Prova scritta di meccanica razionale del

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1 Prova scritta di meccanica razionale del Esercizio 1 Nel piano Oxy di una terna solidale Oxyz Oê 1 ê ê 3 si considera il sistema riido S costituito da una circonferenza γ, di raio a e centro C(, a,, e da una lamina quadrata RST U L, di lato a, saldati tra loro in O e disposti come mostrato in fiura. La terna Oxyz ruota con velocità anolare costante ω attorno all asse verticale Oy rispetto ad un riferimento inerziale. Le densità di γ e L sono date da: λ(q µ Q γ πa σ(q µ a 3 (Q O ê Q L, con µ massa caratteristica. Determinare: (a la massa e la posizione del baricentro relativa a Oxyz del sistema; (b la matrice d inerzia di S rispetto a Oxyz; (c i momenti d inerzia di S relativi alle rette OT e RU; (d usando l anolo θ R in fiura, le equazioni del moto del punto materiale pesante P, di massa µ, vincolato a scorrere senza attrito luno γ; (e la condizione per l equilibrio di P in Oxyz nell ipotesi che γ abbia coefficiente di attrito statico µ s >. Trovare almeno due equilibri. 1

2 Esercizio Una terna Oxyz Oê 1 ê ê 3 ruota con velocità anolare costante ω > attorno all asse verticale Oy rispetto ad un riferimento inerziale. Nel piano Oxy di Oxyz un anello circolare o- moeneo γ, di centro C, raio a e massa m, ruota attorno all asse fisso Oz passante per un suo punto. Un punto materiale P di massa m può scorrere luno l asse Oy, colleato al centro C da una molla ideale di stiffness k mω ed al punto fisso B( a,, da una seconda molla identica alla prima. Il sistema è pesante e a vincoli ideali, con resistenze viscose di uuale costante β applicate in C e in P. Usare le coordinate laraniane ξ, ϕ R in fiura per determinare del sistema, rispetto a Oxyz: (a l espressione dell eneria cinetica; (b li equilibri ordinari; (c le proprietà di stabilità deli equilibri; (d le equazioni di Larane; (e i modi normali delle piccole oscillazioni attorno ad un equilibrio stabile per β e /aω 1. Trovare un sistema di coordinate normali.

3 Soluzione dell esercizio 1 (a Massa e baricentro del sistema Massa della curva γ Per ottenere la massa della curva basta interare la densità lineare λ luno il supporto di γ, ad esempio usando come parametro l ascissa curvilinea s [, πa] misurata a partire dall oriine: m γ λ ds γ γ µ πa ds πa µ πa ds µ πa µ, πa o più semplicemente moltiplicando la costante λ per la lunhezza della curva che è chiaramente omoenea. Massa della lamina quadrata L La determinazione della massa di L richiede il calcolo di un interale doppio. Adottando la parametrizzazione ovvia in termini delle coordinate cartesiane x, y si ha infatti: Q O xê 1 + yê (x, y [ a, a] [ a, ] e la densità areale di massa assume la forma: σ(q σ(x, y µ a 3 (Q O ê µ y (x, y [ a, a] [ a, ], a3 che interata nel proprio dominio di definizione fornisce la massa richiesta: m L L σ da a dx dy ( µ a 3 y µ a 3 a a a a a a [ y dx ] y a µ a 3 dx ( a µ dx µ a 4µ. a a a a Massa del sistema S Poichè l intersezione fra γ e L consiste del solo punto O, ininfluente nel calcolo deli interali di linea su γ e di superficie su L, la massa del sistema S è la semplice somma delle masse delle parti componenti: m S m γ + m L µ + 4µ 6µ. Baricentro di γ Il centro C della circonferenza è centro eometrico e di simmetria della curva omoenea per oni punto di γ il suo simmetrico rispetto a C è ovviamente anch esso un punto di γ e con la stessa densità del primo per cui si identifica immediatamente, senza dover ricorrere ad alcun calcolo, con il baricentro di γ: G γ O C O aê. 3

4 Baricentro di L Per oni punto (x, y L è evidente che il punto ( x, y simmetrico rispetto all asse Oy appartiene a sua volta alla lamina e presenta la stessa densità del primo: σ( x, y σ(x, y (x, y [ a, a] [ a, ], consentendo così di riconoscere in Oy un asse di simmetria di massa della lamina. Luno Oy dovrà quindi collocarsi anche il baricentro di L, il cui vettore posizione assumerà la forma: G L O y L ê. L unica coordinata non banalmente nulla del baricentro viene poi calcolata ricorrendo alla definizione: y L 1 y σ da 1 m L 4µ L 1 4a 3 a a dx a a a dx a dy y ( µ a 3 y y dy 1 [ y 3 4a 3 a 3 ] a 1 a 8 3 a3 4 3 a in modo che: G L O 4 3 aê. Baricentro del sistema S La posizione del baricentro di S rispetto alla terna solidale Oxyz si ricava per mezzo del teorema distributivo, applicabile razie alla precedente osservazione che vede l intersezione O fra γ ed L ininfluente nel calcolo deli interali: G S O m γ(g γ O + m L (G L O m S 1 [ ( µ aê + 4µ 4 6µ 3 aê ] 1 3( aê 5 9 aê. (b Matrice d inerzia del sistema relativa a Oxyz Anello circolare γ Si osserva in primo luoo che le rette Cx, Cy e Cz sono evidenti assi di simmetria della circonferenza omoenea γ, di cui quindi il riferimento Cxyz costituisce una terna centrale d inerzia, con matrice d inerzia [L γ C ] diaonale. Risulta altresì evidente che i momenti d inerzia relativi ali assi Cx e Cy sono, per simmetria, uuali: L γ Cyy Lγ Cxx e che l essere L Oxy implica l ulteriore condizione sul momento d inerzia relativo all asse Cz: L γ Czz Lγ Cxx + Lγ Cyy Lγ Cxx + Lγ Cxx Lγ Cxx. 4

5 In definitiva, la matrice [L γ C ] si può scrivere nella forma: [L γ C ] Lγ Czz / L γ Czz /, L γ Czz dove il momento d inerzia L γ Czz si calcola immediatamente, senza dover ricorrere ad alcuna interazione esplicita, in quanto l intera massa dell anello γ si colloca a distanza a dall asse Cz: L γ Czz m γa µa. Il risultato finale è dunque il seuente: [L γ C ] µa µa µa µa 1 1. Non rimane che riportare questa matrice alla terna Oxyz, i cui assi sono rispettivamente paralleli a quelli di Cxyz, facendo uso del teorema di Huyens-Steiner eneralizzato. Poichè G γ O C O aê d 1 ê 1 + d ê + d 3 ê 3, nella formula di Huyens-Steiner: [L γ O ] [Lγ C ] + m d + d 3 d 1 d d 1 d 3 γ d d 1 d 1 + d 3 d d 3 d 3 d 1 d 3 d d 1 + d si può porre d 1, d a, d 3, per ottenere: [L γ O ] µa µ a a Lamina L L asse Oy è di simmetria per la lamina, in quanto: µa σ( x, y σ(x, y (x, y [ a, a] [ a, ] e quindi costituisce un asse principale d inerzia in O di L; d altra parte, l asse Oz risulta ortoonale al piano di iacitura e di simmetria Oxy, per cui deve rappresentare anch esso un asse principale d inerzia in O della lamina. Il teorema spettrale assicura infine che anche Ox sia un asse principale d inerzia in O della lamina, in quanto ortoonale ai due precedenti. Ne deriva che il riferimento Oxyz fornisce una terna principale d inerzia in O della lamina, rispetto alla quale la matrice d inerzia [L L O ] assume la forma diaonale particolare: L L [L L xx O] L L yy L L xx + L L yy 5

6 essendo L L zz L L xx+l L yy per L Oxy. I soli elementi di matrice da calcolare esplicitamente sono pertanto il momento d inerzia relativo a Ox: L L xx y σ da L µ a 3 e quello relativo a Oy: a a L L yy x σ da L µ a 3 a a in modo che risulta: x dx dx a a dx a a dx a dy y ( µ a 3 y y 3 dy µ a 3 a [ y 4 a a a dy x ( µ a 3 y y dy µ a 3 [ x 3 3 ] a a 4 [ y ] a ] a L L zz L L xx + L L yy 8µa µa 8 3 µa µ a ( 4a4 8µa µ a 3 3 a3 ( a 4 3 µa e quindi: [L L O] µa 8 4/3. 8/3 Sistema S La matrice d inerzia del sistema relativa alla terna Oxyz si determina sommando le matrici d inerzia di anello e lamina relative alla stessa terna: [L S O] [L γ O ] + [LL O] µa µa 8 4/3 4 8/3 µa 11 7/3. 4/3 (c Momenti d inerzia del sistema relativi alle rette OT e RU Retta OT La retta passa ovviamente per l oriine ed è individuata dal versore direttore: ˆn T O T O aê 1 aê aê 1 aê ê 1 ê 5, 6

7 per cui il momento d inerzia relativo a OT del sistema si scrive: I OT ˆn L O (ˆn 1 1 ( 1 [L O ] ( 1 5[ L xx + ( ] L yy + ( 1( L xy 1 ( 1 ( Lxx + 4L yy µa µa. Retta RU La retta è parallela all asse coordinato Oy, che contiene il baricentro G S. Ricordando che m S 6µ, per il teorema di Huyens-Steiner si ha: I RU I Oy + m S R O L yy + m S R O 7 3 µa + 6µa 5 3 µa. (d Equazione del moto del punto P per γ liscia Nell ipotesi di curva liscia l equazione del moto del punto P, vincolato a scorrere luno γ, assume la forma: µ s F ˆτ dove la curva ammette l ovvia parametrizzazione: con derivata prima: versore tanente: P O a sin θê 1 + a(1 cos θê, P (θ a(cos θê 1 + sin θê, ˆτ(θ P (θ P (θ cos θê 1 + sin θê e ascissa curvilinea misurata a partire dall oriine O, dove θ : s θ P (θ dθ θ a dθ aθ, mentre il risultante delle forze attive è dato dalla somma delle forze peso, centrifua e di Coriolis il riferimento solidale rotante non è inerziale: F F + F cf + F Cor µê + µω a sin θê 1 µωê P µω a sin θê 1 µê µωê P (θ θ. Ne deriva che: µ s µa θ 7

8 e che la componente della forza risultante luno la direzione tanente diventa: F ˆτ (µω a sin θê 1 µê ˆτ µωê P (θ θ ˆτ (µω a sin θê 1 µê (cos θê 1 + sin θê + µ(aω sin θ cos θ sin θ. L equazione pura del moto è pertanto: ossia: µa θ µ(aω sin θ cos θ sin θ, ( θ ω sin θ cos θ aω. Si osservi che l equazione ammette due equilibri ovvi, sempre definiti, per θ e θ π. (e Condizione di equilibrio di P per γ scabra. Equilibri In presenza di attrito radente la condizione di equilibrio per il punto P è fornita dalla lee di Coulomb-Morin dell attrito radente statico, che pore la relazione: nella quale il versore normale a γ vale: F o ˆτ µ s F o ˆn, ˆn(θ d dθ ˆτ(θ sin θê 1 + cos θê, mentre la forza attiva va calcolata in condizioni statiche eliminando perciò il contributo delle forze di Coriolis: Di conseuenza: e: F o F + F cf µê + µω a sin θê 1 µω a sin θê 1 µê. ( F o ˆτ µaω sin θ cos θ aω F o ˆn (µω a sin θê 1 µê ( sin θê 1 + cos θê µω a sin θ µ cos θ µaω ( sin θ + aω cos θ, in modo che la condizione necessaria e sufficiente per l equilibrio diventa: ( µaω sin θ cos θ aω µ s µaω( sin θ + aω cos θ ossia, in forma adimensionale: ( sin θ cos θ aω µ s sin θ + 8 aω cos θ.

9 Due equilibri ovvi e sempre definiti si hanno per θ e per θ π, che corrispondono alle posizioni di equilibrio del sistema senza attrito conformemente al principio di sicurezza. Soluzione dell esercizio (a Eneria cinetica Eneria cinetica del punto materiale P La posizione del punto P rispetto alla terna Oxyz è individuata dal vettore: P O aξê, che derivato luno un arbitrario moto possibile del sistema fornisce la velocità istantanea: P a ξê. L eneria cinetica del punto P si scrive pertanto: T P 1 m P m a ξê ma Eneria cinetica dell anello γ Il baricentro dell anello omoeneo si identifica con il suo centro eometrico e di simmetria C, il cui vettore posizione in Oxyz vale: C O a(sin ϕ ê 1 cos ϕ ê e derivato rispetto al tempo pore la velocità istantanea: di modulo quadrato: Ċ a(cos ϕ ê 1 + sin ϕ ê ϕ Ċ a ϕ. La velocità anolare istantanea dell anello è invece data da: ω γ ϕ ê 3 poichè ϕ rappresenta l anolo di rotazione dell anello attorno all asse fisso Cz in una terna di riferimento baricentrale. L eneria cinetica di γ viene quindi determinata tramite il teorema di Köni: ξ. T γ m Ċ + 1 Iγ Cz ω γ m a ϕ + 1 ma ϕ ê 3 ma ϕ + ma ϕ ma ϕ. Eneria cinetica del sistema L eneria cinetica del sistema è la somma delle enerie cinetiche del punto e dell anello: T T P + T γ ma 9 ξ + ma ϕ.

10 (b Equilibri ordinari Il sistema, scleronomo e a vincoli bilaterali ideali, è soetto a sollecitazioni posizionali conservative costituite dal peso, dall interazione elastica associata alle molle ideali CP e BP e dal sistema delle forze centrifuhe, a sollecitazioni dissipative le resistenze viscose in C e P e a sollecitazioni non eneretiche le forze di Coriolis. Forze di Coriolis Il sistema delle forze di Coriolis ha componenti eneralizzate identicamente nulle, in quanto i moti del sistema avvenono nel piano Oxy che contiene l asse di rotazione Oy della terna Oxyz rispetto al riferimento inerziale. Poichè tutti i punti hanno velocità istantanea parallela ad Oxy e la velocità anolare di trascinamento ωê della terna Oxyz è anch essa parallela allo stesso piano, ne seue che in oni punto del sistema le forze di Coriolis risultano ortoonali al piano vincolare Oxy. Anche le derivate parziali delle posizioni dei punti rispetto ai parametri laraniani sono vettori paralleli ad Oxy, per cui le componenti eneralizzate delle forze di Coriolis sono costantemente uuali a zero: Q Cor ξ Q Cor ϕ e non influenzano né la dinamica né la statica del sistema. Resistenze viscose Le resistenze viscose sono costituite dalle forze: β P e βċ rispettivamente applicate in P e in C. Per calcolarne le componenti eneralizzate si può ricorrere alla funzione ausiliaria di Rayleih: R β P β Ċ β a ξ β a ϕ βa ( ξ + ϕ, che derivata parzialmente in ξ e in ϕ fornisce le componenti eneralizzate richieste: D ξ R ξ βa ξ Dϕ R ϕ βa ϕ. È supefluo osservare che le componenti eneralizzate del sistema di resistenze viscose si annullano per ( ξ, ϕ (, e sono dunque ininfluenti nella determinazione deli equilibri. Potenziale ravitazionale Il potenziale ravitazionale consiste nella somma di due contributi, uno relativo al punto P e l altro relativo all anello γ: U mê (P O mê (C O mê ( aξê mê a(sin ϕ ê 1 cos ϕ ê maξ + ma cos ϕ. 1

11 Potenziale centrifuo Anche per il potenziale delle forze centrifuhe si dovrebbero considerare i contributi del punto P e dell anello γ; il primo, però, essendo vincolato a scorrere proprio luno l asse di rotazione Oy, non concorre in modo sinificativo al potenziale. Si ha in effetti: U cf Ucf P + U γ cf + U γ cf ω Iγ Oy ω ω (ma sin ϕ + ma [ m [ ] ] (C O ê 1 + I γ Cy ma ω sin ϕ + costante. Potenziale elastico Il potenziale elastico del sistema è la somma dei potenziali elastici associati alle due molle ideali, di euale stiffness k mω : con: U el k C P k B P mω C P mω B P C P a sin ϕ ê 1 + a(ξ cos ϕê C P a [ sin ϕ + (ξ cos ϕ ] a (1 + ξ ξ cos ϕ B P aê 1 + aξê B P a + a ξ, per cui, omesse le inessenziali costanti additive, risulta: U el mω a (ξ ξ cos ϕ mω a ξ ma ω ( ξ + ξ cos ϕ. Potenziale del sistema La somma dei potenziali ravitazionale, centrifuo ed elastico definisce il potenziale del sistema: U(ξ, ϕ U + U cf + U el maξ + ma cos ϕ + ma ω sin ϕ + ma ω ( ξ + ξ cos ϕ ma ω ( aω ξ + aω cos ϕ + 1 sin ϕ ξ + ξ cos ϕ (ξ, ϕ R. Equilibri Vista l irrilevanza delle forze viscose e di Coriolis, li equilibri del sistema tutti ordinari sono determinati unicamente dalle sollecitazioni posizionali conservative e vanno identificati con tutti e soli i punti stazionari del potenziale U. Per alleerire un poco la notazione conviene fare riferimento al potenziale adimensionalizzato: u(ξ, ϕ 1 ma U(ξ, ϕ ω aω ξ + aω cos ϕ + 1 sin ϕ ξ + ξ cos ϕ (ξ, ϕ R, 11

12 che differisce da U per un fattore costante positivo e dunque condivide con esso equilibri e proprietà di stabilità deli stessi. Si considerano quindi le derivate parziali prime del potenziale adimensionale: u ξ (ξ, ϕ u ξ(ξ, ϕ ξ + cos ϕ aω u ϕ (ξ, ϕ u ϕ(ξ, ϕ sin ϕ + sin ϕ cos ϕ ξ sin ϕ aω e le si eualia simultanamente a zero per ottenere le equazioni di equilibrio: ξ + cos ϕ aω sin ϕ + sin ϕ cos ϕ ξ sin ϕ. aω La prima equazione consente di ricavare il valore di equilibrio di ξ come funzione del valore di equilibrio di ϕ: ξ aω + 1 cos ϕ, relazione che sostituita nella seconda equazione pore una condizione di equilibrio sulla sola variabile anolare: ossia, semplificando: sin ϕ + sin ϕ cos ϕ aω 3 aω sin ϕ 1 sin ϕ cos ϕ aω sin ϕ + 1 sin ϕ cos ϕ ed infine, dopo un ovvio raccolimento a fattor comune: Per sin ϕ si hanno le soluzioni: 1 ( sin ϕ cos ϕ 3 aω. ϕ ϕ π cui corrispondono due equilibri definiti incondizionatamente: (ξ, ϕ ( aω + 1, Se invece si considera cos ϕ 3 aω risulta: (ξ, ϕ ( aω 1, π. ( 3 ϕ arccos aω : ϕ ϕ ϕ 1

13 e quindi: ( (ξ, ϕ aω + 1 cos ϕ, ϕ ( aω, ϕ ( (ξ, ϕ aω + 1 cos ϕ, ϕ ( aω, ϕ, equilibri che sono definiti e distinti dai precedenti a condizione che si abbia: 3 aω < 1. Si osservi come in tal caso risulti altresì ϕ (, π/, informazione che tornerà utile nella successiva discussione della stabilità dell equilibrio. (c Stabilità deli equilibri Le sole sollecitazioni aenti sul sistema che non hanno natura posizionale conservativa sono le resistenze viscose: D ξ βa ξ Dϕ βa ϕ, la cui potenza è sempre ovviamente non positiva: π D ξ ξ + Dϕ ϕ βa ξ βa ϕ e si annulla unicamente per velocità eneralizzate nulle: π ( ξ, ϕ (,. Il sistema delle resistenze viscose viene quindi riconosciuto come una sollecitazione completamente dissipativa. A questo si aiune la circostanza che vuole li equilibri ordinari tutti isolati, in quanto in numero finito. Le proprietà di stabilità di detti equilibri possono dunque essere caratterizzate facendo ricorso alla forma forte del teorema di Larane- Dirichlet, basata sui criteri di Barbašin e Krasovskii: i massimi relativi propri del potenziale sono asintoticamente stabili, mentre si ha instabilità in oni altro caso nella fattispecie anche l attrattività è esclusa per via della dissipazione dell eneria meccanica. Al solito, si determinano le derivate parziali seconde del potenziale (adimensionalizzato: u ξξ (ξ, ϕ u ξϕ (ξ, ϕ sin ϕ u ϕξ (ξ, ϕ sin ϕ u ϕϕ (ξ, ϕ aω cos ϕ + cos ϕ sin ϕ ξ cos ϕ in modo che la matrice hessiana di u assume la forma: ( sin ϕ H u (ξ, ϕ sin ϕ aω cos ϕ + cos ϕ sin. ϕ ξ cos ϕ Di questa matrice si deve discutere il seno deli autovalori in ciascuna confiurazione di equilibrio. 13

14 ( Equilibrio (ξ, ϕ aω + 1, In questo caso la matrice hessiana del potenziale adimensionalizzato assume la forma diaonale: H u 1 3 Un autovalore è <, mentre il secondo è 1 3 rendendo così necessario distinuere tre diversi casi. aω. aω e non presenta seno definito, (i se 3/aω > 1 il secondo autovalore ha seno neativo al pari del primo e la matrice hessiana risulta definita neativa. L equilibrio viene riconosciuto come massimo relativo proprio del potenziale, la cui stabilità asintotica seue dalla forma forte del teorema di Larane-Dirichlet; (ii per 3/aω < 1 il secondo autovalore è invece di seno positivo e la matrice risulta indefinita. L equilibrio costituisce dunque un punto di sella e l esclusione del massimo ne assicura l instabilità; la dissipazione dell eneria meccanica esclude altresì l attrattività; (iii qualora sia infine 3/aω 1 la matrice hessiana presenta un autovalore neativo ed uno nullo, risultando perciò semidefinita non definita neativa. La natura del punto stazionario non è evidente e richiede una ulteriore analisi. In effetti, una opportuna riscrittura del potenziale dimostra che l equilibrio costituisce un massimo relativo proprio della funzione, dunque asintoticamente stabile. Nella fattispecie, essendo /aω 1/3, il potenziale adimensionalizzato ha infatti la forma: e la posizione di equilibrio diventa: u(ξ, ϕ ξ cos ϕ + 1 sin ϕ ξ + ξ cos ϕ (ξ, ϕ ( 3,, ( per cui si può porre (ξ, ϕ 3 + δξ, δϕ e scrivere: ( u 3 + δξ, δϕ 1 ( δξ cos δϕ + 1 sin δϕ ( 3 + δξ + ( 3 + δξ cos δϕ δξ cos δϕ + 1 sin δϕ δξ δξ + cos δϕ + δξ cos δϕ 3 9 δξ + δξ cos δϕ + cos δϕ + 1 sin δϕ δξ 9 δξ(1 cos δϕ δξ + 1 sin δϕ + cos δϕ 14

15 9 δξ δϕ sin δξ + sin δϕ δϕ cos + cos δϕ ( 9 δξ + sin δϕ + sin 4 δϕ + δϕ δϕ sin cos + 1 δϕ sin 7 ( 9 δξ + sin δϕ + sin 4 δϕ δϕ sin4 7 ( 9 δξ + sin δϕ sin 4 δϕ, relazione dalla quale risulta evidente che (δξ, δϕ in un intorno abbastanza piccolo di (, vale: ( ( u 3 + δξ, δϕ u 3, e: ( u 3 + δξ, δϕ ( u 3, (δξ, δϕ (,. ( Equilibrio (ξ, ϕ aω 1, π Per la confiurazione in esame la matrice hessiana del potenziale adimensionalizzato è sempre indefinita: H u aω e indica che l equilibrio costituisce un punto di sella della funzione. L esclusione del massimo implica l instabilità dell equilibrio per la forma forte del teorema di Larane-Dirichlet e la mancanza di attrattività come conseuenza della dissipazione dell eneria meccanica H T U. ( Equilibrio (ξ, ϕ aω + 1 cos ϕ, ϕ ( aω, ϕ, con cos ϕ 3 aω Nella fattispecie l elemento (H u della matrice hessiana assume la forma: (H u ( aω cos ϕ + cos ϕ sin ϕ aω + 1 cos ϕ cos ϕ 3 aω cos ϕ + 1 cos ϕ sin ϕ 1 cos ϕ + 1 cos ϕ sin ϕ sin ϕ, in modo che la matrice diventa: ( sin ϕ H u sin ϕ sin ϕ con (H u 11 < e: deth u sin ϕ > 15

16 in quanto ϕ (, π/. La matrice è quindi definita neativa per il criterio di Sylverster- Jacobi ed assicura la stabilità asintotica dell equilibrio in quanto massimo relativo proprio del potenziale u. ( Equilibrio (ξ, ϕ aω + 1 cos ϕ, ϕ ( aω, ϕ, con cos ϕ 3 aω La matrice hessiana si ottiene sostituendo ϕ a ϕ nella matrice precedente: ( sin ϕ H u sin ϕ sin ϕ ed è chiaro che i determinanti dei suoi minori nord-ovest sono identici a quelli calcolati per l equilibrio simmetrico. Ne deriva che, come peraltro ci si poteva aspettare per raioni di simmetria, anche questo equilibrio risulta asintoticamente stabile quando definito. (d Equazioni di Larane Le equazioni di Larane del sistema sono: d ( L dt ξ L ξ D ξ d ( L L dt ϕ ϕ D ϕ in cui fiurano la laraniana L T + U: L ma ξ + ma ϕ + ma ω ( aω ξ + e le componenti eneralizzate delle forze viscose: D ξ βa ξ Dϕ βa ϕ. I termini parziali dei binomi di Larane sono immediati: d ( L dt ξ ma ξ L ξ ma ω ( aω ξ + cos ϕ d dt e forniscono le equazioni richieste: aω cos ϕ + 1 sin ϕ ξ + ξ cos ϕ ( L ma ϕ ϕ L ϕ ma ω ( aω sin ϕ + sin ϕ cos ϕ ξ sin ϕ ma ξ ma ω ( aω ξ + cos ϕ βa ξ ma ϕ ma ω ( aω sin ϕ + sin ϕ cos ϕ ξ sin ϕ βa ϕ. 16

17 (e Modi normali delle piccole oscillazioni. Coordinate normali. Per β le resistenze viscose sono rimosse dal sistema. Gli equilibri rimanono li stessi, in quanto punti stazionari del potenziale, ma le loro proprietà di stabilità venono modificate. I massimi relativi propri del potenziale sono stabili, ma non asintoticamente, per il teorema di Larane-Dirichlet l attrattività viene ora esclusa dalla conservazione dell eneria meccanica. L instabilità è assicurata dall inversione parziale di Larane- Dirichlet in tutti li equilibri dove l hessiana ammette almeno un autovalore positivo e la conservazione dell eneria meccanica consente comunque di escludere l attrattività. Per /aω 1 risulta 3/aω > 1 e l equilibrio: (ξ, ϕ ( aω + 1, (1, rappresenta un massimo relativo proprio del potenziale, stabile per Larane-Dirichlet. Le piccole oscillazioni venono perciò studiate nell intorno di questa confiurazione di equilibrio. Si noti che non esistono altri equilibri stabili per il sistema. La matrice hessiana del potenziale U è definita neativa: ( H U (1, ma ω, 1 mentre dall espressione enerale dell eneria cinetica si deduce la relativa matrice di rappresentazione: T ma ξ + ma ϕ 1 ma ( ξ + ϕ 1 ( ξ ( ξ ϕ A(ξ, ϕ ϕ che risulta indipendente dalla confiurazione considerata: ( A(ξ, ϕ ma 1. L equazione caratteristica per ricavare le pulsazioni normali Ω si scrive dunque: det [ Ω A(1, + H U (1, ] [ ( ( ] det Ω ma 1 + ma ω 1 ( (ma Ω det ω Ω ω ed equivale a: (Ω ω (Ω ω fornendo infine le radici positive distinte (si ricordi che ω > per ipotesi: Ω + ω Ω ω 17

18 con Ω + > Ω. Si vanno ora a scrivere esplicitamente i due modi normali corrispondenti a queste pulsazioni normali. Modo alto - pulsazione Ω + ω Il vettore delle ampiezze (a + b + T è costituito da qualsiasi soluzione non nulla del sistema lineare omoeneo: ( ( Ω + ω a+ Ω + ω b + vale a dire: ( ( a+ 3ω b + ( ( che implica b + e a + non nullo arbitrario. Il modo normale è quindi dato da: ( ξ ϕ ( ( 1 a+ + cos ( Ω + t + α + t R ossia, separando le componenti: { ξ 1 + a+ cos ( ω t + α + ϕ t R con a + e α + costanti reali assenate a piacere. Si osservi che in questo modo normale soltanto il parametro laraniano ξ oscilla attorno al proprio valore di equilibrio, mentre la variabile anolare ϕ si mantiene costantemente fissa al proprio valore di equilibrio. Modo basso - pulsazione Ω ω/ Il vettore delle ampiezze (a b T si ricava come soluzione non nulla del sistema lineare omoeneo: ( ( ( Ω ω a Ω ω b che equivale a: ( ( 3ω / a b ( ed implica a e b non nullo arbitrario. Il modo normale è quindi dato da: ( ξ ϕ ossia, separando le componenti: ( ( 1 + cos ( Ω b t + α t R { ξ 1 ( ω ϕ b cos t + α t R 18

19 con b e α costanti reali assenate a piacere. In questo modo normale soltanto il parametro laraniano ξ si mantiene fisso al proprio valore di equilibrio, mentre la variabile anolare ϕ oscilla attorno al valore di equilibrio. Coordinate normali Il calcolo precedente dimostra che le equazioni delle piccole oscillazioni nelle variabili ξ e ϕ sono disaccoppiate: dette equazioni descrivono una coppia di oscillatori armonici indipendenti, uno nella variabile ξ e l altro nella variabile ϕ. Se ne deduce che le coordinate laraniane (ξ, ϕ costituiscono anche una coppia di variabili normali per le piccole oscillazioni del sistema attorno all equilibrio considerato una circostanza del tutto fortuita. 19