Scritto di meccanica razionale 2 del Esercizio 1

Transcript

1 Scritto di meccanica razionale del Esercizio 1 Imoti naturali di un sistema rigido con asse fisso privo di attrito sono descritti dall equazione pura del moto: I θ = α sin θ sin θ cos θ β θ essendo θ l angolo di rotazione attorno all asse fisso, I il momento d inerzia del sistema rispetto allo stesso asse e α, β due costanti positive. Determinare: (a gli equilibri del sistema; (b lastabilità dei predetti equilibri; (c le condizioni iniziali deimotiperiodici nel caso sia β =0; (d il ritratto di fase del sistema per β =0; (e leequazioni linearizzate del moto nell intorno di un equilibrio stabile a scelta, verificando la stabilità medianteilteorema di analisi lineare. 1

2 Esercizio Nel piano verticale Oxy di una terna galileiana Oxyz sono vincolate a restare una circonferenza γ di centro C eundisco circolare D di centro G, entrambi omogenei, di raggio R e massa m. UndiametroAB di γ ècostretto ascorrere lungo l asse orizzontale Ox, mentre D rotola senza strisciare su γ. Ilsistemaèpesanteeunamolla di costante elastica mg/r collega A con l origine O vedifigura. Assunti i vincoli ideali ed introdotti i parametri adimensionali s e θ illustrati in figura come coordinate lagrangiane, determinare del sistema: (a l espressione dell energia cinetica relativa a Oxyz; (b gli equilibri relativi a Oxyz eleloroproprietàdistabilità; (c lareazione vincolare applicata a D nel punto P di contatto fra D e γ,nonchélereazioni vincolari Φ A =Φ A ê, Φ B =Φ B ê e Φ P applicate a γ rispettivamente in A, B e P, per uno stato di quiete a scelta; (d l equazione delle piccole oscillazioni nell intorno di un equilibrio stabile a scelta, con le relative frequenze normali e l espressione dei modi normali di oscillazione; (e gli equilibri e le relative proprietà distabilità inpresenzadidue ulteriori sollecitazioni F C = βċ, agente su C, e F G = βġ, agente su G, conβ costante positiva.

3 Soluzione dell esercizio 1 (a Configurazioni di equilibrio Il sistema èscleronomo a vincoli bilaterali e le sue configurazioni di equilibrio sono perciò individuate dalle soluzioni statiche θ(t =θ 0 delle equazioni delmoto: 0=α sin θ 0 sin θ 0 cos θ 0 ossia dell equazione trigonometrica 0=sinθ 0 cos θ 0 Le configurazioni di equilibrio tutte ordinarie sono dunque: modulo multipli interi arbitrari di π.. θ =0, π, +π/3, π/3 (b Stabilità degliequilibri Le sollecitazioni applicate al sistema sono in parte posizionali e in parte dissipative. Poiché il sistema è unidimensionale la sollecitazione posizionale α sin θ sin θ cos θ èconservativa ed ammette il potenziale ( U(θ =α 1 cos θ 1 sin θ ; la sollecitazione residua D θ = β θ ha potenza non positiva π = D θ θ = β θ 0 che si annulla unicamente per velocità generalizzata nulla π = β θ =0 θ =0 ecaratterizza la sollecitazione come completamente dissipativa. Le configurazioni di equilibrio sono inoltre isolate, in quanto in numero finito nell intervallo [0, π]. L analisi di stabilità degli equilibri può quindi essere condotta facendo uso dei criteri di Barbasin- Krasovskii, che permettono di riconoscere i massimi relativi propri del potenziale come configurazioni di equilibrio asintoticamente stabili e tutti gli altri punti critici come instabili. Basta calcolare la derivata seconda del potenziale 1 U (θ =α( cos θ cos θ +sin θ 3

4 in ciascuna configurazione di equilibrio. Configurazione θ =0 La derivata seconda del potenziale èdisegnonegativo U (0 = α 1 = α < 0 ed individua la configurazione come massimo relativo proprio del potenziale. La stabilità asintotica dell equilibrio segue dal teorema di Barbasin-Krasovskii. Configurazione θ = π Anche in questo caso la derivata seconda del potenziale assume segno negativo U (π =α ( 1 1 = 3 α<0 in modo che per Barbasin-Krasovskii la configurazione di equilibrio risulta asintoticamente stabile, in quanto massimo relativo proprio del potenziale. Configurazioni θ = π/3, π/3 Per queste configurazioni il segno positivo della derivata seconda U (±π/3 = α = 3 4 α>0 esclude il ricorrere di un massimo del potenziale, sicché il teorema di Barbasin-Krasovskii prova l instabilità dei corrispondenti equilibri. (c Moti periodici per β =0 Per β =0lesollecitazioni dissipative vengono rimosse ed il sistema risulta posizionale conservativo e ad un solo grado di libertà, con energia potenziale 1 Wθ= U(θ =α( cos θ + 1 sin θ θ R. L integrale primo dell energia meccanica èdefinito dall espressione H(θ, θ =T + W = I θ + α ( cos θ +sin θ econsentedianalizzare l andamento qualitativo di tutti i moti mediante la discussione di Weierstrass, nonché di tracciare il ritratto di fase del sistema. A questo scopo, i punti critici dell energia potenziale sono già stati calcolati al punto (a: θ =0, π, π/3, π/3 eincorrispondenza di essi l energia potenziale assume i valori: W (0 = α W (π = α 4 ( π W 3 = 5 ( 8 α W π 3 = 5 8 α.

5 Il segno delle derivate seconde permette altresì diriconoscereche: θ =0costituisce un minimo relativo proprio di W ; θ = π rappresenta anch esso un minimo relativo proprio dell energia potenziale; θ = π/3, π/3 sonomassimirelativi propri di W. La funzione energia potenziale ha perciò ilgrafico illustrato nella figura seguente che costituisce la base per l analisi di Weierstrass e per la costruzione del relativo ritratto di fase del sistema. In base ai criteri di Weierstrass, per un dato valore E dell energia meccanica i moti periodici ricorrono in ogni intervallo di θ nel cui interno la funzione di Weierstrass Φ(θ = I [E W (θ] = [ E α ( cos θ +sin θ ] I risulta strettamente positiva, presentando zeri semplici agli estremi. Dall esame del grafico di W èallora evidente che i moti periodici del sistema si hanno per tutte e sole le condizioni iniziali (θ, θ ricomprese nell insieme n Z { (θ, θ R : α < I θ + α ( cos θ +sin θ < 5 8 α, πn + π 3 <θ<πn + 5 } 3 π ed in n Z { (θ, θ R : α < I θ + α ( cos θ +sin θ < 5 8 α, πn π 3 <θ<πn + π }. 3 (d Ritratto di fase per β =0 Noto il grafico della funzione energia potenziale W,il ritratto di fase del sistema può essere determinato tracciando le orbite delle soluzioni corrispondenti ad alcuni livelli notevoli dell energia meccanica, quelli relativi ai punti critici ed alcuni valori intermedi scelti a piacere. Precisamente: per E = α/ siottiene la soluzione statica di orbita (θ, θ =(π, 0, definita a meno di multipli interi di π in θ; se E ( α/,α/ si specificano orbite periodiche ubicate nella striscia π/3 <θ< 5π/3 delpianodellefasi sempre modulo π in θ; 5

6 per E = α/ siperviene ad un orbita periodica del tipo precedente, collocata nella stessa striscia, e la soluzione statica (θ, θ =(0, 0 modulo π in θ; qualora sia E (α/, 5α/8, accanto ad un orbita del tipo precedente nella stessa striscia, si assiste allo stabilirsi di una ulteriore orbita periodica nella striscia π/3 < θ<π/3; se infine E>5α/8, si individua un unica orbita corrispondente ad un moto indefinitamente progressivo se θ >0all istante iniziale, ovvero ad un moto indefinitamente retrogrado per θ <0. Il ritratto di fase ha allora l aspetto descritto nella figura seguente: (e Equazioni linearizzate La linearizzazione delle equazioni del moto I θ = α cos θ sin θ β θ nell intorno della posizione di equilibrio stabile θ =0porge I θ = α 1 θ β θ econduce all equazione lineare omogenea I θ + β θ + α θ =0. 6

7 La corrispondente equazione caratteristica si scrive edaessa si calcolano gli autovalori Iλ + βλ + α =0 λ = 1 ( β ± β αi I che per qualsiasi segno del discriminante hanno comunque parte reale negativa. Sono questi stessi anche gli autovalori del sistema linearizzato del primo ordine: { θ = v I v = α θ βv che si riduce alla forma normale ( d θ dt v = ( 0 1 α/i β/i ( θ. v Dal teorema di analisi lineare della stabilità siconcludechelasoluzione statica (θ, θ = (0, 0 è asintoticamente stabile, come già stabilito in precedenza per mezzo dei criteri di Barbasin-Krasowskii punto (b. Soluzione dell esercizio (a Energia cinetica L energia cinetica del sistema èdatadalla somma delle energie cinetiche della circonferenza γ edeldiscocircolare D T = T γ + T D. Poiché ildiametroab èvincolato a scorrere lungo l asse Ox, ilmotodella circonferenza γ risulta traslatorio rettilineo con velocità Rṡ ê 1.L energia cinetica di γ si scrive perciò T γ = m Rṡ ê 1 = mr ṡ. Il disco omogeneo D èprivodipunti fissi e la sua energia cinetica può essere determinata convenientemente per mezzo del teorema di König. Per simmetria il centro G coincide con il baricentro e il teorema di König assume la forma T D = m Ġ + 1 ID Gz ω D dove il vettore posizione del baricentro è dato da G O = C O + G C = R(s +1ê 1 +R sin θ ê 1 R cos θ ê 7

8 con velocità istantanea Ġ = R(ṡ +cosθ θê 1 +R sin θ θ ê di modulo quadrato Ġ = R (ṡ +4cosθ ṡ θ +4 θ. Il momento d inerzia del disco rispetto all asse Gz vale I D Gz = mr elavelocitàangolare istantanea èquella di puro rotolamento di un disco circolare di raggio r lungo il bordo esterno di una circonferenza fissa di raggio R, acondizione di porre r = R ω D = R + r r θ ê 3 r=r = θ ê 3. Pertanto: T D = mr (ṡ +4cosθ ṡ θ +4 θ + 1 mr 4 θ = mr (ṡ +4cosθ ṡ θ +6 θ ed infine T = mr ṡ + mr (ṡ +4cosθṡ θ +6 θ = mr (ṡ +4cosθṡ θ +6 θ. (b Equilibri e analisi di stabilità deglistessi Il sistema scleronomo è a vincoli bilaterali e sottoposto esclusivamente a sollecitazioni posizionali conservative, il peso e l interazione elastica fra il punto A e l origine O. Le sollecitazioni attive sono dunque descritte per mezzo di un appropriato potenziale U, i cui punti critici individuano tutte le configurazioni di equilibrio del sistema. Le proprietà di stabilità diquestipossonopoiessere analizzate facendo ricorso ai teoremi standard di Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale. Potenziale elastico All interazione elastica fra O ed A èassociato il potenziale U el = 1 mg R (A O = 1 mg R R s = 1 mgrs. Potenziale gravitazionale Il potenziale gravitazionale èlasomma dei potenziali gravitazionali di circonferenza e disco: U g = mg(c O ê mg(g O ê =0 mg( R cos θ =mgr cos θ. 8

9 Potenziale del sistema Il potenziale del sistema è costituito dalla somma dei potenziali elastico e gravitazionale. Risulta perciò: U(s, θ =U el + U g = 1 mgrs +mgr cos θ (s, θ R. Equilibri Le derivate parziali prime del potenziale U si scrivono U s = mgrs U θ = mgr sin θ egli equilibri si ricavano ponendo a zero entrambe, ovvero risolvendo il sistema di equazioni disaccoppiate { mgrs =0 mgr sin θ =0 la prima delle quali porge s =0,mentredalla seconda si deduce θ =0,π.Leconfigurazioni di equilibrio sono perciò (s, θ =(0, 0, (0,π. Stabilità degliequilibri Le proprietà di stabilità degli equilibri vengono analizzate con i teoremi di Lagrange- Dirichlet e di inversione parziale. A questo scopo si calcolano le derivate parziali seconde del potenziale U: U ss = mgr U sθ = U θs =0 U θθ = mgr cos θ elacorrispondente matrice hessiana H U (s, θ = ( mgr 0 0 mgr cos θ in ciascuna delle configurazioni di equilibrio precedentemente determinate. Configurazione (s, θ =(0, 0 La matrice hessiana del potenziale è in questo caso H U (0, 0 = ( mgr 0 0 mgr erisultachiaramente definita negativa. Ciò individua la configurazione di equilibrio come un massimo relativo proprio del potenziale, la cui stabilità èassicurata dal teorema di Lagrange-Dirichlet. Configurazione (s, θ =(0,π 9

10 Nella fattispecie la matrice hessiana del potenziale vale ( mgr 0 H U (0, 0 = 0 mgr con autovalori di segno opposto. La presenza di un autovalore positivo porta a concludere che la configurazione di equilibrio è instabile, in virtù del teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet. (c Reazioni vincolari in uno stato di quiete Per ilcalcolo delle reazioni vincolari si considera la quiete nella configurazione di equilibrio (s, θ =(0, 0. In virtùdelprincipio di azione e reazione èevidentechelareazione vincolare Φ P esercitata dal disco sulla circonferenza γ in P èoppostaalla reazione vincolare che γ applica al disco D nella stessa posizione P,eche dunque verrà indicata con Φ P. La prima equazione cardinale della statica per il disco D si scrive allora 0= mg ê Φ P e fornisce la reazione vincolare applicata al disco in P Φ P = mg ê. Oltre a Φ P = mg ê in P,lereazioni vincolari agenti sulla circonferenza γ sono Φ A = Φ A ê in A e Φ B =Φ b ê in B. Laprima equazione cardinale della statica per γ èdatada eporge la relazione Φ A ê +Φ B ê + Φ P mg ê =0 Φ A +Φ B = mg Φ P ê = mg + mg =mg ; dalla seconda equazione cardinale della statica, applicata con polo C, sihainvece ossia (C C ( mg ê +(P C Φ P +(A C Φ A ê +(B C Φ B ê =0 in modo che risulta R ê ( mg ê +( R ê 1 Φ A ê + R ê 1 Φ B ê =0 ( RΦ A + RΦ B ê 3 =0 equindi Φ A =Φ B.Ledue equazioni cardinali statiche conducono così alle espressioni Φ A =Φ B = mg per cui le reazioni vincolari applicate a γ risultano Φ A = mg ê ΦB = mg ê ΦP = mg ê. 10

11 (d Piccole oscillazioni Per lostudio delle piccole oscillazioni ènecessario determinare la matrice dell energia cinetica nella configurazione assegnata. L energia cinetica si scrive nella forma T = 1 ( (ṡ θmr cosθ cosθ 6 (ṡ θ che permette di ricavare la matrice dell energia cinetica nella generica configurazione (s, θ ( ( A(s, θ =mr cosθ =mr 1 cosθ. cosθ 6 cos θ 3 Nella stessa configurazione la matrice hessiana del potenziale ègiàstata calcolata al punto (b: H U (s, θ = ( kr 0 0 mgr cos θ ( 1 0 = mgr. 0 cosθ Per laconfigurazione di equilibrio stabile (s, θ =(0, 0 si ha ( ( A(0, 0 = mr H 1 3 U (0, 0 = mgr 0 e l equazione delle pulsazioni normali di oscillazione diventa det [ ω A(0, 0 + H U (0, 0 ] =0 ossia, scritta esplicitamente, [ ( ( ] det mr ω mgr = Il determinante a primo membro si esprime nella forma ( Rω det g Rω Rω 6Rω =(Rω g(6rω g 4R ω 4 g per cui l equazione delle pulsazioni normali si riduce a ed ha le soluzioni ω = 1 8 [5 gr ± 4ω 4 5 g R ω + g R =0 5 g g 16 R R cui corrispondono le pulsazioni normali di oscillazione ω 1 = 1 g ω = R elefrequenze normali ν 1 = 1 g 4π R ] = 1 8 (5 ± 3 g R = g R ν = 1 g π R. Non rimane che calcolare i modi normali di oscillazione. g/r g/4r 11

12 Modo normale di oscillazione per ω = ω 1 modo basso L equazione che caratterizza il modo normale di oscillazione di pulsazione ω 1 è [ ( ( ] ( mgr a1 + mgr =0 (a a 1,a R \{(0, 0} ovvero ( ( 1/ 1/ a1 =0 1/ 1/ a ed equivale al sistema di equazioni lineari omogenee 1 a a =0 1 a 1 1 a =0 la cui soluzione generale a 1 = a può scriversi nella forma { a1 = ε 1 ε a = ε 1 R. 1 Il modo normale di oscillazione ha perciò equazione ( ( s 1 = ε θ 1 1 ε 1 0,φ 1 R costanti assegnate. cos g R t + φ 1 t R Modo normale di oscillazione per ω = ω modo alto Il modo normale di oscillazione èindividuato dall equazione caratteristica [ ( ( ] ( a1 mgr + mgr = ossia ( ( 1 a1 =0 4 a ovvero dal sistema lineare omogeneo { a1 +a =0 a 1 +4a =0 a di soluzione generale { a1 = ε ε a = ε R. Il modo normale di oscillazione èperciò descritto da ( ( ( s g = ε θ cos 1 R t + φ ε 0,φ R costanti arbitrarie. t R 1

13 (e Equilibri e stabilitàinpresenzadisollecitazioni addizionali I punti di applicazione delle sollecitazioni addizionali βċ e βġ sono individuati da C O = R(s +1ê 1 G O = C O + G C = R(s +1ê 1 +R sin θ ê 1 R cos θ ê e le corrispondenti componenti generalizzate sono determinabili per mezzo delle relazioni Q s = βċ C s Q θ = βċ C θ βġ G s βġ G θ. Si tratta di una sollecitazione dipotenza non positiva π = Q s ṡ + Q θ θ = β Ċ C G C ṡ βġ ṡ βċ s s θ θ βġ G θ θ = = βċ Ċ βġ Ġ = β(ċ + Ġ 0 e dunque di carattere dissipativo. Si osserva inoltre che un valore nullo della potenza implica l annullarsi delle velocità instantanee dei punti G e C: π =0 Ċ =0 e Ġ =0, in modo che risulta Rṡ ê 1 =0 (Rṡ +Rcos θ θê 1 +Rsin θ θ ê =0. Dalla prima equazione segue che ṡ =0,percui la seconda diventa R(cos θ ê 1 +sinθ ê θ =0 esiccome cos θ ê 1 +sinθ ê 0 θ R si conclude che anche θ =0. Pertantolapotenza delle sollecitazioni addizionali si annulla soltanto per valori nulli delle velocità generalizzate π =0 (ṡ, θ =(0, 0 sicché lasollecitazione (Q s,q θ ècompletamente dissipativa. Queste sollecitazioni non alterano gli equilibri già determinati considerando le sole sollecitazioni posizionali conservative, dal momento che le sollecitazioni dissipative si annullano all annullarsi delle velocità generalizzate. Dai criteri di Barbasin-Krasovskii, certamente applicabili dato che gli equilibri sono in numero finito e dunque isolati, si conclude infine che (s, θ =(0, 0 èasintoticamente stabile perchémassimorelativo proprio del potenziale; (s, θ =(0,πèinstabile, in quanto punto di sella il che esclude il ricorrere, nella posizione considerata, di unmassimorelativo proprio del potenziale. 13