Prova scritta di fondamenti di meccanica razionale del

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1 Prova scritta di fondamenti di meccanica razionale del Esercizio 1 Nel piano Oxy di una terna solidale Oxyz Oê 1 ê ê si considera il sistema rigido illustrato in figura, composto da una piastra rigida omogenea P ABCD, di massa µ, e da due aste OA e OD di lunghezza a e densità: λ(p µ P O, P OA OD. a Determinare del sistema: (a la massa e la posizione del baricentro rispetto a Oxyz; (b la matrice d inerzia relativa a Oxyz; (c una terna principale e i momenti principali d inerzia in O; (d il momento d inerzia relativo alla retta By; (e l energia cinetica rispetto ad un riferimento dove istantanea vale ω ωê, con ω >. Ȯ aωê 1 e la velocità angolare 1

2 Esercizio Nel piano Oxy di una terna cartesiana ortogonale Oxyz Oê 1 ê ê, avente l asse Oy diretto verticalmente verso l alto, un disco circolare omogeneo D, di massa m, centro C e raggio a, è vincolato a rotolare senza strisciare lungo il bordo interno di una guida circolare fissa γ, di centro O e raggio 4a. La terna ruota con velocità angolare costante ω attorno all asse Oy rispetto ad un riferimento inerziale. Lungo lo stesso asse scorre senza attrito un punto materiale P di massa m, collegato a C da una molla ideale di costante elastica k mω /. Il sistema è pesante e a vincoli ideali. Usare i parametri adimensionali ϑ, ξ R in figura per determinare del sistema, rispetto alla terna Oxyz: (a gli equilibri; (b le proprietà di stabilità degli equilibri; (c l espressione dell energia cinetica; (d le equazioni pure del moto; (e gli equilibri di confine nel caso sia ξ.

3 Soluzione dell esercizio 1 (a Massa e baricentro Massa dell asta OA L asta OA si colloca lungo l asse Ox ed ammette perciò l ovvia parametrizzazione: P (x O xê 1, x [, a] con elemento infinitesimo di lunghezza ds P (x dx ê 1 dx dx e densità di linea: λ(x µ a xê 1 µ x, x [, a]. a La massa si calcola quindi immediatamente in base alla definizione: m OA λ ds OA a µ a x dx µ a a µ. Massa dell asta OD La massa dell asta OD coincide con quella di OA per evidenti ragioni di simmetria. Si ha pertanto: m OD m OA µ senza che si renda necessario procedere ad alcun calcolo (che peraltro risulterebbe identico a quello precedente, con la sola avvertenza di sostituire l ordinata y all ascissa x. Massa della piastra P La massa della piastra P è m P µ per ipotesi. Massa del sistema La massa del sistema si calcola come somma delle masse parziali determinate precedentemente e relative all asta OA, all asta OD e alla piastra P: m m OA + m OD + m P µ + µ + µ µ. Baricentro di OA Il baricentro dell asta deve collocarsi lungo la retta di giacitura Ox ed è quindi individuato da un vettore posizione della forma: G OA O x OA ê 1, dove l ascissa viene ricavata dalla definizione: x OA 1 m OA OA x λ ds µ a x µ a x dx a a a,

4 per cui: G OA O aê 1 Baricentro di OD Per simmetria, il baricentro dell asta OD si colloca alla stessa distanza di G OA dall origine, ma lungo l asse di giacitura Oy: G OD x OA ê aê. Baricentro di P È evidente che la bisettrice del I e del III quadrante, di equazione y x, costituisce un asse di simmetria della piastra: sotto il profilo geometrico la simmetria è ovvia, mentre ci si convince immediatamente che anche la condizione sulla densità areale risulta soddisfatta (tale densità, costante, assume ovviamente lo stesso valore in qualsiasi coppia di punti simmetrici di P. Ne deriva che il baricentro G P della piastra deve avere in Oxyz un vettore posizione della forma: G P O x P ê 1 + x P ê. La densità costante della piastra omogenea si scrive come rapporto fra la massa µ e l area, esprimibile come differenza fra le aree dei triangoli OBC e OAD: σ µ (a a µ a µ a. Conviene calcolare l unica coordinata significativa del baricentro pensando la piastra come differenza di due piastre triangolari complete OBC e OAD, di eguale densità, e notando che i lati obliqui AD e BC giacciono lungo le rette y a x e y a x, rispettivamente. Vale pertanto: x P 1 x σ da 1 x σ da 1 x σ da m P m P m P 1 µ P a a a a dx a [ a a x dy x OBC a µ a 1 µ dx x(a x a (ax x dx ( [ ax x ] a a a dx a x dy x OAD µ a dx x(a x (ax x dx [ ax x 4 ] a ]

5 ( a 4a 8 a a + a ( 7 7 in modo che risulta: a 14 G P O 7 9 aê aê. ( 1 1 a a 7 9 a, Baricentro del sistema La bisettrice y x del I e III quadrante è un ovvio asse di simmetria per l intero sistema. Il baricentro G del sistema viene dunque individuato da un vettore posizione della forma: G O x G ê 1 + x G ê, dove l ascissa si calcola usando il teorema distributivo: x G m Px P + m OA x OA + m OD x OD m 1 ( µ 7 µ 9 a + µ a + ( a 5 9 a e porge infine: G O 5 9 aê aê. (b Matrice d inerzia Matrice d inerzia in Oxyz dell asta OA Poichè l asta giace lungo l asse coordinato Ox, la matrice d inerzia risulta: [L OA O ] L OA yy L OA yy µa 1/4, 1/4 l unico elemento non banale essendo dato dal momento d inerzia: L OA yy x λ ds OA a x µ a x dx µ a a 4 4 µa 4. Matrice d inerzia in Oxyz dell asta OD La matrice d inerzia si determina senza dover svolgere calcoli, notando che l asta giace lungo l asse Oy e che le aste OD e OA presentano lo stesso momento d inerzia rispetto all asse Oz: [L OD O ] xx L OD xx LOD yy µa 1/4. L OA yy 1/4 LOA Matrice d inerzia in Oxyz della piastra P Poichè la piastra giace nel piano coordinato Oxy, i prodotti d inerzia con coordinata z sono identicamente nulli ed il momento d inerzia relativo all asse Oz è dato dalla somma dei momenti d inerzia relativi agli assi Ox e Oy; la presenza dell asse di simmetria y x 5

6 nel piano Oxy implica inoltre che i momenti d inerzia rispetto ad Ox e Oy siano uguali, potendosi ottenere l uno dall altro con il semplice scambio delle coordinate x e y. La matrice d inerzia della piastra ha perciò la forma: L P xx L P xy [L P ] L P xy L P xx, L P xx dove l unico momento d inerzia indipendente si scrive: L P xx σ y σ da P a [ y dx OBC ] a x y y σ da σ a y σ da OAD ] a x [ y dx σ ] a (a x4 [ σ 4 σ 1 16a4 σ 1 a σa4 5 4 y ] a (a x4 [ 4 σ a a dx a x µ a a4 5 6 µa e l unico prodotto d inerzia non banale vale: L P xy xyσ da xyσ da + xyσ da P a σ dx a a x OBC a dy xy σ + dx a x OAD (4a x 4ax + x dx + σ dy xy σ σ a a dy y σ a (a x dx σ x (a x dx a dx + σ (a x ax + x dx σ (4a 4a 4a8a + 16a4 + σ (a a 4 aa + a4 4 (8 σa4 ( σa σa4 ( σa ( σa σa4 5 8 Si ha pertanto: L P xx L P xy [L P ] L P xy L P xx L P xx µa 6 a x dy y σ (a x dx a x ( /6 5/1 5/1 5/6 5/ (a x µ a a4 5 1 µa.. dx

7 Matrice d inerzia in Oxyz del sistema La matrice d inerzia del sistema rispetto alla terna Oxyz è la somma delle matrici d inerzia delle due aste e della piastra rispetto allo stesso riferimento cartesiano ortogonale: [L O ] [L OA O ] + [L OD O ] + [L P O] µa 1/4 + µa 1/4 1/4 1/4 1/1 5/1 µa 5/1 1/1 1/6. + µa 5/6 5/1 5/1 5/6 5/ (c Terna principale e momenti principali d inerzia in O Terna principale d inerzia in O Una terna principale d inerzia in O del sistema si individua immediatamente senza dover eseguire la diagonalizzazione formale della matrice [L O ]. Basta infatti considerare che il piano di giacitura Oxy costituisce un ovvio piano di simmetria per il sistema, per cui l asse Oz, passante per O e ortogonale a tale piano, rappresenta sicuramente un asse principale d inerzia in O del sistema. L asse di simmetria y x nel piano Oxy contiene naturalmente il punto O, e quindi rappresenta un ulteriore asse principale d inerzia in O. Il teorema spettrale assicura che il terzo asse principale d inerzia in O, certamente definito per la simmetria di L O, debba risultare ortogonale ai due assi precedenti e possa quindi essere identificato con la bisettrice y x del II e del IV quadrante nel piano Oxy. Momenti principali d inerzia in O Essendosi già determinati gli assi principali d inerzia relativi, i momenti principali d inerzia in O si possono calcolare direttamente, senza dover risolvere il problema spettrale per la matrice [L O ]. Il primo asse principale d inerzia, la retta y x, è specificato dal versore tangente: ˆn 1 1 ê ê ed il relativo momento principale d inerzia può quindi essere ricavato direttamente dalla matrice [L O ] per mezzo della relazione: ( 1 1 A 1 I Oˆn1 ˆn 1 L O (ˆn 1 [L O ] 1/ 1/ 1 Lxx + L yy + L xy ( 1 [ ( 5 1] µa 1 ( µa µa. In modo analogo si calcola il momento principale d inerzia relativo alla retta y x, individuata dal versore tangente: ˆn 1 ê ê, 7

8 che fornisce: A I Oˆn ˆn L O (ˆn 1 ( 1 1 [L O ] 1/ 1/ [ ( 5 1] µa 1 1 ( Lxx + L yy L xy ( µa 6 µa. Il momento d inerzia relativo all asse principale Oz va infine identificato con l elemento L zz della matrice [L O ] già calcolato in precedenza. In definitiva, i momenti principali d inerzia in O del sistema risultano: A 1 µa A µa A 1 6 µa. Si noti che, come atteso, il momento principale d inerzia A è la somma dei momenti principali A 1 e A. (d Momento d inerzia relativo alla retta By La retta By non passa nè per l origine nè per il baricentro G del sistema. Il momento d inerzia relativo a By si può determinare applicando due volte il teorema di Huygens- Steiner, considerato che la distanza fra le rette parallele By e Gy è data da a x G : I By I Gy + m(a x G, (1 mentre quella fra le rette parallele Gy e Oy vale semplicemente x G : I Oy I Gy + mx G. Dalla seconda relazione si può ricavare l espressione di I Gy : che sostituita nella (1 porge: I Gy I Oy mx G L yy mx G I By L yy mx G + m(a x G 1 1 µa + µ ( 4a 4ax G 1 1 µa + µ (4a 4a 5 9 a 1 1 µa + 8µa ( ( µa µa. (e Energia cinetica L energia cinetica T del corpo rigido rispetto al riferimento assoluto in cui esso appare in movimento è data dall espressione generale del teorema di König: T mȯ + mġ Ȯ + T, 8

9 dove la velocità Ġ del baricentro e l energia cinetica T del sistema vanno calcolate in una terna di riferimento con origine in O e in moto traslatorio rispetto al riferimento assoluto assegnato. In tale terna il corpo rigido si muove con punto fisso O (che infatti appartiene al sistema e quindi allo spazio solidale e velocità angolare ω ωê, identica a quella relativa al riferimento assoluto. Si hanno così le espressioni: Ġ ω (G O ωê ( 5 9 aê aê Ġ Ȯ 5 9 aω(ê ê 1 aωê a ω 5 9 aω(ê ê 1 T 1 ω L O( ω 1 ωê L O (ωê 1 ω L zz 1 1 ω 6 µa 1 1 µa ω, in modo che risulta: T µa ω ( + µ 5 9 a ω µa ω 5 6 µa ω. Soluzione dell esercizio (a Equilibri Per determinare gli equilibri del sistema scleronomo, a vincoli bilaterali ideali, occorre calcolare preliminarmente le componenti generalizzate di tutte le sollecitazioni attive applicate. Di queste, l interazione elastica fra i punti C e P, il peso e le forze centrifughe dovute alla scelta del sistema di riferimento Oxyz hanno natura posizionale conservative e vanno caratterizzate per mezzo dei relativi potenziali; le forze di Coriolis, che certamente agiscono sul sistema nella terna rotante Oxyz, hanno infine componenti generalizzate costantemente nulle in quanto ortogonali al piano vincolare Oxy. Potenziale gravitazionale Il potenziale gravitazionale è la somma dei contributi relativi al punto P e al disco omogeneo D: U g mgê (P O mgê (C O, essendo: P O 4aξê C O a(sin ϑê 1 cos ϑê, in modo che risulta: U g 4mgaξ + mga cos ϑ. ( Potenziale elastico Il potenziale elastico associato alla molla ideale di costante elastica k mω / è dato dalla relazione: U el k C P mω C P 4 con: C P a(sin ϑê 1 cos ϑê ( 4aξê a sin ϑ ê 1 + a(4ξ cos ϑê 9

10 e quindi: C P 9a sin ϑ + a (16ξ + 9 cos ϑ 4ξ cos ϑ a (9 + 16ξ 4ξ cos ϑ per cui, omessa la costante additiva: U el ma ω (16ξ 4ξ cos ϑ ma ω ( 4ξ + 6ξ cos ϑ. ( 4 Potenziale centrifugo Al potenziale centrifugo contribuisce il solo disco D, dal momento che il punto P è vincolato a muoversi proprio lungo l asse di rotazione Oy della terna di riferimento. La relativa formula si scrive: U cf ω m[ (C O ê 1 ] ω m[ a sin ϑ ] 9 ma ω sin ϑ. (4 Potenziale del sistema Il potenziale del sistema è la somma dei potenziali parziali, gravitazionale, elastico e centrifugo, calcolati in precedenza: U(ξ, ϑ 4mgaξ + mga cos ϑ + ma ω ( 4ξ + 6ξ cos ϑ + 9 ma ω sin ϑ 4mgaξ 4ma ω ξ + 6ma ω ξ cos ϑ + mga cos ϑ + 9 ma ω sin ϑ e va considerato come funzione di (ξ, ϑ R. Equazioni di equilibrio Gli equilibri del sistema scleronomo a vincoli bilaterali ideali sono tutti ordinari e si identificano con i punti stazionari del potenziale U(ξ, ϑ. Le equazioni di equilibrio si ottengono perciò calcolando le derivate parziali prime del potenziale rispetto ai parametri lagrangiani: U ξ (ξ, ϑ U ξ(ξ, ϑ 4mga 8ma ω ξ + 6ma ω cos ϑ U ϑ (ξ, ϑ U ϑ(ξ, ϑ 6ma ω ξ sin ϑ mga sin ϑ + 9ma ω sin ϑ cos ϑ ed eguagliandole simultaneamente a zero: 4mga 8ma ω ξ + 6ma ω cos ϑ 6ma ω ξ sin ϑ mga sin ϑ + 9ma ω sin ϑ cos ϑ. Adimensionalizzando, si perviene così alle equazioni di equilibrio: g aω ξ + 4 cos ϑ ξ sin ϑ g aω sin ϑ + (5 sin ϑ cos ϑ. 1

11 Equilibri La prima delle equazioni (5 consente di ricavare il valore di equilibrio di ξ in funzione di quello della variabile angolare ϑ: ξ g aω + cos ϑ. (6 4 Sostituendo la relazione nella seconda delle equazioni (5, questa diventa un equazione della sola ϑ, dove è peraltro possibile raccogliere il fattore comune sin ϑ: ( sin ϑ g aω 4 cos ϑ e semplificare parzialmente alcuni termini: g aω + cos ϑ ( sin ϑ g aω + 4 cos ϑ. (7 L equazione ottenuta ammette soluzioni quando si annulla il fattore sin ϑ o quello entro parentesi; conviene esaminare separatamente i due casi. Per sin ϑ si hanno le soluzioni fisicamente distinte: ϑ ϑ π cui la (6 fa corrispondere i valori di equilibrio di ξ rispettivi: ξ g aω + 4 Ne seguono perciò gli equilibri, sempre definiti: (ξ, ϑ ( g aω + 4, Per g aω + cos ϑ risulta invece: 4 e si deducono perciò le soluzioni: cos ϑ 4g aω ξ (ξ, ϑ g aω 4. ( g aω 4, π. ( 4g ϑ arccos aω : ϑ ϑ ϑ definite e distinte dalle precedenti a condizione che si abbia 4g/aω < 1. Ricordando la (6, nella stessa ipotesi si ricavano così gli ulteriori equilibri: (ξ, ϑ ( g aω + 4 cos ϑ, ϑ (ξ, ϑ ( g aω + 4 cos ϑ, ϑ, 11

12 ossia: (ξ, ϑ ( g aω, ϑ (ξ, ϑ ( g aω, ϑ. (b Stabilità degli equilibri Il sistema scleronomo è posizionale conservativo. Le proprietà di stabilità degli equilibri possono essere perciò studiate facendo ricorso ai teoremi di Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale. Allo scopo, basta verificare la natura dei punti stazionari del potenziale facendo uso della relativa matrice hessiana. Le derivate parziali seconde del potenziale si scrivono: U ξξ (ξ, ϑ 8ma ω U ϑξ (ξ, ϑ U ξϑ (ξ, ϑ 6ma ω sin ϑ U ϑϑ (ξ, ϑ 6ma ω ξ cos ϑ mga cos ϑ + 9ma ω ( cos ϑ sin ϑ e porgono la matrice hessiana: 8 6 sin ϑ H U (ξ, ϑ ma ω 6 sin ϑ 6ξ cos ϑ g aω cos ϑ + 9(cos ϑ sin ϑ dei cui autovalori si deve stabilire il segno in ciascuna configurazione di equilibrio. ( g Configurazione (ξ, ϑ aω + 4, In questo caso la matrice hessiana del potenziale assume la forma diagonale: ( g H U aω + 4, ma ω 8 6 g aω + 9 ma ω 8 9 ( 1 4g aω con un autovalore costante di segno negativo e uno di segno non definito, dipendente dal valore del parametro d ordine adimensionale g/aω. Si rende così necessario distinguere tre diversi casi: (i se 4g/aω > 1 la matrice hessiana presenta entrambi gli autovalori di segno negativo ed individua l equilibrio come un massimo relativo proprio del potenziale, la cui stabilità è assicurata dal teorema di Lagrange-Dirichlet; (ii per 4g/aω < 1 la matrice hessiana del potenziale ha autovalori di segno opposto. Il ricorrere di un autovalore positivo implica l instabilità della configurazione di equilibrio per il teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet; (iii se infine 4g/aω 1 la matrice hessiana risulta semidefinita non definita negativa, ammettendo un autovalore negativo e uno nullo. La matrice non è sufficiente, da sola, né a riconoscere né ad escludere che l equilibrio costituisca un massimo relativo proprio del potenziale, per cui occorre affidarsi ad uno sviluppo di Taylor di U di ordine superiore al secondo oppure ad una opportuna riscrittura della funzione potenziale. 1

13 Nella fattispecie, in effetti, la configurazione di equilibrio si riduce a (ξ, ϑ (9/8, ed il potenziale diventa: U(ξ, ϑ ma ω ( 4g aω ξ 4ξ + 6ξ cos ϑ + g aω cos ϑ + 9 sin ϑ ma ω ( ξ 4ξ + 6ξ cos ϑ cos ϑ + 9 sin ϑ. Per studiarne l andamento attorno al punto critico conviene porre: ξ δξ ϑ δϑ in modo da riscrivere il potenziale debitamente adimensionalizzato nella forma: 1 ma U(9/8 + δξ, δϑ ω δξ 4 ( δξ δξ ( δξ cos δϑ cos δϑ + 9 sin δϑ + δξ δξ 4δξ cos δϑ + 6δξ cos δϑ cos δϑ + 9 sin δϑ 16 6δξ 4δξ + 6δξ cos δϑ + 9 cos δϑ + 9 sin δϑ 7 ( 16 6δξ 4δξ + 6δξ 1 sin δϑ ( sin δϑ sin δϑ δϑ cos 16 4δξ 1δξ sin δϑ δϑ sin + 18 δϑ sin 18 δϑ sin4 117 (δξ δξ sin δϑ 18 sin 4 δϑ 117 (δξ δξ sin δϑ + 9 δϑ 4 sin4 + 9 sin 4 δϑ 18 δϑ sin4 117 (δξ δϑ sin 9 sin 4 δϑ, dalla quale si deduce chiaramente che l equilibrio (δξ, δϑ (, rappresenta un massimo relativo proprio del potenziale, la cui stabilità segue dal teorema di Lagrange- Dirichlet. Vale la pena di sottolineare come i risultati precedenti appaiano ragionevoli dal punto di vista fisico: si prevede infatti la stabilità dell equilibrio quando il parametro g/aω è sufficientemente grande, per cui le forze gravitazionali risultano in qualche modo predominanti rispetto a quelle centrifughe. ( g Configurazione (ξ, ϑ aω 4, π Nella fattispecie la matrice hessiana del potenziale è ancora diagonale: ( g H U aω 4, π ma ω 8 1 6g aω + 9

14 ma con autovalori sempre di segno opposto. La presenza di un autovalore positivo comporta l instabilità dell equilibrio in forza del teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet. ( g Configurazione (ξ, ϑ aω, ϑ per 4g/aω < 1 In questa configurazione la matrice hessiana del potenziale assume la forma non diagonale: ( g 8 6 sin H U aω, ϑ ma ω ϑ 6 sin ϑ 9g aω cos ϑ g aω cos ϑ + 9(cos ϑ sin ϑ dove, essendo ϑ arccos(4g/aω, l elemento comune alla seconda riga e alla seconda colonna si semplifica in: 9g aω cos ϑ g aω cos ϑ + 9(cos ϑ sin ϑ 1g aω cos ϑ + 9(cos ϑ sin ϑ 9 cos ϑ + 9(cos ϑ sin ϑ 9 sin ϑ e conduce perciò alla più compatta espressione: ( ( g H U aω, ϑ ma ω 8 6 sin ϑ 6 sin ϑ 9 sin ϑ con traccia negativa: e determinante positivo: trh U ( g aω, ϑ ma ω ( 8 9 sin ϑ < deth U ( g aω, ϑ (ma ω 6 sin ϑ > in quanto ϑ (, π/. I segni assunti da determinante e traccia assicurano che la matrice abbia entrambi gli autovalori negativi, per cui l equilibrio viene riconosciuto come massimo relativo proprio del potenziale. La stabilità deriva dal teorema di Lagrange-Dirichlet. ( g Configurazione (ξ, ϑ aω, ϑ per 4g/aω < 1 Le proprietà di stabilità di questo equilibrio sono uguali a quelle già individuate per l equilibrio simmetrico precedente. Per convincersene non è necessario eseguire alcun calcolo, ma basta osservare che il potenziale U del sistema risulta invariante sotto la trasformazione (ξ, ϑ R (ξ, ϑ R delle coordinate generalizzate: U(ξ, ϑ U(ξ, ϑ, (ξ, ϑ R, 14

15 proprietà peraltro ovvia dal punto di vista fisico (il sistema appare simmetrico rispetto all asse Oy. In effetti, la matrice hessiana differisce da quella calcolata in precedenza per il segno degli elementi non diagonali: ( ( g H U aω, ϑ ma ω 8 6 sin ϑ 6 sin ϑ 9 sin ϑ ed ammette esattamente la stessa traccia negativa e lo stesso determinante positivo. (c Energia cinetica relativa a Oxyz Energia cinetica del punto materiale P Il punto P, come già osservato, è individuato dal vettore posizione P O 4aξê e di conseguenza la sua velocità relativa a Oxyz si scrive: P 4a ξê. L energia cinetica corrispondente, relativa a Oxyz, diventa perciò: T P m P m 4a ξê 8ma ξ. Energia cinetica del disco omogeneo D Il baricentro del disco circolare omogeneo coincide con il suo centro C, di vettore posizione: e velocità istantanea, relativa a Oxyz: il cui modulo quadrato vale: C O a(sin ϑê 1 cos ϑê Ċ a(cos ϑê 1 + sin ϑê ϑ, Ċ 9a cos ϑê1 + sin ϑê ϑ 9a ϑ. Ricordando che il momento d inerzia del disco omogeneo, di massa m e raggio a, rispetto all asse baricentrale Cz ortogonale al piano di giacitura vale I D Cz ma / e che la velocità angolare istantanea del disco vincolato a scorrere lungo il bordo interno della guida circolare γ di raggio 4a si scrive per mezzo della nota formula: ω D ( 4a a 1 ϑê ϑê, l energia cinetica del disco è data dal teorema di König: T D m Ċ + 1 ID Cz ωd m 9a ϑ + 1 ma ϑê 9 ma ϑ ma ϑ 7 4 ma ϑ. 15

16 Energia cinetica del sistema L energia cinetica del sistema relativa al riferimento Oxyz è, per definizione, la somma delle energie cinetiche delle parti costituenti, calcolate rispetto alla stessa terna: T T P + T D 8ma ξ ma ϑ. Come vuole la teoria generale dei sistemi scleronomi, l energia cinetica è una forma quadratica definita positiva delle velocità generalizzate ξ, ϑ: T 8ma ξ ma ϑ 1 ( ( ξ ϑ A(ξ, ϑ ξ ϑ con matrice rappresentativa reale simmetrica e, del pari, definita positiva: ( A(ξ, ϑ ma 16, 7/ come è immediato verificare dal segno positivo degli elementi diagonali (nonchè autovalori. (d Equazioni pure del moto L ipotesi dei vincoli ideali autorizza a identificare le equazioni pure del moto del sistema con le equazioni di Lagrange: d ( L dt ξ L ξ in cui figura la lagrangiana L T + U: d ( L dt ϑ L ϑ L 8ma ξ ma ϑ +4mgaξ 4ma ω ξ +6ma ω ξ cos ϑ+mga cos ϑ+ 9 ma ω sin ϑ. Per poter scrivere le equazioni in forma esplicita occorre calcolare preliminarmente i singoli termini dei binomi di Lagrange a primo membro: L ξ d ( L 16ma ξ dt ξ 16ma ξ L ξ 4mga 8ma ω ξ + 6ma ω cos ϑ L 7 d ( L ϑ ma ϑ dt ϑ 7 ma ϑ L ϑ 6ma ω ξ sin ϑ mga sin ϑ + 9ma ω sin ϑ cos ϑ in modo che risulta: 16ma ξ 4mga + 8ma ω ξ 6ma ω cos ϑ 7 ma ϑ + 6ma ω ξ sin ϑ + mga sin ϑ 9ma ω sin ϑ cos ϑ. 16

17 (e Equilibri di confine se ξ Introducendo l ulteriore vincolo che sia ξ il sistema risulta ancora scleronomo, ma a vincoli unilaterali ideali. Il ricorrere di un eventuale equilibrio in una configurazione di confine (ξ, ϑ (, ϑ o, ϑ o R, viene appurato mediante il teorema dei lavori virtuali, che ne costituisce condizione necessaria e sufficiente per via della idealità dei vincoli. Nella fattispecie la condizione diventa: U ξ (, ϑ o α ξ + U ϑ (, ϑ o α ϑ α ξ, α ϑ R, e si riduce immediatamente al sistema di disequazioni: U ξ (, ϑ o U ϑ (, ϑ o. Le relazioni vengono scritte in forma esplicita ricordando l espressione delle derivate prime del potenziale U: U ξ (, ϑ o 4mga 8ma ω ξ + 6ma ω cos ϑ (ξ,ϑ(,ϑo 4mga + 16ma ω + 6ma ω cos ϑ o U ϑ (, ϑ o 6ma ω ξ sin ϑ mga sin ϑ + 9ma ω sin ϑ cos ϑ (ξ,ϑ(,ϑo 1ma ω sin ϑ o mga sin ϑ o + 9ma ω sin ϑ o cos ϑ o in modo che risulta: 4mga + 16ma ω + 6ma ω cos ϑ o 1ma ω sin ϑ o mga sin ϑ o + 9ma ω sin ϑ o cos ϑ o. La prima disequazione si riesprime nella forma equivalente: 4mga + 6ma ω ( 8 + cos ϑ o dalla quale è evidente l assenza di soluzioni reali, visto che l espressione entro parentesi risulta sempre strettamente positiva. Ne deriva che il sistema non ammette equilibri di confine. 17