Esercizio 1 Vedi Esercizio 2 della prova in itinere di Meccanica razionale 2 in pari data.

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1 Scritto di meccanica razionale del Esercizio Vedi Esercizio della prova in itinere di Meccanica razionale in pari data. Esercizio Vedi Esercizio della prova in itinere di Meccanica razionale in pari data. Esercizio Nel piano Oxy di una terna inerziale Oxyz una piasta quadrata omogenea ABCD, dilato a emassa m, èvincolata a ruotare attorno al punto medio O del suo lato AD. Il punto medio M del lato BC èconnesso mediante una molla ideale di costante k ad un punto materiale P, pure di massa m, liberamente scorrevole lungo l asse verticale Oy. Su P agisce una resistenza viscosa con costante di frizione β. Lapiastraèinvece soggetta ad un sistema di forze con risultante R = βacos ϑ ê +sinϑê ϑ emomentorisultante in M M M = βa sin ϑ ṡ ê. Sapendo che il sistema èpesanteeavincoliideali,siusinolecoordinates, ϑ R in figura per determinare: a lecomponentigeneralizzate delle sollecitazioni attive, specificandone la natura dal punto di vista energetico; b gli equilibri del sistema; c leproprietàdistabilitàdei predetti equilibri.

2 Esercizio 4 Un sistema scleronomo posizionale conservativo è governato dalla lagrangiana L = ṡ mr +cosϕṡ ϕ + ϕ + mgr cos ϕ s dove s, ϕ R sono le coordinate generalizzate e m, R, g delle costanti positive una massa, una lunghezza e l accelerazione di gravità. Determinare, nell intorno dell equilibrio stabile s, ϕ =0, 0: a leequazioni delle piccole oscillazioni; b lefrequenze normali delle piccole oscillazioni; c l espressione dei modi normali di oscillazione, distinguendo il modo basso e quello alto.,

3 Soluzione dell esercizio Vedi soluzione dell Esercizio della prova in itinere di Meccanica razionale in pari data. Soluzione dell esercizio Vedi soluzione dell Esercizio della prova in itinere di Meccanica razionale in pari data. Soluzione dell esercizio a Componenti generalizzate delle forze attive Le sollecitazioni attive che agiscono sul sistema sono le seguenti: il peso; l interazione elastica fra i punti M e P ; la resistenza viscosa su P ; il sistema di forze agente sulla piastra, con risultante R emomentorisultante in M, M M,noti.Tale sistema verrà indicato con S. Tutte le sollecitazioni danno il loro contributo alle forze generalizzate Q s e Q ϑ del sistema. Forze peso Il sistema delle forze peso èposizionale e conservativo ed ammette quindi l appropriato potenziale. Il baricentro della piastra omogenea coincide con il centro geometrico e di simmetria di questa, per cui viene identificato dal vettore posizione M O/. Il potenziale gravitazionale del sistema risulta pertanto U g = mg ê M O mg ê P O essendo per cui M O = a sin ϑ ê a cos ϑ ê e P O = as ê U g = mga cos ϑ + mgas. Forze elastiche All interazione elastica fra i punti M e P èassociato il potenziale U el = k M P dove M P = a sin ϑ ê + as cos ϑê equindi U el = ka sin ϑ + s s cos ϑ +cos ϑ= ka s s cos ϑ +. 4

4 Resistenza viscosa in P Dal vettore posizione P O = as ê si deduce l espressione della velocità istantanea P = aṡ ê in modo che la resistenza viscosa su P assume la forma F P = β P = β aṡ ê =βaṡ ê. Dalle derivate parziali di P O: P s = a ê P ϑ =0 si deducono allora le componenti generalizzate di F P : Q v s = βp P s = βaṡ ê a ê = βa ṡ Q v ϑ = β P P ϑ =0. Sistema di forze agente sulla piastra Del sistema di forze S sono noti il risultante ed il momento risultante rispetto al punto M della piastra. Quest ultima si muove di moto piano e le sue rotazioni possono essere descritte per mezzo dell angolo ϑ, cheèinfatti compreso fra una direzione fissa rispetto al riferimento assoluto la verticale per O condotta verso il basso e una direzione solidale alla piastra quella del vettore M O. Le componenti generalizzate di S sono date perciò dalle formule Q S s = M s R + ϑ M M sê Q S ϑ = M ϑ R + ϑ M M ϑê = M s R = M ϑ R +ê M M che sostituendo le espressioni esplicite di M O, R e M M diventano: Q S s =0 R =0 Q S ϑ = ϑ a sin ϑ ê a cos ϑ ê [ βacos ϑ ê +sinϑê ϑ]+ê βa sin ϑ ṡ ê = =acos ϑ ê + a sin ϑ ê [ βacos ϑ ê +sinϑê ϑ]+βa sin ϑ ṡ = = βa ϑ + βa sin ϑ ṡ. Componenti generalizzate delle sollecitazioni attive Le componenti generalizzate delle sollecitazioni si ricavano sommando i contributi corrispondenti di tutte le forze e risultano pertanto: Q s = s U g + U el +Q v s + Q S s = U s + D s 4

5 Q ϑ = ϑ U g + U el +Q v ϑ + QS ϑ = U ϑ + D ϑ dove si sono introdotti il potenziale del sistema: U = U g + U el = ka mga cos ϑ + mgas s s cos ϑ 5 elecomponentigeneralizzate delle sollecitazioni non posizionali: D s = Q v s + Q S s = βa ṡ +0 = βa ṡ D ϑ = Q v ϑ + Q S ϑ =0 βa ϑ + βa sin ϑ ṡ = βa ϑ + βa sin ϑ ṡ. 6 Queste ultime sono in effetti sollecitazioni completamente dissipative. La loro potenza si scrive infatti come una forma quadratica delle velocità generalizzate: π D = D s ṡ + D ϑ ϑ = βaṡ + βa ϑ + βa sin ϑ ṡ ϑ = = βa ṡ + ϑ sin ϑ ṡ ϑ =ṡ ϑγϑ ṡ ϑ la cui matrice di rappresentazione vale Γϑ = βa sin ϑ sin ϑ e presenta traccia negativa trγϑ = βa < 0 edeterminante positivo detγϑ =β a [ 4 ] sin ϑ = β a [ 4 ] 4 sin ϑ 4 β a 4 > 0 per qualsiasi valore di ϑ, risultando così definita negativa. Ne deriva che π D 0 s, ϑ, ṡ, ϑ R 4 eche π D =0 ṡ, ϑ =0, 0. b Equilibri Le sollecitazioni dissipative non hanno effetto alcuno sugli equilibri e possono essere ignorate nella determinazione di questi. Le configurazioni di equilibrio si identificano perciò con tutti e soli i punti critici del potenziale 5, dove si annullano simultaneamente le componenti del gradiente U s s, ϑ =mga ka s + ka cos ϑ 5

6 U ϑ s, ϑ = mga sin ϑ ka s sin ϑ. Le equazioni di equilibrio sono così mg s +cosϑ =0 ka mg sin ϑ ka + s =0 7 la seconda delle quali èsoddisfatta per sin ϑ =0oppure per mg/ka+s =0.Puòaversi dunque ϑ =0,ϑ = π, s = mg/ka. Esaminiamo le tre possibilità. Se ϑ =0la prima equazione di equilibrio 7 diventa mg ka s + = 0 econduce a s = mg ka + ovvero alla configurazione di equilibrio mg s, ϑ = ka +, 0. Per ϑ = π dalla prima equazione 7 risulta mg ka s =0 equindi s = mg ka in modo che la corrispondente configurazione di equilibrio assume la forma mg s, ϑ = ka,π. Se s = mg/ka si ottiene infine ossia equazione che porge le due radici mg ka + mg +cosϑ =0 ka cos ϑ = mg ka, ϑ = arccos mg := ϑ π/,π ka ϑ = arccos mg = ϑ π, π/ ka 6

7 definite e distinte dalle precedenti a condizione che si abbia mg/ka <. Gli equilibri associati sono pertanto: s, ϑ = definiti per mg/ka <. mg ka,ϑ e s, ϑ = mg ka, ϑ c Stabilità degliequilibri Le sollecitazioni applicate al sistema sono in parte posizionali conservative e in parte completamente dissipative. Gli equilibri sono inoltre tutti isolati, dal momento che il loro numero risulta finito. Èquindi possibile caratterizzare completamente le proprietà distabilitàdegli equilibri facendo uso della forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet, basata sui criteri di Barbasin-Krasovskii. I massimi relativi propri del potenziale sono equilibri asintoticamente stabili, mentre si ha instabilità inogni altro caso. Il primo passo, al solito, èilcalcolodelle derivate parziali seconde del potenziale U s, ϑ = ka s U s ϑ s, ϑ = ka sin ϑ U ϑ s s, ϑ = ka sin ϑ U ϑ s, ϑ = mga cos ϑ ka s cos ϑ dalle quali si deduce la matrice hessiana di U in ciascuna configurazione di equilibrio del sistema. mg Configurazione s, ϑ = ka +, 0 La matrice hessiana del potenziale in questa configurazione assume la forma diagonale H U mg ka +, 0 = ka 0 0 mga ka + mg ka dalla quale èevidenteche entrambi gli autovalori sono di segno negativo, per cui la matrice risulta definita negativa. Ne segue che l equilibrio costituisce un massimo relativo proprio del potenziale, la cui stabilità asintoticaèassicurata dai criteri di Barbasin-Krasovskii. mg Configurazione s, ϑ = ka,π In questo caso la derivata seconda del potenziale rispetto a ϑ si riduce a U ϑ mg ka,π = mga + ka mg ka = ka elamatricehessiana del potenziale diventa perciò H U mg ka,π = mg ka + mg ka ka 0 0 ka mg. ka 7 = ka mg ka

8 Il primoautovalore ka hasempre segno negativo. La natura dell equilibrio dipende quindi esclusivamente dal segno della derivata seconda in ϑ, che rappresenta il secondo autovalore della matrice. Si devono discutere tre casi: se mg/ka < laderivata U/ ϑ assume segno negativo e la matrice hessiana risulta definita negativa. L equilibrio èquindi asintoticamente stabile quale massimo relativo proprio del potenziale; per mg/ka > laderivata seconda U/ ϑ èpositiva, escludendo così chela configurazione di equilibrio possa costituire un massimo relativo proprio del potenziale. Ciòbasta ad assicurare l instabilitàdell equilibrio per i criteri di Barbasin-Krasovskii; se infine mg/ka =,laderivataseconda si annulla e la matrice hessiana risulta semidefinita non definita negativa. Questa circostanza non èsufficiente ad affermare che l equilibrio sia un massimo relativo proprio, ma neppure lo esclude. In effetti il punto non ènéunmassimo né unminimo. Per verificarlo si considera la forma adimensionalizzata del potenziale ka Us, ϑ = mg mg cos ϑ + ka ka s s + s cos ϑ esiimponelacondizione mg/ka =/: ka Us, ϑ = cos ϑ + s s + s cos ϑ. Per evidenziare le variazioni dei parametri lagrangiani rispetto ai valori di equilibrio si introduce il cambiamento di variabili s, ϑ δs, δϑ definito da s = mg ka +δs = +δs = + δs ϑ = π + δϑ che consente diriscrivere l espressione nella forma: ka U + δs, π + δϑ = = cosπ + δϑ+ + δs + δs + + δs cosπ + δϑ = = cos δϑ 9 + δs 8 δs + δs + cos δϑ δscos δϑ = = 5 8 δs + δs δscos δϑ = 5 8 δϑ δs +δs sin. 8 Conviene ricorrere ad una rappresentazione matriciale del risultato ottenuto ka U + δs, π + δϑ = δs sin δϑ / 0 δs sin δϑ 8

9 in quanto la matrice simmetrica / 0 ha determinante negativo ed èquindi indefinita, con un autovalore positivo ed uno negativo. Ne segue che se δs, sin δϑ/ èunautovettore associato all autovalore positivo dovrà aversi ka U + δs, π + δϑ > 5 8 = ka U,π mentre qualora si tratti di un autovettore relativo all autovalore negativo risulterà ka U + δs, π + δϑ < 5 8 = ka U,π. Più precisamente, gli autovalori sono le soluzioni dell equazione caratteristica ossia dell equazione di secondo grado / λ det λ =0 λ + λ =0 che porge le radici λ ± = ± 4 +4 = ± 7 4. Gli autovettori associati a λ + = + 7/4 sonodeterminati dal sistema lineare omogeneo / λ+ a a =0 0 λ + b b vale a dire 4 7 a + b =0 4 a b =0 4 da cui segue l insieme di soluzioni non banali a = 7 b, b R \{0}. 4 9

10 La funzione 8 cresce quindi rispetto al valore di equilibrio 5/8 se 7 δϑ δs = sin 4 per ogni δϑ 0abbastanza piccolo in valore assoluto. In modo analogo si verifica che all autovalore negativo λ = 7/4 corrispondono autovettori del tipo a,b, con a = 7 b, b R \{0} 4 in modo che la 8 assume valori minori di 5/8 per 7 + δs = 4 sin δϑ con qualsiasi δϑ 0sufficientemente vicino a 0. A riprova del risultato, la figura seguente mostra il grafico di U/ka nell intorno di δs, δϑ =0, 0: che ha infatti un andamento a sella. Dal momento che la configurazione non èun massimo relativo proprio del potenziale, essa risulta instabile per i criteri di Barbasin- Krasovskii. Configurazione s, ϑ = mg/ka,ϑ Per questa configurazione la matrice hessiana del potenziale vale H U mg ka,ϑ = ka ka sin ϑ ka sin ϑ mga cos ϑ ka mg = cos ϑ ka = ka sin ϑ sin ϑ 0 0

11 ed ha determinante negativo deth U mg ka,ϑ = k a 4 sin ϑ < 0 risultando perciò indefinita. Questa condizione esclude che la configurazione sia un massimo relativo proprio del potenziale. L equilibrio èinstabile per i criteri di Barbasin- Krasovskii. Configurazione s, ϑ = mg/ka, ϑ Nella fattispecie l hessiana del potenziale diventa H U mg ka, ϑ = ka sinϑ sin ϑ 0 ed è ancora indefinita, come nel caso precedente. Ciò basta ad escludere che l equilibrio sia un massimo relativo proprio del potenziale e a concludere, per Barbasin-Krasovksii, che si tratti di un equilibrio instabile. Osservazione. Condizione dei vincoli ideali Per questo sistema èpossibile offrire una interpretazione molto semplice della condizione dei vincoli ideali. Il generico atto di moto virtuale del sistema in una configurazione assegnata s, ϑ siottiene specificando la velocità istantaneadelpunto P ediqualsiasi punto Q della piastra ABCD. Perilpunto P si ha mentre per un qualsiasi Q ABCD vale ν P = aα s ê α s R ν Q = α ϑ ê Q O α ϑ R in modo che la potenza virtuale delle reazioni vincolari agenti sul sistema diventa ν i Φ i = aα s ê Φ P + α ϑ ê Q O Φ Q = P i = α s a ê Φ P + α ϑ ê Q ABCD Q ABCD ed il suo annullarsi per qualsiasi α s,α ϑ R impone che si abbia ê Φ P =0 ê M φ O =0 Il sistema risulta quindi a vincoli ideali se e soltanto se: i P si muove senza attrito lungo l asse Oy, e ii la piastra ABCD presenta un asse fisso Ox privo di attrito. Q O Φ Q = α s a ê Φ P + α ϑ ê M φ O

12 Osservazione. Equilibri con le equazioni cardinali della statica Sfruttando la caratterizzazione dei vincoli ideali, proviamo a rideterminare le equazioni di equilibrio 7 mediante le equazioni cardinali della statica. Le reazioni vincolari compatibili con la condizione dei vincoli ideali sono tutte e sole quelle che soddisfano le equazioni ê Φ P =0 ê M φ O =0. Al fine di ottenere equazioni pure di equilibrio si dovranno perciò scrivere la prima equazione cardinale della statica per il punto P e la seconda equazione cardinale rispetto al momento O per la piastra. In condizioni statiche le forze dissipative D s e D ϑ si annullano e sono perciò del tutto irrievanti per la realizzazione degli equilibri. Prima equazione cardinale della statica per il punto P Si proietta lungo ê la somma delle forze agenti sul punto P [ mg ê + km P + Φ ] P ê =0 eusando la relazione si ottiene mg + kas cos ϑ+0 = 0 che coincide conlaprima delle 7. Seconda equazione cardinale statica in O per la piastra Considerando la componente lungo ê della seconda equazione cardinale della piastra rispetto all asse Oy, siha [ G O mg ê +M O [kp M] + M φ ] O ê =0 ossia [ ] M O mg ê +M O [kp O] + M φ O ê =0 eancora a sin ϑ ê cos ϑ ê mg ê ê + asin ϑ ê cos ϑ ê kasê ê +ê M φ O =0 per cui mga sin ϑ ka s sin ϑ =0. Quest ultima relazione equivale alla seconda delle equazioni di equilibrio 7. Soluzione dell esercizio 4 La lagrangiana del sistema è L = ṡ mr +cosϕṡ ϕ + ϕ + mgr cos ϕ s

13 epoichèessa descrive un sistema scleronomo l energia cinetica deve identificarsi con la funzione quadratica delle velocità generalizzate: T = ṡ mr +cosϕṡ ϕ + ϕ mentre il termine residuo rappresenta il potenziale: Us, ϕ =mgr cos ϕ s. La matrice A di rappresentazione dell energia cinetica èdefinita da T = ṡ ṡ ϕa ϕ esiscriveperciò A = mr cos ϕ cos ϕ = Aϕ. Per le derivate parziali prime del potenziale U si hanno le espressioni: elederivateseconde risultano: U s = mgrs U ϕ = mgr sin ϕ U s = mgr U ϕ s = U s ϕ =0 U ϕ = mgr cos ϕ in modo che la matrice hessiana di U assume la forma H U s, ϕ = mgr 0 0 mgr cos ϕ Appare evidente che gli equilibri del sistema ricorrono per s, ϕ =0, 0 e per s, ϕ = 0,π, e che soltanto il primo èstabile, dal momento che H U 0, 0 risulta definita negativa. a Equazioni delle piccole oscillazioni Le matrici Aϕ eh U s, ϕ devonoessere calcolate in s, ϕ =0, 0: A0 = mr / / / H U 0, 0 =. mgr 0. 0 mgr Le equazioni delle piccole oscillazioni nell intorno di s, ϕ =0, 0 diventano allora δs A0 δϕ δs H U 0, 0 =0 δϕ

14 ossia / mgr 0 δs mr / / δϕ δs 0 mgr δϕ =0 equindi, eseguiti i prodotti e separate le componenti, mr δs + δϕ + mgr δs =0 mr δs + δϕ + mgr δϕ =0 valide per s, ϕ =δs, δϕ sufficientemente prossimi a 0, 0. b Frequenze normali Le pulsazioni normali delle piccole oscillazioni sono determinate dalle soluzioni positive in ω dell equazione caratteristica: vale a dire di det [ ω A0 + H U 0, 0 ] =0 det mr ω mgr mr ω mr ω mr ω mgr =0 che raccogliendo il fattore mr da tutti gli elementi di matricediventa det ω g R ω ω ω g R =0 e dunque ω g R ω R g 4 ω4 =0 ossia ω 4 6 g R ω + g R =0. Le radici in ω dell equazione sono ω = [6 gr ± 56 g g 4 R R ] =8± g R eporgono le pulsazioni normali ω = 8 g R ω = 8+ g R 4

15 con ω <ω.lefrequenze dei modi normali di oscillazione sono pertanto: f = ω π = 8 g π R f = ω π = π 8+ g R. c Modi normali Imodi normali delle piccole oscillazioni sono della forma δs ai = cosω δϕ i t + α i b i con le fasi α i R arbitrarie e i vettori delle ampiezze determinati dal problema agli autovalori generalizzato [ ω A0 + H U 0, 0 ] a i ai 0 =0,. 9 b i b i 0 Imodinormali si distinguono in basso e alto, secondo il valore della relativa pulsazione normale il modo basso corrisponde alla pulsazione minore, mentre il modo alto èassociato alla pulsazione maggiore. Modo basso Per ω = ω il problema agli autovalori 9 si riduce a ω g R ω ω ω g R a b = 0 0 con a,b 0, 0. Si ha perciò ilsistema lineare omogeneo 7 g R a +4 g R b =0 4 g 8 R a + g R b =0 ovvero 7 a +4 b =0 4 5 a + b =0. 0 Dalla prima delle equazioni 0 si ricava b = 7 a 4 = = +, 5

16 lo stesso risultato che si trae dalla seconda b a = 4 5 = = +. Pertanto b = a /, e posto a =A il modo normale di oscillazione può scriversi: δs = A δϕ cos 8 g R t + α t R. con A > 0eα R costanti assegnate a piacere. Modo alto Il vettore delle ampiezze per il secondo modo normale di oscillazione ω = ω viene determinato risolvendo il sistema ω g R ω ω ω g R a b = 0 0 rispetto aa,b 0, 0. Sostituendo l espressione di ω si ottiene il sistema lineare omogeneo 8 + g R a g R b =0 8 + g 8 R a + + g R b =0 od anche 7 + a +4+ b =0 4 + a + 5+ b =0. Le equazioni ottenute coincidono con le 0 salvo che per la sostituzione. La soluzione deve quindi essere ottenibile dalla precedente tramite la stessa sostituzione: b = + a = a. Conviene porre a =A per ricavare l espressione del modo normale di oscillazione nella forma δs = A δϕ cos 8+ g + R t + α t R, con A > 0eα R costanti arbitrarie assegnate. 6