Prova scritta di fondamenti di meccanica razionale del

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1 Prova scritta di fondamenti di meccanica razionale del Esercizio 1 Nel piano Oxy di una terna solidale Oxyz Oê 1 ê ê un sistema rigido è costituito da una lamina quadrata L, di lato a e vertici OABC, e da un asta rettilinea OD, di lunghezza a, come mostrato in figura. Le densità di lamina e asta si scrivono, rispettivamente: σ(q µ a 4 Q O Q L λ(q µ Q A Q OD a con µ massa costante caratteristica. Lungo l asse orizzontale Ox è vincolato a scorrere senza attrito un punto materiale P, di massa m, connesso ad O da una molla ideale di stiffness e soggetto ad una resistenza viscosa di costante β. La terna Oxyz trasla con velocità istantanea Ȯ(t aω cos ωt ê 1, t R, rispetto ad un riferimento inerziale, con a e ω costanti positive. Determinare: (a la massa e la posizione del baricentro, rispetto a Oxyz, del sistema L OD; (b la matrice d inerzia relativa a Oxyz di L OD; (c i momenti d inerzia di L OD rispetto alle rette OB e AB; (d usando l ascissa ξ di P come variabile, l equazione del moto del punto P rispetto alla terna Oxyz e la sua soluzione stazionaria; (e gli equilibri di P relativi a Oxyz qualora il coefficiente di attrito radente statico fra P e Ox fosse µ s >. 1

2 Esercizio Nel piano Oxy di una terna Oxyz Oê 1 ê ê un asta omogenea OA, di massa m e lunghezza r, ruota liberamente attorno all asse fisso Oz. L estremo A è vincolato a strisciare lungo il bordo esterno di un disco circolare D, di raggio r e massa m, il cui diametro MN può scorrere lungo l asse verticale Oy. Il sistema è sollecitato dal peso e da una molla ideale di stiffness che congiunge C ad O. La terna Oxyz ruota con velocità angolare costante ω attorno ad Oy rispetto ad un riferimento inerziale. Assunti i vincoli ideali, si usi l angolo φ [ π/4, π/4] in figura per determinare del sistema, rispetto ad Oxyz: (a gli equilibri ordinari, con le relative condizioni di esistenza; (b le proprietà di stabilità degli equilibri ordinari; (c l espressione dell energia cinetica; (d le equazioni pure del moto; (e gli eventuali equilibri di confine, specificandone le condizioni di esistenza.

3 Soluzione dell esercizio 1 (a Massa e baricentro di L OD Massa della lamina L La lamina ammette una parametrizzazione banale in termini delle coordinate cartesiane x ed y: Q O xê 1 + yê, (x, y [, ] [, ], che consente di esprimere la densità areale nella forma esplicita: σ(q σ(x, y µ a 4 (x + y, (x, y [, ]. La massa della lamina si ottiene pertanto integrando su L la densità areale suindicata: m L σ da L µ a 4 (ax + a dy µ a 4 (x + y µ a 4 µ [ ax a 4 + a x ] [x y + y y µ a 4 ( a 4 ] y + a4 µ. Massa dell asta OD Anche la parametrizzazione dell asta rettilinea OD è benale, potendosi esprimere direttamente in termini dell ascissa x: Q O xê 1, x [, a]. Ne segue per la densità lineare di OD l espressione: λ(q λ(x µ a Q A µ a xê 1 (ê 1 µ (x + a, x [, a], a che integrata sul proprio intervallo di definizione fornisce la massa richiesta: m OD OD λ ds a µ a (x + a µ a [ x + ax ] a µ a ( a + a µ. Massa del sistema L OD La massa del sistema è la somma delle masse di lamina ed asta, dal momento che il punto di intersezione O tra i due sistemi materiali costituisce un insieme di misura e dunque di massa nulla: m m L + m OD µ + µ µ 1 µ. Baricentro della lamina L La retta di equazione y x, z è un asse di simmetria di massa della lamina, in quanto: σ(x, y µ a 4 (x + y µ a 4 (y + x σ(y, x (x, y [, ],

4 per cui la densità areale assume lo stesso valore nel generico punto (x, y L e nel suo simmetrico (y, x L rispetto alla stessa retta. Di conseguenza, il vettore posizione del baricentro G L della lamina rispetto ad Oxyz deve essere della forma: con l ascissa determinata dalla definizione: x L 1 x σ da m L µ L a 4 [x y + xy per cui: ( a 4 a5 4 a5 ] G L O x L ê 1 + x L ê, y dy x µ a 4 (x + y a 4 a 4 ( ( a ax + a x a a 5 8 a, G L O 5 8 aê aê. dy (x + xy [ ax a x ] Baricentro dell asta OD Per l asta OD l asse Ox è di giacitura e quindi di simmetria, per cui il baricentro G OD dell asta viene individuato ad un vettore posizione della forma: G OD O x OD ê 1. L ascissa del baricentro si calcola ricorrendo alla definizione, come illustrato di seguito: x OD 1 m OD OD a Ne deriva che: [ ax x λ ds µ + x ] a a x µ (a + x a a ( a a + a G OD O 5 9 aê 1. a (ax + x ( a + a 5 9 a. Baricentro del sistema L OD Il baricentro del sistema composto da lamina ed asta può essere determinato ricorrendo al teorema distributivo, applicabile per via dell intersezione di misura nulla fra le parti costituenti. Si ha dunque: G O m L(G L O + m OD (G OD O m L + m OD 4 ( µ 5 8 aê aê + µ 5 9 aê 1 1 µ

5 ( aê aê + 5 aê 1 ( aê aê 5 aê 1 5 aê. (b Matrice d inerzia di L OD Matrice d inerzia della lamina L La lamina L giace interamente nel piano coordinato Oxy della terna Oxyz, per cui si annullano i prodotti d inerzia relativi alla quota z: L L xz L L zx L L yz L L zy ed il momento d inerzia rispetto all asse Oz è la somma dei momenti d inerzia relativi agli altri due assi coordinati: L L zz L L xx + L L yy. Poichè inoltre la retta di equazione y x, z costituisce un asse di simmetria di massa per la lamina, il semplice scambio delle coordinate cartesiane (x, y (y, x negli integrali di definizione mostra che i momenti d inerzia rispetto ad Ox e ad Oy sono uguali: L L yy L L xx. In virtù di queste osservazioni la matrice d inerzia relativa ad Oxyz della lamina deve essere della forma: L L [L L xx L L xy O] L L xy L L xx. L L xx Per il momento d inerzia rispetto ad Ox la definizione porge: L L xx y σ da L µ a 4 dy y µ a 4 (x + y µ a 4 ( a x µa ( [ x y ] + y5 5 y + a5 µ [ a x ] 5 a 4 + a5 x µ ( a a 5 a 4 + a µa µa, mentre per l unico prodotto d inerzia non banale si ha l espressione: L L xy L xyσ da µ a 4 dy xy µ a 4 (x + y µ a 4 ( x a [ x y xa4 µ [ x 4 a 4 a x 5 ] + xy4 4 y a 4 ] µa.

6 Di conseguenza: 14/45 1/4 [L L O] µa 1/4 14/45. 8/45 Matrice d inerzia dell asta OD Poichè l asta giace lungo l asse coordinato Ox la sua matrice d inerzia relativa a Oxyz si presenta nella forma seguente: con il solo elemento non banale dato da: L OD yy OD x λ ds [L OD O ] L OD yy L OD yy a x µ a (x + a µ a a µ [ ] x 4 a a 4 + ax µ ( a 4 a 4 + a4 (x + ax 7 1 µa, in modo che risulta: O ] µa 7/1. 7/1 [L OD Matrice d inerzia del sistema L OD La matrice d inerzia relativa a Oxyz del sistema L OD è data dalla somma delle matrici d inerzia calcolate per ciascuna delle due parti rispetto alla medesima terna: 14/45 1/4 [L O ] [L L O] + [L OD O ] µa 1/4 14/45 + µa 7/1 8/45 7/1 14/45 1/4 µa 1/4 11/18. 17/18 (c Momenti d inerzia di L OD rispetto alle rette OB ed AB Retta OB La retta OB passa evidentemente per l origine ed è individuata dal versore direttore: ˆn O B O B aê 1 + aê aê 1 + aê 1 ê ê.

7 Il momento d inerzia relativo alla retta OB si esprime quindi per mezzo dell operatore o della matrice d inerzia: I OB I Oˆn ˆn L O (ˆn 1 (1 1 [L O ] Lxx + L yy + L xy ( 1 ( 1 Lzz + L xy µa( µa µa. Retta AB La retta AB, di equazione x nel piano Oxy, è parallela all asse Oy. Per calcolare il momento d inerzia del sistema relativo ad AB si considera la retta Gy, di equazione x (5/a nello stesso piano, e si applica due volte il teorema di Huygens-Steiner. Per AB e Gy si ha infatti: ( 5 I AB I Gy + m a ( mentre per Oy e Gy risulta: ( 5 I Oy I Gy + m a, per cui, sottraendo membro a membro le due relazioni e ricordando che m (1/µ, si ottiene: ( 1 ( 5 ( 1 I AB I Oy m a m a 5 ( ma Ne deriva pertanto che: ma 18 1 ma µa µa. I AB I Oy + µa µa + µa µa. (d Equazione del moto di P rispetto a Oxyz e soluzione stazionaria Equazione pura del moto Nella terna Oxyz, non inerziale perchè in moto traslatorio accelerato rispetto ad un riferimento galileiano, il punto P è soggetto alle seguenti forze: il peso mgê ; la reazione vincolare Φ Φê si ricordi che l asse vincolare Ox è liscio per ipotesi; la forza elastica esercitata dalla molla ideale, pari a (P O ξê 1 ; la resistenza viscosa βp β ξê 1 ; una forza fittizia di trascinamento mö m( ω sin ωt ê 1 maω sin ωt ê 1. Si osservi che la forza di Coriolis risulta identicamente nulla in quanto Oxyz si muove di moto puramente traslatorio rispetto al riferimento assoluto inerziale, per cui la sua velocità 7

8 angolare di trascinamento è costantemente nulla nel tempo. Essendo P ξê 1, in Oxyz il postulato delle reazioni vincolari si scrive: m ξê 1 mgê + Φê ξê 1 β ξê 1 + maω sin ωt ê 1 ossia, separate le componenti lungo ê 1 e lungo ê : { m ξ ξ β ξ + maω sin ωt mg + Φ. L equazione pura del moto è ovviamente la prima delle due, proiezione ortogonale del postulato delle reazioni vincolari lungo l asse vincolare Ox: m ξ + β ξ + ξ maω sin ωt. Si tratta, come è evidente, dell equazione di un oscillatore armonico con smorzamento viscoso e soggetto ad una forzante sinusoidale (la cui ampiezza dipende però dalla pulsazione della stessa forzante. Soluzione stazionaria dell equazione del moto Come ben noto dall Analisi Matematica, la soluzione stazionaria dell equazione precedente è determinata univocamente da una espressione del tipo: ξ A sin ωt + B cos ωt con A, B costanti reali opportune. prima e seconda della soluzione ξ: Le costanti vengono ricavate calcolando le derivate ξ ωa cos ωt ωb sin ωt ωb sin ωt + ωa cos ωt ξ ω A sin ωt ω B cos ωt e sostituendole, assieme alla soluzione ξ stessa, nell equazione del moto: mω A sin ωt mω B cos ωt βωb sin ωt + βωa cos ωt + A sin ωt + B cos ωt maω sin ωt, la quale risulta qundi soddisfatta se e solo se il sistema lineare: { ( mω A βωb maω βωa + ( mω B ammette soluzione nei coefficienti costanti A, B R. In effetti la matrice dei coefficienti è sempre non singolare, per cui il sistema ammette una ed una sola soluzione che può essere scritta esplicitamente ricorrende al teorema di Cramer: maω βω mω A mω βω maω ( mω ( mω + β ω βω mω 8

9 B mω maω βω mω βω βω mω La soluzione stazionaria cercata è quindi data da: maω βω ( mω + β ω. ξ maω ( mω ( mω + β ω sin ωt + maω βω ( mω + β cos ωt ω maω ( mω sin ωt βω cos ωt ( mω + β ω, con ampiezza: maω ( mω + β ω. (e Equilibri di P relativi a Oxyz in presenza di attrito radente Se le forze di attrito radente non sono trascurabili il postulato delle reazioni vincolari si scrive nella forma più generale: m ξê 1 mgê + Φ ξê 1 β ξê 1 + maω sin ωt ê 1 nella quale la reazione vincolare Φ può presentare una componente lungo Ox non nulla. In condizioni statiche l equazione precedente si riduce a: mgê + Φ ξê 1 + maω sin ωt ê 1 e per le componenti della reazione vincolare rispettivamente tangente ed ortogonale all asse vincolare Ox fornisce le espressioni: Φ ê 1 ξ maω sin ωt Φ ê mg. Da sottolineare che in questo caso la componente tangente della reazione vincolare dipende dal tempo. La condizione necessaria e sufficiente affinchè una certa configurazione ξ del punto P sia di equilibrio relativamente alla terna non inerziale Oxyz è data dalla legge di Coulomb-Morin dell attrito radente statico: Φ ê 1 µ s Φ ê t R ovvero, esplicitando le componenti della reazione: ξ maω sin ωt µ s mg t R. Ad ogni istante t R deve quindi essere soddisfatta la doppia disequazione: µ s mg ξ maω sin ωt µ s mg 9

10 ossia, equivalentemente: ed infine: µ s mg + maω sin ωt ξ µ s mg + maω sin ωt µ smg + maω sin ωt ξ µ smg + maω sin ωt. Esistono valori di ξ R che soddisfano la doppia disequazione uniformemente in t R se e soltanto se risulta non vuota l intersezione di tutti gli intervalli: [ µ smg + maω sin ωt, µ smg + maω ] sin ωt t R vale a dire: t R [ µ smg + maω sin ωt, µ smg + maω ] sin ωt. È evidente, per ispezione, che l intersezione è non vuota se e soltanto se: µ smg + maω µ smg maω (1 e che in tal caso le configurazioni di equilibrio sono date da: µ smg + maω ξ µ smg maω. Il grafico seguente illustra una possibile procedura per la deduzione del risultato. 1

11 La condizione (1 per l esistenza degli equilibri può essere espressa in modo più semplice, dal momento che essa equivale a: ed infine a: ( µs mg maω aω g µ s g aω µ s. Si osservi che il risultato appare molto ragionevole dal punto di vista fisico: a tutti i tempi la forza di trascinamento, la sola agente tangenzialmente al vincolo in condizioni statiche, deve avere intensità non superiore a quella massima dell attrito radente statico, ossia µ s mg. D altra parte, il rapporto adimensionale aω /g maω /mg rappresenta il valore relativo delle forze d inerzia rispetto al peso e ci si aspetta che debba risultare sufficientemente piccolo per garantire l esistenza di equilibri. In effetti, tanto più piccolo quanto più è ridotto il coefficiente di attrito radente statico µ s. Soluzione dell esercizio (a Equilibri ordinari Il sistema è scleronomo e a vincoli unilaterali ideali. Le sollecitazioni cui è soggetto sono in parte posizionali conservative (il peso, le forze elastiche, le forze centrifughe ed in parte non energetiche (le forze di Coriolis. Le prime vengono caratterizzate mediante gli appropriati potenziali, mentre delle seconde si deve determinare la componente generalizzata. Potenziale gravitazionale Il potenziale gravitazionale consiste di un contributo relativo all asta e di uno relativo al disco, entrambi determinabili esprimendo la posizione dei rispettivi baricentri in termini del parametro lagrangiano φ. Il baricentro dell asta omogenea si identifica con il punto medio di essa, per cui è individuato dal vettore posizione: G OA O A O r (sin φ ê 1 cos φ ê. Del disco D non è noto se esso sia o meno omogeneo. Poichè però D è vincolato a traslare lungo la direzione Oy, il vettore posizione del suo baricentro G D può essere certamente espresso nella forma: G D O G D C + C O G D C r cos φ ê con G D C costante lungo qualsiasi moto possibile del sistema, in quanto vettore posizione del punto G D rispetto al centro C, entrambi appartenenti allo spazio solidale di D si ricordi la definizione di moto traslatorio. Il potenziale delle forze peso è quindi dato dalla relazione: U g mgê (G OA O mgê (G D O 1 mgr cos φ + mgr cos φ mgê (G D C 5 mgr cos φ + costante, 11

12 in cui la costante additiva può essere ovviamente ignorata. Si noti che l effettiva posizione del baricentro rispetto al disco risulta di fatto irrilevante. Potenziale elastico Alla molla ideale di stiffness che congiunge C con l origine O si deve associare il potenziale elastico: U el C O r cos φ ê r cos φ. Potenziale centrifugo Il potenziale centrifugo è la somma degli analoghi contributi di asta e disco: U cf Ucf OA + Ucf D ω IOA Oy + ω ID Oy. Il momento d inerzia IOy D del disco rispetto ad Oy è però costante, visto che il moto di D risulta puramente traslatorio ed ha luogo lungo la direzione dell asse di rotazione Oy; di conseguenza Ucf D si riduce ad una semplice costante additiva e può essere ignorato nel potenziale centrifugo complessivo del sistema. Quanto all asta OA, il suo momento d inerzia rispetto ad Oy si calcola direttamente dalla definizione, usando l ascissa curvilinea s [, r] misurata da O e la densità lineare m/r dell asta omogenea: I OA Oy r in modo che si ottiene: (s sin φ m r ds m r sin φ r U cf mr ω sin φ + costante. s ds m r sin φ r mr sin φ, Forze di Coriolis Tutti i punti P di OA e di D si muovono nel piano Oxy e pertanto le loro velocità P sono parallele a tale piano. Le forze di Coriolis risultano dunque perpendicolari ad Oxy, mentre le derivate P/ φ sono parallele allo stesso piano, al pari delle velocità P. Di conseguenza, la componente generalizzata delle forze di Coriolis si annulla identicamente: Q Cor φ m P ωê P P φ P OA D P OA D e non contribuisce in alcun modo alla dinamica o alla statica del sistema. Dal punto di vista fisico la situazione è chiara: le forze di Coriolis ortogonali al piano Oxy vengono costantemente bilanciate da opportune reazioni vincolari anch esse ortogonali ad Oxy. Potenziale del sistema La somma dei potenziali gravitazionale, elastico e centrifugo determinati in precedenza definisce il potenziale del sistema: U U g + U el + U cf 5 mgr cos φ r cos φ + mr ω sin φ 5 ( mgr cos φ + + mω r sin φ r. 1

13 Omessa la costante additiva si perviene così all espressione: U(φ 5 ( mgr cos φ + + mω r sin φ φ [ π/4, π/4]. Equilibri ordinari Gli equilibri ordinari del sistema vanno identificati con i punti stazionari del potenziale U interni all intervallo di definizione del parametro lagrangiano φ e si determinano quindi annullando nello stesso intervallo la derivata prima: U (φ 5 ( mgr sin φ mω ossia risolvendo in φ ( π/4, π/4 l equazione trigonometrica: che equivale a: (4 + mω r 5mg sin φ (4 + mω sin φ (cos φ λ, r sin φ cos φ r + cos φ dove per brevità si è introdotto il parametro d ordine adimensionale: λ 5mg (4 + mω r >. Per sin φ si hanno le soluzioni φ e φ π, e dunque l unico equilibrio: φ definito incondizionatamente si ricordi che φ ( π/4, π/4. Per cos φ λ si perviene invece alle soluzioni: φ arccos λ : φ (, π/ φ arccos λ φ ( π/, purchè risulti λ < 1. La richiesta che sia φ (, π/4 impone una ulteriore restrizione: cos(π/4 < cos φ < cos, ossia: 1 < λ < 1, che è la condizione necessaria e sufficiente affinché φ φ e φ φ siano equilibri del sistema. 1

14 (b Stabilità degli equilibri ordinari Poichè tutte le sollecitazioni che effettivamente agiscono sul sistema hanno carattere posizionale e conservativo, le proprietà di stabilità degli equilibri ordinari possono essere studiate ricorrendo ai teoremi di Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale. A tale scopo si deve procedere al calcolo della derivata seconda del potenziale: U (φ 5 ( mgr cos φ r mω ( cos φ sin φ e a determinarne il segno in ciascuna configurazione di equilibrio. Configurazione φ In questo caso la derivata seconda del potenziale risulta: U ( 5 ( mgr mω r (4 + mω r (1 λ e non presenta segno definito. Si rende quindi necessario distinguere tre diversi casi: se λ > 1 è U ( <, per cui φ costituisce un massimo relativo proprio del potenziale, stabile per il teorema di Lagrange-Dirichlet; per λ < 1 vale invece U ( > e φ è instabile per il teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet; qualora sia infine λ 1 si ottiene U ( e viene individuato un caso critico, che richiede un analisi più approfondita. In effetti, in questo caso la derivata seconda del potenziale si riduce a: U (φ (4 + mω r ( λ cos φ + cos φ sin φ (4 + r mω ( cos φ + cos φ sin φ e da essa si ricavano le espressioni per le derivate terza e quarta: U ( (φ U (4 (φ (4 + mω (4 + mω r (sin φ 4 sin φ cos φ r (cos φ 4 cos φ + 4 sin φ che in φ porgono: U ( ( U (4 ( (4 + mω r < e consentono di riconoscere l equilibrio come un massimo relativo proprio del potenziale, stabile per Lagrange-Dirichlet. 14

15 Configurazione φ φ, con cos φ λ ( 1/, 1 Nella fattispecie la derivata seconda del potenziale ha sempre segno negativo: U (φ 5 mgr cos φ + (4 + mω r ( cos φ sin φ (4 + mω r ( λ cos φ + cos φ sin φ (4 + mω (4 + mω r ( cos φ cos φ + cos φ sin φ r sin φ <, in quanto φ (, π/4. Di conseguenza, l equilibrio rappresenta un massimo relativo proprio del potenziale ed è stabile per Lagrange-Dirichlet. Configurazione φ φ, con cos φ λ ( 1/, 1 Poichè: U ( φ U (φ <, si conclude che anche φ φ è asintoticamente stabile, quale massimo relativo proprio isolato del potenziale. (c Energia cinetica Asta OA L asta si muove nel piano Oxy ruotando di un angolo φ attorno all asse fisso Oz, passante per il suo estremo O. L energia cinetica è quindi data dall espressione: T OA 1 IOA Oz ωoa 1 mr φê mr φ. Disco D Il disco è vincolato a traslare parallelamente all asse verticale Oy. La posizione del suo centro C può essere ricavata facilmente sfruttando la condizione che impone all estremo A dell asta di strisciare lungo il bordo esterno di D. Basta infatti notare che il triangolo OCA è isoscele per concludere che: C O r cos φ ê e che di conseguenza la velocità del centro lungo un qualsiasi moto possibile risulta: Ċ R sin φ φ ê. Quella ottenuta va peraltro identificata con la velocità istantanea di tutti i punti di D al medesimo istante, in modo che l energia cinetica del disco diventa: T D m Ċ m r sin φ φ ê mr sin φ φ. 15

16 Sistema L energia cinetica relativa a Oxyz del sistema è per definizione la somma delle energie cinetiche di asta e disco, relative alla stessa terna: T T OA + T D mr φ + mr sin φ φ mr ( 1 + sin φ φ. (d Equazioni pure del moto Data l ipotesi dei vincoli ideali, le equazioni pure del moto si riducono alla sola equazione di Lagrange: d ( L dt φ L φ con lagrangiana: L T + U mr ( 1 + sin φ φ + 5 ( mgr cos φ + + mω r sin φ. Il calcolo dei termini parziali nel binomio di Lagrange a primo membro porge: d dt L φ mr( sin φ φ ( L φ mr ( sin φ φ + 8mr sin φ cos φ φ L φ 4mr sin φ cos φ φ 5 ( mgr sin φ + e l equazione del moto richiesta risulta: mr ( sin φ 4 + mω φ + 4mr sin φ cos φ φ + 5 (4 mgr sin φ + mω r sin φ cos φ r sin φ cos φ. (e Equilibri di confine Le configurazioni di confine del sistema si hanno per φ π/4 e φ π/4. Se si tratti o meno di equilibri lo si riconosce facendo uso del teorema dei lavori virtuali, che richiede il calcolo della forza generalizzata: nelle stesse configurazioni. Q(φ U (φ 5 ( mgr sin φ mω r sin φ cos φ Configurazione φ π/4 Questa configurazione di confine è un equilibrio per il sistema a vincoli ideali se e soltanto se: Q(π/4 α φ α φ Q(π/4 1

17 ossia: e quindi: 5 mgr 1 + (4 + mω r 1 1 λ λ 1. Ricordando che: λ 5mg (4 + mω la condizione prescrive che φ π/4 sia un equilibrio di confine quando la forza elastica caratteristica r e/o quella centrifuga caratteristica mω r risultano prevalenti sulla forza peso caratteristica mg. Si noti che questa conclusione appare molto ragionevole dal punto di vista fisico., r Configurazione φ π/4 In modo analogo, la configurazione è di equilibrio se e soltanto se: Q( π/4 α φ α φ Q( π/4, vale a dire: 5 mgr 1 (4 + mω r 1 1 λ 1 ossia la stessa condizione dell equilibrio di confine precedente, come ci si aspetta per simmetria. 17