Determinare: (a) se la configurazione del sistema èdiequilibrio; (b) lereazioni vincolari esterne all equilibrio nei punti di appoggio del tavolo.

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1 Prova initinere di meccanica razionale del 6..5 Esercizio Un tavolo quadrato omogeneo di vertici A, B, C, D, latol emassa m, poggia su un piano orizzontale Oxy debolmente cedevole e privo di attrito. Le gambe del tavolo sono poste sotto i vertici A, B, C, D, hanno lunghezza L emassa trascurabile. Una pietra corpo puntiforme di massa m èfissata sul vertice A. Determinare: a se la configurazione del sistema èdiequilibrio; b lereazioni vincolari esterne all equilibrio nei punti di appoggio del tavolo. Esercizio Nella terna cartesiana Oxyz si considera un corpo rigido non soggetto al peso e vincolato aruotare attorno all asse fisso Oz, privodiattrito. Un punto A del corpo, a distanza L/ dall asse Oz, ècollegato da una molla di costante elastica k>alpunto fisso B, L,. Sapendo che il momento d inerzia del corpo rispetto all asse Oz vale ml /efacendo uso dell angolo φ in figura come coordinata generalizzata, determinare: a le equazioni del moto ed un integrale primo delle stesse; b le condizioni iniziali che specificano gli stati di quiete; c lecondizioni iniziali corrispondenti ai moti oscillatori; d le condizioni iniziali relative ai moti rotatori indefinitamente progressivi; e le condizioni iniziali che individuano i moti asintotici.

2 Esercizio 3 Una lamina quadrata omogenea pesante ABCD, dilatol emassa m, èvincolata a muoversi nel piano Oxy di una terna ortogonale Oxyz in modo che il punto medio M del lato AD scorra lungo l asse verticale Oy. Laternaruotaconvelocitàangolare costante ω attorno all asse Oy. Una molla ideale di costante k> unisce M all origine O e una resistenza viscosa F N = βṅ β > agisce nel punto medio N del lato BC. Come coordinate lagrangiane si usano l angolo θ π/,π/ che l asse di simmetria MN della lamina forma con la verticale condotta verso il basso ed il parametro adimensionale s> illustrato in figura. Assunti i vincoli ideali: a verificare che la lagrangiana del sistema si scrive L = ṡ ml sin θ ṡ θ + 5 θ + mgl s + cos θ kl s + ml ω 8 sin θ; b calcolarele componenti lagrangiane di F N edeterminare la natura della sollecitazione; c individuare gli equilibri del sistema; d analizzare la stabilitàdidetti equilibri; e per β =,ricavare frequenze e modi normali delle piccole oscillazioni nell intorno di una configurazione di equilibrio stabile a scelta.

3 Soluzione dell esercizio a Equilibrio Le coordinate x,y del centro di pressione sono date da x = 3m mx G +mx A = L 6, y = 3m my G +my A = L 6, per cui èimmediato verificare che il centro di pressione cade all interno del poligono di appoggio e che pertanto la configurazione del sistema èdiequilibrio. b Reazioni vincolari esterne all appoggio Secondo il modello piccola cedevolezza del piano di appoggio, la reazione vincolare Φ i esercitata dal suolo nell i-esimo vertice P i del poligono di appoggio èdatada Φ i =Φ i ê 3, con Φ i = kz i,dovek indica la costante elastica del suolo e z i la quota del punto di appoggio P i dopo l abbassamento del suolo. Nell ipotesi di rigidit àdel corpo appoggiato la quota z i soddisfa la relazione z i = αx i + βy i + γ, in cui x i,y i sonolecoordinate x, y dell i-esimo punto di appoggio. Ponendo a = kα,b = kβ,c = kγ, le reazioni vincolari esterne sui punti di appoggio all equilibrio si scrivono nella forma Φ i = ax i + by i + c. Sostituendo tali relazioni nelle equazioni cardinali della statica Φ i = p x i Φ i = x p y i Φ i = y p, 3

4 si perviene al seguente sistema lineare nelle incognite a, b, c: x i x i y i x i x i y i y i y i x i y i a b = p c x y,. dove x,y sonolecoordinate del centro di pressione e p indica il peso totale del corpo con gli eventuali carichi. Per semplificare i calcoli conviene introdurre una nuova terna di assi cartesiani Qx y con origine nel centro Q del quadrato ABCD egliassi Qx ed Qy rispettivamente paralleli agli assi Ox e Oy: Si hanno allora le relazioni: x i = y i = x i = L x i y i = y i = L x = L/3 y = L/3 che riducono il sistema. alla forma L L a b =3mg L/3 L/3 c la cui soluzione è a = mg L, b = mg L, c = 3mg in modo che, secondo tale modello, lereazioni vincolari esterne esercitate nei vertici

5 risultano: Φ A = mg L L Φ B = mg L L Φ C = mg L L Φ D = mg L L mg L mg L mg L mg L L + 3mg L + 3mg L + 3mg L + 3mg = 7mg = 3mg = mg = 3mg. Il risultato Φ C < non èaccettabile, in quanto rappresenta una reazione vincolare diretta verso ilbasso e quindi associata ad una azione attrattiva che il piano d appoggio non può esercitare sul corpo appoggiato. Il vertice C non è dunque un punto di appoggio. Il nuovo poligono di appoggio ottenuto considerando solo i vertici A, B, D èiltriangolo evidenziato con il tratteggio nella figura seguente Applicando nuovamente il modello di piccola cedevolezza otteniamo una nuova determinazione dei coefficienti di struttura a, b, c, ossia: 3 x i = L/ 3 x i y i = L / 3 3 y i = L/ x i =3L / 3 y i =3L /. Di conseguenza le equazioni di equilibrio diventano 3L / L / L/ L / 3L / L/ a b =3mg L/3 L/3 L/ L/ 3 c elalorosoluzione si scrive a = 3mg L, b = 3mg L, 5 c = mg

6 con reazioni vincolari esterne nei punti di appoggio date da Φ A = 3mg L 3mg L + mg =mg L L Φ B = 3mg L 3mg L + mg = mg L L Φ D = 3mg L L 3mg L L + mg = mg. Soluzione dell esercizio a Equazioni del moto ed integrale primo La Lagrangiana del sistema è L = T + U, con T = ml φ e U = k AB = kl 5 Le equazioni pure del moto si scrivono perciò cos φ. ml φ = kl sin φ eunintegrale primo èquello dell energia meccanica H = T U = T + W = ml φ kl cos φ. Dall analisi del grafico dell energia potenziale W φ = kl cos φ si deducono facilmente le condizioni iniziali corrispondenti alle varie tipologie di moto del sistema. b Stati di quiete I punti di equilibrio si hanno per W φ =,ovveropersinφ =,lacuisoluzione è φ =,π.lecondizioni iniziali che specificano gli stati di quite sono pertanto φ, φ =,, oppure φ, φ =π,. c Condizioni iniziali dei moti oscillatori Si hanno moti oscillatori per valori di energia meccanica compresi fra W = kl /e W π =kl /, ovvero per le condizioni iniziali φ, φ R tali che kl < ml φ kl cos φ < kl. d Condizioni iniziali dei moti rotatori indefinitamente progressivi Si hanno moti rotatori indefinitamente progressivi per valori di energia meccanica superiori a W π =kl /, ossia per le condizioni iniziali φ, φ R tali che ml φ kl cos φ > kl. 6

7 e Condizioni iniziali per imotiasintotici Si hanno moti asintotici se l energia totale meccanica assume il valore W π =kl /con velocità inizialenon nulla, vale a dire per le condizioni iniziali φ, φ R tali che ml φ kl cos φ = kl, φ, φ π,. Soluzione dell esercizio 3 a Lagrangiana del sistema L energia cinetica del sistema si calcola tramite il teorema di König: T = mġ + I Gz θ, dove G èilbaricentro della lamina e I Gz =ê 3 I G ê 3 ilmomentod inerzia della stessa rispetto all asse Gz. Ilbaricentro viene individuato per mezzo del vettore posizione G O = L sin θ ê + Ls L cos θ ê, per cui la velocità dig si scrive Ġ = L cos θ θ, Lṡ + L sin θ θ, mentre I Gz = ml /6. Si ha dunque T = ml θ +ṡ sin θ θṡ + ml θ = 5 6 ml θ +ṡ sin θ θṡ. Il potenziale U delle sollecitazioni posizionali conservative consta della somma di tre contributi: il potenziale della forza peso U g = mgg O ê = mg Ls + L cos θ ; il potenziale della forza elastica U el = kl s ; il potenziale della forza centrifuga U cf = ω I My. Il momento d inerzia I M si calcola tramite il teorema di Huygens-Steiner. Rappresentando l operatore I M sulla base costituita da ê,ê,ê 3,itreversori solidali ai tre assi principali d inerzia mostrati in figura 7

8 l operatore èdatoda ml / ml /3 5mL / mentre ê = cos θê +sinθê.nesegueche I My = ml cos θ + ml sin θ = ml sin θ + ml 3. Amenodiuna costante additiva, la Lagrangiana del sistema èquindi data da L = ml ṡ sin θṡ θ + 5 θ + mgl s + cos θ kl s + ml ω sin θ. 8 b Natura della sollecitazione F N Le coordinate del punto N sono L sin θ, Ls L cos θ,, in modo che la velocità Ṅ risulta N = L cos θ θ ê + Lṡ+Lsin θ θê.ilvettore F N si identifica con F N = βlcos θ θ ê β Lṡ + L sin θ θê elecomponentilagrangiane di F N valgono pertanto D θ = F N N θ = βl[cos θ θ ê + ṡ+sin θ θê ] Lcos θ ê +sin θ ê = βl θ sin θṡ D s = F N N s = βl[cos θ θ ê + ṡ +sinθ θê ] L ê = βl ṡ sin θ θ. La potenza èdata infine da: π = D θ θ + Ds ṡ = βl θ sinθṡ θ +ṡ = βl [cos θ θ +sinθ θ ṡ ]. Si verifica immediatamente che π einparticolare π =seesolosesono verificate contemporaneamente le due equazioni { cos θ θ = sin θ θ ṡ = la cui unica soluzione ammissibile è θ, ṡ =,, essendo θ π/,π/ e dunque cos θ. Seneconclude che la sollecitazione F N ha natura completamente dissipativa. c Equilibri del sistema Le configurazioni di equilibrio ordinario sono quelle tali per cui U =,ovverolesoluzioni del sistema U θ = U s = mgl sin θ + ml ω sin θ cos θ = mgl kl s =. 8

9 La seconda equazione ha come unica soluzione s = mg/kl, mentrelaprima ammette una otresoluzioniaseconda del valore della costante adimensionale λ =g/lω. Se λ allora l unica soluzione è θ =,mentre per λ<oltre alla precedente si ottengono altre due soluzioni: θ = θ =arccos λ e θ = θ. Riassumendo, se λ, allora c è un unica configurazione di equilibrio P :θ, s =,mg/kl, mentre se λ<sihanno due ulteriori configurazioni di equilibrio, P :θ, s =θ,mg/klep 3 :θ, s = θ,mg/kl. d Stabilità degliequilibri ordinari La matrice Hessiana del potenziale U è: H U θ, s = U θ U s θ U θ s = U s mgl cos θ + ml ω cos θ sin θ kl. Gli equilibri del sistema sono in numero finito e risultano dunque necessariamente isolati; le sollecitazioni attive agenti sul sistema scleronomo sono inoltre in parte posizionali conservative, di potenziale U, edinpartecompletamente dissipative le resistenze viscose di componenti D θ,d s. L analisi di stabilità può quindi essere condotta facendo uso dei criteri di Barbasin-Krasovskii. Configurazione P :θ, s =,mg/kl Nella fattispecie si ha H U,mg/kL= mgl + ml ω kl Se mgl + ml ω <, ovvero se λ>, allora l equilibrio èasintoticamente stabile, mentre per λ<sihainstabilità; con λ =ricorre infine un caso critico: lo studio dell hessiano non èsufficiente per accertare la stabilità ol instabilità della configurazione. Analizzando le derivate di U di ordine superiore si vede che θ, s =,mg/kl èun punto di massimo proprio isolato per il potenziale U equindi individua un equilibrio asintoticamente stabile. Configurazione P :θ, s =θ,mg/kl L hessiana del potenziale in questa configurazione assume la forma H U θ,mg/kl=. ml ω λ. kl La configurazione di equilibrio èdefinita a condizione che si abbia λ<. L hessiana del potenziale ha quindi autovalori entrambi negativi e consente di riconoscere nella configurazione di equilibrio un massimo relativo proprio del potenziale. In presenza della sollecitazione completamente dissipativa il criterio di Barbasin-Krasowskii assicura la stabilità asintotica dell equilibrio. 9

10 Configurazione P 3 :θ, s = θ,mg/kl La matrice hessiana del potenziale risulta H U θ,mg/kl= ml ω λ kl ecoincideconquella giàconsiderata per la configurazione di equilibrio P.Rimanevalida la stessa conclusione, che cioè l equilibrio èasintoticamente stabile per il criterio di Barbasin- Krasowskii. e Piccole oscillazioni nell intorno di un equilibrio stabile Se β = il sistema è scleronomo posizionale e conservativo. L energia cinetica vale T = θ ṡ Aθ, s θ ṡ 5 con Aθ, s = ml ml sin θ. ml sin θ ml Consideriamo la configurazione di equilibrio θ, s,mg/kl, stabile se λ>. In tal caso le pulsazioni Ω dei due modi normali di oscillazione attorno all equilibrio sono le soluzioni dell equazione caratteristica det[ω A,mg/kL+H U,mg/kL] =, che esplicitamente si scrive: 5 det ml Ω mgl + ml ω = ml Ω kl ovvero 5 ml Ω mgl + ml ω ml Ω kl =. Le due soluzioni sono Ω = 6 g 5 L 3 5 ω eω = k/m. 6 Primo modo normale di oscillazione, di pulsazione Ω = 5 Si deve determinare un vettore a, b, per il quale risulti AΩ + H U ossia, equivalentemente, ml 6 5 a = b g L 3 5 ω kl, a b = g L 3 5 ω. Sono soluzioni di questo sistema lineare omogeneo tutte le coppie a, b talicheb =,ad esempio a, b =,.

11 Secondo modo normale di oscillazione, di pulsazione Ω = k/m Dobbiamo calcolare un vettore a, b, tale che AΩ + H U a = b, ovvero 5 kl mgl + ml ω a b =. Risolvono questo sistema lineare omogeneo tutte le coppie a, b perlequalirisultaa =, in particolare a, b =,. Piccole oscillazioni Concludendo, le piccole oscillazioni del sistema attorno alla posizione di equilibrio stabile θ, s =,mg/klsono descritte da una arbitraria sovrapposizione dei due moti oscillatori di pulsazioni Ω eω : θ s mg/kl = c cosω t + ϕ + c cosω t + ϕ, con c,c R, ϕ,ϕ [, π costantiarbitrarie calcolabili una volta note le condizioni iniziali θ, θ,s, ṡ.