1 REGOLE DI DERIVAZIONE

Transcript

1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA - Facoltà i Farmacia e Meicina - Corso i Laurea in CTF REGOLE DI DERIVAZIONE Prima i tutto ricoriamo che la erivata i una funzione f in x è il ite el rapporto incrementale f(x+) f(x), ossia f (x) f f(x + ) f(x) (x) : x 0 purché tale ite el rapporto incrementale esista finito. Se la funzione f è erivabile in x allora la funzione è continua in x: infatti eve essere necessariamente 0 f(x + ) f(x) 0 0 ossia se tale ite non fosse el tipo 0 allora il ite el rapporto incrementale non potrebbe esistere 0 e essere finito, o melio, per che tene a zero f(x + ) f(x) f(x + ) f(x) } }{{} {{} tene a zero convere a f (x) REGOLE DI DERIVAZIONE: f e erivabili (αf) (x) αf (x), per oni α R (f + ) (x) f (x) + (x) (f) (x) f (x)(x) + f(x) (x) ( ) (x) (x) (x) ( ) f (x) f (x)(x) f(x) (x) (x) (f ) (x), f (y) f (f (x)) yf (x) se f (f (x)) 0

2 Alcune reole i erivazione venono alle analohe reole per i iti: REGOLA : erivata i αf, con α costante iscene al fatto che (αf) x (x) αf (x), per oni α R αf(x + ) αf(x) 0 REGOLA : erivata ella somma Analoamente, se f e sono erivabili in x allora che iscene al fatto che f(x + ) + (x + ) [f(x) + (x)] 0 [ ] f(x + ) f(x) (x + ) (x) + 0 f(x + ) f(x) α 0 (f + ) (x) f (x) + (x) f(x + ) f(x) + (x + ) (x) 0 0 f(x + ) f(x) + 0 (x + ) (x) Le prossime reole iscenono invece a semplici passai che permettono i riscrivere opportunamente il rapporto incrementale: REGOLA 3: erivata el prootto Se f e sono erivabili in x allora che iscene al fatto che (f) (x) f (x)(x) + f(x) (x) f(x + )(x + ) f(x)(x) 0 f(x + )(x + ) f(x)(x + ) + f(x)(x + ) f(x)(x) 0 [ ] f(x + ) f(x) (x + ) (x) (x + ) + f(x) 0 0 f(x + ) f(x) f (x)(x) + f(x) (x) (x + ) + f(x) 0 0 (x + ) (x) REGOLA 4: erivata el reciproco Se è erivabile in x e (x) 0, allora ( ) (x) (x) (x)

3 che iscene al fatto che 0 (x + ) (x) (x) 0 (x + ) 0 0 (x) (x + ) (x + )(x) 0 (x + ) (x) [ (x) (x) (x + )(x) ] [(x + ) (x)] REGOLA 5: erivata el rapporto Se f e sono erivabili in x e (x) 0, allora ( ) f (x) f (x)(x) f(x) (x) (x) che iscene alle reole 3 e 4: ( ) ( f (x) f ) (x) che,per la reola ella erivata el prootto, coincie con f (x) (x) + f(x) ( ) (x) che, per la reola ella erivata el reciproco, coincie con f (x) REGOLA 6: erivata ella funzione inversa (x) f(x) (x) (x) f (x)(x) f(x) (x) (x) Se f è erivabile e invertibile, con funzione inversa f, e se f (f (x)) 0, allora ( ) f (x), f (y) f (f (x)) yf (x) che viene iustificata a ) la erivata ella funzione inversa esiste: il rafico ella funzione inversa è ottenuto al rafico ella funzione f per riflessione rispetto alla bisettrice el I e III quarante e all interpretazione ella erivata come coefficiente anolare ella retta tanente ) espressione ella erivata ella funzione inversa f(f (x)) x e quini a una parte x f(f )(x) x x e all altra per la reola ella erivazione ella funzione composta, con f (stiamo ano per scontato che la erivata i f esiste) x f(f )(x) f (f (x)) x f (x)

4 e quini a cui, ricorano che f (f (x)) 0 f (f (x)) x f (x) x f (x) f (f (x)) APPLICAZIONI: per le reole -5 rimaniamo ai classici libri i testo e ali appunti ella Prof.ssa Anna Torre, nel seuito ci concentriamo sull applicazione ella reola ella erivata ella funzione inversa, ma usiamo anche le altre reole i erivazione. NON E NECESSARIO STUDIARE A MEMORIA LE DIMOSTRAZIONI, MA SEGUIRE IL METODO PERMETTE DI CAPIRE COME SI USA LA REGOLA DELLA DERIVATA DELLA FUNZIONE INVERSA, E SI RICHIAMANO ALCUNE PROPRIETA DELLE FUNZIONI ESPONENZIALI E TRIGONOMETRICHE, CHE POSSONO ESSERE MOLTO UTILI PER RISOLVERE ALCUNI ES- ERCIZI.

5 ESEMPIO Derivata i f(x) a x, (con a > 0) e ella sua inversa f (x) lo a (x). Otterremo che x ax ln(a)a x, x R, e x lo a(x) lo a (e) x, x (0, ), ln(a) x e in particolare x ex e x, x R, e x ln(x) x, x (0, ). Prima i tutto osserviamo che la erivata i f(x) a x è el tipo INFATTI: x ax C(a)a x, ove C(a) coincie con la erivata in x 0, a x+ a x x ax 0 e il rapporto incrementale si può scrivere come a x+ a x ax a a x a x a a cui, x ax a x a 0 a x a x C(a) ove si è posto a C(a) 0 Nel caso in cui a e, il numero i Eulero (o anche etto numero i Nepero) sappiamo che vale il seuente ite notevole (senza imostrazione): e 0 e quini Inoltre, usano il fatto che, per oni t reale x ex e x a t ( e ln(a)) t e t ln(a) possiamo notare che a e ln(a) e ln(a) ln(a) ln(a)

6 e quini a 0 e ln(a) ln(a) 0 ln(a) ln(a) t 0 e t t ln(a) ln(a) Per calcolare la erivata i lo a (x) obbiamo pensare che posto f(x) a x si ha f (x) lo a (x) e quini x lo a(x) x f (x) f (y) yf (x) a y ln(a) yloa (x) a lo a (x) ln(a) x ln(a) lo a(e) x ove ricoriamo che l ultima uualianza ipene al fatto che lo a (b) lo b (a), per oni a e b strettamente positivi. ESEMPIO Derivate i cos(x), sin(x) e elle loro inverse arccos(x) e arcsin(x) Otterremo cos(x) sin(x) x x arccos(x) x sin(x) cos(x), x x R x arcsin(x), x (, ) x ATTENZIONE: le ue funzioni preceenti non sono erivabili in x ±. INFATTI usano i ue iti notevoli cos(h) h 0 h 0, h 0 sin(h) h La formula lo a (b) lo b (a) si ricava, a esempio, alla formula lo a (c) lo a (b) lo b (c), che, nel caso c a iventa lo a (a) lo a (b) lo b (a), oppure irettamente, posto α lo b (a) ossia a b α e b a β, allora e quini li esponenti αβ e sono uuali. b αβ (b α ) β a β b b

7 otteniamo cos(x + ) cos(x) cos(x) cos() sin(x) sin() cos(x) cos(x) cos() cos(x) sin(x) sin() cos() sin() cos(x) sin(x) } {{}} {{} tene a 0 per 0 tene a per 0 a cui si ottiene che cos(x + ) cos(x) cos(x) x 0 sin(x). Per ottenere la erivata i sin(x) si può proceere o in moo analoo, oppure, ricorano che sin(x) cos( π x), e usano la reola ella erivata ella funzione composta x sin(x) x cos(π x) x cos(y) y π x (π x) sin(π x) ( ) sin( π x) cos(x) x Per ottenere le erivate elle funzioni inverse arccos(x) e arcsin(x) basta utilizzare la reola ella erivata ella funzione inversa: posto f(x) cos(x) e f (x) arccos(x) x arccos(x) x f (x) f (y) yf (x) sin(y) Per trovare il valore i sin(y) quano y arccos(x) obbiamo osservare che y arccos(x) se e solo se cos(y) x yarccos(x) e inoltre sin (y) + cos (y) sin (y) cos (y) sin(y) ± cos (y) e quini, tenuto conto el fatto che cos(y) x, Come sceliere il seno? sin(y) ± x Ci sono ue moi per eciere che bisona sceliere sin(y) + x : ) basta osservare che la funzione cos(x) nell intervallo [0, π] nella quale viene invertita è ecrescente (parte al valore in 0, fino a arrivare a in π) e quini lo è anche la funzione inversa arccos(x) e quini la erivata i arccos(x) non può essere positiva; ) sappiamo che y eve appartenere a [0, π] e sin(y) 0 per oni y [0, π]. Riassumeno x arccos(x) sin(y), x (, ). yarccos(x) x OVVIAMENTE è necessario che il enominatore sia iverso a zero e quini la erivata esiste solo per x (, ).

8 In moo el tutto analoo si ottiene x arcsin(x) cos(y) yarcsin(x), x (, ). x Va osservato che, poiché la funzione sin(x) è crescente nell intervallo [ π, π ], anche la sua inversa arcsin(x) è crescente in [, ] e quini la sua erivata non può essere neativa. ESEMPIO 3 Derivata ella funzione tan(x) e ella sua inversa arctan(x) Otterremo che x tan(x) cos (x), x ( π, π) x arctan(x) + x, x R INFATTI usano la reola ella erivata el rapporto con f(x) sin(x) e (x) cos(x) x tan(x) x sin(x) cos(x) x f(x) (x) f (x)(x) f(x) (x) (x) cos (x) cos(x) cos(x) sin(x)( sin(x)) cos (x) cos (x) + sin (x) cos (x) e usano la reola ella funzione inversa per f(x) tan(x) e f (x) arctan(x) x arctan(x) x f (x) f (y) yf (x) cos (y) yarctan(y) cos (y) yarctan(x) A questo punto obbiamo trovare quanto vale cos(y) quano y arctan(x), con x R e y ( π, π ) ossia quano tan(y) sin(y) cos(y) x. Osserviamo che cos(y) > 0 per oni y ( π, π ) e el resto obbiamo trovare cos (y) e quini è equivalente chieere sin (y) cos (y) x cos (y) cos (y) x cos (y) cos (y)x ossia SE E SOLO SE e riassumeno cos (y)( + x ) cos (y) + x x arctan(x) cos (y) yarctan(x) + x

9 IN QUESTA PARTE SI DISCUTE UN ESERECIZIO DELL ESERCIZIARIO E SE NE PROPONE UNA MODIFICA INTERESSANTE D. 4 FOGLIO 5 Un polinomio i terzo rao, il cui rafico passa per il punto (, ) e ammette ivi un estremo. È tale che f(0) 0 e f(3) 0, si sa inoltre che il coefficiente el termine i rao massimo è positivo. Tale funzione: 4A interseca l asse x in un ulteriore punto i ascissa neativa 4B interseca l asse x in altri ue punti 4C ammette un punto i minimo nel terzo quarante 4D può intersecare l asse x solo in punti i ascissa positiva 4E i ati non sono sufficienti per risponere VARIANTE D.4 Un polinomio i terzo rao passa per il punto (, ) e ammette ivi un estremo. È tale che f(0) 0 e f(3) 0. Trovare esplicitamente il polinomio. DISCUSSIONE Dal punto i vista qualitativo sappiamo che un polinomio i terzo rao f(x) P (x) ax 3 + bx + cx + è efinito su tutto R. I iti per x che tene a + e a si possono calcolare facilmente: prima i tutto si osserva che f(x) P (x) ax 3 + bx + cx + ax 3( + b x + c x + ) x 3 e quini, se a > 0 Ossia, se a > 0 allora x ± (ax3 + bx + cx + ) [ax ( 3 + b x ± x + c x + ) ] x 3 x ± ax3 }{{} ± ( + b x + c x + x 3 ) x ± } {{ } x + (ax3 + bx + cx + ) + e x (ax3 + bx + cx + ) ANALOGAMENTE, se a < 0 allora x + (ax3 + bx + cx + ) e x (ax3 + bx + cx + ) + Inoltre, e i conseuenza, esseno una funzione continua, ammette almeno un punto x in cui f(x ) P (x ) 0, ossia uno zero el polinomio. È possibile che questo sia l unico zero el polinomio, ma è anche possibile che abbia altri ue punti x e x 3 in cui f(x ) P (x ) f(x 3 ) P (x 3 ) 0. Ovviamente è possibile che, se c è più i uno zero, che alcuni i questi zeri coinciano (anche tutti e tre).

10 La funzione ell esercizio può quini avere al massimo un altro zero, (può anche accaere che il terzo zero coincia con uno eli altri ue) Esaminano le varie risposte e isenano il rafico si capisce che può avere solo zeri non neativi. DA COMPLETARE CON FIGURE...(se avrò tempo...) PER RISOLVERE QUESTO ESERCIZIO E UTILE USARE IL FATTO CHE un polinomio i terzo rao con coefficiente i rao massimo positovo ammette al massimo tre intervalli el tipo (, m ), (m, m ) e (m, + ) nei quali in (, m ) il polinomio i terzo rao cresce, in (m, m ) il polinomio i terzo rao ecresce, in (m, + ) il polinomio i terzo rao cresce, UN MODO PIU SEMPLICE PER DIMOSTRARLO, PERO, usa il fatto che la erivata i un polinomio i terzo rao f(x) ax 3 + bx + cx + è un polinomio i secono rao f (x) 3ax + bx + c e quini m e m sono li zeri i f e che f (x) è positiva per x in (, m ) e per x in (m, + ), mentre f (x) è neativa per x in (m, m ). OPPURE IL FATTO CHE se uno zero ammette come tanente l asse elle x, allora è uno zero oppio... TUTTAVIA, ATTRAVERSO LA PROSSIMA VARIANTE DELL ESERCIZIO D4, SI PUO MOSTRARE COME L USO DELLE DERIVATE, INSIEME AI DATI DEL PROBLEMA, PERMETTE DI OT- TENERE ESATTAMENTE I COEFFICIENTI DEL POLINOMIO e QUINDI OTTENERE CHE IN REALTA IL TERZO ZERO COINCIDE CON 3. DISCUSSIONE DELLA VARIANTE ell Esercizio D.4 el FOGLIO 5: per comoità el lettore seue il testo, Un polinomio i terzo rao, il cui rafico passa per il punto (, ) e ammette ivi un estremo. È tale che f(0) 0 e f(3) 0. Trovare esplicitamente il polinomio. Questa variante è interessante in quanto usano le erivate si ottiene teneno conto che, ai ati sappiamo che f(), ec esseno il punto un punto estremale (ossia un punto i minimo o massimo locale) e esseno un polinomio erivabile per oni x reale, necessariamente f () 0. Inoltre, posto f(x) ax 3 + bx + cx + e f (x) 3ax + bx + c le informazioni che ci fornisce il testo possono essere traotte in formule come seue: f(0) 0 a0 3 + b0 + c f() a 3 + b + c + a + b + c + f () 3a + b + c 0 3a + b + c 0 f(3) 0 a3 3 + b3 + c3 + 7a + 9b + 3c + 0

11 a cui 0 a + b + c + 3a + b + c 0 7a + 9b + 3c + 0 che si risolve osservano che 0 e che a, b, c risolvono il sistema a + b + c 3a + b + c 0 7a + 9b + 3c 0 a cui, risolvenolo, e usano la reola i Cramer a b c a cui, sviluppano i eterminanti nei numeratori, rispetto alle colonne che contenono ue zeri a 4, b 6 4, c 9 4