta definita incondizionatamente. Per 5 aω + cos ϕ = si ottiene invece: ed i valori di equilibrio di ϕ sono quindi: ( 5 ϕ = arccos definiti e distinti da ϕ = per: cos ϕ = 5 aω λ := 5 aω = ϕ e ϕ = ϕ, (,. aω Sotto tale condizione si perviene dunque ali ulteriori equilibri: (s, ϕ = con ϕ (, π/. ( aω + cos ϕ, ±ϕ = ( aω + 5 aω, ±ϕ = ( 7 aω, ±ϕ, (b Stabilità deli equilibri La compresenza di sollecitazioni puramente posizionali conservative e di sollecitazioni completamente dissipative consente di discutere la stabilità deli equilibri isolati attraverso la forma forte del teorema di Larane-Dirichlet, basata sui criteri di Barbašin e Krasovskii. D altra parte è a priori evidente che tutti li equilibri del sistema sono isolati, dato il loro numero finito. Ne deriva che, in linea di principio, le proprietà di stabilità possono essere caratterizzate completamente per tutti li equilibri del sistema. A questo scopo si devono calcolare le derivate parziali seconde del potenziale: U ss (s, ϕ = ma ω U ϕs (s, ϕ = U ϕs (ϕ, s = ma ω sin ϕ U ϕϕ (s, ϕ = [ 4 ma cos ϕ + ma ω cos ( ϕ sin ϕ ] s cos ϕ = [ = ma ω aω cos ϕ + 4 ( cos ϕ sin ϕ ] s cos ϕ e determinare il seno deli autovalori della matrice hessiana corrispondente: ( sin ϕ H U (s, ϕ = ma ω sin ϕ aω cos ϕ + 4 ( cos ϕ sin ϕ s cos ϕ

13 in ciascuna confiurazione di equilibrio. ( Equilibrio (s, ϕ = aω +, In questo caso la matrice hessiana del potenziale assume la forma diaonale: ( H U aω +, = ma ω aω + 4 = aω = ma ω 5 aω + con un autovalore neativo ( ossia ma ω e uno di seno non definito: ma ω ( 5 aω + che obblia a distinuere tre casi: = ma ω ( 5 aω + = ma ω ( λ se λ > la matrice hessiana presenta entrambi li autovalori di seno neativo ed è perciò definita neativa. L equilibrio costituisce un massimo relativo proprio del potenziale, asintoticamente stabile per la forma forte del teorema di Larane-Dirichlet; per λ < si hanno autovalori di seno opporto. L autovalore positivo esclude che l equilibrio possa costituire un massimo relativo proprio del potenziale in effetti si tratta di un punto di sella e ciò basta ad affermarne l instabilità sempre per la forma forte di Larane-Dirichlet. Da sottolineare che l attrattività dell equilibrio è esclusa dalla dissipazione dell eneria meccanica. L equilibrio è instabile e non attrattivo; qualora sia infine λ = la matrice hessiana risulta soltanto semidefinita non definita neativa, essendo munita di un autovalore neativo e di un autovalore nullo. La natura dell equilibrio non è evidente sulla base delle informazioni disponibili e l analisi di stabilità richiederebbe un indaine più sofisticata, basata su uno sviluppo di Taylor del potenziale di ordine superiore al secondo, o su una conveniente riscrittura della funzione potenziale. A questo scopo si può considerare il potenziale adimensionalizzato: u(s, ϕ = ma ω U(s, ϕ = aω cos ϕ + che per λ =, ovvero /aω = /5, diventa: aω s + sin ϕ s + s cos ϕ u(s, ϕ = 5 cos ϕ + 5 s + sin ϕ s + s cos ϕ. La posizione di equilibrio si riduce a (s, ϕ = (7/5,. Posto allora s = 7/5 + δs e ϕ = δϕ, il potenziale ridotto si può riesprimere nel modo seuente: ( 7 u 5 +δs, δϕ = 5 cos δϕ+ 5 ( 7 5 +δs ( δs ( 7 sin δϕ+ 5 +δs cos δϕ,

14 ovvero: ( 7 u 5 + δs, δϕ ed infine: ( 7 u 5 + δs, δϕ = 5 cos δϕ + sin δϕ δs δs δs cos δϕ + δs cos δϕ 5 = 4 cos δϕ + sin δϕ δs δs + δs cos δϕ = 45 = 4 cos δϕ + sin δϕ 45 δs δs δϕ sin = = ( δs + 4 δs sin δϕ + 4 δϕ sin4 + sin 4 δϕ cos δϕ + sin δϕ 45 = = ( δs + sin δϕ + sin 4 δϕ δϕ sin + 8 δϕ δϕ sin cos 45 = = ( δs + sin δϕ + sin 4 δϕ 8 δϕ sin = = ( δs + sin δϕ δϕ sin4. Rimane così dimostrato che l equilibrio rappresenta un massimo relativo proprio del potenziale, la cui stabilità asintotica seue dalla forma forte del teorema di Larane- Dirichlet. Equilibri (s, ϕ = ( /aω + cos ϕ, ±ϕ := (s, ϕ, con cos ϕ = λ = (5/(/aω Questi equilibri asimmetrici presentano le stesse proprietà di stabilità a causa della simmetria del potenziale: U(s, ϕ = U(s, ϕ (s, ϕ R ( π/, π/. Per semplicità conviene considerare la matrice hessiana del potenziale ridotto: h(s, ϕ = ma ω H U (s, ϕ = sin ϕ = sin ϕ aω cos ϕ + 4 (cos ϕ sin ϕ, aω cos ϕ cos ϕ che ha l elemento h(s, ϕ neativo e determinante strettamente positivo: det h(s, ϕ = 5 aω cos ϕ 4 (cos ϕ sin ϕ + cos ϕ sin ϕ = = 5 aω cos ϕ (cos ϕ sin ϕ = 4

15 = ( 5 aω cos ϕ cos ϕ + sin ϕ = = ( cos ϕ cos ϕ cos ϕ + sin ϕ = sin ϕ >, essendo ϕ (, π/. La matrice hessiana H U (s, ϕ, al pari di quella ridotta h(s, ϕ, risulta percìo definita positiva per il criterio di Sylvester-Jacobi. Ne seue la stabilità asintotica di ambo li equilibri, quando definiti. (c Eneria cinetica Per determinare l eneria cinetica del sistema si devono sommare i contributi dell asta OA, della piastra P e del punto materiale P, che venono quindi calcolati separatamente. Eneria cinetica dell asta OA L asta OA ruota attorno all asse fisso Oz con anolo di rotazione ϕ; la sua eneria cinetica è dunque espressa dalla relazione: T OA = IOA Oz ωoa = ma ϕê ma = ϕ. 6 Eneria cinetica della piastra P La piastra è vincolata a muoversi di moto traslatorio luno la direzione verticale. L intera massa del sistema si muove quindi con la comune velocità istantanea di uno qualsiasi dei suoi punti, per esempio di M. Dal vettore posizione M O = cos ϕ ê si deduce la velocità istantanea: Ṁ = a sin ϕ ϕ ê e quindi l espressione richiesta dell eneria cinetica: T P = m Ṁ = m a sin ϕ ϕ ê = ma sin ϕ ϕ. Eneria cinetica del punto materiale P L eneria cinetica del punto P si calcola direttamente usando la definizione: T P = m P = m aṡê = ma ṡ. Eneria cinetica del sistema Sommando le enerie cinetiche di asta, piastra e punto materiale P si ottiene l eneria cinetica del sistema: T = T OA + T P + T P = ma 6 ϕ + ma sin ϕ ϕ + ma ṡ. (d Equazioni di Larane Le equazioni di Larane del sistema sono le seuenti: d ( L L dt ṡ s = D s 5 d ( L L dt ϕ ϕ = D ϕ

16 e sono espresse in termini della laraniana: L = T + U = ma 6 ϕ + ma sin ϕ ϕ + ma ṡ + + ma cos ϕ + mas + ma ω ( sin ϕ s + s cos ϕ e delle componenti eneralizzate delle forze viscose: D s = βa ṡ D ϕ = βa ϕ. Un calcolo immediato fornisce i termini dei binomi di Larane: d ( L dt ṡ L d dt = ma s ϕ = ma( ( L ϕ + sin ϕ ϕ L s = ma + ma ω ( s + cos ϕ = ma ( + sin ϕ ϕ + ma sin ϕ cos ϕ ϕ L ϕ = ma sin ϕ cos ϕ ϕ ma sin ϕ + ma ω ( 4 sin ϕ cos ϕ s sin ϕ, per cui le equazioni pure del moto diventano: ma s ma + ma ω (s cos ϕ = βa ṡ ma ( + sin ϕ ϕ + ma sin ϕ cos ϕ ϕ + ma sin ϕ ma ω ( 4 sin ϕ cos ϕ s sin ϕ = βa ϕ. (e Piccole oscillazioni vicino ad un equilibrio stabile per β = Per β = le resistenza viscose venono rimosse e li equilibri rimanono invariati, ma non possono più essere attrattivi. Per λ > l equilibrio (s, ϕ = (/aω +, è stabile ma non asintoticamente in quanto massimo relativo proprio del potenziale, come indicato dalla matrice hessiana: H U ( aω +, ( = ma ω ( λ/ diaonale e definita neativa. D altra parte, l eneria cinetica è una forma quadratica definita positiva delle velocità eneralizzate: [ ( T = ma ϕ + ma 6 sin ϕ ϕ + ma ṡ = ma ] ṡ + + sin ϕ ϕ = = ( ṡ (ṡ ϕ A(s, ϕ ϕ 6

17 in termini della matrice rappresentativa: A(s, ϕ = ma. + sin ϕ Nella confiurazione in esame si ha pertanto: ( A aω +, = ma ( / Posto per brevità: ( δs = s aω + δϕ = ϕ, le equazioni delle piccole oscillazioni si scrivono allora: ( ( ( δs ( δs A aω +, δϕ H U aω +, = δϕ vale a dire: ma ( / ( δs δϕ. (, ( ( ma ω δs = (λ / δϕ ( e quindi, eseuendo i prodotti e separando le equazioni nella prima e nella seconda ria: ma δs + ma ω δs = δs + ω δs = ma δϕ + ma ω λ δϕ = δϕ + ω (λ δϕ =. Le equazioni descrivono due oscillatori armonici unidimensionali disaccoppiati di pulsazioni normali: ω = ω ω = λ ω, che però in enerale non è immediato distinuere in pulsazione alta e pulsazione bassa Nei modi normali di oscillazione una sola delle variabili laraniane oscilla con lee sinusoidale e pulsazione appropriata, mentre l altra si mantiene costante al proprio valore di equilibrio. Per un modo normale si ha così: ( δs δϕ ( = A cos(ωt + α t R, con A e α costanti reali arbitrarie. Per l altro modo normale vale invece l espressione: ( ( δs = A δϕ cos( λ ωt + α t R, con A e α R costanti reali assenate. 7