Università di Pavia Facoltà di Ingegneria Esame di Meccanica Razionale Appello del 23 febbraio 2006 Soluzioni: parte II

Transcript

1 Università di Pavia Facoltà di Ineneria Esame di Meccanica Razionale ppello del 2 febbraio 2006 Soluzioni: parte II Q1. Dati i tensori = α + 2 e z e B = β e z + + 2e z, ed il vettore v = + γ 2e z. alcolare (Bv) 2 v Bv. alcoliamo i sinoli termini dello scalare che serve per la risoluzione; ricordiamo la reola che definisce il prodotto diadico, ossia (a b)c := (b c)a, (1) e la reola di contrazione delle diadi: (a b)(c d) := (b c)a d. (2) bbiamo, quindi, sfruttando le proprietà di ortonormalità della base {,, e z }: v = (α + 2 e z )( + γ 2e z ) = α + 2 γe z, Bv = (β e z + + 2e z )( + γ 2e z ) = 2β + γ + 2e z, (a) (b) e Bv = (α + 2 e z )(β e z + + 2e z )v = (αβ e z + 2β e z e z )v = (αβ e z + 2β e z e z )( + γ 2e z ) = 2αβ 4β γe z. (4) Si ha, quindi: (Bv) 2 v Bv = 4α 2 β β 2 + γ 2 ( 2αβ + 2γ 2γ) = 2αβ(2αβ + 1) + 4β 2 + γ 2. (5) Naturalmente, i calcoli si possono effettuare anche usando le matrici che rappresentano i tensori e i vettori nella base usata; l esercizio di verifica del risultato è lasciato al lettore. Q2. La struttura riida riportata in Fiura 1è posta in un piano verticale ed è composta da tre aste omoenee rettilinee. L asta B, di lunhezza 2l e massa αm, e l asta di lunhezza l/ e massa βm sono vincolate a terra da un carrello con retta d azione verticale posto in, alla stessa quota di e a distanza l da esso; l asta B verticale di lunhezza l e massa γm è incernierata a terra in. B e sono vincolate a B da due cerniere poste in B e in, rispettivamente. In B aisce una forza f = δm. Determinare il modulo della sforzo assiale esercitato sulla struttura nel punto P di B, posto a distanza l/4 da B. ominciamo a determinare la reazione vincolare in Φ data la natura del vincolo, possiamo scrivere che Φ = Φ x + Φ y,

2 f B P Fiura 1: la struttura descritta nel quesito 2. con due inconite scalari Φ x e Φ y. Poiché l unico altro vincolo a terra è il carrello posto in, che non esplica alcuna reazione vincolare luno l orizzontale, la prima equazione cardinale per l intero sistema proiettata luno permette di determinare subito che Φ x = δm. (6) Imponiamo, ora, l equilibrio del momento complessivo calcolato in (ossia, l unica componente non banale della seconda equazione cardinale sceliendo come polo; questa equazione contiene la sola inconita vincolare Φ y, poiché la reazione vincolare in non dà contributo, e neanche Φ x. Ricordando che le forze peso delle aste omoenee possono essere applicate nel loro punto medio (si veda la Fiura 2), e usando le proprietà eometriche della struttura descritte nel testo, otteniamo immediatamente: Φ y = ( α + β + γ δ)m. (7) 2 δm B P αm M γm βm Φ x Fi. 1a Φ y Fiura 2: determiniamo la reazione vincolari interne in.

3 Per poter calcolare l azione assiale in P manca l informazione relativa alla reazione vincolare che le aste e B si scambiano in. l fine di determinare questa reazione vincolare, sopprimiamo la cerniera interna posta in e, al suo posto, introduciamo la reazione vincolare ϕ = ϕ x + ϕ y che aisce su, e la reazione vincolare ϕ che aisce su B, in virtù del terzo principio della dinamica (si veda Fiura, dove, per maiore chiarezza, le forze su diverse rette d azione e in punti leermente separati da una distanza fittizia). δm B N P P αm βm ϕ y ϕ x ϕ x ϕ y γm δm Fi. 1b ( α+β 2 + γ δ)m Fiura : stacchiamo ora l asta e facciamo comparire ler reazioni vincolari interne. L equilibrio dei momenti calcolati in B per l asta B dà, notando che = l l : ϕ x = δ m ; (8) 1 imponendo, quindi, l equilibrio dei momenti in per otteniamo, usando la (8): ϕ y l βm l 2 ϕ l x = ϕ y l βm l 2 δ 1 m l = 0. (9) ra, dalla (9) ricaviamo ϕ y : m ϕ y = δ + β m 1 2, (10) e se ora immainiamo di spezare l asta in P, dovremo considerare le azioni interne che appaiono in tale punto; quindi, detto N P lo sforzo assiale in P, supposto orientato come, possiamo ricavarne il valore imponendo l equilibrio delle forze in verticale. Si ha, notando che il peso del tratto è 4 γm e ricordando le (7) e (10):

4 N P = 4 γm + ϕ y Φ y = 4 γm + δ m β m 1 2 (α + β 2 ( ) = δ γ 1 2 α m = ( 1 + ) δ γ 1 2 α m ; + γ δ)m (11) il valore assoluto della (11) risolve l esercizio. Q. Un corpo riido di massa totale m compie un atto di moto in cui v è la velocità del centro di massa del sistema, v è la velocità di un altro suo punto ed ω la velocità anolare; siano, inoltre, I e I i tensori d inerzia calcolati nei punti ed, rispettivamente. Quale fra le seuenti espressioni per il momento della quantità di moto K è sempre vera? 1. K = ( ) mv 2. K = ( ) mv. K = 1 2 mv ω I ω 4. K = I ω 5. K = I ω + ( ) mv 6. K = I ω + ( ) mv 7. K = I ω + ( ) mv 8. Nessuna delle precedenti Il testo ci dice che è un punto del corpo riido, quindi partecipa del moto riido. Per definizione, il momento della quantità di moto di un sistema composto da N punti materiali P i, ciascuno dei quali dotato di massa m i e velocità v i, è K := N (P i ) m i v i, (12) i=1 o l analoo per il caso continuo, usando un interazione di volume al posto della sommatoria. Usando la formula dell atto di moto riido, possiamo scrivere che sostituendo la (1) e con alcun passai ricaviamo che v i = v + ω (P i ) ; (1) K = I ω + ( ) mv, (14) che però non è fra le risposte proposte. Se si scelie come polo, la (14) diventa K = I ω + ( ) mv = I ω, (15) 4

5 e, usando il teorema del trasporto, possiamo scrivere che K = K + ( ) mv = I ω + ( ) mv. (16) Poichè la (16) coincide con la risposta 6, questa è quella corretta, e la risposta 8, quindi, è per forza da scartare. Sulla scorta di quanto detto, possiamo discutere separatamente le varie altre opzioni. sservando la (16), si nota che la risposta 1 coinciderebbe con essa solo quando K = I ω = 0; in enerale, I ω 0 (basta prendere ω diretto come uno deli assi principali d inerzia, e ne esiste sempre almeno uno luno il quale il momento centrale d inerzia non è nullo, poiché il corpo è formato da almeno due punti distinti). Quindi la 1 non è sempre vera: viene pertanto scartata. La risposta 2 coinciderebbe con la (6) solo quando I ω = 0; anche in questo caso, in enerale questo è falso (si ricava da poche modifiche al raionamento fatto sopra). La risposta presenta al secondo membro una randezza scalare, omoenea ad un eneria (è, in effetti, l espressione dell eneria cinetica scritta usando il teorema di Köni, quindi è assolutamente da scartare. Se la risposta 5 fosse corretta, sottraendo membro a membro la sua espressione con quella della risposta 6 otterremmo che (I I )ω = 0 Data l arbitrarietà di ω, questo implicherebbe che (I I ) = 0, che è falso: per il teorema di Huyens-Steiner i due tensori sono differenti. Se la risposta 7 fosse corretta, sottraendo membro a membro la sua espressione con quella della risposta 6 otterremmo che ( ) m(v v ) = 0. ssia, usando la formula dell atto di moto riido (1) per al posto di P i, e sfruttando le proprietà del prodotto vettoriale triplo: ( ) m(ω ( )) = ( ) 2 ω (( ) ω) ( ) = 0, (17) che, in enerale è falso (basta prendere ω in modo che non sia parallelo a, e il primo membro della (17) è sicuramente non nullo, poiché ). Q4. In un piano verticale, un disco omoeneo di massa m e raio R è vincolato a rotolare senza strisciare luno una uida orizzontale; un asta di massa m e lunhezza 4R ha un estremo libero di ruotare attorno al centro del disco, che è attratto verso un punto fisso della uida orizzontale da una molla di costante elastica γm/r e lunhezza a riposo nulla. Una seconda molla di costante elastica δm/r e lunhezza a riposo nulla attrae il punto medio G dell asta verso un punto posto sempre alla sua stessa quota di una uida verticale passante per (Fiura 4). alcolare le frequenze delle piccole oscillazioni in un intorno della posizione di equilibrio con l asta verticale con sotto. G Fiura 4: sistema descritto nel quesito Q4.

6 Il sistema due radi di libertà: possiamo associarli alle coordinate laraniane corrispondenti all ascissa x di luno la direzione, misurata a partire dal punto cui è fissata la prima molla e dall anolo ϑ che l asta forma con la verticale (si veda la fiura 5 per maiore chiarezza). x H G ϑ Fiura 5: sistema del quesito Q4, con indicazione delle variabili usate. ominciamo scrivendo il vettore che individua la posizione del centro di massa del disco rispetto all oriine del riferimento, che porremo in : la derivata della (18) ci darà la velocità di G: G = (x + 2R sin ϑ) + (R R cos ϑ) ; (18) v G = Ġ = (ẋ + 2R ϑ cos ϑ) + R ϑ sin ϑ. (19) La condizione di puro rotolamento per il disco impone, quindi, che la sua velocità anolare sia la velocità anolare dell asta, invece, è semplicemente ω d = ẋ R e z ; (20) ω a = ϑe z. (21) Possiamo, quindi, scrivere l eneria cinetica del sistema: per il disco, conosciamo istante per istante il centro di istantanea rotazione, che è il punto di contatto istantaneo H (vd. fiura 5), e pertanto il calcolo della sua eneria cinetica risulta semplificato; per l asta, ricorreremo al teorema di Köni. tteniamo, dunque: T = T (x, ϑ, ẋ, ϑ) = 1 2 ω Id H ω mv2 G ω Ia G ω a = m R2 ( ) 2 ẋ + 1 R m(4r)2 ϑ m(ẋ2 + 4R 2 ϑ2 + 4R ϑẋ cos ϑ) (22) = 4 mẋ2 + 2 mr2 ϑ m(ẋ2 + 4R 2 ϑ2 + 4R ϑẋ cos ϑ) Per quanto riuarda l eneria potenziale totale V, oltre a quella delle due molle dobbiamo contare l eneria potenziale ravitazionale dell asta (la quota del centro di massa della disco, invece, 6

7 rimane costante: essendo l eneria potenziale definita a meno di una costante additiva, possiamo considerare nullo il contributo del disco a V ). La quota y G è stata ià espressa in funzione di x e ϑ nella (18); complessivamente otteniamo per l eneria potenziale V, a meno di costanti: V = V (x, ϑ) = 2βmR cos ϑ γ m R x δ m R (x + 2R sin ϑ)2 (2) Le confiurazioni di equilibrio si trovano annullando il radiente di V (x, ϑ): V x = γ m R x + δ m (x + R sin ϑ) = 0 R V m = 2βmR sin ϑ + δ (x + 2R sin ϑ)2r cos ϑ = 0. ϑ R Si osserva subito che, per ϑ eq = 0, che è l anolo alla posizione di equilibrio descritta nel testo, si ottiene che l ascissa di di equilibrio che annulla il radiente (24) è x eq = 0. Per trovare le pulsazioni dei modi normali, dobbiamo procedere alla diaonalizzazione simultanea delle forme quadratiche associate alle matrici e B i cui elementi sono così definiti, rispettivamente: ij = 2 T q i q j (25a) q=q0 B ij = 2 V (25b) q i q j dove, per brevità, abbiamo posto q := (q 1, q 2 ) := (x, ϑ), e q 0 indica i valori all equilibrio; otteniamo, calcolando le derivate parziali delle (24): ( 5 = 2 m 2mR ) ( (γ + δ) m ) 2mR 16 B = R 2δm (26) mr2 2δm (2 + 4δ)mR anzitutto, notiamo che la matrice hessiana dell eneria potenziale (25b) è definita positiva, (basta osservare che det(b) = 2(m) 2 (γ +δ+2γδ) e B 11 sono entrambi positivi), e questo permette subito di affermare che la confiurazione di equilibrio trovata è effettivamente stabile, essendo un punto isolato di minimo dell eneria potenziale (criterio di Dirichlet-Larane). Risolviamo ora l equazione caratteristica in λ: det(b λ) = m [(γ + δ) R 52 ] λ m [(2 + 4δ)R 16 ] λr2 m(2δ 2λR) 2 = 0, (27) q=q0 (24) ossia, semplificando e ponendo λ := Rλ/ per snellire la notazione, 28 λ 2 (16γ + 22δ + 15) λ + 6(γ + δ + 2γδ) = 0. (28) Le pulsazioni delle piccole oscillazioni in un intorno della posizione di equilibrio stabile ω 1,2 si trovano prendendo le radici quadrate delle radici della (27): 1 ω 1,2 = 56 (16γ + 22δ + 15 ± ) R, (29) dove = (16γ + 22δ + 15) 2 672(γ + δ + 2γδ). 7